7.7 与球相关的问题 练习-2027届高三数学一轮专题复习

7.7　与球相关的问题

 一、 单选题

1 已知正四棱柱的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为(　　)

A. 25π    B. 34π    C. 68π    D. 100π

2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，截去三棱锥B-AA1D，若剩余的几何体的表面积是，则正方体ABCD-A1B1C1D1内切球的表面积和其外接球的体积分别是(　　)

A. π，    B. 4π，

C. 4π，π     D. π，

3 [2025南通期中]已知一个正三棱柱的底面边长为6，高为4，则该正三棱柱的外接球的表面积为(　　)

A. 28π    B. 32π    C. 64π    D. 192π

4 [2025苏锡常镇二模]一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器ABC-A1B1C1，其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为.当侧面AA1B1B水平放置时(如图)，容器内的水形成新的空间图形，若该空间图形的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A.     B.

C. 100π    D.

二、 多选题

5 某球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则下列结论中正确的是(　　)

A. R＝3r      B. R＝4r

C. V2＝9V1    D. 2V2＝27V1

6 [2025蚌埠二模]在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，C1D1，CC1的中点，则下列结论中正确的是(　　)

A. FG∥平面A1BD

B. 直线AE与FG所成角的余弦值为

C. 点E到平面B1FG的距离为

D. 三棱锥B1-D1DG的外接球的表面积为

7 [2025莆田二模]在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AP＝AC＝2，E，F，G分别为AB，BC，PC的中点，则下列结论中正确的是(　　)

A. △PBC为直角三角形

B. PE∥平面AFG

C. 三棱锥P-ABC的体积最大值为

D. 三棱锥P-ABC外接球的半径为定值

三、 填空题

8 18世纪英国数学家辛普森运用定积分，推导出了现在中学数学教材中柱、锥、球、台等几何体Ω的统一体积公式V＝h(L＋4M＋N)(其中L，N，M，h分别为Ω的上底面面积、下底面面积、中截面面积和高)，我们也称为“万能求积公式”．例如，已知球的半径为R，可得该球的体积为V＝×2R×(0＋4×πR2＋0)＝πR3；已知正四棱锥的底面边长为a，高为h，可得该正四棱锥的体积为V＝×h[0＋4×＋a2]＝a2h.类似地，运用该公式求解下列问题：如图，已知球O的表面积为 36π cm2，若用距离球心O都为2 cm的两个平行平面去截球O，则夹在这两个平行平面之间的几何体的体积为________cm3.

9 [2025镇江期初]勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触(如图).勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的空间图形．若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的半径最大值是________．

10 [2025淮南、淮北二模]如图，圆锥PO有且仅有一条母线PA在平面α内，圆锥的侧面展开图是面积为32π的半圆，则圆锥外接球的表面积为________；若B是PA的中点，C∈α，且点O到直线BC的距离为，则BC与圆锥底面所成角的余弦值为________．