2.2 基本不等式【课时练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以“基础理解-综合辨析-应用深化”分层设计，通过选择、多选、填空、解答题梯度进阶，覆盖基本不等式概念、运算及实际应用，强化数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解层|基本不等式概念及简单应用|8道选择题整合期中题，聚焦a,b为正数等基础条件下的大小比较| |综合辨析层|多条件不等式判断|3道多选题结合正实数、等式约束等，训练推理意识| |应用深化层|最值求解与实际应用|3道填空题+2道解答题，含高考真题及劳动教育情境（如矩形育苗区域），发展模型观念|

2.2 基本不等式【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】 一、选择题（共8小题） 1．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三·全国·三轮复习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 5．（25-26高一下·云南·开学考试）若正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．25 6．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知正数，满足，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 7．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 二、多选题（共3小题） 9．（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 10．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 11．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知正实数满足，且，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题（共3小题） 12．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 13．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的最小值为____. 14．（19-20高一上·上海闵行·期中）设，则的最小值为_____________． 四、解答题（共2小题） 15．（25-26高一上·浙江丽水·期末）如图，为创设劳动教育基地，计划用篱笆围一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区域，设育苗区域的长为米，宽为米. (1)若育苗区域面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值及此时，的值； (2)若使用的篱笆总长为18米，求育苗区域面积的最大值及此时，的值． 16．（25-26高一上·新疆塔城·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 基本不等式【课时步步练】 2026-2027学年高一数学同步备课系列【基础题】——解析版 一、选择题（共8小题） 1．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 2．（24-25高三·全国·三轮复习）设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 3．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 4．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【分析】采用“1”的代换构造基本不等式适用形式，求解目标式的最小值. 【详解】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 5．（25-26高一下·云南·开学考试）若正数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B．16 C． D．25 【答案】C 【详解】由，可得，所以， 故 ， 当且仅当,即，也即时取等号， 联立，解得，时，等号成立． 故最小值为. 6．（25-26高二下·云南昭通·开学考试）已知正数，满足，则的最大值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】因为，解得，当且仅当，即时等号成立. 7．（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 8．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，则的最小值为（    ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据“1”的变换，转化为，展开后利用基本不等式即可求解. 【详解】，且， 则， 当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C 二、多选题（共3小题） 9．（25-26高一上·湖北恩施·期末）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】利用基本不等式，乘1法结合条件求最值逐项分析判断即得. 【详解】由，，可得，当且仅当时取等号，故A正确； 由，，可得，当且仅当时取等号，故B错误； 由， 当且仅当时取等号，故C错误； 因为，所以 当且仅当时取等号，故D正确； 故选：AD 10．（25-26高一上·广西钦州·期末）已知，，则下列不等式恒成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】使用基本不等式计算选项，C选项额外使用1的代换，D选项额外使用换元法即可. 【详解】对于A：，由基本不等式得， 故，当且仅当时等号成立，故A错误； 对于B：由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C：， 当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D：由题意得， 则， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC. 11．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知正实数满足，且，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】等量代换后结合题意可得A；作差可得B；由基本不等式可得C；举反例可判断D. 【详解】对于A，因为正实数满足，且，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，但等号不能取得，故C正确； 对于D，令，则，故D错误. 故选：ABC 三、填空题（共3小题） 12．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 13．（2026高一·全国·专题练习）已知，则的最小值为____. 【答案】4 【详解】因为，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为. 14．（19-20高一上·上海闵行·期中）设，则的最小值为_____________． 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立. 故当时，的最小值为. 四、解答题（共2小题） 15．（25-26高一上·浙江丽水·期末）如图，为创设劳动教育基地，计划用篱笆围一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区域，设育苗区域的长为米，宽为米. (1)若育苗区域面积为18平方米，求所用篱笆总长的最小值及此时，的值； (2)若使用的篱笆总长为18米，求育苗区域面积的最大值及此时，的值． 【答案】(1)，时所用篱笆总长最小，最小值为 (2)，时所得育苗区域面积最大，最大值为 【分析】（1）根据育苗区域面积为18平方米，得出的关系式，所用篱笆总长为，利用基本不等式求解即可； （2）根据篱笆总长为18米，得到，利用基本不等式求的最大值. 【详解】（1）由题意知篱笆总长为，因为，所以， 当时取等号，解得，， 即，时所用篱笆总长最小，最小值为米. （2）由题意知，育苗区域面积为，， 当时取等号，解得，， 即，时所得育苗区域面积最大，最大值为平方米. 16．（25-26高一上·新疆塔城·阶段检测）（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）运用基本不等式进行求解即可； （2）用整体代换，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $