四川省泸州市高级中学本部2025-2026学年下学期七年级期末数学模拟试卷

**基本信息** 本试卷立足七年级下册数学核心内容，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，融合智能物流、机器人队形等现实情境，考查学生的抽象能力、推理意识与模型观念，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12小题|无理数、不等式性质、平行线判定等|以河堤建桥（垂线段最短）考查几何直观，抽样调查强化数据意识| |填空题|5小题|同类项、角的计算、方程组解|结合图形平移与方程参数，提升空间观念与运算能力| |解答题|8小题|统计分析、采购方案、新定义派生点|智能物流车方案设计（方程与不等式综合）体现模型意识，新定义“派生点”问题发展创新思维|

2025-2026学年四川省泸州市高级中学本部七年级（下）期末数学模拟试卷 一．选择题（共12小题） 1．下列实数是无理数的是（　　） A．2.5 B． C．﹣1 D． 2．已知m＞n，则下列各式中一定成立的是（　　） A．m ﹣ 3＜n ﹣ 3 B．pm^2＞pn^2 C． D．3m ﹣ 2＜3n ﹣ 2 3．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≤2 C．x＜2 D．x＞2 4．如果一个角的补角是110°，则这个角的余角的度数是（　　） A．30° B．20° C．70° D．110° 5．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6．为调查某大型商场员工对商场的满意程度，采用下列调查方法，其中为简单随机抽样的是（　　） A．对该商场所有女员工进行调查 B．对该商场年满45岁及以上的员工进行调查 C．用商场员工名册，随机抽取四分之一的员工进行调查 D．对该商场新入职员工进行调查 7．图1为木质花窗的局部，将其部分抽象成如图2所示的平面图形．为验证AB与CD是否平行，已测得∠BEF＝48°，仅用下列一个测量结果即可判定AB与CD平行的是（　　） A．∠DCF＝32° B．∠CDE＝48° C．∠CFE＝80° D．∠EBG＝69° 8．点Q在第四象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为6，则Q点的坐标是（　　） A．（3，﹣6） B．（﹣3，6） C．（﹣6，3） D．（6，﹣3） 9．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±3 B．数轴上的点不表示有理数就是无理数 C．的相反数是 D． 10．某工厂有甲车间生产零件A 9个，乙车间生产零件B 11个，称得两车间生产的零件总重量相等；若从两车间各交换1个零件，则甲车间生产的零件总重量比乙车间生产的零件总重量轻了13克（零件重量忽略不计）．问零件A、B每个各重多少克？设每个零件A重x克，每个零件B重y克，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 11．小文通过编程设计机器人的队形．如图，点A，B，C，D分别表示某一时刻4个机器人的位置，其中点B在A的北偏东65°，点C在B的北偏西30°，CD与AB平行，则∠BCD的度数为（　　） A．125° B．115° C．105° D．95° 12．若关于x的不等式组的所有整数解的和大于﹣1且小于3，则a的取值范围是（　　） A．﹣ 3＜a＜ ﹣ 2 B．﹣ 3≤a＜ ﹣ 2 C．﹣ 4≤a＜ ﹣ 2 D．﹣ 4＜a≤ ﹣ 2 二．填空题（共5小题） 13．若单项式3x3yn和的和也是单项式，则mn的值为． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OP⊥AB，O为垂足，若∠BOC＝144°，则∠POD＝　 　 °． 15．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则关于x，y的二元一次方程组的解是． 16．如图，l1∥l2，已知∠1＝45°，则∠2＝　 　 ． 17．关于x，y的二元一次方程，则下列四个结论：①无论t为何值时，关于x，y的方程（3t﹣2）x+y+5t+2＝0都有一组解；②若t＝2，则关于x，y的方程（3t﹣2）x+y+5t+2＝0有三组非正整数解；③若，则关于x，y的不等式（3t﹣2）x+y+5t+2＞0的解集为x＞﹣3；④若和是关于x，y的方程（3t﹣2）x+y+5t+2＝0的两组解，则p＞q．其中正确的结论是（填序号）． 三．解答题（共8小题） 18．计算：． 19．先化简再求值：，其中x＝4，． 20．（1）解方程：；（2）求不等式组的所有整数解． 21．已知：如图，EF∥CA，∠1＝∠2，∠BCD＝58°．求∠ADC的度数．（请将解答过程补充完整） 解：∵EF∥CA（已知）， ∴∠2＝∠3（　 　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（　 　 ）， ∴　 　 （内错角相等，两直线平行）， ∴．∠BCD+∠ADC＝180°（　 　 ）， ∵∠BCD＝58°（已知）， ∴∠ADC＝　 　 ． 22．如图，△ABO在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为（2，4），（6，2）． （1）图中△ABO内一点P（x，y），经平移后对应点为Q（x﹣2，y﹣2），将△AOB作同样的平移得到△CDE，点A，O，B的对应点分别为点C，D，E．画出△CDE； （2）求△ABO的面积； （3）y轴上存在点M，使得△MOB的面积与△AOB的面积相等．直接写出点M的坐标． 23．2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息： 八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88． 九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八 87 b 98 60% 九 a 86 c 80% 八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩较好？请说明理由． （3）该校八、九年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数． 24．随着新能源汽车技术的快速发展，智能物流车的应用场景不断拓展，某企业使用C、D两种型号的智能物流车搬运货物．相关信息如下：若买2台C型智能物流车、5台D型智能物流车，共需550万元；若买5台C型智能物流车、2台D型智能物流车，共需650万元．C型智能物流车每天可以搬运货物80吨；D型智能物流车每天可以搬运货物40吨．（1）求C、D两种型号智能物流车的单价．（2）该企业计划用不超过1200万元购买C、D两种型号智能物流车共18台，且每天搬运货物不低于960吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案．（3）购买时发现，C型智能物流车价格不变，D型智能物流车价格每台上涨了m万元（0＜m＜10），在（2）的采购方案中，若最低费用为990万元，求m的值． 25．对于平面直角坐标系xOy中的点Q（m，n），若点Q'（m+4n，4m+n），则称点Q'为点Q的“4属派生点”．（1）点Q（3，2）的“4属派生点”Q'的坐标为；（2）若点Q的“6属派生点”Q'的坐标为（5，﹣11），求点Q的坐标；（3）若点Q在y轴的正半轴上，设点Q的坐标为（0，s）（s＞0，s为整数），点Q的“k属派生点”Q'（m+kn，km+n）满足，同时点Q'到y轴的距离是线段OQ长度的3倍（O为坐标原点），求k的值及满足条件的点Q的坐标． 2025-2026学年四川省泸州市高级中学本部七年级（下）期末数学模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共12小题） 1．下列实数是无理数的是（　　） A．2.5 B． C．﹣1 D． 【分析】本题考查无理数的概念．无理数，也称为无限不循环小数．有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称．解题的切入点就是根据无理数和有理数的定义来逐一判断选项． 【解答】A选项，2.5是有限小数，属于有理数；B选项，是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数；C选项，﹣1是整数，属于有理数；D选项，，3是整数，属于有理数．所以答案是B． 【点评】本题考查无理数的基本概念，关键是要清楚无理数和有理数的区别，注意常见的无理数形式． 2．已知m＞n，则下列各式中一定成立的是（　　） A．m ﹣ 3＜n ﹣ 3 B．pm^2＞pn^2 C． D．3m ﹣ 2＜3n ﹣ 2 【分析】本题考查不等式的性质．不等式的性质有：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．解题的切入点就是根据这些性质逐一分析选项． 【解答】A选项，根据不等式性质1，不等式m＞n两边同时减3，不等号方向不变，应该是m﹣3＞n﹣3，所以该选项错误；B选项，当p ＝ 0时，pm^2 ＝ pn^2 ＝ 0，所以该选项不一定成立；C选项，根据不等式性质2，不等式m＞n两边同时除以4，不等号方向不变，即，该选项正确；D选项，根据不等式性质1和2，不等式m＞n两边先同时乘3得3m＞3n，再两边同时减2得3m﹣2＞3n﹣2，所以该选项错误． 【点评】本题考查不等式性质的应用，关键是要准确掌握不等式的各个性质，注意特殊情况的讨论． 3．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（　　） A．x≥2 B．x≤2 C．x＜2 D．x＞2 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．解题的切入点就是根据这个条件列出关于x的不等式． 【解答】因为在实数范围内有意义，所以被开方数x﹣2≥0，解得x≥2．逐一分析选项：A选项，x≥2，正确；B选项，x≤2，错误；C选项，x＜2，错误；D选项，x＞2，错误． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件这一基础知识点，关键是要牢记被开方数是非负数这一条件． 4．如果一个角的补角是110°，则这个角的余角的度数是（　　） A．30° B．20° C．70° D．110° 【分析】根据余角和补角的概念列式计算． 【解答】解：设这个角为x， 由题意得x+110°＝180°， 解得x＝70°， 则这个角的余角的度数是90°﹣70°＝20°． 故选：B． 【点评】本题考查的是余角和补角的概念，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角，如果两个角的和等于180°，就说这两个角互为补角． 5．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】根据垂线段最短即可得出答案． 【解答】解：要在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，线段PN最短，理由是垂线段最短． 故选：C． 【点评】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，关键是掌握垂线段最短． 6．为调查某大型商场员工对商场的满意程度，采用下列调查方法，其中为简单随机抽样的是（　　） A．对该商场所有女员工进行调查 B．对该商场年满45岁及以上的员工进行调查 C．用商场员工名册，随机抽取四分之一的员工进行调查 D．对该商场新入职员工进行调查 【分析】本题考查简单随机抽样的概念．简单随机抽样是从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位被抽中的概率相等．解题的切入点就是根据简单随机抽样的定义来逐一判断选项． 【解答】A选项，只对所有女员工进行调查，不是随机抽取，不属于简单随机抽样；B选项，只对年满45岁及以上的员工进行调查，不是随机抽取，不属于简单随机抽样；C选项，用商场员工名册，随机抽取四分之一的员工进行调查，每个员工被抽到的概率相等，属于简单随机抽样；D选项，只对新入职员工进行调查，不是随机抽取，不属于简单随机抽样． 【点评】本题考查简单随机抽样的概念，关键是要理解简单随机抽样中每个单位被抽中的概率相等这一特点． 7．图1为木质花窗的局部，将其部分抽象成如图2所示的平面图形．为验证AB与CD是否平行，已测得∠BEF＝48°，仅用下列一个测量结果即可判定AB与CD平行的是（　　） A．∠DCF＝32° B．∠CDE＝48° C．∠CFE＝80° D．∠EBG＝69° 【分析】由平行线的判定方法，即可判断． 【解答】解：A、C、D中的测量结果不能判定AB∥CD，故A、C、D不符合题意； B、∠CDE＝∠BEF，由内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，故B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法． 8．点Q在第四象限且到x轴的距离为3，到y轴的距离为6，则Q点的坐标是（　　） A．（3，﹣6） B．（﹣3，6） C．（﹣6，3） D．（6，﹣3） 【分析】本题考查点的坐标的相关知识．在平面直角坐标系中，点到x轴的距离是该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离是该点横坐标的绝对值．且第四象限内点的坐标特征是横坐标为正，纵坐标为负．解题的切入点就是根据这些知识来确定点的坐标． 【解答】因为点Q在第四象限，所以点Q的横坐标为正，纵坐标为负．又因为点Q到x轴的距离为3，即|y|＝ 3，所以y ＝﹣3；点Q到y轴的距离为6，即|x|＝ 6，所以x ＝ 6．则Q点的坐标是（6，﹣3）．逐一分析选项：A选项，（3，﹣6）错误；B选项，（﹣3，6）错误；C选项，（﹣6，3）错误；D选项，（6，﹣3）正确． 【点评】本题考查点的坐标与点到坐标轴距离的关系以及象限内点的坐标特征，关键是要准确掌握这些知识并正确运用． 9．下列说法正确的是（　　） A．的平方根是±3 B．数轴上的点不表示有理数就是无理数 C．的相反数是 D． 【分析】本题考查实数与数轴以及平方根、相反数等相关知识．对于选项A，先求出的值，再求其平方根；选项B根据实数与数轴的关系判断；选项C根据相反数的定义求解；选项D通过比较大小来判断． 【解答】A． ，3的平方根是，所以A错误．B．实数与数轴上的点一一对应，实数分为有理数和无理数，所以数轴上的点不表示有理数就是无理数，B正确．C． 的相反数是，所以C错误．D．因为，所以，D正确．综上，答案选B． 【点评】本题考查实数的基础知识点，关键是对平方根、相反数概念的理解以及实数与数轴关系的掌握，比较大小时要准确判断． 10．某工厂有甲车间生产零件A 9个，乙车间生产零件B 11个，称得两车间生产的零件总重量相等；若从两车间各交换1个零件，则甲车间生产的零件总重量比乙车间生产的零件总重量轻了13克（零件重量忽略不计）．问零件A、B每个各重多少克？设每个零件A重x克，每个零件B重y克，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【分析】本题考查根据实际问题抽象出二元一次方程组．解题的关键是找出题目中的等量关系．第一个等量关系是两车间原生产零件总重量相等；第二个等量关系是交换一个零件后两车间生产零件总重量的差值． 【解答】根据“甲车间生产零件A 9个，乙车间生产零件B 11个，称重两车间相等”可得9x＝11y；根据“从两车间各交换1个零件，甲车间比乙车间轻了13克”可得（10y+x）﹣（8x+y）＝13．所以可列方程组为，答案选C． 【点评】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键在于准确找出等量关系并列出方程组，注意理解交换零件后重量变化的情况． 11．小文通过编程设计机器人的队形．如图，点A，B，C，D分别表示某一时刻4个机器人的位置，其中点B在A的北偏东65°，点C在B的北偏西30°，CD与AB平行，则∠BCD的度数为（　　） A．125° B．115° C．105° D．95° 【分析】根据方向角的定义以及平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图， 由题意可知AB∥CD，AE∥BF， ∴∠EAB+∠ABF＝180°，∠DCB+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ABC＝180°﹣65°﹣30°＝85°， ∴∠DCB＝180°﹣∠ABC＝180°﹣85°＝95°， 综上所述，只有选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查方向角，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是正确解答的关键． 12．若关于x的不等式组的所有整数解的和大于﹣1且小于3，则a的取值范围是（　　） A．﹣ 3＜a＜ ﹣ 2 B．﹣ 3≤a＜ ﹣ 2 C．﹣ 4≤a＜ ﹣ 2 D．﹣ 4＜a≤ ﹣ 2 【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解问题．先分别解出不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的和的范围确定整数解，进而求出a的取值范围． 【解答】解不等式3x+2＞2（x﹣1），3x+2＞2x﹣2，3x﹣2x＞﹣2﹣2，解得x＞﹣4．解不等式，，2x≤6+2a，x≤3+a．所以不等式组的解集为﹣4＜x≤3+a．因为所有整数解的和大于﹣1且小于3，所以整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1．则1≤3+a＜2，1﹣3≤a＜2﹣3，解得﹣2≤a＜﹣1．答案选B． 【点评】本题关键在于正确求解不等式组以及根据整数解的和确定整数解，进而求出参数a的范围，注意边界值的取舍． 二．填空题（共5小题） 13．若单项式3x3yn和的和也是单项式，则mn的值为． 【分析】本题考查合并同类项的知识．两个单项式的和也是单项式，说明这两个单项式是同类项，根据同类项的定义求出m、n的值，进而求出mn的值． 【解答】因为单项式3x3yn和的和也是单项式，所以它们是同类项．根据同类项定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得m＝3，n＝4．则mn＝3×4＝12． 【点评】本题考查同类项的基础知识点，关键是对同类项定义的理解和运用． 14．如图，直线AB，CD相交于点O，OP⊥AB，O为垂足，若∠BOC＝144°，则∠POD＝　54　 °． 【分析】根据平角的定义求出∠BOD的度数，再根据垂直的定义求出∠POD的度数． 【解答】解：∵∠BOC＝144°， ∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣144°＝36°， ∵OP⊥AB， ∴∠BOP＝90°， ∴∠POD＝90°﹣∠BOD＝54°， 故答案为：54． 【点评】本题考查平面图形中角的计算，平角的定义和垂直的定义，结合图形计算是解题的关键． 15．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则关于x，y的二元一次方程组的解是． 【分析】本题考查二元一次方程组的解的知识．通过对比两个方程组的形式，发现可以利用换元法，令m＝x+y，n＝x﹣y，将方程组转化为已知解的形式，进而求解x、y． 【解答】令m＝x+y，n＝x﹣y，则方程组可化为．因为是方程组的解，所以．即，两式相加得：2x＝﹣1，；两式相减得：2y＝7，．所以方程组的解为． 【点评】本题关键在于发现两个方程组的联系，利用换元法求解，对学生的观察能力和逻辑思维能力有一定要求． 16．如图，l1∥l2，已知∠1＝45°，则∠2＝　135°　 ． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵l1∥l2且∠1＝45°， ∴∠3＝∠1＝45°， ∴∠2＝180°﹣∠3＝135°． 故答案为：135°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 17．关于x，y的二元一次方程，则下列四个结论：①无论t为何值时，关于x，y的方程（3t﹣2）x+y+5t+2＝0都有一组解；②若t＝2，则关于x，y的方程（3t﹣2）x+y+5t+2＝0有三组非正整数解；③若，则关于x，y的不等式（3t﹣2）x+y+5t+2＞0的解集为x＞﹣3；④若和是关于x，y的方程（3t﹣2）x+y+5t+2＝0的两组解，则p＞q．其中正确的结论是（填序号）． 【分析】本题可将给定的解代入方程判断①；将t的值代入方程求非正整数解判断②；把y与x的关系代入不等式求解集判断③；根据方程的解的关系判断④．解题的切入点是对每个结论分别进行分析计算． 【解答】①把代入方程（3t﹣2）x+y+5t+2＝0左边得：（3t﹣2）×（﹣3）+（﹣7）+5t+2＝﹣9t+6﹣7+5t+2＝﹣4t+1，当t变化时，﹣4t+1不一定为0，所以①错误．②当t＝2时，方程为4x+y+12＝0，即y＝﹣4x﹣12，非正整数解有，，，共三组，所以②正确．③若，则不等式（3t﹣2）x+y+5t+2＞0可化为，即，因为，解不等式可得x＞﹣3，所以③正确．④把和代入方程可得，两式相减得：（3t﹣2）d+p+5t+2﹣[（3t﹣2）（d+1）+q+5t+2]＝0，化简得p﹣q＝3t﹣2，因为，所以3t﹣2＞0，即p＞q，所以④正确．综上，正确的是②③④． 【点评】本题综合考查二元一次方程的解、不等式的求解等知识点，关键在于对每个结论进行准确的分析和计算，注意计算过程中的细节． 三．解答题（共8小题） 18．计算：． 【分析】本题考查实数的运算，需要分别计算乘方、算术平方根、绝对值、立方根，再进行加减运算．解题的切入点是按照实数运算的顺序依次计算各项． 【解答】 【点评】本题考查实数运算的基础知识点，关键是准确计算各项的值，注意去绝对值时的符号判断． 19．先化简再求值：，其中x＝4，． 【分析】本题先去括号，再合并同类项进行化简，然后将x、y的值代入化简后的式子求值．解题的切入点是掌握整式加减的运算法则． 【解答】/n当x＝4，时， 【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值的知识点，关键是正确进行去括号和合并同类项的运算，代入求值时要注意符号． 20．（1）解方程：；（2）求不等式组的所有整数解． 【分析】本题（1）按照解方程的步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1求解；（2）分别解不等式组中的两个不等式，再取其交集得到整数解．解题的切入点是熟练掌握解方程和不等式组的方法． 【解答】（1）/n（2）解不等式3（x+4）＞5﹣x，3x+12＞5﹣x，3x+x＞5﹣12，4x＞﹣7，；解不等式，4（6x﹣1）≤3（x+6），24x﹣4≤3x+18，24x﹣3x≤18+4，21x≤22，．所以不等式组的解集为，整数解为﹣1，0，1． 【点评】本题考查一元一次方程和一元一次不等式组的解法，关键是准确进行每一步的运算，注意去分母时不要漏乘． 21．已知：如图，EF∥CA，∠1＝∠2，∠BCD＝58°．求∠ADC的度数．（请将解答过程补充完整） 解：∵EF∥CA（已知）， ∴∠2＝∠3（　两直线平行，同位角相等　 ）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（　等量代换　 ）， ∴AD∥BC （内错角相等，两直线平行）， ∴．∠BCD+∠ADC＝180°（　两直线平行，同旁内角互补　 ）， ∵∠BCD＝58°（已知）， ∴∠ADC＝　122°　 ． 【分析】根据平行线的性质以及已知条件得出∠1＝∠3，即可证明AD∥BC，进而根据平行线的性质，即可求解． 【解答】解：由条件可知∠2＝∠3（两直线平行，同位角相等）， 又∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠BCD+∠ADC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∴∠ADC＝122°． 故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；AD∥BC；两直线平行，同旁内角互补；122°． 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握该知识点是关键． 22．如图，△ABO在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为（2，4），（6，2）． （1）图中△ABO内一点P（x，y），经平移后对应点为Q（x﹣2，y﹣2），将△AOB作同样的平移得到△CDE，点A，O，B的对应点分别为点C，D，E．画出△CDE； （2）求△ABO的面积； （3）y轴上存在点M，使得△MOB的面积与△AOB的面积相等．直接写出点M的坐标． 【分析】（1）由题意得，△AOB向左平移2个单位长度，向下平移2个单位长度得到△CDE，根据平移的性质作图即可． （2）利用割补法求三角形的面积即可． （3）设M点的坐标为（0，m），根据题意可列方程为|m|×6＝10，求出m的值，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图所示，即为所求； （2）S△ABO＝4×66×24×22×4＝24﹣6﹣4﹣4＝10． （3）设M点的坐标为（0，m）， ∵△MOB的面积与△AOB的面积相等， ∴|m|×6＝10， 解得m或m， ∴M点的坐标为（0，）或（0，）． 【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 23．2026年3月30日是第31个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100），并给出下面部分信息： 八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88． 九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八 87 b 98 60% 九 a 86 c 80% 八年级抽取的学生竞赛成绩频数分布直方图 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：a＝　87　 ，b＝　84　 ，c＝　100　 ． （2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生竞赛成绩较好？请说明理由． （3）该校八、九年级共600人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数． 【分析】（1）平均数直接套用“”公式求解； （2）中位数是将数列从小到大依次排列最中间的数； （3）利用“部分数＝总数×该部分在样本中的占比”求解． 【解答】解：（1）八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88． 九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87． ， 中位数是从小到大依次排列最中间的数，15个人，最中间的是第8个人， ∵八年级A组1人，B组5人，C组3人， ∴第8个人在C组，是84分， ∴八年级竞赛成绩的中位数为84， 九年级竞赛成绩的众数为100； （2）九年级竞赛成绩较好．因为平均数相同的情况下，九年级的中位数、众数均比八年级高，所以九年级成绩较好． （3）该校八、九年级共600人参加了此次竞赛活动， （人）， 答：估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数约240人． 【点评】本题考查频数分布直方图，正确进行计算是解题关键． 24．随着新能源汽车技术的快速发展，智能物流车的应用场景不断拓展，某企业使用C、D两种型号的智能物流车搬运货物．相关信息如下：若买2台C型智能物流车、5台D型智能物流车，共需550万元；若买5台C型智能物流车、2台D型智能物流车，共需650万元．C型智能物流车每天可以搬运货物80吨；D型智能物流车每天可以搬运货物40吨．（1）求C、D两种型号智能物流车的单价．（2）该企业计划用不超过1200万元购买C、D两种型号智能物流车共18台，且每天搬运货物不低于960吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案．（3）购买时发现，C型智能物流车价格不变，D型智能物流车价格每台上涨了m万元（0＜m＜10），在（2）的采购方案中，若最低费用为990万元，求m的值． 【分析】本题（1）可通过设未知数，根据已知条件列方程组求解单价；（2）设未知数根据费用和搬运量的限制列不等式组求解采购方案；（3）根据费用关系列出关于m的方程求解．解题的切入点是准确分析题目中的数量关系． 【解答】（1）设C型智能物流车单价为x万元，D型智能物流车单价为y万元．由题意得，将第一个方程乘以5，第二个方程乘以2得，两式相减得21y＝1450，解得y＝50，把y＝50代入2x+5y＝550得2x+5×50＝550，解得x＝150．所以C型智能物流车单价为150万元，D型智能物流车单价为50万元．（2）设购买C型智能物流车a台，则购买D型智能物流车（18﹣a）台．由题意得，解第一个不等式150a+50（18﹣a）≤1200，150a+900﹣50a≤1200，100a≤300，a≤3；解第二个不等式80a+40（18﹣a）≥960，80a+720﹣40a≥960，40a≥240，a≥6．所以不等式组无解，该企业没有符合条件的采购方案．（3）由（2）可知原不等式组无解，假设存在符合条件的方案，设总费用为W万元，则\（W ＝ 150a+（50+m）（18﹣a）＝150a+900﹣50a+18m﹣ma＝（100﹣m）a 【点评】﹣ 25．对于平面直角坐标系xOy中的点Q（m，n），若点Q'（m+4n，4m+n），则称点Q'为点Q的“4属派生点”．（1）点Q（3，2）的“4属派生点”Q'的坐标为；（2）若点Q的“6属派生点”Q'的坐标为（5，﹣11），求点Q的坐标；（3）若点Q在y轴的正半轴上，设点Q的坐标为（0，s）（s＞0，s为整数），点Q的“k属派生点”Q'（m+kn，km+n）满足，同时点Q'到y轴的距离是线段OQ长度的3倍（O为坐标原点），求k的值及满足条件的点Q的坐标． 【分析】（1）根据“4属派生点”的定义，将点Q的坐标代入计算即可得到Q'的坐标．（2）设点Q的坐标为（x，y），根据“6属派生点”的定义列出方程组求解．（3）先根据点Q的坐标得到其“k属派生点”Q'的坐标，再根据点Q'到y轴的距离与线段OQ长度的关系以及不等式组求解k和s的值． 【解答】（1）点Q（3，2）的“4属派生点”Q'的坐标为（3+4×2，4×3+2），即（11，14）．（2）设点Q的坐标为（x，y），由“6属派生点”的定义可得将第一个方程乘以6得6x+36y＝30，用它减去6x+y＝﹣11可得：35y＝41，解得，将代入x+6y＝5得，所以点Q的坐标为．（3）因为点Q的坐标为（0，s），所以其“k属派生点”Q'的坐标为（ks，s）．因为点Q'到y轴的距离是线段OQ长度的3倍，所以|ks|＝3s，因为s＞0，所以|k|＝3，即k＝±3．又因为，即．当k＝3时，，即，解得，因为s为整数，所以s＝1，此时点Q的坐标为（0，1）．当k＝﹣3时，，即，无解．综上，k＝3，点Q的坐标为（0，1）． 【点评】本题考查了新定义的理解与应用，以及解方程组和不等式组，关键是理解“属派生点”的定义，准确列出方程和不等式组求解． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/28 17:47:37；用户：邢连强；邮箱：15269958113；学号：39535311 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $