第12章 全等三角形【章末复习】（培优课件）-2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了全等三角形的四大核心模块，包括命题与证明、全等判定、等腰三角形性质与判定、线段垂直平分线与角平分线，通过知识框架图将各模块知识点串联，构建逻辑清晰的几何知识网络。 其亮点在于聚焦高频易错点与分层训练，如通过“SSA不能判定全等”等易错辨析强化推理意识，设计从基础证明到实际测量应用的练习题，培养几何直观与应用意识。综合测试卷及解析帮助学生巩固知识，教师可精准把握学情，提升复习效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月11日 章末复习 第12章 全等三角形 第12章 全等三角形 全章复习（知识点+综合测试卷） 本章为八年级上册几何核心重点，主要包含命题与证明、全等三角形判定、等腰三角形性质与判定、线段垂直平分线与角平分线四大模块，是几何逻辑推理、规范证明书写的基础，也是期中、期末必考重难点。以下汇总全章必背知识点、高频易错点、配套综合测试卷及完整解析。 一、12.1 命题、定理与证明 1. 命题 判断一件事情的语句叫做命题。命题分为真命题和假命题。疑问句、命令句、作图语句都不是命题。 命题结构：由题设（条件）和结论组成，可统一改写为“如果……那么……”形式。 假命题只需举出一个反例即可推翻。 2. 定理与基本事实 基本事实（公理）：长期实践总结，无需证明，直接作为推理依据。 定理：经过严格推理证明得到的真命题，可作为后续推理依据。 证明：根据已知、定义、基本事实、定理，逐步推理判断命题真假的过程，每一步必须有依据。 3. 互逆命题与互逆定理 将一个命题的题设和结论互换，得到它的逆命题，所有命题都有逆命题。 若一个定理的逆命题为真命题，则它也是定理，二者为互逆定理；定理不一定有逆定理。 核心规律：原命题为真，逆命题不一定为真。 二、12.2 全等三角形的判定 1. 全等三角形基础 能够完全重合的两个三角形全等，性质：对应边相等、对应角相等。 1个条件、2个条件均无法判定三角形全等，判定至少需要三组对应条件。 2. 五大判定定理（必考） SSS（边边边）：三边对应相等→全等，无需角度条件，对应三角形稳定性。 SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等→全等。易错：SSA不能判定全等。 ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等→全等，边必须在两角中间。 AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等→全等。 HL（斜边直角边）：仅直角三角形可用，斜边+一条直角边对应相等→全等。 三、12.3 等腰三角形 1. 等腰三角形性质 等边对等角：等腰三角形两底角相等。 三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（仅针对底边和顶角）。 等腰三角形是轴对称图形，有1条对称轴。 2. 等腰三角形判定 等角对等边：三角形中两个角相等，则对应对边相等，三角形为等腰三角形。 推论：含60°的等腰三角形为等边三角形。 四、12.4 线段垂直平分线与角平分线 1. 线段垂直平分线（互逆定理） 性质：垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等。 判定：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。 2. 角平分线（互逆定理） 性质：角平分线上的点，到角两边的垂直距离相等。 判定：到角两边垂直距离相等的点，在角的平分线上。 核心易错：使用定理必须具备垂直条件，无垂直不可用！ 三角形三条角平分线交于一点（内心），到三边距离相等。 五、全章高频易错点汇总 1. 混淆ASA与AAS，错把对边当夹边； 2. 误用SSA判定普通三角形全等，误用HL判定非直角三角形； 3. 等腰三角形角度计算忘记分类讨论（顶角、底角）； 4. 三线合一乱用在腰上，仅适用于底边； 5. 角平分线、垂直平分线定理使用缺少垂直条件，推理依据缺失； 6. 混淆性质与判定：性质是“已知图形得边角关系”，判定是“已知边角关系得图形”。 六、第12章 综合测试卷（满分100分） 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 命题“对顶角相等”的题设是________，结论是________。 2. 全等三角形判定中，专属直角三角形的方法是________。 3. 等腰三角形顶角为70°，底角为________°。 4. 线段垂直平分线上的点到线段________距离相等。 5. 角平分线定理使用的前提是存在________条件。 6. “等边对等角”的逆命题是________。 7. 三角形内心是三条________的交点。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列属于命题的是（） A. 延长线段AB B. 两直线平行，同位角相等 C. 是吗？ D. 画图 2. 不能判定三角形全等的是（） A. SSS B. SSA C. ASA D. HL 3. 等腰三角形一内角为90°，则该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 4. 点P在∠AOB平分线上，PA⊥OA，PA=4，则PB=（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 不确定 5. 下列说法正确的是（） A. 所有定理都有逆定理 B. 全等三角形对应边相等 C. 两角相等三角形一定全等 D. 三线合一适用于任意三角形 三、解答题（共50分） 1.（12分）写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题，并判断真假。 2.（12分）已知：AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABD≌△ACE。 3.（12分）已知：直线l垂直平分AB，点P在l上，求证：PA=PB。 4.（14分）已知：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，求证：PD=PE。 七、参考答案与解析 填空题答案 1. 两个角是对顶角、这两个角相等；2. HL；3. 55；4. 两端点；5. 垂直；6. 等角对等边；7. 角平分线 选择题答案 1.B 2.B 3.B 4.B 5.B 解答题解析 1. 逆命题：内错角相等，两直线平行。真命题，是平行线判定定理。 2. 证明：在△ABD和△ACE中，∠A=∠A（公共角），AB=AC，∠B=∠C，∴△ABD≌△ACE（ASA）。 3. 证明：∵直线l垂直平分AB，∴AO=BO，∠POA=∠POB=90°。又PO=PO，∴△POA≌△POB（SAS），∴PA=PB。 4. 证明：∵OC平分∠AOB，∴∠POD=∠POE。∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°。又OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS），∴PD=PE。 全章总结：本章核心是全等判定+几何推理，所有证明需做到：条件对应、定理准确、依据完整、步骤规范，熟练区分性质与判定，规避几何高频易错点，是后续几何学习的核心基础。 学习目标 1.会叙述角平分线的性质及判定；（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理 证明意识和能力． 学习目标 1．命题 表示判断的语句叫做　 　. 注意两点“判断”和“语句”．所谓判断就是要作出肯定或否定的回答，一般形式：“如果……，那么……”“若……，则……”“……是……”等，但是，如“连结 A、B 两点”就不是命题；所谓语句，要求完整，且是陈述句，不是疑问句、祈使句等，如“如果两直线平行”叙述不完整，也不是命题． 命题 2．命题的组成 许多命题都是由　 　和　 　两部分组成的． 条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题一般写成“如果……，那么……”的形式，用 “如果”开始的部分是条件，“那么”开始的部分是结论． 条件 结论 3．命题的真假 命题有真有假，其中正确的命题叫做　 　；错误的命题叫做　 　. 事实上，要说明一个命题是假命题，通常可以举出一个例子，使之具有命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例．要说明一个命题是真命题需根据基本事实和定理证明． 真命题 假命题 4．基本事实与定理 经过长期的实践总结出来，并把它们作为判断其他的命题真假的原始依据，这样的真命题叫做　 　. 从基本事实或其他真命题出发，用逻辑推理的方法判断它们是正确的，并可以作为进一步判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做　 　. 基本事实 定理 5．判定三角形全等 (1)全等三角形的定义：三边对应相等，三角对应相等的两个三角形全等；(2)三边对应相等的两个三角形　 　(简记为：SSS)；(3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简记为：ASA)； (4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(简记为：AAS)；(5)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简记为：SAS)．若是直角三角形，还有一种方法：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(简记为：HL)． 6．证全等三角形的思路 SSS SAS HL AAS SAS ASA AAS ASA AAS 7．全等三角形的性质 (1) 全等三角形的对应边相等，对应角相等； (2) 全等三角形的面积相等，周长相等； (3) 全等三角形的对应线段(高线、中线、角平分线)相等． 8．等腰三角形的性质和判定 (1) 性质：等腰三角形的两底角相等，简写成“等边对等角”． (2) 等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合. (简称“三线合一”) (3) 判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称“等角对等边”，它的逆定理应该是“等边对等角”． 9．等边三角形 (1) 等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于 60°. (2) 三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形． 10．尺规作图 把只能使用　 　这两种工具作几何图形的方法称为尺规作图． 11．常见的基本作图 (1) 作　 　等于已知线段；(2)作一个角等于　 　角；(3) 作已知角的平分线； (4) 过一已知点作已知直线的　 　； (5) 作已知线段的垂直　 　线． 没有刻度的直尺和圆规 一条线段 已知 垂线 平分 11．互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的　 　，而第一个命题的结论是第二个命题的　 　 ，那么这两个命题叫做互逆命题． 12．逆命题 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成　 　 ，并将结论改成　 　，便可以得到原命题的逆命题． 结论 条件 结论 条件 [注意] 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成结论，并将结论改成条件，便可以得到原命题的逆命题．但原命题正确，它的逆命题未必正确．如对于真命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，此命题就是一个假命题． 13．逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 　定理． [注意] 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理．如“对顶角相等”就没有逆定理． 逆 14．垂直平分线 线段垂直平分线上的点到　 　 . 它的逆定理是： 到线段两端点的距离相等的点在这条线段的　 . [注意] 前面是线段垂直平分线的性质，后面是线段垂直平分线的判定． 垂直平分线上 线段两端点的距离相等　 15．角的平分线 角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 它的逆定理是： 到角的两边距离相等的点在　 　. [注意] 前面是角平分线的性质，后面是角平分线的判定． 角的平分线上 复习题 A组 1. 判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出反例说明： （1）两直线平行，同旁内角互补； （2）同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； （3）相等的角是内错角； （4）有一个角是60°的三角形是等边三角形； （5）若a、b、c都是有理数，且a>b，则ac>bc. 真命题 真命题 假命题，反例：对顶角相等. 假命题，反例：60°、80°、40°的三角形. 假命题，反例：a=2，b=1，c=0，此时ac=bc. 随堂练习 2．判断题（对的在括号内填“√”，错的在括号内填“×”） （1）每个命题都有逆命题. （ ） （2）每个定理都有逆定理. （ ） （3）真命题的逆命题都是真命题. （ ） （4）假命题的逆命题都是假命题. （ ） √ × × × 随堂练习 3.如图，AB=DE，AC∥DF，BC∥EF. 求证：△ABC≌△DEF. A B D E F C 证明：∵AC// DF，BC // EF， ∴∠A=∠EDF，∠ABC=∠E(两直线平行，同位角相等). 又∵AB=DE， ∴△ABC≌DEF(ASA). 随堂练习 4.如图，AE=DB，BC=EF，BC∥EF. 求证：△ABC≌△DEF. 证明：∵BC// EF， ∴∠ABC=∠DEF (两直线平行，内错角相等). ∵AE=DB， ∴AE+BE=DB+BE(等式的性质)，即AB=DE. 又∵BC=EF， ∴△ABC≌△DEF(SAS). 随堂练习 5.如图，AC=BD，BC=AD. 求证：△ABC≌△BAD. 证明：在△ABC和△BAD中， ∵AC=BD，BC=AD，AB=BA， ∴△ABC≌△BAD(SSS). 随堂练习 6.如图，∠1=∠2，∠B=∠D. 求证：△ABC≌△ADC. 证明：∵∠1=∠2， ∴∠ACB=∠ACD(等角的补角相等). 又∵∠B=∠D，AC=AC， ∴△ABC≌△ADC(AAS). 随堂练习 7.如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC，AD的延长线交BC于点E. 求证：∠BAE=∠CAE，BE=CE. 证明：在△ABD和△ACD中， ∵AB=AC，DB=DC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD(SSS)， ∴∠BAE=∠CAE. 又∵AB=AC，∴BE=CE. 随堂练习 8.如图，在△ABC中，∠BDA=∠CEA，AE=AD. 求证：AB=AC. 证明：在△ABD和△ACE中， ∵∠A=∠A，AD=AE，∠BDA=∠CEA， ∴△ABD≌△ACE(ASA). ∴AB=AC. 随堂练习 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AD，DE⊥AB. 求证：∠ECD =∠EDC. A B C D E 证明：∵∠ACB=90°， ∴∠ECD=∠ACB−∠ACD =90°−∠ACD. ∵DE⊥AB， ∴∠EDC=∠EDA−∠ADC=90°−∠ADC. ∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC. ∴∠ECD=∠EDC. 随堂练习 10. 如图，要测量河岸相对的两点A、B间的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上，测得的DE的长就是AB的长，为什么？ 随堂练习 解：∵AB⊥BD，ED⊥BD， ∴∠ABC=∠EDC=90°(垂直的定义)． 又∵BC=DC，∠ACB=∠ECD(对顶角相等)， ∴△ABC≌△EDC(ASA)， ∴AB=ED. 即测得的DE的长就是AB的长. 随堂练习 返回 1．下列句子中，是定义的是(　　) A．在正数前面加上符号“－”的数是负数 B．a，b两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 A 考试考法 29 返回 2．下列语句中属于定理的是(　　) A．在直线AB上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线AB和CD垂直吗 C 考试考法 30 返回 3．对于命题“若a2>b2，则a>b”，小明想举一个反例说明它是一个假命题，则符合要求的反例可以是(　　) A．a＝2，b＝1 B．a＝2，b＝－1 C．a＝－1，b＝0 D．a＝－1，b＝－2 C 考试考法 31 返回 4．如图，点A，D分别在线段CE，BF上，连结AB，CD，EF.现有以下三个论断：①AB∥CD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F.如果以其中两个论断为条件，另一个论断为结论构造命题，能够构成________个真命题． 3 考试考法 32 返回 5. 如图，AC与BD交于点O，在△AOB与△COD中，∠A＝∠C，请添加一个条件：____________________，使得△AOB≌△COD. OA＝OC(答案不唯一) 考试考法 33 返回 6．如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD，BE相交于点O，过点O作OF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点G，下列结论：①∠AOB＝135°；②BA＝BF；③△AOG≌△FOD；④BD＋AG＝AB.其中正确的结论有_______________．(填序号) ①②③④ 考试考法 34 7. 如图①，AD与BC交于点E，连结AB和CD，AB和CD的延长线交于点F，满足∠ABC＝∠ADC＝α， AE＝CF. (1)当α＝90°时，判断BE与BF的数量关系，并证明； 考试考法 35 考试考法 7. 如图①，AD与BC交于点E，连结AB和CD，AB和CD的延长线交于点F，满足∠ABC＝∠ADC＝α， AE＝CF. (2)如图②，当90°＜α＜180°时，求证：BE＝BF. 考试考法 37 返回 考试考法 返回 8. 如图所示，点C在线段AB上，△DAC和△EBC均是等边三角形．AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，连结MN.有如下结论：①△ACE≌△DCB，②CM＝CN，③AC＝DN，④MN∥AB，其中，正确的个数是(　　) A．3 B．2 C．1 D．4 A 考试考法 39 返回 9. 如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一点，点M、点N为射线OA、射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN＝________． 80° 考试考法 40 10. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是线段BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，CF平分∠ACE，∠ADF＝60°.求证：AD＝DF. 【证明】如图，过点D作DG∥AC交AB于点G. ∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°. ∵DG∥AC，∴∠BGD＝∠BAC＝60°， ∠BDG＝∠ACB＝60°.∴∠B＝∠BGD＝∠BDG＝60°. ∴△BGD为等边三角形，∴BG＝BD， ∴AB－BG＝BC－BD，即AG＝CD， 考试考法 41 返回 考试考法 11. 已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点． (1)如图①，E，F分别为AB，AC上的点，且BE＝AF，试判断△DEF的形状，并说明理由； 考试考法 43 【解】△DEF为等腰直角三角形．理由： 连结AD.∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD⊥BC. ∴∠B＝∠DAF＝∠BAD，∠ADB＝90°.∴BD＝AD. 又∵BE＝AF，∴△BDE≌△ADF. ∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF. ∴∠EDF＝∠EDA＋∠ADF＝∠EDA＋∠BDE＝∠ADB＝90°.∴△DEF为等腰直角三角形． 考试考法 (2)如图②，若E，F分别为AB的延长线、CA的延长线上的点，且仍有BE＝AF，请判断△DEF是否仍是(1)中的形状，并说明理由． 考试考法 45 【解】△DEF仍是等腰直角三角形．理由：连结AD. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点， ∴∠EAF＝90°，∠ABC＝45°，∠BAD＝45°，AD⊥BC. ∴∠DBE＝135°，∠DAF＝∠BAD＋∠EAF＝135°，∠BAD＝∠ABC，∠ADB＝90°.∴∠DBE＝∠DAF，BD＝AD. 又∵BE＝AF，∴△DBE≌△DAF.∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF. ∴∠EDF＝∠BDE＋∠BDF＝∠ADF＋∠BDF＝∠ADB＝90°.∴△DEF是等腰直角三角形． 返回 考试考法 返回 12．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　) A．CD平分∠ACB B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．AB垂直平分CD D 考试考法 47 返回 13．如图，在△ABC中，∠A＝100°，点D是BC上的一点，BD，CD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，则∠EDF＝____________． 100° 考试考法 48 14. 如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连结AD. (1)求证：∠CAD＝∠ACD； 【证明】∵l是AB的垂直平分线，点D在l上， ∴DA＝DB.又∵DB＝DC，∴DA＝DC，∴∠CAD＝∠ACD. 考试考法 49 返回 14. 如图，在△ABC中，l是AB的垂直平分线，与边AC交于点E，点D在l上，且DB＝DC，连结AD. (2)连结BE，若BD⊥CD，求证：BE⊥AC. 【证明】∵BD⊥CD，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＋∠CBD＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＋∠BAD＋∠ABD＝90°.∵DA＝DB，∴∠ABD＝∠BAD.又∵∠CAD＝∠ACD， ∴∠CAD＋∠BAD＝45°，即∠EAB＝45°. ∵l是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴∠EBA＝∠EAB＝45°，∴∠AEB＝90°，∴BE⊥AC. 考试考法 50 D 考试考法 51 返回 考试考法 返回 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点C作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F.下列结论中一定正确的是(　　) ①∠CED＝∠CDE；②S△AECS△AEG＝ACAG； ③∠ADF＝∠FDB；④CE＝DF. A．①②③④ 　B．①② C．①②③ D．①②④ D 考试考法 53 17. 如图，小颖同学想画∠AOB的平分线，可忘了带量角器和圆规，只有一个带刻度的直角三角尺，于是她做了如下操作：在OA，OB边上量取OC＝OD＝2 cm，分别过点C，D作CF⊥OA，DE⊥OB，CF与DE交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．请判断小颖的做法是否可行，并说明理由． 考试考法 54 考试考法 返回 考试考法 返回 18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，且AE＝AD，则∠EDC的度数是(　　) A．7.5° B．10° C．12.5° D．15° D 【点拨】设∠EDC＝x.因为AB＝AC，所以可设∠B＝∠C＝y，则∠AED＝∠EDC＋∠C＝x＋y.又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x＋y，所以∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝2x＋y.又因为∠ADC＝∠B＋∠BAD，所以2x＋y＝y＋30°，解得x＝15°，所以∠EDC的度数是15°. 考试考法 57 返回 19. 如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，延长BA到点D，使AD＝AO，连结DO，若BD＝BC，∠ABC＝54°，则∠BCA的度数为________． 42° 【点拨】∵△ABC三个内角的平分线交于点O，∴∠ABO＝∠CBO，∠BAO＝∠CAO，∠BCO＝∠ACO.∵AD＝AO，∴∠D＝∠AOD，∴∠BAO＝2∠D.设∠D＝α，则∠BAO＝2α，∠BAC＝4α.易得△DBO≌△CBO，∴∠BCO＝∠D＝α，∴∠BCA＝2α，∴54°＋4α＋2α＝180°，∴α＝21°，∴∠BCA＝42°. 考试考法 58 20. 在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B＝____________． 70°或20° 考试考法 59 返回 考试考法 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(已知两边\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(找夹角SAS,找直角HL,找另一边SSS)),\a\vs4\al(已知一,边一角)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(边为角的对边　找任一角AAS,\a\vs4\al(边为角,的邻边)\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(找夹角的另一边SAS,找夹边的另一角ASA,找边的对角AAS)))),已知两角\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(找夹边ASA,找任一边AAS)))) 【解】BE＝BF，证明如下： ∵∠ABC＝∠ADC＝α＝90°， ∴∠A＋∠AEB＝90°，∠C＋∠CED＝90°，∠CBF＝90°. ∵∠AEB＝∠CED，∴∠A＝∠C. 在△ABE和△CBF中， ∴△ABE≌△CBF(AAS)，∴BE＝BF. 【证明】如图，在CB上截取CG＝AB，连结FG， ∵∠ABC＝∠ADC＝α，∴∠AFC＋∠C＝∠AFC＋∠A， ∴∠C＝∠A.在△ABE和△CGF中， ∴△ABE≌△CGF(SAS)，∴BE＝GF，∠ABE＝∠CGF， ∴∠GBF＝∠BGF，∴BF＝GF，∴BE＝BF. ∵∠ADF＋∠FDC＝∠B＋∠GAD，∠ADF＝∠B＝60°，∴∠GAD＝∠FDC. ∵CF平分∠ACE，∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝∠ACE＝×(180°－60°)＝60°. ∴∠DCF＝∠BCA＋∠ACF＝120°. ∵∠BGD＝60°，∴∠AGD＝120°. ∴∠AGD＝∠DCF.∴△AGD≌△DCF(ASA)． ∴AD＝DF. 15.如图，OP平分∠AOB，PF⊥OA于点F，点D在OB上，DH⊥OP于点H，若OD＝4，OP＝8，PF＝3.5，则DH的长为(　　) A．4.5 B．5 C．7 D. 【点拨】如图，作PN⊥OB于N.∵OP平分∠AOB，PF⊥OA，PN⊥OB，∴PF＝PN＝3.5.∵S△ODP＝OP·DH＝OD·PN，∴×8DH＝×4×3.5，解得DH＝. 【解】小颖的做法可行，理由如下： ∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴∠OCF＝∠ODE＝90°. 在△COF和△DOE中， ∴△COF≌△DOE(ASA)，∴∠OFC＝∠OED，OE＝OF. 又∵OC＝OD，∴OE－OC＝OF－OD，即CE＝DF. 在△PCE和△PDF中， ∴△PCE≌△PDF(AAS)．∴CP＝DP. 又∵CF⊥OA，DE⊥OB，∴OP是∠AOB的平分线． 【点拨】如图①，当AB的垂直平分线与线段AC相交时，则可得∠ADE＝50°，∠AED＝90°，∴∠A＝90°－50°＝40°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝＝70°； 如图②，当AB的垂直平分线与线段CA的延长线相交时，则可得∠ADE＝50°，∠AED＝90°， ∴∠DAE＝90°－50°＝40°，∴∠BAC＝140°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝＝20°.综上，∠B的度数为70°或20°. $