精品解析：河南安阳市林州市第一中学2025-2026学年高一下学期6月调研测试数学试题

林州一中2025级高一6月调研考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据的下四分位数为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 10 D. 11 3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 6. 若，且，，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 已知在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，，若点A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为（ ） A. 90 B. 86 C. 78 D. 72 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一个对称中心为点 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称 10. 已知的内角的对边分别为，，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 角的平分线交于点，则的最大值为 11. 一个袋中装有若干大小、质地均相同的球，颜色有红、黄两种，且有部分球带标记，若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，摸到带标记的球的概率为，且摸到红球与摸到带标记的球相互独立．现从袋中随机摸取一个球，设事件A为“摸到红球”，事件B为“摸到带标记的球”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 摸到的球是红色但不带标记的概率为 C. D. 若连续摸球两次（有放回），则两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算 ________. 13. 函数的单调递减区间是______________. 14. 在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，满足，，. （1）求，； （2）若，求实数t的值. 16. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 17. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 18. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 19. 如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点. （1）证明：平面. （2）若，直线与平面所成角的正弦值为. ①求四棱柱的体积； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 林州一中2025级高一6月调研考试 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数. 【详解】设，则，则， 所以，，解得，因此，. 故选：C. 2. 样本数据的下四分位数为（ ） A. 3 B. 3.5 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用百分位数的求法，即可求解. 【详解】因为，所以样本数据的下四分位数为， 故选：B. 3. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 则下面结论中不正确的是 A. 新农村建设后，种植收入减少 B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【解析】 【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项. 【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M， 则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确； 新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确； 新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确； 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确； 故选A. 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数换底公式以及运算性质，利用作商法结合对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可知，. 则，所以. 则，所以. 所以. 故选：D. 5. 设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题： ①若，则或 ②若，则或 ③若且，则 ④若与,所成的角相等，则 其中所有真命题的编号是（ ） A. ①③ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【详解】对①，当，因为，，则， 当，因为，，则， 当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确； 对②，若，则与不一定垂直，故②错误； 对③，过直线分别作两平面与分别相交于直线和直线， 因为，过直线的平面与平面的交线为直线，则根据线面平行的性质定理知， 同理可得，则，因为平面，平面，则平面， 因为平面，，则，又因为，则，故③正确； 对④，若与和所成的角相等，如果，则，故④错误； 综上只有①③正确， 故选：A. 6. 若，且，，则的值是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由题设条件分别求出和的值，再利用拆角变换与和角公式计算即得. 【详解】因则.又，则， 可得. 又则 由，可得 由 . 因则 . 故选：A. 7. 已知在三棱锥中，与都是边长为2的正三角形，，若点A，B，C，D都在球O的表面上，则球O的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取BC的中点E，连接AE，DE，分别取AE，DE靠近点E的三等分点F，G，再过点F，G分别作平面ABC与平面DBC的垂线，则可得两垂线的交点就是球心O，进而求得球的半径，可求体积. 【详解】如图，取BC的中点E，连接AE，DE，则，， 且，所以平面ADE，又因为， 在中，由余弦定理可得， 又，所以. 分别取AE，DE靠近点E的三等分点F，G， 再过点F，G分别作平面ABC与平面DBC的垂线，则两垂线的交点就是球心O， 可得O，F，E，G共圆，连接OE，则OE是该圆的直径. 又，所以， 所以球O的半径， 所以球O的体积. 故选：A. 8. 高一某班有24名男生和40名女生，某次数学测试中，男生的平均分与女生的平均分之差为4，若男生分数的方差为94，全班分数的方差为84，则女生分数的方差为（ ） A. 90 B. 86 C. 78 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】根据方差的计算公式和方差的性质，求出女生分数的方差. 【详解】设男生分数为，男生分数均值为； 女生分数为，女生分数均值为； 则，总体均值为， 男生分数方差为，则， 全班分数方差为， 由方差得公式可知， 代入得，解得； 因为，所以， 化简得， 解得， 则女生方差为； 故选：D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象的一个对称中心为点 C. 在区间上单调递增 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得图象关于y轴对称 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，利用最小正周期公式直接求解；B选项，计算出，B错误；C选项，，在上单调递增，C正确；D选项，求出平移的解析式，判断出D错误. 【详解】A选项，的最小正周期为，A正确； B选项，，故为的一条对称轴，B错误； C选项，时，， 由于在上单调递增，故在区间上单调递增，C正确； D选项，将的图象向右平移个单位长度后得到， 显然为奇函数，D错误. 故选：AC 10. 已知的内角的对边分别为，，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 角的平分线交于点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合题意并利用两角和的正切公式判断A，利用余弦定理结合重要不等式判断B，利用余弦定理结合基本不等式判断C，作出符合题意的图形，结合题意并利用换元法得到，最后利用导数并结合求解最大值即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 则， 可得，得到， 由两角和的正切公式得，即， 由诱导公式得，解得， 因为，所以，故A错误， 对于B，由余弦定理得， 而，可得，由重要不等式得， 当且仅当时取等，则，解得， 由三角形面积公式得， 得到面积的最大值为，故B正确， 对于C，由已知得， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 得到，则， 可得，解得，故C正确， 对于D，如图，作出符合题意的图形，设， 因为是的角平分线，所以， 由等面积公式得， 化简得，即， 由已知得，即， 可得， 令，则，而， 则在上单调递增，得到， 即的最大值为，故D正确. 故选：BCD 11. 一个袋中装有若干大小、质地均相同的球，颜色有红、黄两种，且有部分球带标记，若从中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，摸到带标记的球的概率为，且摸到红球与摸到带标记的球相互独立．现从袋中随机摸取一个球，设事件A为“摸到红球”，事件B为“摸到带标记的球”，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A与事件B互斥 B. 摸到的球是红色但不带标记的概率为 C. D. 若连续摸球两次（有放回），则两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据独立事件的乘法公式可知可排除A；由代入计算可确定B；由可排除C；对于D，先计算摸一次摸到的球是黄色且不带标记的概率，然后可求两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率. 【详解】根据题意事件A与事件B独立，， 事件A与事件B不互斥，故A错误； ，故B正确； ，故C错误； 摸一次摸到的球是黄色且不带标记事件为，， 所以两次摸到的球都是黄色且不带标记的概率，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算 ________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数、对数的运算性质化简解得到答案. 【详解】原式 . 【点睛】本题主要考查指数、对数的运算，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 13. 函数的单调递减区间是______________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，令，则，再根据复合函数的单调性，求出单调区间，即得结果. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 令，，则， 函数的对称轴为， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为为增函数，根据复合函数同增异减， 要使函数单调递减，则需函数单调递减， 所以原函数的单调递减区间为. 故答案为： 14. 在平面四边形中，E，F分别是边和的中点，．四边形所在平面内一点P满足，则的最大值为______． 【答案】13 【解析】 【分析】利用向量线性表示、向量数量积公式，可得，又在以为圆心，2为半径的圆上，进而求得的最大值，可得结论. 【详解】如图所示： 因为，，又点是的中点， 所以，所以， ， 又，所以，又点是的中点，所以， 所以在以为圆心，2为半径的圆上，又， 故，即， 所以的最大值为5，即三点共线，且在两点之间取得最大值， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，满足，，. （1）求，； （2）若，求实数t的值. 【答案】（1）， （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积的运算律即可求解； （2）两边平方，结合向量的数量积的运算可得，求解即可. 【小问1详解】 因为，所以，所以， 所以，可得. 【小问2详解】 因为， 所以， 即，解得或. 16. 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示： （1）求样本中数据落在的频率； （2）求样本数据的第50百分位数； （3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率. 【答案】（1）0.4 （2）52.5 （3） 【解析】 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：组距为10，所以： ， 得：，故样本中数据落在的频率为：. 【小问2详解】 设第50百分位数为，易得位于50和60之间， 则有： 解得：. 【小问3详解】 分组人数为：人； 分组人数为：人， 利用分层抽样的方法易得： 分组抽人， 分组抽人， 从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即： 2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组， 故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：. 17. 已知定义在上的函数满足且，. （1）求的解析式； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围； （3）设，若对任意的，存在，使得，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，求解即可； （2）根据函数的单调性化简不等式，分离参数，利用基本不等式求最值即可； （3）由题意得，先根据函数的单调性求得，再求解使得成立的实数取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，， 即，所以， 故 【小问2详解】 由（1）知，， 所以在上单调递增， 所以不等式恒成立等价于恒成立， 即恒成立. 设，则，，当且仅当，即时，等号成立 所以， 故实数的取值范围是 【小问3详解】 因为对任意的，存在，使得， 所以在上的最小值不小于在上的最小值， 因为在上单调递增， 所以当时，， 又的对称轴为，， 当时，在上单调递增，，解得， 所以； 当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得，所以； 当时，在上单调递减，，解得， 所以， 综上可知，实数的取值范围是 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 18. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使，为的中点，如图2. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；(3). 【解析】 【分析】(1)利用中位线构造平行四边形，证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行； (2)先证平面，再根据面面垂直的判定定理得面面垂直； (3)几何法求解点到平面的距离，先作出并证明表示所求距离的线段，再利用三角形面积公式求线段长. 【详解】证明：取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点， 所以，且． 由已知，，所以，且． 所以四边形为平行四边形．所以． 又因为平面，且平面，所以平面． （2）在正方形中，．又由题知， 直线，在平面内，且相交于点，所以平面， 又平面，所以平面平面，即平面平面. (3)在直角梯形中，，，可得，． 在中，， 所以．所以． 由(2)知，平面与平面垂直且交线为，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． 过点作的垂线交于点，则平面 所以点到平面的距离等于线段的长度 在直角三角形中， ， 所以 所以点到平面的距离等于． 19. 如图，在四棱柱中，，，，，，分别是棱，的中点. （1）证明：平面. （2）若，直线与平面所成角的正弦值为. ①求四棱柱的体积； ②求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明：在梯形中，，，则， 在中，，， 则，，而，平面， 所以平面. （2）①24；② 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理证得，再利用线面垂直的判定推理得证. （2）①取中点，利用线面角的定义求出，进而求出体积；②连接，利用几何法探求出两个平面的夹角，再进行求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由，平面，得平面， 取中点，连接，由是的中点，得， 由（1）知，平面，则是直线与平面所成的角， 即，，， 所以四棱柱的体积. ②连接，由①知平面，，则平面， 平面，则，而，于是， 又平面，所以平面， 因为平面，所以， 由是的中点，得，共面， 因此是平面与平面的夹角， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $