5.1 分式及其基本性质 暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式概念与性质，通过分层题型构建"概念辨析-性质应用-实际建模-拓展探究"的完整方法体系，强化数学抽象与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-6、填空11|分式定义/有意义/值为0条件判断，最简分式判定|从分式定义出发，通过反例与正例辨析概念本质| |性质应用|填空12-13、解答16|分式基本性质（系数化整、约分），整体代入法|以分式基本性质为核心，推导化简与变形规则| |实际建模|单选2、填空14、解答17|行程/利润/平均量问题的分式表达，参数法|将实际问题抽象为分式模型，体现数学应用意识| |拓展探究|单选5、9-10、解答20|规律探究、分离常数法、新定义问题|通过变式与创新题型，发展推理能力与创新意识|

5.1 分式及其基本性质 暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册 一、单选题 1．根据下列表格中的信息，代表的分式可能是（    ） … −2 −1 0 1 2 … … * 无意义 * 0 * … A． B． C． D． 2．港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥．大桥全长千米，其中包含海底隧道长约千米．一辆汽车在海底隧道行驶的平均速度比其它路段行驶的平均速度慢．若设该汽车在海底隧道行驶的平均速度为，则该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 3．若分式 的值为0，则x的值为（     ） A． B． C． D． 4．函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 5．观察下列各等式：，，，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为（   ） A． B． C． D． 6．在，，，中分式有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 7．下列各式与相等的是（     ） A． B． C． D． 8．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 9．已知，则代数式的值是（     ） A． B． C． D． 10．定义：我们将能使方程成立的数对称为“的倒立数对”．例如：当，时，成立，则是“的倒立数对”． 若是“的倒立数对”，且，，当分式的值为整数时，符合条件的的整数值有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．在学完最简分式的概念后，老师在黑板上写了四个整式：．要求同学们从中任意选两个整式组成分式，其中能组成的最简分式有______个． 12．已知，且，则______． 13．不改变分式的值，把分式的分子和分母各项的系数都化为整数得______． 14．某中学计划对甲、乙、丙三个校区进行绿化改造，校区内种植银杏和紫叶李．初步预算，这三个校区各需两种树木数量和之比为，需银杏数量之比为，并且甲、乙两校区需紫叶李数量之比为．在实际购买时，银杏的价格比预算高，紫叶李购买数量增加了，紫叶李的价格比预算低，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买银杏的总费用与实际购买紫叶李的总费用之比为_____． 15．若数a使关于x的不等式组有且只有四个整数解，且关于a的代数式有意义，则符合条件的所有整数a的和为___________． 三、解答题 16．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．用适当的代数式表示下列问题的结果： (1)的面积为S，边的长为c，则边上的高是多少？ (2)水果店购进一箱橘子需要a元，已知橘子与箱子的总质量为，箱子的质量为，为了不亏本，这箱橘子的零售价至少应定为每千克多少元？ (3)有两块棉田，第一块，产棉花；第二块，产棉花．这两块棉田平均每公顷的棉产量是多少千克？ (4)一件商品的售价是x元，利润率为，则这种商品每件的成本是多少元？ 18．当x的值分别为时，求分式的值，并说一说的值是如何随着x值的变化而变化的．如果x的值分别为呢？ 19．按要求完成下列各题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 20．已知分式： (1)化简该分式； (2)若该分式的值为整数，求所有符合条件的整数x的值； (3)（迁移）类比上述分式，设计一个分式，使其化简后为，并说明设计思路． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A D B A C C A B 1．A 【分析】根据分式无意义的条件（分母为0时分式无意义）和分式值为0的条件（分子为0且分母不为0时分式值为0），结合表格信息判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得两个条件： ① 当时，无意义，可知时，分式分母为； ② 当时，，可知时，分式分子为且分母不为； A：， 时，分母， 无意义，符合条件①； 时，分子，分母 ， ，符合条件②，故该选项符合题意； B：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意； C：， 时，分母 ， 有意义，不符合条件①，不符合题意； D：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，不符合题意． 2．C 【分析】本题考查的知识点是按要求构造分式，解题关键是正确理解题意并列出分式． 先由题意得出该汽车在其它路段行驶的平均速度，再由时间路程速度即可得出汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间． 【详解】解：依题得：该汽车在海底隧道行驶的平均速度为， 则该汽车在其它路段行驶的平均速度为， 汽车通过海底隧道所用的时间为小时，汽车通过其他路段所用的时间为小时， 该汽车完全通过大桥（车长忽略不计）所用的时间为小时． 故选：． 3．A 【分析】分式值为0需同时满足分子等于0，分母不等于0，根据这两个条件求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴分子，且分母， 解方程得， 由得， ∴． 4．D 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式的分母不能为零的条件，列出不等式组求解． 【详解】解：函数有意义， ∴二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不能为， ∴， 解不等式得，解不等式得， ∴自变量的取值范围是且． 5．B 【分析】此题考查了分式的规律性问题． 观察各等式，两个分数的分子之和恒为8，且每个分式的分母均为其分子减去4，据此即可得到答案． 【详解】解：∵ 给出的等式中，两个分子之和均为8，且分母为分子减4， ∴ 一般形式应为分子为x和，分母分别为和， 即一般性的等式为， 故选：B 6．A 【分析】本题考查分式的定义，只需根据分式定义逐一判断给出的式子即可，注意分式是代数式的一类，等式不属于分式． 【详解】解：∵ 的分母是常数，不含字母，属于整式，不是分式； 的分母含有字母，是分式； 是等式（方程），不是代数式，因此不是分式； 是单项式，属于整式，不是分式； ∴ 给出的式子中只有个分式． 7．C 【分析】分式的基本性质化简选项，和对比即可得到结果． 【详解】解：A、是最简分式，，故本选项不合题意； B、是最简分式，，故本选项不合题意； C、∵， ∴，故本选项符合题意； D、是最简分式，，故本选项不合题意． 8．C 【分析】将c=−3和0分别代入A中计算求值即可判断出选项A，B的对错；当c<−3和c<0时计算的正负，即可判断出选项C，D的对错． 【详解】解：A选项，当c=−3时，分式无意义，故该选项不符合题意； B选项，当c=0时，，故该选项不符合题意； C选项， ∵c<−3， ∴3+c<0，c<0， ∴3(3+c)<0， ∴， ∴，故该选项符合题意； D选项，当c<0时， ∵3(3+c)的正负无法确定， ∴A与的大小就无法确定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的加减法，通过作差法比较大小是解题的关键． 9．A 【分析】将化为，对所求代数式进行化简，再利用已知条件整体代入求值即可． 【详解】解：， ， ∴ ． 10．B 【分析】由是“的倒立数对”，得到，推出，根据，，得到，，推出，则，再化简所求式子得到，即可求解． 【详解】解：是“的倒立数对”， 如果，那的值可以是，吗？ ， ，， ，， ，， ， ， 分式的值为整数， 的整数值为，， ， 即的整数值有，，共个， 故选：B． 11．5 【分析】先列出所有可能的分式，再判断哪些是最简分式． 【详解】解：①分母为的情况： ：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式； ：分子可分解为，与分母有公因式，可约分为，非最简； ：分子与分母无公因式，为最简分式． 此类分式中，最简分式有个． ②分母为的情况： ：分子为常数，分母分解为，无公因式，为最简分式； ：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简； ：分母分解为，与分子有公因式，可约分，非最简． 此类分式中，最简分式有个． ③分母为的情况： ：分子为常数，分母为，无公因式，为最简分式； ：分子与分母无公因式，为最简分式； ：分子分解为，与分母有公因式，可约分，不是最简分式． 此类分式中，最简分式有个． 故共有个． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简分式的概念，解题关键是明确最简分式的定义，即分子和分母没有公因式的分式，然后逐一分析所组成的分式是否为最简分式． 12．2 【分析】由得到，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 13． 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，分式的分子分母都乘以，再化简即可，解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于的数，分式的值不变． 【详解】解：原式， 故答案为：． 14．/ 【分析】根据已知比例设参数表示各部分数量，利用甲、乙两校区紫叶李的数量比得到参数关系，再设单价，根据总费用相等得到单价关系，最后计算实际总费用之比． 本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理． 【详解】解：设三个校区需两种树木总数量分别为，，，设三个校区需银杏数量分别为，，． 则甲校区紫叶李数量为，乙校区紫叶李数量为． 由题意得 交叉相乘得 整理得，解得． 三个校区树木总数量为，总银杏数量为，预算紫叶李总数量为． 设预算银杏单价为，预算紫叶李单价为，则预算总费用为． 实际银杏总费用为． 实际紫叶李总数量为，实际紫叶李单价为，因此实际紫叶李总费用为． 由实际总费用等于预算总费用得： 约去整理得． 因此实际购买银杏总费用与实际购买紫叶李总费用之比为： ． 故答案为：． 15．1 【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式有且只有4个整数解确定出a的值，再由分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和即可． 【详解】解：， 不等式组的解集是：， ∵不等式组有且只有四个整数解， ∴， 解得：，即整数，0，1，2，3， ∵关于a的代数式有意义， ∴且， ∴且， ∴符合条件的所有整数a的值是，0，2， ∴符合条件的所有整数a的和为：． 16．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 17．(1) (2) 元/千克 (3) 千克/公顷 (4) 元 【分析】（1）运用三角形面积公式进行求解即可． （2）运用销售问题的数量关系进行求解即可． （3）运用平均产量的计算方法进行求解即可． （4）运用利润率的计算公式，对已知量变形整理即可得到结果． 【详解】（1）解：设边上的高为， 根据三角形面积公式，已知，代入得，整理得． （2）解：由题意得，橘子的净质量为． 为不亏本，总售价不低于成本元， 因此每千克零售价至少为元． （3）解：由题意得，两块棉田总产棉花，总面积为， 因此平均每公顷棉产量为千克/公顷． （4）解：设这种商品每件成本为元.． 根据利润率的定义可得， 整理得，， 解得，即每件成本为元． 18． 解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 观察结果得：当时，随着增大，逐渐减小，最终趋近于． 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 观察结果得：当时，随着减小，逐渐增大，最终趋近于． 【分析】将题目给出的各个的值代入分式计算出对应结果，再根据计算结果观察总结随变化的规律． 【详解】略 19．(1) (2) 【分析】（1）把两边同时平方，可得，移项、合并同类项即可求出的值． （2）把两边同时平方，可得，移项、合并同类项即可求出的值． 【详解】（1）解：∵， ， ． （2）解：， ， ． 20．(1) (2) (3)，思路见解析 【分析】本题考查分式的基本性质，分式的值，熟练掌握分式的基本性质，是解题的关键： （1）将分子和分母进行因式分解后，约分即可； （2）根据分式的值为整数，利用分离常数法，进行求解即可； （3）逆用分式的基本性质，将化简后的分式的分子和分母同时乘以，即可． 【详解】（1）解：； （2）由（1）可知：， ∵该分式的值为整数， ∴为整数， ∵为整数， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； （3）根据分式的基本性质，将分式的分子和分母同时乘以，得， 即：分式可以化简为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $