广东揭阳市榕城区真理中学2025-2026学年下学期八年级数学期末模拟复习试卷一

**基本信息** 以2024巴黎奥运会图标、蜂巢结构等真实情境为载体，覆盖轴对称、因式分解、平行四边形等八年级下册核心知识，通过基础题与综合探究题分层设计，考查空间观念、推理能力及应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|9题|图形变换、因式分解、分式性质|结合奥运会图标考轴对称，体现时代性| |填空题|6题|正六边形坐标、梯形平移、三角形中位线|蜂巢结构问题融合几何与坐标系，渗透文化传承| |解答题|8题|分组分解法、旋转应用、动点面积问题|21题旋转综合题串联等腰直角三角形与四边形，23题动点问题考查动态几何思维，契合中考命题趋势|

揭阳市榕城区真理中学2025-2026八年级下数学期末模拟复习试卷一 一．选择题（共9小题） 1．第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日在巴黎开幕，此次奥运会体育项目图标充满了图形变换的元素．下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　） A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4 C．2ax2﹣8ay2＝2a（x+2y）（x﹣2y） D．a2﹣a﹣12＝（a﹣3）（a+4） 3．边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO的度数为（　　） A．24° B．48° C．60° D．72° 4．如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的2倍，那么该分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的2倍 5．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，EF过点O且分别交AD，BC于点E，F，在BD上找点M，N（点N在点M下方），使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙 6．若分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝6，CD＝9，则EO的长为（　　） A．1 B． C．2 D．3 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于点E，若图中阴影部分面积为2，则B′E的长为（　　） A．22 B．2 C．2 D．1 9．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，连接DE，延长AB与DE交于点F，连接AC、CF．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△ABC＝S△FCD，其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题（共6小题） 10．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为 　 　 ． 11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，将梯形ABCD沿AB方向平移得到梯形A′B′C′D′，BC与C′D′相交于点E．若BC＝10，CE＝4，C′E＝3，则阴影部分的面积为　 　 ． 12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是　 　 ． 13．已知，则的值为　 　 ． 14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，则AC的长是 　 　 ． 15．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，AE＝5cm，BE＝13cm，∠EBD＝∠DBC，点F是BC的中点，若点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD向点E运动，点N同时以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动 　 　 s时，以点P，F，N，E为顶点的四边形是平行四边形． 三．解答题（共8小题） 16．已知a是不等式2x﹣7＞5﹣2x的最小整数解，求的值． 17．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，6），B（﹣3，2），C（0，3），将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度（点A的对应点是D，点B的对应点是E，点C的对应点是F）． （1）在网格中画出△DEF，分别写出△DEF各顶点的坐标； （2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，请利用无刻度的直尺画出旋转后的△A1B1C． 18．已知关于x的分式方程． （1）当分式方程有增根时，求m的值． （2）当分式方程的解为正数时，求m的取值范围． 19．一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米． 20．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法． 例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法． 例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1； ②（拆项法）x2﹣6x+8； （2）已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长； （3）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由． 21．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题． （1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM＝　 　 cm． （2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示） （3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积． 22．【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图1，作A关于直线m的对称点A′，连接A′B与直线m交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，A′D，BD， ∵直线m是点A，A′的对称轴，点C，D在m上， ∴CA＝ 　 　 ，DA＝ 　 　 ， ∴AC+CB＝A′C+CB＝ 　 　 ． 在△A′DB中， ∵A′B＜A′D+DB， ∴A′C+CB＜A′D+DB． ∴AC+CB＜AD+DB，即AC+CB最小． 【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄O，它们的夹角∠AOB＝30°，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个△PMN，△PMN周长的最小值为 　 　 米． 【任务三】实践应用：如图4，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，M、N分别是AD、AC边上的动点，求CM+MN的最小值． 23．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，∠B＝60°．点P在边BC上由点B向点C运动，速度为每秒2cm；点Q在边AD上由点D向点A运动，速度为每秒1cm．点P，Q同时出发，当点P运动到点C时，两点停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）当t何值时，四边形PCDQ为平行四边形？ （2）当t为何值时，点P在∠D的平分线上？ （3）当t为何值时，四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三？ 揭阳市榕城区真理中学2025-2026八年级下数学期末模拟复习试卷一 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．第33届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日在巴黎开幕，此次奥运会体育项目图标充满了图形变换的元素．下列运动项目图标中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行逐一判断即可． 【解答】解：A．图形是轴对称图形，不符合题意； B．图形不是轴对称图形，符合题意； C．图形是轴对称图形，不符合题意； D．图形是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握相关定义是解答本题关键． 2．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（　　） A．（a+3）2＝a2+6a+9 B．a2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4 C．2ax2﹣8ay2＝2a（x+2y）（x﹣2y） D．a2﹣a﹣12＝（a﹣3）（a+4） 【分析】根据因式分解的定义，逐项分析判断即可． 【解答】解：A、原运算不是因式分解，是整式的乘法运算，不符合题意； B、等号右侧不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、a2﹣a﹣12＝（a﹣4）（a+3），是因式分解，但分解错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是关键． 3．边长相等的正五边形与正六边形按如图所示拼接在一起，则∠ABO的度数为（　　） A．24° B．48° C．60° D．72° 【分析】根据正五边形的内角和和正六边形的内角和公式求得正五边形的内角108°和正六边形的内角120°，然后根据周角的定义和等腰三角形性质可得结论． 【解答】解：由题意得：正六边形的每个内角都等于120°，正五边形的每个内角都等于108°， ∴∠BOA＝360°﹣120°﹣108°＝132°， ∵AO＝BO， ∴∠ABO＝∠OAB24° 故选：A． 【点评】本题考查了正多边形的内角与外角、等腰三角形的性质，熟练正五边形的内角，正六边形的内角是解题的关键． 4．如果把分式中的x和y的值都扩大为原来的2倍，那么该分式的值（　　） A．扩大为原来的2倍 B．不变 C．扩大为原来的4倍 D．缩小为原来的2倍 【分析】根据分式的基本性质即可求出答案． 【解答】解：原式 ， 故选：A． 【点评】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型． 5．如图，平行四边形ABCD的对角线交于点O，EF过点O且分别交AD，BC于点E，F，在BD上找点M，N（点N在点M下方），使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（　　） A．甲、乙、丙 B．只有甲、乙 C．只有甲、丙 D．只有乙、丙 【分析】结合题中所给方案，分情况，依照平行四边形的判定与性质即可得证． 【解答】解：甲方案：如图所示： 在平行四边形ABCD中，OB＝OD，DE∥BF， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△BFO和△DEO中， ∴△BFO≌△DEO（ASA）， ∴OE＝OF， ∵BN＝DM， ∴ON＝OM， 在四边形EMFN中，由对角线相互平分可知，四边形EMFN为平行四边形； 乙方案：如图所示： 在平行四边形ABCD中，OB＝OD，DE∥BF， ∴∠EDO＝∠FBO， 在△BFO和△DEO中， ∴△BFO≌△DEO（ASA）， ∴OE＝OF， ∵EM⊥BD，FN⊥BD， ∴∠EMO＝∠FNO＝90°，则FN∥EM， 在△EMO和△FNO中， ∴△EMO≌△FNO（AAS）， ∴ME＝NF， 在四边形EMFN中，由一组对边平行且相等可知，四边形EMFN为平行四边形； 丙方案：如图所示： 在平行四边形ABCD中，OB＝OD，DE∥BF， ∴∠EDO＝∠FBO，∠DEO＝∠BFO， 在△BFO和△DEO中， ∴△BFO≌△DEO（ASA）， ∴OE＝OF， ∵EM平分∠DEF；FN平分∠BFE； ∴∠FNO＝∠EMO， 在△EMO和△FNO中， ∴△EMO≌△FNO（ASA）， ∴MO＝NO， 在四边形EMFN中，由对角线相互平分可知，四边形EMFN为平行四边形； 综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点E，F，M，N为顶点的四边形为平行四边形， 故选：A． 【点评】本题考查平行四边形的判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 6．若分式方程无解，则a的值是（　　） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【分析】先把方程两边同时乘x﹣3得整式方程，然后根据方程无解，分两种情况讨论：①分式方程的分母等于0，求出x再代入整式方程，求出a；②整式方程无解，列出关于a的方程，求出a即可． 【解答】解：， 方程两边同时乘x﹣3得： ax﹣3＝2（x﹣3）， ax﹣3＝2x﹣6， ax﹣2x＝3﹣6， （a﹣2）x＝﹣3， ∵分式方程无解， ∴x﹣3＝0， ∴x＝3， ∴3（a﹣2）＝﹣3， 解得：a＝1， ∵分式方程无解， ∴a﹣2＝0， 解得：a＝2， 综上可知：a＝2或1， 故选：D． 【点评】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程无解的条件． 7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠ADC的平分线与边AB相交于点P，E是PD的中点，若AD＝6，CD＝9，则EO的长为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【分析】由平行四边形的性质及角平分线的定义得AP＝AD＝6，从而得PB的长，由三角形中位线定理即可求解． 【解答】解：∵在▱ABCD中，AB＝CD＝9，AB∥CD，OB＝OD， ∴∠CDP＝∠DPA， ∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP＝∠CDP， ∴∠ADP＝∠DPA， ∴AP＝AD＝6， ∴PB＝AB﹣AP＝3， ∵E是PD的中点，OD＝OB， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，等腰三角形的性质和判定，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′，B′C′交AB于点E，若图中阴影部分面积为2，则B′E的长为（　　） A．22 B．2 C．2 D．1 【分析】求出∠C′AE＝30°，推出AE＝2C′E，AC′C′E，根据阴影部分面积为2得出C′EC′E＝2，求出C′E＝2，即可求出C′B′，即可求出答案． 【解答】解：∵将Rt△ACB绕点A逆时针旋转15°得到Rt△AB′C′， ∴△ACB≌△AC′B′， ∴AC＝AC′，CB＝C′B′，∠CAB＝∠C′AB′， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝45°， ∵∠CAC′＝15°， ∴∠C′AE＝30°， ∴AE＝2C′E，AC′C′E， ∵阴影部分面积为2， ∴C′EC′E＝2， ∴C′E＝2， ∴C′B′＝AC'C′E＝2， ∴B′E＝22， 故选：A． 【点评】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，等腰三角形的性质的应用，主要考查学生的推理和计算能力． 9．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，连接DE，延长AB与DE交于点F，连接AC、CF．下列结论中：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD＝AF；④S△ABC＝S△FCD，其中所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【分析】由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD＝BC，由AE平分∠BAD，可得∠BAE＝∠DAE，可得∠BAE＝∠BEA，得AB＝BE，由AB＝AE，得到△ABE是等边三角形，②正确；则∠ABE＝∠EAD＝60°，可证明△ABC≌△EAD（SAS），①正确；利用反证法判断③错误，再利用平行四边形的性质以及等高模型判断④正确． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠EAD＝∠AEB， 又∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠DAE， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE， ∵AB＝AE， ∴△ABE是等边三角形；故②正确； ∴∠ABE＝∠EAD＝60°， ∵AB＝AE，BC＝AD， ∴△ABC≌△EAD（SAS）；故①正确； 若AD与AF相等，即∠AFD＝∠ADF＝∠DEC， 即EC＝CD＝BE， 即BC＝2CD， 题中未限定这一条件，故③不一定正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AF∥CD，AB＝CD， ∴S△ABC＝S△CDF，故④正确， 故选：B． 【点评】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的面积关系．灵活运用所学知识将每个问题仔细分析是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 10．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为 　（3，﹣2）　 ． 【分析】设中间正六边形的中心为D，连接DB．判断出OC，CM的长，可得结论． 【解答】解：设中间正六边形的中心为D，连接DB． ∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形， ∴AB＝BC＝2，OQ＝3， ∴OA＝OB， ∴OC＝3， ∵DQ＝DB＝2OD， ∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2， ∴M（3，﹣2）， 故答案为：（3，﹣2）． 【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 11．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，将梯形ABCD沿AB方向平移得到梯形A′B′C′D′，BC与C′D′相交于点E．若BC＝10，CE＝4，C′E＝3，则阴影部分的面积为　24　 ． 【分析】根据平移的性质得到S梯形ABCD＝S梯形A′B′C′D′，B′C′＝BC＝10，再根据梯形面积公式计算得到答案． 【解答】解：∵BC＝10，CE＝4， ∴BE＝BC﹣CE＝10﹣4＝6， 由平移的性质可知：S梯形ABCD＝S梯形A′B′C′D′，B′C′＝BC＝10， ∴S梯形ABCD﹣S四边形A′BED′＝S梯形A′B′C′D′﹣S四边形A′BED′， ∴S阴影部分＝S梯形BB′C′E（6+10）×3＝24， 故答案为：24． 【点评】本题考查的是梯形的性质、平移的性质，熟记经过平移新图形与原图形的形状和大小完全相同是解题的关键． 12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是　18．　 ． 【分析】根据中位线定理和已知，易证明△EPF是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质进行计算是即可． 【解答】解：在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点， ∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线， ∴PFBC，PEAD， ∵AD＝BC， ∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形． ∵∠PEF＝18°， ∴∠PEF＝∠PFE＝18°． 故答案为：18． 【点评】本题考查三角形中位线定理，正确进行计算是解题关键． 13．已知，则的值为　　 ． 【分析】由题意可知：b﹣a＝3ab，然后整体代入原式即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：b﹣a＝3ab， ∴a﹣b＝﹣3ab， ∴原式 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了分式的值，分式的加减法，掌握相应的运算法则是关键． 14．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2，则AC的长是 　　 ． 【分析】作辅助线，构建平行线的距离，由已知得：FC＝1+2＝3，AE＝2，根据AAS证明△AEB≌△BFC，得BE＝FC＝3，先由勾股定理求得AB，所以BC，则由勾股定理可以求得AC的长． 【解答】解：分别过A、C作l3的垂线AE、CF，垂足分别为E、F，交l2于M， ∵l2∥l3， ∴CF⊥l2， ∴∠CBF+∠BCF＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠CBF+∠ABE＝90°， ∴∠BCF＝∠ABE， ∵AB＝BC，∠AEB＝∠BFC＝90°， ∴△AEB≌△BFC， ∴BE＝FC， ∵l1，l2之间的距离为1，l2，l3之间的距离为2， ∴FC＝1+2＝3，AE＝2， ∴BE＝FC＝3， 由勾股定理得：AB， ∴AB＝BC， ∴AC， 故答案为： 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，还考查了等腰直角三角形、平行线的距离，因为已知中两行线的距离为1和2，所以作三条平行线的垂线段，得到AE和CF的长，又多次运用了勾股定理求边长，从而得出结论． 15．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，AE＝5cm，BE＝13cm，∠EBD＝∠DBC，点F是BC的中点，若点P以1cm/s的速度从点A出发，沿AD向点E运动，点N同时以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运动，当点P运动 　4或　 s时，以点P，F，N，E为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】要使点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形，则需PE＝FN，据此先表示出PE、FN，结合题意可得PE＝5﹣t，FN＝2t﹣CF或EN＝CF﹣2t，据此可知需求得CF的长，由于F是BC的中点，可将答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠ADB＝∠CBD． ∵∠EBD＝∠DBC， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴EB＝ED＝13cm． ∵AE＝5cm， ∴AD＝18cm． ∵点F是BC的中点， ∴CF＝BC＝AD＝9（cm）． 要使点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形，则PE＝FN即可． 设当点P运动t秒时，点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形， 根据题意得5﹣t＝9﹣2t或5﹣t＝2t﹣9， 解得t＝4或t． ∴当点P运动4秒或秒时，以P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：4或． 【点评】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 三．解答题（共8小题） 16．已知a是不等式2x﹣7＞5﹣2x的最小整数解，求的值． 【分析】先化简分式，再求解不等式的最小整数解，再代入计算即可． 【解答】解： ． 由2x﹣7＞5﹣2x，得x＞3， ∵a是不等式2x﹣7＞5﹣2x的最小整数解， ∴a＝4． ∴原式． 【点评】本题考查的是一元一次不等式的整数解，分式的化简求值，正确进行计算是解题关键． 17．如图，△ABC各顶点的坐标分别为A（﹣2，6），B（﹣3，2），C（0，3），将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度（点A的对应点是D，点B的对应点是E，点C的对应点是F）． （1）在网格中画出△DEF，分别写出△DEF各顶点的坐标； （2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，请利用无刻度的直尺画出旋转后的△A1B1C． 【分析】（1）先画出对应点，再根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可写出各点的坐标； （2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的对应点即可． 【解答】解：（1）如图所示，△DEF即为所求： D（2，9），E（1，5），F（4，6）； （2）如图所示，△A1B1C即为所求： 【点评】本题考查的是作图﹣平移变换、旋转变换，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18．已知关于x的分式方程． （1）当分式方程有增根时，求m的值． （2）当分式方程的解为正数时，求m的取值范围． 【分析】分式方程去分母转化为整式方程， （1）由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，代入整式方程计算即可求出m的值； （2）表示出分式方程的解，由分式方程的解是正数，求出m的范围即可． 【解答】解：去分母得：x＝3（x﹣1）﹣（m﹣2）， （1）由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1， 把x＝1代入整式方程得：m＝1； （2）解得：x， 根据分式方程的解为正数，得到0，且1， 解得：m＞﹣1且m≠1． 【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 19．一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米． 【分析】设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路（x+3）千米，根据“甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等”列分式方程求解即可． 【解答】解：设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路（x+3）千米， 根据题意，得， 解得x＝6， 经检验，x＝6是原方程的解， ∴x+3＝9， 答：甲队平均每天修复公路6千米，乙队平均每天修复公路9千米． 【点评】本题考查了分式方程的应用，正确列出式子是解题的关键． 20．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法等等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法． 例如：x2﹣2xy+y2﹣4＝（x2﹣2xy+y2）﹣4＝（x﹣y）2﹣22＝（x﹣y﹣2）（x﹣y+2）． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法． 例如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1﹣2）（x+1+2）＝（x﹣1）（x+3）． （1）仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法）4x2+4x﹣y2+1； ②（拆项法）x2﹣6x+8； （2）已知a、b、c为△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0，求△ABC的周长； （3）已知△ABC的三边长a，b，c满足a2﹣ab﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由． 【分析】（1）①将4x2+4x﹣y2+（1分）组成为（4x2+4x+1）﹣y2＝（2x+1）2﹣y2分解即可． ②将x2﹣6x+8拆项为（x2﹣6x+9）﹣（1分）解即可． （2）分组拆项配成完全平方式的和形式（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0，利用非负性计算即可． （3）分解成（a﹣b）（a﹣c）＝0计算即可． 【解答】解：（1）①4x2+4x﹣y2+1 ＝（4x2+4x+1）﹣y2 ＝（2x+1）2﹣y2 ＝（2x+y+1）（2x﹣y+1）． ②x2﹣6x+8 ＝x2﹣6x+9﹣1 ＝（x﹣3）2﹣1 ＝（x﹣3﹣1）（x﹣3+1） ＝（x﹣4）（x﹣2）． （2）∵a2+b2+c2﹣4a﹣4b﹣6c+17＝0， ∴（a2﹣4a+4）+（b2﹣4b+4）+（c2﹣6c+9）＝0， ∴（a﹣2）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2＝0， ∴a＝2，b＝2，c＝3， ∴a+b+c＝2+2+3＝7． ∴△ABC的周长为7． （3）a2﹣ab﹣ac+bc＝0， ∴a（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0， ∴（a﹣b）（a﹣c）＝0， ∴a﹣b＝0或a﹣c＝0或a﹣b＝0且a﹣c＝0， ∴a＝b或a＝c或a＝b＝c， ∴△ABC是等腰三角形或等边三角形． 【点评】本题考查了新方法分解因式及其应用，正确理解新方法，灵活运用新方法解题是解题的关键． 21．旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时往往可以通过旋转解决问题． （1）尝试解决：如图①，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M是BC上的一点，BM＝1cm，CM＝2cm，将△ABM绕点A旋转后得到△ACN，连接MN，则AM＝　　 cm． （2）类比探究：如图②，在“筝形”四边形ABCD中，AB＝AD＝a，CB＝CD，AB⊥BC于点B，AD⊥CD于点D，点P、Q分别是AB、AD上的点，且∠PCB+∠QCD＝∠PCQ，求△APQ的周长．（结果用a表示） （3）拓展应用：如图③，已知四边形ABCD，AD＝CD，∠ADC＝60°，∠ABC＝75°，AB＝2，BC＝2，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）如图①，先根据等腰直角三角形得两锐角为45°，由旋转得∠MCN＝90°，CN＝BM＝1，由勾股定理可得MN的长，最后根据△AMN是等腰直角三角形可得结论； （2）如图②，延长AB到E，使BE＝DQ，连接CE，证明△CDQ≌△CBE（SAS）和△QCP≌△ECP（SAS），根据等量代换可得△APQ的周长＝2AB＝2a； （3）如图③，连接 BD，由于AD＝CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′，连接BB′，延长BA，作B′E⊥BA；易证△BDB'是等边三角形，△AEB'是等腰直角三角形，利用勾股定理计算AE＝B′E，BB′＝2 ，根据面积差可得结论． 【解答】解：（1）如图①， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， 由旋转得：CN＝BM＝1，∠ACN＝∠B＝45°，∠MAN＝∠BAC＝90°，AM＝AN， ∴∠MCN＝∠ACB+∠ACN＝45°+45°＝90°，△AMN是等腰直角三角形， ∵CM＝2， ∴MN， ∴AMMN（cm）； 故答案为：； （2）如图②，延长AB到E，使BE＝DQ，连接CE， ∵AB⊥BC，AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠CBE＝∠CDQ＝90°， 在△CDQ和△CBE中， ， ∴△CDQ≌△CBE（SAS）， ∴∠DCQ＝∠BCE，CQ＝CE， ∵∠PCB+∠QCD＝∠PCQ， ∴∠PCB+∠BCE＝∠PCQ＝∠PCE， 在△QCP和△ECP中， ， ∴△QCP≌△ECP（SAS）， ∴PQ＝PE， ∴△APQ的周长＝AQ+PQ+AP＝AQ+PE+AP＝AQ+BE+PB+AP＝AQ+DQ+AB＝2AB＝2a； （3）如图③，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△BCD绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB′， 连接BB′，延长BA，作B′E⊥BA于E， 由旋转得：△BCD≌△B′AD， ∴BD＝B'D，∠BDB'＝60°，∠CBD＝∠AB'D， ∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A，△BDB'是等边三角形， ∵∠ABC＝75°，∠ADC＝60°， ∴∠BAB′＝∠BDB'+∠AB'D+∠ABD＝135°， ∴∠B′AE＝45°， ∵B′A＝BC＝2， ∴B′E＝AE， ∴BE＝AB+AE＝23， ∴BB′2， 设等边三角形的高为h， 则勾股定理得：h， ∴S四边形ABCD＝S四边形BDB′A＝S△BDB′﹣S△ABB′252． 【点评】本题是四边形的综合题，主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等，四边形和三角形面积计算等知识，关键是利用旋转的性质作辅助线，构建全等三角形来解决问题． 22．【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居民们征求意见． 小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如图1，作A关于直线m的对称点A′，连接A′B与直线m交于点C，点C就是所求的位置． 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，A′D，BD， ∵直线m是点A，A′的对称轴，点C，D在m上， ∴CA＝ CA′　 ，DA＝ DA′　 ， ∴AC+CB＝A′C+CB＝ A′B ． 在△A′DB中， ∵A′B＜A′D+DB， ∴A′C+CB＜A′D+DB． ∴AC+CB＜AD+DB，即AC+CB最小． 【任务二】如图3，有两条公路AO和BO经过村庄O，它们的夹角∠AOB＝30°，现要在距离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM，PN，MN，使三条小路刚好围成一个△PMN，△PMN周长的最小值为 　500　 米． 【任务三】实践应用：如图4，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，M、N分别是AD、AC边上的动点，求CM+MN的最小值． 【分析】【任务一】根据题意利用对称性和三角形的三边关系填空即可； 【任务二】作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG，分别交OA、OB于M、N，得到△PMN的周长的最小值为FG，再证得△FOG为边长为500的等边三角形即可得出答案； 【任务三】如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D，交AD于点M，过点M作MN⊥AC于点N，根据角平分线的性质得到MN＝DM，这时CM+MN有最小值，即CD的长度，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】【任务一】证明：如图2，在直线m上另取任一点D，连结AD，A′D，BD， ∵直线m是点A，A′的对称轴，点C，D在m上， ∴CA＝CA′，DA＝DA′， ∴AC+CB＝A′C+CB＝A′B． 在△A′DB中， ∵A′B＜A′D+DB， ∴A′C+CB＜A′D+DB． ∴AC+CB＜AD+DB， 即AC+CB最小， 故答案为：CA′，DA′，A′B； 【任务二】解：作点P关于直线OA的对称点F，作点P关于直线OB的对称点G，连接FG， 分别交OA、OB于M、N，如图： ∴MP＝MF，NP＝NG， ∴△PMN的周长的最小值为FG， 由轴对称的性质得：∠FOA＝∠AOP，∠POB＝∠GOB， OP＝OF，OP＝OG， ∵∠AOP+∠POB＝∠AOB＝30°，OP＝500， ∴∠FOG＝∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB＝60°，OF＝OG＝500， ∴△FOG为边长为500的等边三角形， ∴FG＝500， ∴△PMN的周长的最小值为500米， 故答案为：500； 【任务三】解：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D，交AD于点M，过点M作MN⊥AC于点N， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴MN＝DM，这时CM+MN有最小值，即CD的长度， ∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8， ∵S△ABCAB•CDAC•BC， ∴CD， 即CM+MN的最小值为． 【点评】本题考查几何变换的综合应用，主要考查轴对称，三角形的面积公式，三角形的三边关系，最短路径问题，文字量多，读懂题意是解题的关键． 23．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，∠B＝60°．点P在边BC上由点B向点C运动，速度为每秒2cm；点Q在边AD上由点D向点A运动，速度为每秒1cm．点P，Q同时出发，当点P运动到点C时，两点停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）当t何值时，四边形PCDQ为平行四边形？ （2）当t为何值时，点P在∠D的平分线上？ （3）当t为何值时，四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三？ 【分析】（1）利用平行四边形的对边相等DQ＝CP建立方程求解即可； （2）根据平行四边形的性质以及角平分线的定义可得∠CDP＝∠CPD，则CP＝CD＝6cm，即可得t的值； （3）设平行四边形PCDQ边BC是高为h，由梯形ABPQ与平行四边形ABCD同高，根据梯形和平行四边形的面积公式，结合已知条件列出方程，即可得出结果． 【解答】解：（1）由题意得BP＝2tcm，DQ＝tcm， 则PC＝12﹣2t， ∵四边形PCDQ为平行四边形， ∴PC＝DQ， ∴12﹣2t＝t， ∴t＝4（秒）． 答：当t＝4秒时，四边形PCDQ为平行四边形； （2）连接PD， 在平行四边形ABCD中，AB＝6cm，∠B＝60°， ∴CD＝AB＝6cm．AD∥BC，∠ADC＝∠B＝60°， ∴∠ADP＝∠DPC， ∵点P在∠D的平分线上， ∴∠ADP＝∠DPC＝∠PDC＝30°， ∴PC＝DC＝6cm， ∴12﹣2t＝6， ∴t＝3（秒）． 答：当t＝3秒时，点P在∠D的平分线上； （3）设平行四边形PCDQ边BC是高为h． ∵四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三， ∴（2t+12﹣t）•h12h， 解得t＝6． ∴当t＝6秒 时，四边形ABPQ的面积是四边形ABCD的面积的四分之三． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质梯形面积与平行四边形面积的计算、平行线的性质等知识；解（1）的关键是利用DQ＝CP建立方程，解（2）的关键是利用等角对等边得出CP＝CD＝6cm，解（3）的关键是知道梯形ABPQ与平行四边形ABCD同高． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/28 17:54:49；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $