12.4 逆命题与逆定理 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦逆命题与逆定理、线段垂直平分线及角平分线的性质与判定，通过复习命题与定理定义，结合具体命题实例引导学生发现条件与结论互换规律，构建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于采用“做一做 - 猜想 - 验证”探究模式，如线段垂直平分线作图测量后用全等三角形证明性质，培养几何直观与推理能力。规范几何语言表述，结合实例强化模型意识，教师可直接使用结构化内容，学生通过动手与逻辑推理提升数学思维和应用能力。

12.4 逆命题与逆定理 第十二章 全等三角形 12.4.1互逆命题与互逆定理 学习目标 1.理解逆命题与逆定理的意义. 2.会写出一个命题的逆命题，会判断定理的逆命题的真假. 3.知道证明一个定理的逆命题是真命题还是假命题的一般方法. 复习旧知 1.什么是命题? 对某一件事件作出正确或不正确的判断的句子叫做命题． 命题的结构：命题由题设、结论组成 2.命题的分类：正确的命题叫做真命题（演绎推理）. 错误的命题叫做假命题（举反例）. 3.什么是定理？ 基本事实或其他真命题证明是正确的，并可以作为证明其他命题真假依据的真命题. 探究新知 说出下列命题的条件和结论,并判断真假命题： 1.两直线平行，内错角相等； 内错角相等，两直线平行； 2.如果a＝b，那么a2＝b2 如果a2＝b2，那么a＝b 对比发现:上面两组命题的条件和结论恰好互换了位置． 上面两个命题的条件和结论恰好互换了位置． 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题. 如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题. 归 纳 探究新知 探究新知 求一个命题的逆命题的方法： 命题“两直线平行，同位角相等”的 条件为: ; 结论为: . 因此它的逆命题为_______________________. 两直线平行 同位角相等 同位角相等，两直线平行 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确． 例如: 真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”， 此命题就是假命题． (1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余. 逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形. 判断(1)、(2)原命题和逆命题是否正确，试着给出你的结论 (2)全等三角形的对应角相等. 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等. √ × √ √ 探究新知 如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理. 例如“两直线平行，内错角相等”与 “内错角相等，两直线平行”为互逆定理. 逆定理，互逆定理定义： 探究新知 巩固练习 1.判断下列命题的真假，写出逆命题，并判断逆命题的真假： (1)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点. (2)如果a＞b，那么a2＞b2. (3)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零. (4)如果ab＜0，那么a＞0，b＜0. 解：(1)原命题是真命题。逆命题为：如果两条直线只有 一个交点，那么它们相交.逆命题是真命题. (2)原命题是假命题。逆命题为：如果a2＞b2，那么 a＞b.逆命题是假命题. (3)原命题是真命题.逆命题为：如果两个数的和为 零，那么它们互为相反数.逆命题是真命题. (4)原命题是假命题.逆命题为：如果a＞0，b＜0， 那么ab＜0.逆命题是真命题. 巩固练习 (2)命题:“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的条件是　对角线互相平分的四边形　，结论是　这个四边形是平行四边形　.以上两个命题如果说“平行四边形的对角线互相平分”为　原命题　，则“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为　逆命题　.我们说(1)、(2)两个命题叫做　互逆命题　.  如果一个四边形的对角线互相平分　 原命题　 逆命题　 互逆命题　 2.(1)命题:“平行四边形的对角线互相平分”的条件是　一个四边形是平行四边形　，结论　它的对角线互相平分　.  是平行四边形　 那么它的对角线互相平分　 如果一个四边形　 那么这个四边形是平行四边形 巩固练习 3.判断下面两个定理是否有逆定理，若有，请写出它的逆定理，若没有，说明理由． (1)在一个三角形中，等角对等边. (2)四边形的内角和等于360°. 解：(1)有逆定理，它的逆定理为：在一个三角形中，等边对等角． (2)有逆定理，它的逆定理为：内角和等于360°的多边形是四边形． 巩固练习 4．命题“同角的补角相等”的条件是____________________， 结论是___________；它的逆命题_________________________. 5．命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为 _______________________________. 6．写出定理“两直线平行，同位角相等”的逆定理是 ____________________. 那么这两个角相等　 如果两个角是同一个角的补角　 相等的两个角是同一个角的补角　 如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0 同位角相等，两直线平行　 12.4 逆命题与逆定理 第十二章 全等三角形 12.4.2线段垂直平分线 学习目标 1.掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理,能灵活运 用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解题. 2.通过经历线段垂直平分线性质定理与判定定理的证明 过程,体验逻辑推理的数学方法. 3.通过认识上的升华,使学生加深对命题证明的认识,使学 生发现数学. 复习旧知 1.什么叫线段的垂直平分线？ 经过线段的中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（简称中垂线）. 2.线段垂直平分线尺规作图的步骤: 第一步：分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为 半径作圆弧，两弧相交于点C和点D； 第二步：作直线CD. 探究新知 1、作线段AB的中垂线MN，垂足为C； 做一做 2、在MN上任取一点P，连接PA、PB； 3、量一量：PA、PB的长，你能发现什么？ M N P A C B PA=PB 由此你能猜想出什么规律: 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 猜 想 探究新知 验 证 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等. 已知:如图,AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点. 求证:PA=PB. 证明：∵MN⊥AB ， ∴ ∠ PCA= ∠ PCB=90º. 在 ΔPAC和Δ PBC中， ∵　AC=BC ，∠ PCA= ∠ PCB，PC=PC， ∴ ΔPAC ≌Δ PBC（SAS). ∴PA=PB. A C B P M N 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理： M N P A C B 几何语言叙述: ∵点P在线段AB的垂直平分线上（或PC⊥AB， AC=BC）， ∴PA=PB. 归 纳 探究新知 这一定理描述了线段垂直平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？ 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ t条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在线段的垂直平分线上 这个点到线段两端的距离相等 一个点到线段两端的距离相等 这个点在线段的垂直平分线上 想想看，这个逆命题是不是一个真命题？你能证明吗？ 探究新知 探 索 证明：过点Q作MN⊥AB，垂足为C， 则有∠QCA=∠QCB=90°. 在Rt△QCA 和Rt△QCB中， ∵QA=QB，QC=QC， ∴Rt△QCA≌Rt△QCB（H.L.）. ∴AC=BC. ∴点Q在线段AB的垂直平分线上． 已知：如图，QA＝QB. 求证：点Q在线段AB的垂直平分线上． 探究新知 验 证 线段垂直平分线的判定 几何语言: ∵　PA =PB， ∴　点P 在AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的判定定理与性质定理互为逆定理. 归 纳 探究新知 发现：三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 怎样证明这个结论呢? 探究新知 试一试 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线，做完之后，你发现了什么？ 思 考 证明：连接PA，PB，PC. ∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC （线段垂直平分线上 的点到线段两端距离相等）. ∴PB=PC. ∴点P在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）. B C A P l n m 探究新知 三角形三边的垂直平分线交于一点．这一点到三角形三个顶点的距离相等． 结 论 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 6. 在△ABC,PM,QN分别垂直平分AB,AC，则: (1)若BC=10cm则△APQ的周长为多少cm？(2)若∠BAC=100°则∠PAQ为多少 度？ （1）10cm (2) 20° 7.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB平分∠CAD. 求证:AD∥BC. 证明:标记∠1，∠2，∠3，如解图所示. ∵线段CD垂直平分AB(已知)， ∴ CA=CB(线段垂直平分线的 性质定理). ∴ ∠ 1= ∠ 3(等边对等角). 又∵ AB平分∠CAD(已知)， ∴ ∠ 1=∠ 2(角平分线的定义). ∴∠ 2=∠ 3(等量代换). ∴ AD ∥BC(内错角相等,两直线平行). 1 2 3 12.4 逆命题与逆定理 第十二章 全等三角形 12.4.3 角平分线 学习目标 1.掌握角平分线的性质定理和判定定理,能灵活运用角平分线 的性质定理和判定定理解题. 2.让学生通过自主探索,运用逻辑推理的方法证明关于角平分 线的重要结论,并体会感性认识与理性认识之间的联系与区 别. 3.通过认识的升华,使学生进一步理解数学,也使学生关注数 学、热爱数学. 回顾作已知角的角平分线: 如图，已知∠AOB，试按下列步骤用直尺和圆规准确地作出∠AOB的平分线. A O B C D E 步骤： 1.在射线OA和OB上，分别截取OD，OE，使OD=OE 2.分别以点D，E为圆心，适当长度（大于线段DE长的 一半）为半径作圆弧，在∠AOB内，两弧交于点C 3.作射线OC. 复习旧知 我们已经知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴.如图，OC是∠AOB的角平分线. 点P是射线OC上的任意一点，过点P作PD⊥OB，PE ⊥OA,D、E为垂足，将∠AOB对折，发现PD与PE重合. P A O B C E D 根据对折结果，猜想线段PD与PE的大小关系？ PD=PE 探究新知 做一做 角的平分线上的点到角两边的距离相等 猜 想 已知：OQ平分∠ＡＯＢ，QD⊥OA,QE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：QD＝QE. 证明：∵QD⊥OA,QE⊥OB， ∴∠QEO=∠QDO=90°. ∵OQ平分∠ＡＯＢ， ∴∠EOQ=∠DOQ. 在△EOQ和△DOQ中 ∵∠QEO=∠QDO ∠EOQ=∠DOQ OQ=OQ， ∴△EOQ≌△DOQ（A.A.S.） ∴ QE=QD. 探究新知 验 证 由上面证明，我们得到角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等． 几何语言描述： ∵ OQ平分∠AOB， 且QD⊥OA， QE⊥OB. ∴ QD= QE. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 探究新知 归 纳 定理的作用：证明线段相等. 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？ 角平分线的性质定理，条件和结论反过来会有什么结果呢？ 探究新知 探 索 B A D O P E 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 探究新知 证明：过点O，P作射线OP. ∵ PD⊥OA, PE⊥OB ， ∴ ∠PDO= ∠PEO = 90°. 在 Rt△PDO和 Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt △PDO≌ Rt △PEO (H. L.). ∴ ∠DOP= ∠EOP(全等三角形的对应角相等). ∴点Q在∠AOB的平分线上. 由上面证明，我们得到角平分线的判定定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 几何语言描述： ∵ QD⊥OA， QE⊥OB. QD= QE 应用所具备的条件： 探究新知 归 纳 定理的作用：判断点在角平分线上. ∴ OQ平分∠AOB （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边距离相等. 要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ AP是∠BAC的平分线 BP是∠ABC的平分线 PI=PH PG=PI PH=PG 点P在∠BCA的平分线上 A B C P F H E I G 探究新知 证明：过点P作PI⊥AB，PG⊥BC， PH⊥AC, 垂足分别为I、G、H. ∵BE是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知）, ∴PI=PG（角平分线上的点到角两边的距离相等）. 同理 PG=PH. ∴ PI=PH（等量代换）. ∴ 点P在∠A的平分线上. 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P. 求证：点P在∠A的平分线上. A B C P G I H E F 探究新知 巩固练习 1.如图, △ABC中, ∠C=90°, DE⊥AB, ∠CBE=∠ABE, 且AC=6cm, 那么线段BE是∠ABC的　 ，AE+DE= . A B E D 角平分线 6cm 2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=8cm,BD=5cm,那么点D到直线AB的距离是____cm. 3 C 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF. 证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，∠C＝90°， ∴DE＝DC. 在△BDE和△FDC中， ED＝CD， ∠DEB=∠C， BE＝FC， ∴△BDE≌△FDC（S.A.S.）. ∴BD＝DF. 巩固练习 　4.已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，F在AC上, BD=DF.求证：CF=EB. 证明：∵AD平分∠CAB, 　　DE⊥AB，∠C＝90°（已知）, ∴　CD＝DE (角平分线的性质). 在Rt△CDF和Rt△EDB中, 　　 CD=ED（已证）, DF=DB （已知）, ∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (H.L). ∴ CF=EB（全等三角形的对应边相等）. C F A E D B 巩固练习 巩固练习 5.如图，已知CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，CD，BE相交于点O. (1)若OC=OB，求证：点O在∠BAC的平分线上. (2)若点O在∠BAC的平分线上，求证：OC=OB. 巩固练习 2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D.若∠A=40°，则∠DBC=______________. 30° 1.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，直线DE垂直平分BC，垂足为E，交AC于点D，则△ABD的周长是_____. 12 4.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，EF垂直平分 AB，交AB于点E，交BC于点F.G是线段EF上的一动点，若 △ABC的面积是6cm2，BC=6cm，则△ADG的周长最小为___cm. 5 40° 3.如图，点P为△ABC三边垂直平分线的交点，若∠PAC=30°， ∠PCB=20°，则∠PAB的度数为_______. 证明：(1)如图，连接AO. ∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠OEC=∠ODB=90°. 在△OEC和△ODB中， ∴△OEC≌△ODB(AAS).∴OE=OD. ∴点O在∠BAC的平分线上. (2)∵BE⊥AC，CD⊥AB，点O在∠BAC的平分线上， ∴OE=OD. 在△OEC和△ODB中， ∴△OEC≌△ODB(ASA).∴OC=OB. $