4.3 公式法 暑期专项练习2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 暑期专项同步练，以公式法为核心，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，构建“概念理解-运算应用-综合创新”的知识巩固路径，培养运算能力、推理意识与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|公式法直接应用（因式分解、公因式）|单选1-6题考查平方差与完全平方公式，夯实运算能力| |中档|公式法与分组分解结合（三角形性质、不等式）|单选7-10题涉及分组分解与实际情境，提升推理意识| |提升|跨知识综合应用（密码学、数形结合）|解答19-20题结合几何拼图与密码生成，发展应用意识|

4.3 公式法 暑期专项练习2025-2026学年北师大版 八年级数学下册 一、单选题 1．计算 等于（ ） A． B． C． D． 2．下列各式在实数范围内，不能进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．如果a，b，c是三角形的三边长，那么代数式的值是（   ） A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数 4．多项式与的公因式是（     ） A． B． C． D． 5．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 6．下列多项式，能用完全平方公式分解因式的是（     ） A． B． C． D． 7．在对多项式进行因式分解中，有一些多项式用提公因式法和公式法无法直接分解．将一个多项式进行重新分组后，可用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组因式分解法．例如： ．若a，b，c是的三边长，且满足 ，则的形状为（     ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 8．李伟在一次课外阅读中遇到一个解一元二次不等式的问题：．经过思考，他给出了下列解法： 解：左边因式分解可得：， ，解得或． 请根据上述思想求一元三次不等式的解集（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 9．已知，为实数，若，，同时成立，则，，从小到大的排列的次序为（   ） A． B． C． D． 10．密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 二、填空题 11．运用数形结合思想可以使数与形之间相互转化．一次实践课上，某同学用如图1的、、三种卡片若干，拼成图2图形．借助图形，分解因式：______． 12．若实数，满足，，则的值是________． 13．设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是______． 14．某校举行运动会时，由若干名同学组成一个13列的长方形彩旗队阵．如果原队阵中增加16人，能组成一个正方形队阵；如果原队阵中减少16人，也能组成一个正方形队阵，则原长方形彩旗队阵中有同学____人． 15．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为智慧数.例如，，，；因此3，5，7这三个数都是“智慧数”．如果将智慧数从小到大进行排列，那么第5个智慧数是______，第2026个智慧数是______． 三、解答题 16．因式分解： (1)； (2) (3)； (4) 17．解决问题 (1)已知为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． (2)已知n为整数，代数式的值一定能被12整除吗？作出判断，并说明理由． 18．先阅读下列材料，再解答下列问题： 材料：因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则： 原式．再将“”还原，得原式． 上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你解答下列问题： (1)因式分解： ____________； (2)证明：无论取何值时，的值一定是非负数． 19．如图，有①②③三种不同型号的卡片若干，其中型号①②分别是边长为a和b的正方形卡片，型号③是长为a、宽为b的长方形卡片． (1)请用这些卡片分别拼出面积为的长方形，并画出图形． (2)你能拼出面积为的长方形吗？如果能，请画出图形；如果不能，请说明理由． (3)请再提出一个问题，并加以解答． 20．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式 因式分解的结果为或，取个人年龄作为x的值，当 时， ， ，此时可以得到数字密码1723或2317．根据上述方法，若小阳选取的多项式是 ，已知取小阳当前的年龄作为x的值，设置的数字密码是6位数字141213，请分析小阳当前的年龄，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A B D D B C A B 1．A 【分析】该题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是提取公因式． 直接提取公因式，进而得出答案． 【详解】解： ． 故选：A． 2．A 【分析】此题考查了实数范围内分解因式，分别分解因式判断即可得出结果 【详解】A. 不能进行因式分解，故符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，故不符合题意； 故选：A 3．A 【分析】本题考查了三角形三边关系，把原式进行因式分解，再根据三角形的三边关系即可判断．解决本题的关键是熟练运用完全平方公式和平分差公式进行因式分解． 【详解】解： ∵a、b、c是三角形的三边长， ∴，， ∴，即的值是负数． 故选：A． 4．B 【详解】解： ∵ ， ， ∴ 两个多项式的公因式是． 5．D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 6．D 【分析】根据完全平方公式分解因式的条件：多项式为三项，两项为符号相同的平方项，第三项为两平方项底数乘积的2倍，逐一判断即可. 【详解】解：∵选项A的多项式中，两个平方项与符号不同，不符合要求，∴A错误； ∵选项B的多项式只有两项，不符合完全平方公式分解的要求，∴B错误； ∵选项C的多项式中，一次项不是，不满足条件，∴C错误； ∵选项D的多项式，符合完全平方公式，∴D正确. 7．B 【分析】将已知等式移项后分组因式分解，结合三角形三边的性质即可判断的形状． 【详解】解： ， 移项得 ， 分组得 ， 分解得 ， 提取公因式得 ， ∵ ，，是的三边长， ∴ ，即 ， ∴ ，即 ， ∴ 是等腰三角形． 8．C 【分析】根据题意可得或或或，分别解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴或或或， 解不等式组得， 解不等式组得， 解不等式组，可知不等式组无解； 解不等式组，可知不等式组无解； 综上所述，或． 9．A 【分析】本题考查了完全平方公式、因式分解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据完全平方公式和因式分解对式子变形，推出，分两种情况讨论，当时和当时，进而得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴、同号， ∵，， ∴； ①当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴； ②当时，可化为， ∴， ∴， ∴，与矛盾， 故此种情况不成立； 综上所述，． 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式分解因式为，因式码为这三个因式的值.给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中间的值和最小的值分别为8和4.通过分析因式关系，确定和，解得，计算，排序因式码为40、8、4，形成密码4084. 【详解】解：∵， 设因式码为，，，且（确保因式码为正）， 给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4， ∵，为正整数且， ∴ 又， ∵， ∴，， ∴ 故三个因式码从小到大依次为，， ∵， ∴可能情况为，， 则 解得： 此时， 因式码排序为40、8、4，密码为4084， 其他情况（如或）均无正整数解， ∴密码为4084， 故选：B． 11． 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，多项式乘多项式与图形面积，根据所给图形，得出大长方形的长和宽即可求解，熟知多项式乘多项式法则及能用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解题的关键． 【详解】解：观察图形可知，图中一共用了张卡片，张卡片，张卡片，组成的是一个长方形，长为，宽为， ∵张卡片，张卡片，张卡片的面积之和等于， ∴， 故答案为：． 12．5 【详解】解：， 解得． 13．等腰三角形或直角三角形/直角三角形或等腰三角形 【分析】对已知等式移项分组后进行因式分解，得到，根据多个因式乘积为零则至少一个因式为零，可得或，结合三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ 或 ∴或 又∵a，b，c是的三条边， 是等腰三角形或直角三角形． 14． 【分析】本题考查平方差公式的应用，解二元一次方程组设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，根据增加或减少人就能组成一个正方形队阵，设正方形方阵的边长分别为m，n，列式后得出，再用平方差公式分解因式，建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设原长方形队阵中有同学（为正整数）人，则由已知与均为完全平方数，设正方形方阵的边长分别为m，n，可得其中m，n为正整数． 两式相减，得， 即． ∵， 和同奇或同偶， ∴或， 解得或 当时，，， 当时，，，不合题意，舍去； 故原长方形队阵中有同学人． 故答案为：． 15． 【分析】先根据定义推导不同正整数是否为智慧数，总结智慧数的分布规律，再根据规律计算指定序号的智慧数． 【详解】解：设正整数为智慧数，则存在正整数，使得，由平方差公式得： 因为与同奇偶， 因此只能为奇数或的倍数， 若为形如的正整数，为偶数但不是的倍数，因此一定不是智慧数； 对任意大于的奇数，有，因此所有大于的奇数都是智慧数； 对任意大于的的倍数，有，因此所有大于的的倍数都是智慧数； 因此可得规律：将正整数从开始每个分为一组，第一组仅有个智慧数，其余每组都有个智慧数； 从小到大列举智慧数得：第个是，第个是，第个是，第个是，第个是； 计算第个智慧数，第一组有个，剩余需要个，每组有个，因此需要组， 即第个智慧数是第组的最后一个数，为． 16．(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 17．(1)解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴． ，，是的三边长， ， ， ， 即是等腰三角形． (2)解：代数式的值一定能被整除；理由如下： ； ∴代数式的值一定能被12整除. 【分析】（1）观察题中等式可以发现，得，据此能判断出三角形的形状； （2）整理式子得，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1) (2)证明：将“”看成整体，令，则： 原式． 再将“”还原，得原式． ， 无论取何值时，的值一定是非负数． 【分析】（1）根据阅读材料中的方法类比求解即可； （2）根据阅读材料中的方法类比求解，将因式分解为，最后由平方非负性即可得证． 【详解】（1）解：将“”看成整体，令，则： 原式． 再将“”还原，得原式． （2）略． 19．(1)面积为, ∴长方形的长为，宽为a，如图所示； 面积为， ∴长方形的长和宽均是，如图所示： (2)能，， 长方形的长为，宽为，如图所示： (3)解：你能拼成一个面积为的长方形吗？画出图形，并计算出这个长方形的长和宽． ． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 20．， ∵小阳手机的锁屏密码是6位数字141213，且结合 ∴，，， ∴． 答：小阳当前年龄是13岁． 【分析】先将原式分解成，结合题意得，，，据此计算即可作答． 【详解】解：略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $