精品解析：安徽省合肥市包河区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期期末教学质量检测 七年级数学 试题卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列数是负无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据负无理数的定义，即小于0的无限不循环小数，依次判断每个选项的数，即可得到答案． 【详解】解：∵是分数，属于有理数，排除A； ∵，是整数，属于有理数，排除B； ∵，是正无理数，不满足负数要求，排除C； ∵，且是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数， ∴是负无理数． 2. 自然界的可见光中红光波长最长，因其穿透力较强，可深入皮肤的真皮层，经常被用于皮肤的康复治疗，它的平均波长为0.00000069米左右，数据“0.00000069”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的形式为，其中，为整数，按规则确定和的值即可求解． 【详解】∵把改写为的形式时，取满足，原数小数点向右移动7位得到，且原数绝对值小于1， ∴， 即． 3. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂线段最短，两点确定一条直线，两点之间线段最短逐项判断即可． 【详解】解：A、测量跳远成绩，可以用“垂线段最短”来解释，符合题意； B、木板上弹墨线，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、弯曲河道改直，可以用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； D、两钉子固定木条，可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方计算和合并同类项，根据同底数幂乘除法计算法则，幂的乘方和合并同类项等计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 5. 某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数． 【详解】解：重力的方向竖直向下， 重力与水平方向夹角为， 摩擦力的方向与斜面平行，， ， 故选：C． 6. 清明节期间，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家、小新家到中山公园的距离分别是4千米和10千米，小明步行前往，小新则骑免费单车，已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15分钟到达．若设小明步行速度为千米/小时，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设小明步行速度为千米/小时，则小新骑车速度为千米/小时，根据公式“时间路程速度”，结合小新比小明提前15分钟到达的条件，统一单位后即可列出方程． 【详解】解：设小明步行速度为千米/小时，则小新骑车的速度为千米/小时，小明走完全程的时间为小时，小新走完全程的时间为小时， ∵两人同时出发，小新提前15分钟到达，即小明比小新多用15分钟，又速度单位为千米/小时，需将15分钟统一为小时单位，即15分钟小时， ∴可得方程． 7. 小吴同学在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为40，则阴影部分的面积是（ ） A. 24 B. 20 C. 15 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据题意得到，利用完全平方公式求出的值，结合图形割补法可知阴影部分面积等于． 【详解】解：设，  ，且两个正方形面积之和为40，  ，  ， ，  ，即， 如图，将图形补成边长为的大正方形， 则阴影部分的面积为：      ． 8. 已知，则当时，的值为（ ） A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，把代入d中推出，据此可得答案． 【详解】解： ，， ∴， ∴ ． 9. 已知三个实数，，，满足，，则下列结论不正确的是( ) A. B. 若，则 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质结合二次函数的性质对各选项逐一判断即可. 【详解】解：由，得 ，代入中，得 ， ∴， ∴A选项正确． ， ，结合，不能判定， 例如，，，符合题意，显然， ∴B选项不正确． 由，得 ①， 由，得②， ①②，得， C选项正确． 对于函数，根据题意可知，函数图象经过点，点 ． ， 点在第三象限． 若，则已知的两式变为 ， ∴ ， 解得， 成立， 若，则抛物线一定与x轴有两个不同的交点，且 ∴即成立， ∴D选项正确． 10. 若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多3个整数解，求得m的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得m的值． 【详解】解：， 解不等式①得：x≥﹣1， ∴﹣1≤x＜， ∵不等式组有解且至多3个整数解， ∴﹣1＜≤2， ∴﹣3＜m≤6， 分式方程两边都乘以（x﹣1）得：mx﹣2﹣3＝2（x﹣1）， ∴（m﹣2）x＝3， 当m≠2时，x＝， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， ∴≠1， ∴m≠5， ∵方程有整数解， ∴m﹣2＝±1，±3， 解得：m＝3，1，5，﹣1， ∵m≠5， ∴m＝3，1，﹣1． 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程时应考虑到增根的情况，同时也考查了解不等式组的能力，以及确定不等式组中字母常数满足题意的判断方法． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 分解因式：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为______  ． 【答案】##100度 【解析】 【分析】过点C作，将复杂图形转化为熟悉的平行线模型．通过作平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质，分别求出相关角度，再计算目标角的度数． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∵ 同理可得：， ∵， ， ． 13. 已知，，则代数式的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可求出，利用提公因式法把所求式子因式分解为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴ ． 14. 游乐园检票口高峰期客流持续稳定，每分钟新增7人排队检票，单个检票口每分钟最多可检票5人，营业初始有42人排队等候． （1）若临时开放3个检票口，4分钟后剩余排队人数为____________人； （2）若要保证5分钟内彻底清空所有排队人员，且全程无积压队伍增多的情况，则至少需要开放____________个检票口． 【答案】 ①. 10 ②. 4 【解析】 【详解】解：（1）初始排队：42人， 4分钟新增人数：人， 3个检票口4分钟检票总量：人， 剩余人数人； （2）设需要开放x个检票口， 由题意得：， 解得， ∴检票口数量为整数，故x最小取4． 即至少需要开放4个检票口． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，根据各不等式的解集确定不等式组的解集成为解题的关键． 先分别求出各不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：． 16. 先化简，再求值：，其中，且是整数，请你从中选出一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式（或当时，原式，任选一个合适值即可） 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则化简原式，再根据分式有意义的条件确定的合法整数值，选一个合适的数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： 根据分式有意义的条件，可得，， 解得， ，且是整数 可取或 当时，原式 当时，原式， 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先利用平方差公式、完全平方公式以及单项式乘多项式法则展开原式，合并同类项得到化简结果，再代入的值计算最终结果 【详解】解：      ， 当时 原式． 18. 纳米是常用的微观长度单位，规定，某科研团队研制的纳米薄膜，单层薄膜厚度为． （1）求层该纳米薄膜叠加后的总厚度，结果用科学记数法表示； （2）已知一根头发丝的直径约为，求上述叠加后的纳米薄膜总厚度是头发丝直径的多少倍？ 【答案】（1） （2）倍 【解析】 【分析】（1）用单层薄膜厚度乘以薄膜的层数即可得到答案； （2）用（1）计算的结果除以一根头发丝的直径即可得到答案． 【小问1详解】 解：， 答：层该纳米薄膜叠加后的总厚度为； 【小问2详解】 解：， 答：上述叠加后的纳米薄膜总厚度是头发丝直径的30倍． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移个单位，再向右平移个单位，平移后得到三角形，其中图中直线上的点是点A的对应点． （1）画出平移后得到的； （2）在直线上存在一点，使，，，所围成的四边形的面积为6，请在直线上画出所有符合要求的格点． 【答案】（1）如图所示，即为所求： （2）如图所示，点D即为所求： 【解析】 【分析】（1）图中直线上的点是点A的对应点,得出先向右平移3个单位，再向上平移5个单位可得到，据此得出平移后的对应点，首尾顺次连接可得答案； （2）由先向右平移3个单位，再向上平移5个单位可得到得到m、n的值，由，四边形的面积为6得出或，结合点到直线l的距离为2可确定点D的位置． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在点的两边分别取3个单位长度得到点D，点D即为所求． 20. 如图，，点在上，若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：（已知）， ①_____________（②____________________________）， 是的角平分线（已知）， ③_____________（④____________________________）， ⑤_______（⑥____________________________）， （已知）， ⑦________⑧_______（⑨____________________________）， ⑩_______________（两直线平行，内错角相等）， ． 【答案】 见解析 【解析】 【分析】先利用平行线性质和角平分线定义进行角的等量代换，再通过同旁内角互补判定两直线平行，最后利用平行线性质完成证明． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， 是的角平分线（已知）， （角平分线的定义）， （等量代换）， （已知） （同旁内角互补，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ． 六、（本题满分12分） 21. 为践行绿色低碳生活，社区统计日常垃圾分类的减排贡献率．研究发现，相邻类别垃圾的减排占比，可通过分式拆分极大简化运算，观察下列一组等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 请完成下列问题： （1）写出第6个等式； （2）猜想第n（n为正整数）个等式，并证明； （3）若在更长周期内的减排损耗满足间隔为3的分段规律，请类比上面的探究思路，推导规律并化简求值：． 【答案】（1） （2）猜想第n个等式为 证明： ∵ 右边左边 ∴ 猜想成立 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据给出的等式总结规律即可； （2）先根据给出的等式总结规律即可； （3）类比裂项的思路拆分各项，抵消中间项后计算得到最终结果，用到分式通分运算、裂项相消的方法． 【小问1详解】 解：观察已知等式可知，第k个等式左边为，右边为， 当时，得到第6个等式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：类比上述思路，可得， 所以原式 ． 七、（本题满分12分） 22. 端午节非遗艾草香囊深受市民喜爱，成为节日热销文创产品．某礼品店看准商机，购进甲、乙两款精品艾草香囊进行销售，已知该礼品店用300元购进甲款香囊的数量，与用240元购进乙款香囊的数量相同；且每件甲款香囊的进价比每件乙款香囊的进价多2元． （1）求甲、乙两款香囊每件的进价分别为多少元？ （2）为持续热销，该店计划再次购进甲、乙两款香囊，进货总费用不超过400元，购进甲款香囊的数量比乙款香囊数量的多6个，若甲款香囊售价13元，乙款香囊售价10元，想要利润不少于90元，则该店一共有几种进货方案？ 【答案】（1）甲款香囊每件的进价为10元，则乙款香囊每件的进价为8元； （2）一共有3种进货方案：方案1，购进甲款香囊14个，购进乙款香囊24个；方案2，购进甲款香囊15个，购进乙款香囊27个；方案3，购进甲款香囊16个，购进乙款香囊30个 【解析】 【分析】（1）设甲款香囊每件的进价为x元，则乙款香囊每件的进价为元，根据用300元购进甲款香囊的数量，与用240元购进乙款香囊的数量相同建立方程求解即可； （2）设购进乙款香囊m个，则购进甲款香囊个，根据进货总费用不超过400元和利润不少于90元建立不等式组求出m的取值范围，再根据m和都是整数，确定m的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设甲款香囊每件的进价为x元，则乙款香囊每件的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲款香囊每件的进价为10元，则乙款香囊每件的进价为8元； 【小问2详解】 解：设购进乙款香囊m个，则购进甲款香囊个， 由题意得，， 解得， ∵m和都是整数， ∴一定是3的倍数， ∴m的值为24或27或30， 当时，， 当时，， 当时，， 答：一共有3种进货方案：方案1，购进甲款香囊14个，购进乙款香囊24个；方案2，购进甲款香囊15个，购进乙款香囊27个；方案3，购进甲款香囊16个，购进乙款香囊30个． 八、（本题满分14分） 23. 已知：，点在线段上（不与、重合）． （1）如图1，若于，交于； ①求证：； ②如图2，分别作、的平分线交于点，求的度数． （2）如图3，在射线上取点，连接，作的平分线交于点，点在线段上，连解接，若，设、、，求、、之间的数量关系． 【答案】（1）①证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①先根据垂线的性质得出，再根据三角形内角和定理得出，最后根据平行线的性质得出，即可证明结论； ②过点F作，根据角平分线定义得出，，根据平行线的性质得出，，根据即可得出答案； （2）设，则，，根据三角形内角和定理和角平分线定义得出，过点H作，根据平行线的性质得出，代入得出，整理即可得出答案． 【小问1详解】 ①略 ②解：过点F作，如图所示： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴ ； 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， 即， 过点H作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末教学质量检测 七年级数学 试题卷 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列数是负无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 自然界的可见光中红光波长最长，因其穿透力较强，可深入皮肤的真皮层，经常被用于皮肤的康复治疗，它的平均波长为0.00000069米左右，数据“0.00000069”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 弯曲河道改直 D. 两钉子固定木条 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 清明节期间，小明和小新约好同时出发到中山公园踏青，小明家、小新家到中山公园的距离分别是4千米和10千米，小明步行前往，小新则骑免费单车，已知小新骑车的速度是小明步行速度的4倍，结果小新提前15分钟到达．若设小明步行速度为千米/小时，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 小吴同学在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，，，在同一直线上．若，且两个正方形面积之和为40，则阴影部分的面积是（ ） A. 24 B. 20 C. 15 D. 12 8. 已知，则当时，的值为（ ） A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 9. 已知三个实数，，，满足，，则下列结论不正确的是( ) A. B. 若，则 C. D. 10. 若数m使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数m的个数是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 分解因式：____． 12. 共享单车为市民的绿色出行提供了方便．图①是某品牌共享单车的实物平面图，图②是其部分结构示意图，其中，，，则的度数为______  ． 13. 已知，，则代数式的值为____________． 14. 游乐园检票口高峰期客流持续稳定，每分钟新增7人排队检票，单个检票口每分钟最多可检票5人，营业初始有42人排队等候． （1）若临时开放3个检票口，4分钟后剩余排队人数为____________人； （2）若要保证5分钟内彻底清空所有排队人员，且全程无积压队伍增多的情况，则至少需要开放____________个检票口． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式组： 16. 先化简，再求值：，其中，且是整数，请你从中选出一个合适的数代入求值． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 纳米是常用的微观长度单位，规定，某科研团队研制的纳米薄膜，单层薄膜厚度为． （1）求层该纳米薄膜叠加后的总厚度，结果用科学记数法表示； （2）已知一根头发丝的直径约为，求上述叠加后的纳米薄膜总厚度是头发丝直径的多少倍？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，三角形的顶点都在正方形网格的格点上，将三角形向上平移个单位，再向右平移个单位，平移后得到三角形，其中图中直线上的点是点A的对应点． （1）画出平移后得到的； （2）在直线上存在一点，使，，，所围成的四边形的面积为6，请在直线上画出所有符合要求的格点． 20. 如图，，点在上，若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：（已知）， ①_____________（②____________________________）， 是的角平分线（已知）， ③_____________（④____________________________）， ⑤_______（⑥____________________________）， （已知）， ⑦________⑧_______（⑨____________________________）， ⑩_______________（两直线平行，内错角相等）， ． 六、（本题满分12分） 21. 为践行绿色低碳生活，社区统计日常垃圾分类的减排贡献率．研究发现，相邻类别垃圾的减排占比，可通过分式拆分极大简化运算，观察下列一组等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： …… 请完成下列问题： （1）写出第6个等式； （2）猜想第n（n为正整数）个等式，并证明； （3）若在更长周期内的减排损耗满足间隔为3的分段规律，请类比上面的探究思路，推导规律并化简求值：． 七、（本题满分12分） 22. 端午节非遗艾草香囊深受市民喜爱，成为节日热销文创产品．某礼品店看准商机，购进甲、乙两款精品艾草香囊进行销售，已知该礼品店用300元购进甲款香囊的数量，与用240元购进乙款香囊的数量相同；且每件甲款香囊的进价比每件乙款香囊的进价多2元． （1）求甲、乙两款香囊每件的进价分别为多少元？ （2）为持续热销，该店计划再次购进甲、乙两款香囊，进货总费用不超过400元，购进甲款香囊的数量比乙款香囊数量的多6个，若甲款香囊售价13元，乙款香囊售价10元，想要利润不少于90元，则该店一共有几种进货方案？ 八、（本题满分14分） 23. 已知：，点在线段上（不与、重合）． （1）如图1，若于，交于； ①求证：； ②如图2，分别作、的平分线交于点，求的度数． （2）如图3，在射线上取点，连接，作的平分线交于点，点在线段上，连解接，若，设、、，求、、之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $