精品解析：江苏省南京市励志高级中学2024-2025学年高一下学期第五次调研考试（6月期末）数学试题

南京市励志高级中学2024--2025年度 高一年级第二学期第五次调研考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】法1，利用复数模的性质及模的计算公式求解；法2，利用复数除法求出，再求出模. 【详解】方法一：，. 方法二：，． 故选：A 2. （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 3. 用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，4，5，7，9，则该样本的平均数为（ ） A. 4.5 B. 4.8 C. 5.4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数的计算方法计算即可. 【详解】该样本平均数为. 故选：C 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例判断A，B，C，利用平行的传递性得到，再利用面面平行的性质得到判断D即可. 【详解】对于A，若，则或，故A错误， 对于B，若，则或与异面，故B错误， 对于C，若，则或与相交，故C错误， 对于D，因为，所以，而，可得，故D正确. 故选：D 5. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先角化边得出，在结合余弦定理求分别求出，，的值，最后在中用余弦定理即可求出的值. 【详解】利用正弦定理结合条件可知：，即， 由余弦定理即，故，， 在中由余弦定理可知：， 在中由余弦定理可知：， 整理得：即. 故选：D 6. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，又，从而得，再利用正切函数的性质，即可求解. 【详解】因为直线的方程为，所以， 即直线的斜率，又， 所以，又直线的倾斜角的取值范围为， 由正切函数的性质可得，直线的倾斜角范围为， 故选：B. 7. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得是等边三角形，设，利用正弦定理可求得，进而利用余弦定理可求得的值. 【详解】由知， 所以为正三角形， ∵， 设，则 由正弦定理：，即，则 在中， 即，则，即． 故选：A. 8. 一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且．设这组数据的平均数为，中位数为m．下列条件一定能使得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平均数、中位数的定义逐项判断. 【详解】令样本数据总个数为 对于A，，A不是； 对于B，，B不是； 对于C，，C是； 对于D，，D不是. 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程表示的直线斜率一定存在 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点，的直线方程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据特殊值法判断A，C，应用一般式求斜率判断B，结合直线的两点式判断D. 【详解】A选项中直线在两坐标轴上的截距相等，但不能用表示，所以A选项错误； B选项，方程表示的直线斜率为，所以B选项正确. C选项中若则直线斜率不存在，直线不能用点斜式表示，故C错. D选项，结合直线方程两点式可知，D选项正确. 故选：AC 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由两角和的余弦公式、商数关系即可验算；对于B，直接由两角差的余弦公式验算即可；对于C，首先得，，然后直接验算即可；对于D，由，即可得解. 【详解】对于A，因为，， 所以， 解得，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，因为，为锐角，所以， 又因为，所以，所以， ，故C错误； 对于D，因为，为锐角，所以， 又因为，所以只能， 因为，解得，故D正确. 故选：BD. 11. 在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形面积及内切圆半径求解判断A；利用正弦定理边化角，再利用二倍角公式求解判断B；利用三角恒等变换，结合三角形面积公式求解判断D；利用正弦定理结合三角形外接圆半径求解判断C. 【详解】对于A，在中，，，A正确； 对于B，由，得， 整理得：，B正确； 对于D，， 即，又，， 则， 整理得， 又， 则，，D正确； 对于C，，，由正弦定理得 故，C错误， 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦函数的二倍角公式，可得答案. 【详解】. 故答案为：. 13. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为 __． 【答案】 【解析】 【分析】由随机事件互斥, 发生的概率均不等0 ,且,由此能求出实数的取值范围. 【详解】∵随机事件互斥，且 发生的概率均不等0 ,且, 所以，即 解得： 故答案为：. 14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】分别取，的中点，将刍甍被分为四棱锥和三棱柱，进而可求解. 【详解】在刍甍中，过作底面的垂线，垂足为， 则，取的中点，则， ，所以． 分别取，的中点， 则刍甍被分为四棱锥和三棱柱． 又因为， ， 又因为 所以， 所以该刍甍的体积为． 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，记它们的交点为，设. （1）用，表示; （2）求<>的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法法则容易得出，然后求出的比值即可； （2）根据与夹角公式进行求解. 【小问1详解】 在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，所以，且 所以，所以，即， 根据向量的加法法则，∴ 【小问2详解】 由，， 于是，∴ 又， ∴. 16. 已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和同角三角函数基本关系式、二倍角公式分别求出，，，，再利用两角差的正弦公式计算即可； （2）先根据题意缩小角的范围到和，进而得出，再计算的值即可得到结果. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，； 因为，所以； 所以. 【小问2详解】 因为，，所以； 因为，所以，故， 所以； 又因为，所以，； 所以， 又因为，所以. 17. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】（1）， （2）晋级分数线划为78分合理 （3）90；38.75 【解析】 【分析】（1）由其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，求出的值，频率分布直方图面积和为1，求b的值； （2）利用频率分布直方图计算第80百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【小问1详解】 由题意知，所以，解得， 又，解得． 所以，， 【小问2详解】 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第80百分位数为m，则， 解得，所以晋级分数线划为78分合理． 【小问3详解】 ，故：． 又，， 剔除其中的95和85两个分数，设剩余8个数为，，，…，， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 方差：． 18. 如图，在三棱柱中，，平面平面，且，点为棱的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作，交边BC于点H，确定，得到线面垂直. （2）过点C作，交直线于点E，确定直线CD与面所成角即，计算各线段长度，计算得到答案. 【小问1详解】 ，过点A作，交边BC于点H． ，平面平面，平面平面， 平面，故面，平面，故， 又，，平面，故平面． 【小问2详解】 ，，，面，故平面， 平面，故平面平面． 过点C作，交直线于点E， 平面平面，平面，则面． 故直线CD与面所成角即， ，，故，又，，， 故，，， ，， 故， 即直线CD与面所成角的正弦值为 19. 若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． （1）若，且满足， ①求的大小； ②若，求布洛卡角的正切值； （2）若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）①先判断与相似，进而得到，应用余弦定理求出； ②在中，应用余弦定理以及三角形面积公式，化简得到：，同理在，，内得到，从而得到，即可求解. （2）得出与的等量关系，再利用余弦定理和三角形面积公式，平分，将代入，化简整理可求解. 【小问1详解】 ①若，即，得， 点满足，则， 在与中，，， 所以与相似，则，即， 所以； 在中，， 因为， 所以 ②在中，应用余弦定理以及三角形面积公式得： ， ， 同理可得：， 三式相加可得：。 在内，应用余弦定理以及三角形面积公式得： ， 在，内，同理可得： ，， 三式相等：， 因为点在内，则 由等比性质的：， 所以：， 由①知，，， 所以， 则 【小问2详解】 因为， 即， 所以， 在，，中， 分别由余弦定理可得：， ， ， 三式相加整理得：，即， 因为平分，则，， 所以， 由余弦定理可得：， 所以， 即，则， 所以若平分，试问是否存在常实数，使得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市励志高级中学2024--2025年度 高一年级第二学期第五次调研考试 数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 考生注意 1.本试卷分选择题和非选择题两部分. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. 0 C. D. 3. 用抽签法抽取的一个容量为5的样本，它们的变量值分别为2，4，5，7，9，则该样本的平均数为（ ） A. 4.5 B. 4.8 C. 5.4 D. 6 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（ ） A. B. C. D. 7. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（ ） A. B. C. D. 8. 一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且．设这组数据的平均数为，中位数为m．下列条件一定能使得的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程表示 B. 方程表示的直线斜率一定存在 C. 经过点，倾斜角为的直线方程为 D. 经过两点，的直线方程为 10. 已知，为锐角，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，，，分别是角，，的对边，其外接圆半径为，内切圆半径为，满足，的面积，则（    ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，则______. 13. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为 __． 14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chúméng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 如图，在平行四边形中，点是的中点，连接，记它们的交点为，设. （1）用，表示; （2）求<>的余弦值. 16. 已知角，满足，，且，. （1）求的值； （2）求的大小. 17. 2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.阜阳三中高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第1组频数的平方等于第2组、第4组频数之积，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： （1）求a，b的值； （2）若根据这次成绩，学校准备淘汰80%的同学，仅留20%的同学进入下一轮竞赛请问晋级分数线划为多少合理？ （3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，…，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的95和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 18. 如图，在三棱柱中，，平面平面，且，点为棱的中点． （1）求证：直线平面； （2）若，，，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 若内一点满足，则称点为的布洛卡点，为的布洛卡角．如图，已知中，，点为的布洛卡点，为的布洛卡角． （1）若，且满足， ①求的大小； ②若，求布洛卡角的正切值； （2）若平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数t；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $