第12章 全等三角形 章末复 课件- 2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

华东师大版（2024）版数学8年级上册 第12章 全等三角形 章末复习 考点1 命题、定义和定理 1. 下列句子中，是定义的是( ) A. 在正数前面加上符号“-”的数是负数 B. , 两条直线平行吗 C. 画一个角等于已知角 D. 过一点画已知直线的垂线 √ 返回 2 2. 下列语句中属于定理的是( ) A. 在直线上任取一点 B. 如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C. 对顶角相等 D. 直线和 垂直吗 3. 对于命题“若，则 ”，小明想举一个反例说明 它是一个假命题，则符合要求的反例可以是( ) A. ， B. ， C. ， D. ， √ √ 返回 # 第12章 全等三角形 章末复习（幻灯片分页内容） ## 第1页：复习导入——构建知识体系 - 本章核心：全等三角形的判定与性质，是几何证明和计算的基础，贯穿后续几何学习（如等腰三角形、四边形）。 - 知识脉络：全等三角形的定义→性质→判定方法→实际应用（证明线段相等、角相等）。 - 复习目标：熟练掌握全等三角形的5种判定方法和2个核心性质，能准确识别全等三角形的对应关系，灵活解决几何证明与计算问题。 ## 第2页：核心知识点1——全等三角形的定义与性质 ### 1. 定义 - 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角。 - 表示方法：用“≌”表示，如△ABC≌△DEF（对应顶点顺序要一致）。 ### 2. 核心性质 - （1）对应边相等：若△ABC≌△DEF，则AB=DE，BC=EF，AC=DF； - （2）对应角相等：若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F； - （3）延伸性质：对应边上的高、中线、角平分线相等；周长相等，面积相等。 ### 3. 对应关系识别技巧 - （1）公共边、公共角必为对应边、对应角； - （2）对顶角必为对应角； - （3）最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角； - （4）通过全等符号顺序直接确定（如△ABC≌△DEF中，A↔D，B↔E，C↔F）。 ## 第3页：核心知识点2——全等三角形的判定方法（重点） ### 1. 五种判定方法 | 判定方法 | 文字表述 | 符号表示（以△ABC和△DEF为例） | 适用条件 | |----------|----------|--------------------------------|----------| | SSS（边边边） | 三边分别相等的两个三角形全等 | AB=DE，BC=EF，AC=DF → △ABC≌△DEF | 任意三角形 | | SAS（边角边） | 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 | AB=DE，∠B=∠E，BC=EF → △ABC≌△DEF | 夹角是两边的公共角，不可为对角 | | ASA（角边角） | 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 | ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E → △ABC≌△DEF | 夹边是两角的公共边 | | AAS（角角边） | 两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等 | ∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF → △ABC≌△DEF | 对边是其中一个角的对边 | | HL（斜边直角边） | 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 | ∠C=∠F=90°，AB=DE（斜边），BC=EF（直角边） → △ABC≌△DEF | 仅适用于直角三角形 | ### 2. 判定易错提醒 - （1）SSA不能判定全等（两边和其中一边的对角相等，三角形形状不唯一）； - （2）AAA不能判定全等（三角相等仅能说明相似，边长可能不同）； - （3）直角三角形判定优先考虑HL，也可使用SSS、SAS、ASA、AAS。 ## 第4页：核心知识点3——全等三角形的应用（证明与计算） ### 1. 核心应用场景 - （1）证明线段相等：通过全等三角形的对应边相等推导（如证明AB=CD，可证△ABC≌△DCB，得AB=CD）； - （2）证明角相等：通过全等三角形的对应角相等推导（如证明∠A=∠D，可证△ABC≌△DEF，得∠A=∠D）； - （3）证明线段平行：先证角相等（同位角、内错角），再推平行； - （4）计算线段长度或角的度数：利用全等转化未知边/角为已知边/角。 ### 2. 几何证明的一般步骤 - （1）审题：明确已知条件和求证结论； - （2）找全等：分析已知条件，确定要证明的全等三角形； - （3）证全等：根据判定方法，补充所需条件（如挖掘公共边、对顶角、等式性质推导边/角相等）； - （4）得结论：由全等三角形的性质推出求证的边/角关系。 ## 第5页：易错点辨析——避开常见误区 1. 对应关系错误：如将△ABC的边AB对应△DEF的边DF，导致判定条件不成立； 纠正：严格按照对应顶点顺序找对应边、对应角，或通过“最长边对最长边”等技巧确定对应关系。 2. 误用SSA或AAA判定全等：如认为“两边和其中一边的对角相等”就能证全等； 纠正：牢记只有SSS、SAS、ASA、AAS、HL五种判定方法，SSA和AAA无效。 3. 忽略隐含条件：如未发现公共边、公共角、对顶角等，导致无法补充判定条件； 纠正：审题时标记图形中的公共边、公共角、对顶角，灵活运用等式性质（如等式加/减得到边/角相等）。 4. 证明过程不严谨：如未说明三角形全等的条件，直接得出对应边/角相等； 纠正：按“已知→推导条件→判定全等→得出结论”的逻辑书写，步骤完整。 ## 第6页：典例精析——分层突破 ### 1. 基础题（直接判定与性质应用） - 例1：如图，AB=CD，AD=BC，求证∠A=∠C。 证明：在△ABD和△CDB中， $\begin{cases} AB=CD（已知） \\ AD=BC（已知） \\ BD=DB（公共边） \end{cases}$ ∴△ABD≌△CDB（SSS），∴∠A=∠C（全等三角形对应角相等）。 - 例2：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BD=2，AC=3，求BC的长。 解：过D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠BAC，∠C=90°，∴DE=CD（角平分线性质）； 在Rt△ACD和Rt△AED中，$\begin{cases} AD=AD（公共边） \\ CD=DE（已证） \end{cases}$，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）； ∴AE=AC=3（全等三角形对应边相等）；设CD=x，则DE=x，BC=BD+CD=2+x； （后续可结合勾股定理求解，此处核心体现全等转化）。 ### 2. 进阶题（综合判定与多步证明） - 例3：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E，求证BC=ED。 证明：∵∠1=∠2（已知），∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠EAD（等式性质）； 在△ABC和△AED中， $\begin{cases} ∠BAC=∠EAD（已证） \\ AB=AE（已知） \\ ∠B=∠E（已知） \end{cases}$ ∴△ABC≌△AED（ASA），∴BC=ED（全等三角形对应边相等）。 - 例4：如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证BD=CE。 证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠ADB=∠AEC=90°； 在△ADB和△AEC中， $\begin{cases} ∠ADB=∠AEC（已证） \\ ∠A=∠A（公共角） \\ AB=AC（已知） \end{cases}$ ∴△ADB≌△AEC（AAS），∴BD=CE（全等三角形对应边相等）。 ## 第7页：课堂练习——分层巩固 ### 基础题（夯实基础） 1. 下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ） A. AB=DE，BC=EF，AC=DF B. ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E C. AB=DE，BC=EF，∠A=∠D D. ∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF 答案：C（SSA无效） 2. 如图，△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=70°，则∠F=______°，DE=______（用图中线段表示）。 答案：60°，AB（对应角和对应边） 3. 求证：全等三角形对应边上的中线相等（提示：先证含中线的两个小三角形全等）。 ### 提高题（能力提升） 1. 如图，已知AB=CD，∠ABC=∠DCB，求证AC=BD。 （提示：证△ABC≌△DCB，用SAS判定） 2. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数。 （提示：先求∠BAC，再求∠BAE，结合直角三角形性质求∠BAD，进而得∠DAE） ## 第8页：课堂小结与课后作业 ### 课堂小结 1. 两大核心：全等三角形的“性质”（对应边、对应角相等）和“判定”（五种方法）； 2. 三个关键：找准对应关系、挖掘隐含条件、规范证明步骤； 3. 一个思想：转化思想（将未知边/角转化为已知边/角，将复杂问题转化为全等问题）。 ### 课后作业 1. 如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB∥DE，∠A=∠D，求证AB=DE。 2. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=AC，AD平分∠BAC，交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=10，求△BDE的周长。 3. 思考：如何利用全等三角形证明“角平分线的性质”（角平分线上的点到角两边的距离相等）？ 3 （第4题） 4.如图，点，分别在线段， 上，连 结，， .现有以下三个论断： ；； .如果 以其中两个论断为条件，另一个论断为结论 构造命题，能够构成___个真命题. 3 4 （第4题） 【点拨】以①②为条件，③为结论能够构成 真命题，理由如下： ， .又 ， ，， ；以 ①③为条件，②为结论能够构成真命题，理 由如下：， ， ，， ；以②③为条件，① 5 为结论能够构成真命题，理由如下： ， ， ， ， . 综上，以其中两个论断为条件，另一个论断 为结论构造命题，能够构成3个真命题. （第4题） 返回 考点2 全等三角形的判定与性质 5. 如图，，， ，且 ， ，则 ( ) （第5题） A. B. C. D. √ 返回 7 6. 如图，与交于点,在 与 中， ,请添加一个条件：__________________ ______,使得 . （答案不唯一） 返回 8 7.［2025北京西城区期中］给出如下定义：两条线段相交于 一点（交点不与端点重合），连结不同线段的两个端点，再 连结另两个端点，所得图形称为“8字形”.如图①，线段 与 交于点,连结和 ,所得图形即为“8字形”. 9 （1）下列四个图形中，含有“8字形”的有___个. 2 （2）如图②,与交于点,连结和,和 的延长 线交于点,满足 , . 10 ①当 时，判断与 的数量关系，并证明； 【解】 ，证明如下： ， ， ， . ， . 在和中， ， . 11 ②如图③,当 时，求证： . 【证明】如图，在 上截取 ，连结 ， ， ， 在和 中， . 12 ， ， ， ， ， . 返回 考点3 等腰三角形的性质与判定 （第8题） 8. 如图，，分别是 的中线 和角平分线，若 ， ，则 的度数是 ( ) A. B. C. D. √ 14 （第8题） 【点拨】是 的中线， ， ， 是的角平分线， ， . ， . 返回 15 9.如图，为等边三角形， 为等腰直角三角形， ，则直线与直线相交所构成的锐角为____ . 15 （第9题） 16 【点拨】延长与交于点 ，如图所示. 为等边三角形， . 17 为等腰直角三角形，， ， ， ， 即直线与直线相交所构成的锐角为 . 返回 10.在中，， 是边的中点，, 分别是 , 边上的点. （1）如图①,连结, ,若 ,求证： ； 19 【证明】连结,如图①.,是 边 的中点，， 垂 直平分, , ,即 . , , , . 20 （2）如图②,若,, 在一条直线上，且 ，探究与 之间的数量关系，并说 明理由. 21 【解】 .理由如下： 连结,如图②.易得 . 22 , ， 和 都是等腰直角三角形， ， . 在和中， , . 易知, . 返回 考点4 线段垂直平分线的性质与判定 11. 如图，， ，则有( ) A. 平分 B. 垂直平分 C. 与 互相垂直平分 D. 垂直平分 √ 返回 24 12.如图，在中， ，点是 上的一点， ，的垂直平分线分别交，于点，，则 ______. 返回 25 13.［2025合肥庐阳区期中］如图，在 中，是的垂直平分线，与边 交于点，点在上，且 ，连结 . （1）求证： ； 【证明】是的垂直平分线，点在 上， .又，， . 26 （2）连结，若，求证： . 27 ， ， ， . ， .又 ， ，即 . 是的垂直平分线， ， ， ， . 返回 28 考点5 角平分线的性质与判定 （第14题） 14. ［2025福州仓山区期中］如图， 平分，于点，点在 上，于点，若 ， ，，则 的长为( ) A. 4.5 B. 5 C. 7 D. √ 29 【点拨】如图，作于 平分 ，解得 . ，，， ， 返回 30 15.［2025盐城期中］如图，是的平分线， 于，的面积是，， ， 则___ . 5 （第15题） 31 【点拨】如图，过作交 的延长 线于 . 是的平分线， ， . 的面积是，， ， ， ， 解得 . 返回 32 16.如图，小颖同学想画 的平分线， 可忘了带量角器和圆规，只有一个带刻度 的直角三角尺，于是她做了如下操作：在 ，边上量取 ，分别 过点，点作，， 与 交于点，作射线，则射线就是 的平分线.请 判断小颖的做法是否可行？并说明理由. 33 【解】小颖的做法可行，理由如下： ， ， . 在和中， ，， . 又，，即 . 34 在和中， . 又，，是 的 平分线. 返回 思想1 方程思想 （第17题） 17. ［2025广州越秀区期中］如图，在 中，， ， 且，则 的度数是( ) A. B. C. D. √ 36 （第17题） 【点拨】设.因为 ， 所以可设 ，则 .又因为 ，所以 ， 所以 . 又因为，所以 ，解得 ，所以的度数是 . 返回 37 18.［2024内江］如图，在中， ， ，，则 的度数为______. （第18题） 38 （第18题） 【点拨】，， 可设 ， ， ， . ， ， 39 ， ， ， .又 ， . （第18题） 返回 思想2 转化思想 19. 如图， 的面积为36， ，点为 边上一点，过点 分别作于，于 ，若 ，则 的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 √ 41 【点拨】如图，连结 的面积 为36， 的面积的面积 的面积 ， ，， ， ，， . 返回 42 20.［2025宿迁期中］如图，等边三角形纸 片的边长为，点， 分别在 ，上，将沿直线折叠，点 落在点处，且点在 的外部，则图 中三个阴影部分的周长之和为___ . 6 返回 43 思想3 分类讨论思想 21.在中，，的垂直平分线与 所在直线 相交所得的锐角为 ，则底角 __________. 或 44 【点拨】如图①，当 的垂直 平分线与线段 相交时，则可得 ， ， . ， ； 45 如图②，当 的垂直平分线与 线段 的延长线相交时，则可得 ， ， ， . ， . 综上，的度数为 或 . 返回 22.如图，， ， .点沿线段 由点 向点运动，点沿线段由点向点 运动，， 两点同时出发，它们的运动 时间记为.已知点的运动速度是，如果顶点是 ， ，的三角形与顶点是，，的三角形全等，那么点 的 运动速度是多少? 47 【解】设点的运动速度是 . ， 顶点是 ， ，的三角形与顶点是，， 的三角 形全等时，有两种情况： ， ，，解得 . ，解得；，， ， 解得.综上，点的运动速度为或 . 返回 48 ［时间：60分钟 分值：100分］ 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 下列命题中是定理的是( ) C A. 两点确定一条直线 B. 两直线平行，同位角相等 C. 直角三角形的两个锐角互余 D. 两点之间，线段最短 返回 49 （第2题） 2. 如图，在中， ， ，分别以点， 为圆心， 大于 的长为半径画弧，过两弧的 交点作直线，交于点，连结 ， 则 的度数是( ) C A. B. C. D. 返回 50 （第3题） 3. 如图，在中， ， ，，分别平分 ， ，，则 ( ) D A. 3 B. 11 C. 7 D. 8 返回 51 （第4题） 4. ［2025北京西城区月考］如图所示的正 方形网格中，网格线的交点称为格点.已知 线段是等腰三角形的一边， 的三个顶点都在正方形网格的格点上，则 这样的等腰三角形的个数为( ) D A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 返回 52 （第5题） 5. 如图，在中， 平分 ，于点，连结 ，已 知 的面积为5，则阴影部分的面 积为( ) C A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2 53 【点拨】如图，延长交于 ， 平分 ， ， .在 与 中， ，， ， 54 ， . . 的面积为5， 阴影部分的面 积 . 返回 （第6题） 6. 如图，的平分线与 的垂直平分线 交于点，于点，若 ， ，则 的长为( ) D A. 1 B. 3 C. D. 9 56 【点拨】如图，连结，，过点 作 于点 ， 垂直平分， . 平分，， ， ， .在 和中， 57 ， ， . 在和中， ， ， . 返回 （第7题） 7. .如图，在中， ，过 点作于点，过点作 于点，连结，过点作 ， 交于点，与交于点 .下列结 论：； ； ； .其中 正确的结论有( ) D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 59 （第7题） 【点拨】于点， 于 点 ， ， ，故①正 确；， ， ， ， 60 ， ，在 和 中， ， ， 故②正确； ， ， ， ， （第7题） 故③正确；， ， ， ， ， ， 在和 中， ， ，故④正确. （第7题） 返回 （第8题） 8. 如图， 的 两条高与交于点， ， .点在射线上，且 ， 动点从点出发，沿线段 以每秒1 个单位长度的速度向终点 运动，同时 动点从点出发，沿射线 以每秒3 63 个单位长度的速度运动，当点 到达点 时，， 两点同时停止运动，设运 动时间为秒，当与 全等 时， 的值为( ) A. B. C. 或 D. 或 D （第8题） 【点拨】的两条高与交于点 ， ， . ，，当点在点 右侧，点在边上时，如图①，， ，则 ， ，， 当时，，即，解得 ； 65 当点在点左侧，点在边 的延长线上时，如图②， ，，则，易知 ， ， 当时，，即 ， 解得.综上所述，的值为或 . 返回 二、填空题（每小题5分，共20分） 9.［2024宿迁］命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是 ________________________. 同位角相等，两直线平行 （第10题） 10.如图，是等边三角形，点 在 内，，将绕点 逆时 针旋转得到，则 的长等于___. 4 返回 67 （第11题） 11.如图，在 中， ，是 的一条角 平分线，点在上，过 作 于，于 ，且 ，若， ， ，则 的长为___. 2 68 【点拨】如图所示，连结 ，作 于是 的一条角 平分线，点在上， ， ， ， ， ， 69 ， ，， . 返回 谢谢观看！ $