4.3 公式法 暑假巩固 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册 4.3 公式法 暑假巩固 一、两个平方项是单项式 1.下列多项式中，不能用平方差公式分解的是（　　） A.-m4-n4 B.-16x2+y2 C.1.96-x2 D.a2-b2 2.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的等式是（　　） A.a2-b2=（a+b）（a-b） B.a（a-b）=a2-ab C.（a-b）2=a2-2ab+b2 D.a（a+b）=a2+ab 3.下列因式分解中，正确的是（　　） A.x2-4y2=（x-2y）（x+2y） B.ax+ay+a=a（x+y） C.a（x-y）+b（y-x）=（x-y）（a+b） D.4x2+9=（2x+3）2 4.判断正误： (1)x²+y²=(x+y)(x+y)           ； (2)x²-y²=(x+y)(x-y)            ； (3)-x²+y²=(-x+y)(-x-y)          ； (4)-x²-y²=-(x+y)(x-y)           . 5.分解因式：4a2-16=            ． 6.分解因式： （1）（x-1）2+2（x-5）； （2）2m（2m-3）+6m-1； （3）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy. 7.把下列各式分解因式： (1)25-16x2； (2)9a2-b2； (3)a²b²-m²; (4)7x²-63; (5)a³-a; (6)3a²-3b². 二、两个平方项是一个单项式一个多项式 1.已知多项式4x2-（y-z）2的一个因式为2x-y+z，则另一个因式是（　　） A.2x-y-z B.2x-y+z C.2x+y+z D.2x+y-z 2.a2-（b-c）2有一个因式是a+b-c，则它的另一个因式是（　　） A.a-b-c B.a+b+c C.a+b-c D.a-b+c 3.因式分解(x-1)2-9的结果是　(　　) A.（x+2）(x-4)　　 B.（x+8）(x+1)　 C.（x-2）(x-4)　　　 D.（x-10）(x+8)　 4.分解因式（2x+3）2-x2=______________． 5.分解因式：（a-2b）2-b2=            . 6.请你从4a2，(x+y)2，1，9b2中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解. 7.把下列各式分解因式： (1)(m+n)²-n²; (2)(x²+y²)²-x²y²； (3)y²-9(x+y)²; (4)16-(2a+3b)²; (5)x²-(a+b-c)²； (6)16a2-（2a+3b）2. 三、用平方差公式求某些字母的值 1.对于任意整数m，多项式( 4m+5)2-9都能（ ） A.被8整除 　　　　 　 B.被m整除 C.被(m-1)整除 　　　　　 D.被(2n-1)整除 2.x3-xy2有因式（x-y），那么另外的因式为（　　） A.x2+y2 B.（x-y）2 C.（x+y）（x-y） D.x（x+y） 3.两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（　　） A.4 B.8 C.4或-4 D.8的倍数 4.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,便于记忆.如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是 (x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码是　　　　(写出一个即可). 5.已知|x-y+2|+ =0，则x2-y2的值为            ． 6.已知A=2x+y，B=2x-y，计算A2-B2． 7.求证：当n为整数时，多项式(2n＋1)2－(2n－1)2一定能被8整除． 四、用完全平方公式分解因式 1.分解因式x2－2x＋1的最终结果是(　　) A.x(x－2)＋1 B.(x＋1)(x－2) C.(x－1)2 D.(x＋1)2 2.下列各式能用完全平方公式分解因式的有　(　　) ①4x2-4xy-y2；② x2+x+；③ -1-a-；④m2n2+4-4mn；⑤a2-2ab+4b2；⑥x2-8x+9. A.1个　　 B.2个　　 C.3个　 D.4个 3.已知下列多项式：① x2＋y＋y2；②－x2＋2xy－y2；③ x2＋6xy－9y2；④x2－x＋.其中，能用完全平方公式进行因式分解的有(　　) A.②③④ B.①③④ C.②④ D.①②③ 4.多项式4-4(a-b)+(a-b)2分解因式的结果是　　　　. 5.分解因式(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y4=　__________. 6.分解因式： (1)x2＋12x＋36； (2)－2xy－x2－y2； (3)a2＋2a＋1； (4)4x2－4x＋1； (5)（m+n）2+6（m2-n2）+9（m-n）2； (6)（2a+3b）2-2（2a+3b）（5b-4a）+（4a-5b）2． 7.在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式（a2-4a+2）（a2-4a+6）+4进行因式分解．指导老师的讲解过程如下． 解：令a2-4a=t， 则原式=（t+2）（t+6）+4=t2+8t+12+4=t2+8t+16=（t+4）2． ∵t=a2-4a，∴原式=（a2-4a+4）2． 老师解答到此就停止了，并提出了以下2个问题： （1）上述解答的结果是否分解到最后？     （填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果               （如果是则不用填写）； （2）请模仿以上方法对多项式（b2-2b）（b2-2b+2）+1进行因式分解． 五、完全平方公式与提公因式法 1.下列因式分解正确的是(　　) A.a2b－2ab＋b＝b(a2－2a) B.x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 C.x2－4y2＝(x＋4y)(x－4y) D.x2－4xy＋4y2＝(x－2y)2 2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是（　　） A.4xy（x-y）-x3 B.-x（x-2y）2 C.x（4xy-4y2-x2） D.-x（-4xy+4y2+x2） 3.若a＋b＋1＝0，则3a2＋3b2＋6ab的值是(　　) A.1 B.－1 C.3 D.－3 4.分解因式：－8a3b＋8a2b2－2ab3＝________. 5.分解因式：2a2－8a＋8＝________. 6.分解因式： (1)a－2a2＋a3； (2)m3n－10m2n＋25mn. 7.分解因式： (1)ax2＋2a2x＋a3； (2)－3x2＋6xy－3y2； (3)(x＋y)2－12x－12y＋36. 六、完全平方公式与平方差公式 1.下列各因式分解正确的是（　　） A.x2+2x-1=（x-1）2 B.-x2+（-2）2=（x-2）（x+2） C.x3-4x=x（x+2）（x-2） D.（x+1）2=x2+2x+1 2.下列分解因式正确的是（　　） A.x2+y2=（x+y）（x-y） B.m2-2m+1=（m+1）2 C.a2-16=（a+4）（a-4） D.x3-x=x（x2-1） 3.下列分解因式中，结果正确的是（　　） A.x2-1=（x-1）2 B.x2+2x-1=（x+1）2 C.2x2-2=2（x+1）（x-1） D.x2-6x+9=x（x-6）+9 4.分解因式：a2＋4ab＋4b2－1＝________. 5.分解因式：x2+2xy+y2-4=　　　　. 6.先阅读，再分解因式：x4+4=（x4+4x2+4）-4x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2-2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+64分解因式． 7.观察下列分解因式的过程: x2+2ax-3a2 =x2+2ax+a2-4a2(先加上a2,再减去a2) =(x+a)2-4a2(运用完全平方公式) =(x+a+2a)(x+a-2a) =(x+3a)(x-a). 像上面这样通过加减项配出完全平方式,把二次三项式分解因式的方法,叫做配方法.请你用配方法分解因式:x2-4xy+3y2. 七、分组分解法与其它因式分解法 1.将多项式x2-y2+3x-3y分解因式的结果为（　　） A.（x+y+3）（x-y） B.（x-y-3）（x-y） C.（x+y-3）（x-y） D.（x-y+3）（x-y） 2.下列因式分解正确的是（　　） A.x3-x=x（x-1） B.m2-n2=（m-n）2 C.-x2+2x=-x（x+2） D.4-x2+4xy-4y2=（2+x-2y）（2-x+2y） 3.用分组分解法将x2-xy+2y-2x分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A.（x2-2x）+（2y-xy） B.（x2-xy）+（2y-2x） C.（x2+2y）+（-xy-2x） D.（x2-2x）-（xy-2y） 4.因式分解：m2-my+mx-yx=            ． 5.因式分解：2ac-6ad+bc-3bd=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 6.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a-3ab-4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式=（2a-3ab）-（4-6b） =a（2-3b）-2（2-3b） =（2-3b）（a-2）. 解法二：原式=（2a-4）-（3ab-6b） =2（a-2）-3b（a-2） =（a-2）（2-3b）. 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： （1）x2-a2+x+a； （2）ax+a2-2ab-bx+b2． 7.因式分解： （1）m（5-m）+2（m-5）； （2）x4-81x2y2； （3）4x2-2x-y2-y； （4）x2+y2-1-2xy； （5）m2-2mn+n2+6-5m+5n. 八、用十字相乘法分解因式 1.若将多项式x2-ax+b因式分解为（x-2）（x+5），则（-3a+b）2 023的值为（　　） A.0 B.-1 C.1 D.1或-1 2.若多项式39x2+5x-14可分解成（ax+2）（13x-b），则2a-b的值是（　　） A.-1 B.13 C.1 D.-13 3.把多项式x2+x-12分解因式，其结果是（　　） A.（x+6）（x-2） B.（x+4）（x-3） C.（x+3）（x-4） D.（x+2）（x-6） 4.因式分解：x2-10x-24=                  ． 5.已知x2+mx+n=（x-5）（x+3），则m-n=         ． 6.分解因式： （1）x2+2x-15； （2）m2+10mn-24n2； （3）x2-2x-8； （4）m2-4m-5； （5）x2+6x-16； （6）2x2+x-6； （7）2y2-y-10； （8）x2-5xy-24y2； （9）（x2-2x）2-7（x2-2x）-8； （10）（a+1）（a-5）+8. 7.阅读下列材料，回答问题． （1）形如x2+（p+q）x+pq型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来答案解： x2+（p+q）x+pq =x2+px+qx+pq =（x2+px）+（qx+pq） =x（x+p）+q（x+p） =（x+p）（x+q）． 因此，可以得x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； （2）利用（1）中的结论，分解因式： ①m2+7m-18； ②x2-2x-15； ③x2y2-7xy+10． 北师大版八年级下册 4.3 公式法 暑假巩固（参考答案） 一、两个平方项是单项式 1.下列多项式中，不能用平方差公式分解的是（　　） A.-m4-n4 B.-16x2+y2 C.1.96-x2 D.a2-b2 【答案】A 【解析】A.原式不能用平方差公式分解，符合题意； B.原式=（y+4x）（y-4x），不符合题意； C.原式=（1.4+x）（1.4-x），不符合题意； D.原式=（a+b）（a-b），不符合题意. 2.如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的等式是（　　） A.a2-b2=（a+b）（a-b） B.a（a-b）=a2-ab C.（a-b）2=a2-2ab+b2 D.a（a+b）=a2+ab 【答案】A 【解析】根据图形可知第一个图形阴影部分的面积为a2-b2， 第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a-b）， 即a2-b2=（a+b）（a-b）. 3.下列因式分解中，正确的是（　　） A.x2-4y2=（x-2y）（x+2y） B.ax+ay+a=a（x+y） C.a（x-y）+b（y-x）=（x-y）（a+b） D.4x2+9=（2x+3）2 【答案】A 【解析】 x2-4y2=（x-2y）（x+2y），A选项正确，符合题意； ax+ay+a=a（x+y+1），B选项错误，不符合题意； a（x-y）+b（y-x）=（x-y）（a-b），C选项错误，不符合题意； 4x2+9无法分解因式，D选项错误，不符合题意. 4.判断正误： (1)x²+y²=(x+y)(x+y)           ； (2)x²-y²=(x+y)(x-y)            ； (3)-x²+y²=(-x+y)(-x-y)          ； (4)-x²-y²=-(x+y)(x-y)           . 【答案】(1)错误 (2)正确 (3)错误 (4)错误 5.分解因式：4a2-16=            ． 【答案】4（a+2）（a-2） 【解析】4a2-16=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）． 6.分解因式： （1）（x-1）2+2（x-5）； （2）2m（2m-3）+6m-1； （3）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy. 【答案】解　（1）原式=x2-2x+1+2x-10=x2-9=（x+3）（x-3）； （2）原式=4m2-6m+6m-1=4m2-1=（2m+1）（2m-1）； （3）原式=x2-16y2=（x+4y）（x-4y）. 7.把下列各式分解因式： (1)25-16x2； (2)9a2-b2； (3)a²b²-m²; (4)7x²-63; (5)a³-a; (6)3a²-3b². 【答案】解　(1)25-16x2=(5+4x)(5-4x)； (2)9a2-b2=(3a+)(3a-)； (3)a²b²-m²=(ab+m)(ab-m)； (4)7x²-63=7(x2-9)=7(x+3)(x-3)； (5)a³-a=a(a+1)(a-1)； (6)3a²-3b²=3(a+b)(a-b). 二、两个平方项是一个单项式一个多项式 1.已知多项式4x2-（y-z）2的一个因式为2x-y+z，则另一个因式是（　　） A.2x-y-z B.2x-y+z C.2x+y+z D.2x+y-z 【答案】D 【解析】原式=（2x+y-z）（2x-y+z），∴另一个因式是2x+y-z． 2.a2-（b-c）2有一个因式是a+b-c，则它的另一个因式是（　　） A.a-b-c B.a+b+c C.a+b-c D.a-b+c 【答案】D 【解析】a2-（b-c）2=（a+b-c）（a-b+c）． 3.因式分解(x-1)2-9的结果是　(　　) A.（x+2）(x-4)　　 B.（x+8）(x+1)　 C.（x-2）(x-4)　　　 D.（x-10）(x+8)　 【答案】A 【解析】原式=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4). 4.分解因式（2x+3）2-x2=______________． 【答案】3（x+3）（x+1） 【解析】（2x+3）2-x2=（2x+3-x）（2x+3+x）=3（x+3）（x+1）． 5.分解因式：（a-2b）2-b2=            . 【答案】（a-b）（a-3b） 【解析】原式=（a-2b+b）（a-2b-b）=（a-b）（a-3b）. 6.请你从4a2，(x+y)2，1，9b2中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解. 【答案】解　(答案不唯一) 4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b)或(x+y)2-1=(x+y+1)(x+y-1)或 (x+y)2-4a2=(x+y+2a)(x+y-2a)或 (x+y)2-9b2=(x+y+3b)(x+y-3b)或 4a2-(x+y)2=[2a+(x+y)][2a-(x+y)]=(2a+x+y)(2a-x-y)或 9b2-(x+y)2=[3b+(x+y)][3b-(x+y)]=(3b+x+y)(3b-x-y)或 1-(x+y)2=[1+(x+y)][1-(x+y)]=(1+x+y)(1-x-y). 7.把下列各式分解因式： (1)(m+n)²-n²; (2)(x²+y²)²-x²y²； (3)y²-9(x+y)²; (4)16-(2a+3b)²; (5)x²-(a+b-c)²； (6)16a2-（2a+3b）2. 【答案】解　(1)(m+n)²-n² =[(m+n)+n][(m+n)-n] = m (m+2n). (2)(x²+y²)²-x²y² =(x²+y²-xy)(x²+y²+xy). (3)y²-9(x+y)² =[y+3(x+y)][y-3(x+y)] =(y+3x+3y)(y-3x-3y) =(3x+4y)(-3x-2y) =-(3x+4y)(3x+2y). (4)16-(2a+3b)² =[4+(2a+3b)][4-(2a+3b)] =(4+2a+3b)(4-2a-3b). (5)x²-(a+b-c)² =(x+a+b-c)(x-a-b+c). (6)16a2-（2a+3b）2 =(4a)2-（2a+3b）2 =（6a+3b）（2a-3b） =3（2a+b）（2a-3b）. 三、用平方差公式求某些字母的值 1.对于任意整数m，多项式( 4m+5)2-9都能（ ） A.被8整除 　　　　 　 B.被m整除 C.被(m-1)整除 　　　　　 D.被(2n-1)整除 【答案】A 【解析】( 4m+5)2-9 = ( 4m+5+3)( 4m+5-3) = ( 4m+8)( 4m+2) = 8(m+2)( 2m+1)． 2.x3-xy2有因式（x-y），那么另外的因式为（　　） A.x2+y2 B.（x-y）2 C.（x+y）（x-y） D.x（x+y） 【答案】D 【解析】x3-xy2=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）， 则另外的因式为x（x+y）． 3.两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（　　） A.4 B.8 C.4或-4 D.8的倍数 【答案】B 【解析】设两个连续奇数为2n+1，2n+3， 根据题意得（2n+3）2-（2n+1）2=（2n+3+2n+1）（2n+3-2n-1）=8（n+1）， 则k的值为8． 4.在日常生活中如取款、上网等都需要密码.有一种用“因式分解”法产生的密码,便于记忆.如对于多项式x4-y4,因式分解的结果是 (x-y)(x+y)(x2+y2),若取x=9,y=9时,则各个因式的值是:x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式4x3-xy2,取x=10,y=10时,用上述方法产生的密码是　　　　(写出一个即可). 【答案】103010（答案不唯一） 【解析】4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x+y)(2x-y).取x=10,y=10时,则各个因式的值是: x=10,2x+y=30,2x-y=10, ∴密码为103010. 5.已知|x-y+2|+ =0，则x2-y2的值为            ． 【答案】-4 【解析】∵|x-y+2|+=0，∴x-y+2=0，x+y-2=0， ∴x-y=-2，x+y=2，∴x2-y2=（x-y）（x+y）=-4． 6.已知A=2x+y，B=2x-y，计算A2-B2． 【答案】解　A2-B2=（A+B）（A-B）=[（2x+y）+（2x-y）][（2x+y）-（2x-y）]=4x•2y=8xy. 7.求证：当n为整数时，多项式(2n＋1)2－(2n－1)2一定能被8整除． 【答案】证明　原式＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n. ∵n为整数， ∴8n能被8整除， 即多项式(2n＋1)2－(2n－1)2一定能被8整除． 四、用完全平方公式分解因式 1.分解因式x2－2x＋1的最终结果是(　　) A.x(x－2)＋1 B.(x＋1)(x－2) C.(x－1)2 D.(x＋1)2 【答案】C 2.下列各式能用完全平方公式分解因式的有　(　　) ①4x2-4xy-y2；② x2+x+；③ -1-a-；④m2n2+4-4mn；⑤a2-2ab+4b2；⑥x2-8x+9. A.1个　　 B.2个　　 C.3个　 D.4个 【答案】C 【解析】①⑤⑥不符合完全平方式的结构特点，不能用完全平方公式分解因式.②④符合完全平方式的特点，③提取“-”号后也符合完全平方式的特点，所以②③④能用完全平方公式分解. 3.已知下列多项式：① x2＋y＋y2；②－x2＋2xy－y2；③ x2＋6xy－9y2；④x2－x＋.其中，能用完全平方公式进行因式分解的有(　　) A.②③④ B.①③④ C.②④ D.①②③ 【答案】C 【解析】① x2＋y＋y2不能用完全平方公式进行因式分解； ②－x2＋2xy－y2＝－(x2－2xy＋y2)＝－(x－y)2，能用完全平方公式进行因式分解； ③x2＋6xy－9y2不能用完全平方公式进行因式分解； ④x2－x＋＝x2－2×·x＋()2＝()2，能用完全平方公式进行因式分解； 因此能用完全平方公式进行因式分解的有②④. 4.多项式4-4(a-b)+(a-b)2分解因式的结果是　　　　. 【答案】(2-a+b)2 【解析】4-4(a-b)+(a-b)2=[2-(a-b)]2=(2-a+b)2. 5.分解因式(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y4=　__________. 【答案】(x-y)4 【解析】(x2-2xy)2+2y2(x2-2xy)+y4=(x2-2xy+y2)2=[(x-y)2]2=(x-y)4. 6.分解因式： (1)x2＋12x＋36； (2)－2xy－x2－y2； (3)a2＋2a＋1； (4)4x2－4x＋1； (5)（m+n）2+6（m2-n2）+9（m-n）2； (6)（2a+3b）2-2（2a+3b）（5b-4a）+（4a-5b）2． 【答案】解　(1)原式＝x2＋2·x·6＋62＝(x＋6)2. (2)原式＝－(x2＋2xy＋y2)＝－(x＋y)2. (3)原式＝(a＋1)2. (4)原式＝(2x)2－2×2x·1＋1＝(2x－1)2. (5)原式=（m+n）2+6（m-n）（m+n）+9（m-n）2， =[（m+n）+3（m-n）]2， =（4m-2n）2， =4（2m-n）2． (6)原式=（2a+3b）2-2（2a+3b）（5b-4a）+（5b-4a）2 =[2a+3b-（5b-4a）]2 =（6a-2b）2 =4（3a-b）2． 7.在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式（a2-4a+2）（a2-4a+6）+4进行因式分解．指导老师的讲解过程如下． 解：令a2-4a=t， 则原式=（t+2）（t+6）+4=t2+8t+12+4=t2+8t+16=（t+4）2． ∵t=a2-4a，∴原式=（a2-4a+4）2． 老师解答到此就停止了，并提出了以下2个问题： （1）上述解答的结果是否分解到最后？     （填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果               （如果是则不用填写）； （2）请模仿以上方法对多项式（b2-2b）（b2-2b+2）+1进行因式分解． 【答案】解　（1）原式（a2-4a+4）2=[（a-2）2]2=（a-2）4， ∴上述解答的结果没有分解到最后，最后的结果为（a-2）4． （2）令t=b2-2b， ∴原式=t（t+2）+1=t2+2t+1=（t+1）2， ∵t=b2-2b， ∴原式=（b2-2b+1）2=（b-1）4． 五、完全平方公式与提公因式法 1.下列因式分解正确的是(　　) A.a2b－2ab＋b＝b(a2－2a) B.x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 C.x2－4y2＝(x＋4y)(x－4y) D.x2－4xy＋4y2＝(x－2y)2 【答案】D 【解析】A项，a2b－2ab＋b＝b(a2－2a＋1)＝b(a－1)2，则此项错误，不符合题意； B项，x2－2x＋1＝(x－1)2，则此项错误，不符合题意； C项，x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)，则此项错误，不符合题意； D项，x2－4xy＋4y2＝(x－2y)2，则此项正确，符合题意． 2.把多项式4x2y-4xy2-x3分解因式的结果是（　　） A.4xy（x-y）-x3 B.-x（x-2y）2 C.x（4xy-4y2-x2） D.-x（-4xy+4y2+x2） 【答案】B 【解析】4x2y-4xy2-x3 =-x（x2-4xy+4y2）=-x（x-2y）2. 3.若a＋b＋1＝0，则3a2＋3b2＋6ab的值是(　　) A.1 B.－1 C.3 D.－3 【答案】C 【解析】易得3a2＋3b2＋6ab＝3(a＋b)2， ∵a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1， ∴原式＝3×(－1)2＝3. 4.分解因式：－8a3b＋8a2b2－2ab3＝________. 【答案】－2ab(2a－b)2 【解析】原式＝－2ab(4a2－4ab＋b2) ＝－2ab(2a－b)2. 5.分解因式：2a2－8a＋8＝________. 【答案】2(a－2)2 6.分解因式： (1)a－2a2＋a3； (2)m3n－10m2n＋25mn. 【答案】解　(1)a－2a2＋a3 ＝a(1－2a＋a2) ＝a(a－1)2. (2)m3n－10m2n＋25mn ＝mn(m2－10m＋25) ＝mn(m－5)2. 7.分解因式： (1)ax2＋2a2x＋a3； (2)－3x2＋6xy－3y2； (3)(x＋y)2－12x－12y＋36. 【答案】解　(1)原式＝a(x2＋2ax＋a2)＝a(x＋a)2. (2)原式＝－3(x2－2xy＋y2)＝－3(x－y)2. (3)原式＝(x＋y)2－12(x＋y)＋36＝(x＋y)2－2·(x＋y)·6＋62＝(x＋y－6)2. 六、完全平方公式与平方差公式 1.下列各因式分解正确的是（　　） A.x2+2x-1=（x-1）2 B.-x2+（-2）2=（x-2）（x+2） C.x3-4x=x（x+2）（x-2） D.（x+1）2=x2+2x+1 【答案】C 【解析】A. x2+2x-1无法因式分解，故A错误； B. -x2+（-2）2=（2+x）（2-x），故B错误； C. x3-4x=x（x+2）（x-2），故C正确； D.（x+1）2=x2+2x+1，是多项式的乘法，不是因式分解，故D错误． 2.下列分解因式正确的是（　　） A.x2+y2=（x+y）（x-y） B.m2-2m+1=（m+1）2 C.a2-16=（a+4）（a-4） D.x3-x=x（x2-1） 【答案】C 【解析】A. 原式不能分解，错误； B. 原式=（m-1）2，错误； C. 原式=（a+4）（a-4），正确； D. 原式=x（x2-1）=x（x+1）（x-1），错误． 3.下列分解因式中，结果正确的是（　　） A.x2-1=（x-1）2 B.x2+2x-1=（x+1）2 C.2x2-2=2（x+1）（x-1） D.x2-6x+9=x（x-6）+9 【答案】C 【解析】A. 原式=（x+1）（x-1），错误； B. 原式不能分解，错误； C. 原式=2（x2-1）=2（x+1）（x-1），正确； D. 原式=（x-3）2，错误． 4.分解因式：a2＋4ab＋4b2－1＝________. 【答案】(a＋2b＋1)(a＋2b－1) 【解析】原式=(a+2b)2-1=(a＋2b＋1)(a＋2b－1). 5.分解因式：x2+2xy+y2-4=　　　　. 【答案】 (x+y+2)(x+y-2) 【解析】x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2)-4=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2). 6.先阅读，再分解因式：x4+4=（x4+4x2+4）-4x2=（x2+2）2-（2x）2=（x2-2x+2）（x2+2x+2），按照这种方法把多项式x4+64分解因式． 【答案】解　x4+64 =x4+16x2+64-16x2 =（x2+8）2-16x2 =（x2+8）2-（4x）2 =（x2+8+4x）（x2+8-4x）． 7.观察下列分解因式的过程: x2+2ax-3a2 =x2+2ax+a2-4a2(先加上a2,再减去a2) =(x+a)2-4a2(运用完全平方公式) =(x+a+2a)(x+a-2a) =(x+3a)(x-a). 像上面这样通过加减项配出完全平方式,把二次三项式分解因式的方法,叫做配方法.请你用配方法分解因式:x2-4xy+3y2. 【答案】解　x2-4xy+3y2=x2-4xy+3y2+y2-y2=x2-4xy+4y2-y2=(x-2y)2-y2=[(x-2y)+y][(x-2y)-y]=(x-y)(x-3y). 七、分组分解法与其它因式分解法 1.将多项式x2-y2+3x-3y分解因式的结果为（　　） A.（x+y+3）（x-y） B.（x-y-3）（x-y） C.（x+y-3）（x-y） D.（x-y+3）（x-y） 【答案】A 【解析】原式=（x2-y2）+（3x-3y） =（x+y）（x-y）+3（x-y） =（x-y）（x+y+3）. 2.下列因式分解正确的是（　　） A.x3-x=x（x-1） B.m2-n2=（m-n）2 C.-x2+2x=-x（x+2） D.4-x2+4xy-4y2=（2+x-2y）（2-x+2y） 【答案】D 【解析】A.x3-x=x（x2-1）=x（x+1）（x-1），不符合题意； B.m2-n2=（m+n）（m-n），不符合题意； C.-x2+2x=-x（x-2），不符合题意； D.4-x2+4xy-4y2=4-（x2-4xy+4y2）=（2+x-2y）（2-x+2y），符合题意． 3.用分组分解法将x2-xy+2y-2x分解因式，下列分组不恰当的是（　　） A.（x2-2x）+（2y-xy） B.（x2-xy）+（2y-2x） C.（x2+2y）+（-xy-2x） D.（x2-2x）-（xy-2y） 【答案】C 【解析】 A．原式=（x2-2x）+（2y-xy）=x（x-2）-y（x-2）=（x-2）（x-y），故A不符合题意； B．原式=（x2-xy）+（2y-2x）=（x2-xy）-（2x-2y）=x（x-y）-2（x-y）=（x-y）（x-2），故B不符合题意； C．原式=（x2+2y）+（-xy-2x）无法进行分组分解，故C符合题意； D．原式=（x2-2x）-（xy-2y）=x（x-2）-y（x-2）=（x-2）（x-y），故D不符合题意． 4.因式分解：m2-my+mx-yx=            ． 【答案】（m-y）（m+x） 【解析】原式=（m2-my）+（mx-yx） =m（m-y）+x（m-y） =（m-y）（m+x）， 5.因式分解：2ac-6ad+bc-3bd=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 【答案】（c-3d）（2a+b） 【解析】 2ac-6ad+bc-3bd =2a（c-3d）+b（c-3d） =（c-3d）（2a+b）． 6.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a-3ab-4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式=（2a-3ab）-（4-6b） =a（2-3b）-2（2-3b） =（2-3b）（a-2）. 解法二：原式=（2a-4）-（3ab-6b） =2（a-2）-3b（a-2） =（a-2）（2-3b）. 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： （1）x2-a2+x+a； （2）ax+a2-2ab-bx+b2． 【答案】解　（1）x2-a2+x+a =（x2-a2）+（x+a） =（x-a）（x+a）+（x+a） =（x+a）（x-a+1）. （2）ax+a2-2ab-bx+b2 =（ax-bx）+（a2-2ab+b2） =x（a-b）+（a-b）2 =（a-b）（x+a-b）． 7.因式分解： （1）m（5-m）+2（m-5）； （2）x4-81x2y2； （3）4x2-2x-y2-y； （4）x2+y2-1-2xy； （5）m2-2mn+n2+6-5m+5n. 【答案】解　（1）原式=m（5-m）-2（5-m） =（5-m）（m-2）. （2）原式=x2（x2-81y2） =x2（x+9y）（x-9y）. （3）原式=（4x2-y2）-（2x+y） =（2x+y）（2x-y）-（2x+y） =（2x+y）（2x-y-1）. （4）原式=（x2+y2-2xy）-1 =（x-y）2-12 =（x-y+1）（x-y-1）. （5）原式=（m2-2mn+n2）-5（m-n）+6 =（m-n）2-5（m-n）+6 =（m-n-2）（m-n-3）． 八、用十字相乘法分解因式 1.若将多项式x2-ax+b因式分解为（x-2）（x+5），则（-3a+b）2 023的值为（　　） A.0 B.-1 C.1 D.1或-1 【答案】B 【解析】∵（x-2）（x+5）=x2+3x-10，x2-ax+b=（x-2）（x+5）， ∴a=-3，b=-10， ∴-3a+b=9-10=-1， ∴原式=-1. 2.若多项式39x2+5x-14可分解成（ax+2）（13x-b），则2a-b的值是（　　） A.-1 B.13 C.1 D.-13 【答案】A 【解析】由题意得39x2+5x-14=（ax+2）（13x-b）， ∴39x2+5x-14=13ax2-abx+26x-2b， ∴39x2+5x-14=13ax2+（26-ab）x-2b， ∴ 解得 ∴2a-b=2×3-7=6-7=-1． 3.把多项式x2+x-12分解因式，其结果是（　　） A.（x+6）（x-2） B.（x+4）（x-3） C.（x+3）（x-4） D.（x+2）（x-6） 【答案】B 4.因式分解：x2-10x-24=                  ． 【答案】（x-12）（x+2） 5.已知x2+mx+n=（x-5）（x+3），则m-n=         ． 【答案】13 【解析】（x-5）（x+3）=x2-2x-15， ∴m=-2，n=-15， ∴m-n=-2-（-15）=13． 6.分解因式： （1）x2+2x-15； （2）m2+10mn-24n2； （3）x2-2x-8； （4）m2-4m-5； （5）x2+6x-16； （6）2x2+x-6； （7）2y2-y-10； （8）x2-5xy-24y2； （9）（x2-2x）2-7（x2-2x）-8； （10）（a+1）（a-5）+8. 【答案】解　（1）x2+2x-15=（x+5）（x-3）. （2）m2+10mn-24n2=（m+12n）（m-2n）. （3）x2-2x-8=（x-4）（x+2）. （4）m2-4m-5=（m+1）（m-5）. （5）x2+6x-16=（x+8）（x-2）. （6）2x2+x-6=（x+2）（2x-3）. （7）2y2-y-10=（2y-5）（y+2）. （8）x2-5xy-24y2=（x-8y）（x+3y）. （9）（x2-2x）2-7（x2-2x）-8=（x2-2x-8）（x2-2x+1）=（x-4）（x+2）（x-1）2． （10）（a+1）（a-5）+8=a2-4a-5+8 =a2-4a+3 =（a-1）（a-3) . 7.阅读下列材料，回答问题． （1）形如x2+（p+q）x+pq型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来答案解： x2+（p+q）x+pq =x2+px+qx+pq =（x2+px）+（qx+pq） =x（x+p）+q（x+p） =（x+p）（x+q）． 因此，可以得x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； （2）利用（1）中的结论，分解因式： ①m2+7m-18； ②x2-2x-15； ③x2y2-7xy+10． 【答案】解　①m2+7m-18=（m-2）（m+9）. ②x2-2x-15=（x+3）（x-5）. ③x2y2-7xy+10=（xy-2）（xy-5）． 学科网（北京）股份有限公司 $$