4.3 公式法 暑假题型专练2024-2025学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册 4.3 公式法 暑假题型专练 一、两个平方项是单项式 1.下列四个多项式：①-a2+b2；②-x2-y2；③1-（a-1）2；④m2-2mn+n2，其中能用平方差公式分解因式的有（　　） A.①② B.①③ C.②④ D.②③ 2.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是(　　) A.－a2－b2 B.a2＋(－b)2 C.(－a)2＋(－b)2 D.－a2＋1 3.分解因式16-x2等于（　　） A.（4-x）（4+x） B.（x-4）（x+4） C.（8+x）（8-x） D.（4-x）2 4.若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是            ．（写出一个即可） 5.分解因式：4a2-16=            ． 6.分解因式： （1）（x-1）2+2（x-5）； （2）2m（2m-3）+6m-1； （3）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy. 7.分解因式：（x+y）（x-y）-3y2. 二、两个平方项是一个单项式一个多项式 1.因式分解(x-1)2-9的结果是　(　　) A.（x+2）(x-4)　　 B.（x+8）(x+1)　 C.（x-2）(x-4)　　　 D.（x-10）(x+8)　 2.对于任意正整数m，多项式（4m+5）2-9都能被（　　） A.8整除 B.m整除 C.（m-1）整除 D.（2m-1）整除 3.已知多项式4x2-（y-z）2的一个因式为2x-y+z，则另一个因式是（　　） A.2x-y-z B.2x-y+z C.2x+y+z D.2x+y-z 4.分解因式：（a-2b）2-b2=            . 5.分解因式（2x+3）2-x2=______________． 6.请你从4a2，(x+y)2，1，9b2中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解. 7.把下列各式分解因式： (1)(m+n)²-n²; (2)(x²+y²)²-x²y²； (3)y²-9(x+y)²; (4)16-(2a+3b)²; (5)x²-(a+b-c)²； (6)16a2-（2a+3b）2. 三、用平方差公式求某些字母的值 1.对于任意整数n，多项式(n＋7)2－n2都能够被(　　) A.2整除 B.n整除 C.n＋7整除 D.7整除 2.若多项式x2+pxy+qy2=(x-3y)(x+3y)，则p，q的值依次为　(　　) A.-12，-9　 B.-6，9　　 C.-9，-9　 D.0，-9 3.两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（　　） A.4 B.8 C.4或-4 D.8的倍数 4.已知|x-y+2|+ =0，则x2-y2的值为            ． 5.若则多项式x2－4y2＋1的值为________． 6.如果a+b=5，a-b=3，求a2-b2的值. 7.已知A=2x+y，B=2x-y，计算A2-B2． 四、用完全平方公式分解因式 1.下列各式能用完全平方公式分解因式的有　(　　) ①4x2-4xy-y2；② x2+x+；③ -1-a-；④m2n2+4-4mn；⑤a2-2ab+4b2；⑥x2-8x+9. A.1个　　 B.2个　　 C.3个　 D.4个 2.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A.x2+x+1　 B.x2+2x-1 C.x2-1　　 D.x2-6x+9 3.分解因式x2－2x＋1的最终结果是(　　) A.x(x－2)＋1 B.(x＋1)(x－2) C.(x－1)2 D.(x＋1)2 4.判断下列各式是不是完全平方式． ①a2－2ab－b2； ②a2＋b2－2ab； ③－6xy＋9x2＋y2； ④a2－6ab＋b2； ⑤x2＋x＋； ⑥m2＋4mn＋2n2. 其中属于完全平方式的是              .（只填写序号） 5.多项式4-4(a-b)+(a-b)2分解因式的结果是　　　　. 6.分解因式： (1)16x2＋24x＋9； (2)－x2＋4xy－4y2. 7.下面是某同学对多项式（x2-2x-1）（x2-2x+3）+4进行因式分解的过程： 解：设x2-2x=y， 原式=（y-1）（y+3）+4（第一步） =y2+2y+1（第二步） =（y+1）2（第三步） =（x2-2x+1）2，（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了 （ ） A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底        .（填“彻底”或者“不彻底”）若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果； （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-4x）（x2-4x-10）+25进行因式分解． 五、完全平方公式与提公因式法 1.若a＋b＋1＝0，则3a2＋3b2＋6ab的值是(　　) A.1 B.－1 C.3 D.－3 2.下列因式分解错误的是（　　） A.2a3-8a2+12a=2a（a2-4a+6） B.x2-5x+6=（x-2）（x-3） C.（a-b）2-c2=（a-b+c）（a-b-c） D.-2a2+4a-2=2（a+1）2 3.下列因式分解中，正确的是（　　） A.-2x3-3xy3+xy=-xy（2x2-3y2+1） B.-y2-x2=-（y+x）（y-x） C.16x2+4y2-16xy=4（2x-y）2 D.x2y+2xy+4y=y（x+2）2 4.分解因式：2a2－8a＋8＝________. 5.分解因式：2a3-8a2+8a=　　　　. 6.分解因式： (1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36. 7.已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 六、完全平方公式与平方差公式 1.下列各因式分解正确的是（　　） A.x2+2x-1=（x-1）2 B.-x2+（-2）2=（x-2）（x+2） C.x3-4x=x（x+2）（x-2） D.（x+1）2=x2+2x+1 2.把多项式a4- 2a2b2+b4因式分解的结果为（ ） A.a2(a2-2b2)+b4 B.(a2-b2)2　 C.(a-b)4 D.(a+b)2(a-b)2 3.下列分解因式正确的是（　　） A.x2+y2=（x+y）（x-y） B.m2-2m+1=（m+1）2 C.a2-16=（a+4）（a-4） D.x3-x=x（x2-1） 4.分解因式：a2＋4ab＋4b2－1＝________. 5.分解因式：x2+2xy+y2-4=　　　　. 6.因式分解： (1)4x2y2-（x2+y2）2； (2)3x2－12xy＋12y2； (3)9x2(a－b)＋16y2(b－a)； (4)（x2-x）2-（1-x）2； (5)（y2-1）2-6（y2-1）+9； (6)（x2+1）2-4x2； (7)（x2-1）2+6（1-x2）+9； (8)（x2+25）2-100x2； (9)（x2+9）2-36x2. 7.某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖： 解：设x2－4x＝y. 原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步) ＝y2＋8y＋16(第二步) ＝(y＋4)2(第三步) ＝(x2－4x＋4)2(第四步) 根据以上解答过程回答以下问题： (1)第四步的结果继续因式分解得到的结果为________； (2)请你模仿以上方法对多项式(x2＋6x)(x2＋6x＋10)＋25进行因式分解． 七、分组分解法与其它因式分解法 1.将多项式x2-y2+3x-3y分解因式的结果为（　　） A.（x+y+3）（x-y） B.（x-y-3）（x-y） C.（x+y-3）（x-y） D.（x-y+3）（x-y） 2.多项式x2y2-y2-x2+1因式分解的结果是（　　） A.（x2+1）（y2+1） B.（x-1）（x+1）（y2+1） C.（x2+1）（y+1）（y-1） D.（x+1）（x-1）（y+1）（y-1） 3.多项式x2-（y2-4y+4）分解因式结果正确的是（　　） A.（x+y+2）（x-y-2） B.（x+y-2）（x-y+2） C.（x+y-2）（x+y+2） D.（x-y+2）（x+y+2） 4.分解因式：x-xy+y-1=               ． 5.分解因式：（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）2=                 ． 6.因式分解： （1）m（5-m）+2（m-5）； （2）x4-81x2y2； （3）4x2-2x-y2-y； （4）x2+y2-1-2xy； （5）m2-2mn+n2+6-5m+5n. 7.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a-3ab-4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式=（2a-3ab）-（4-6b） =a（2-3b）-2（2-3b） =（2-3b）（a-2）. 解法二：原式=（2a-4）-（3ab-6b） =2（a-2）-3b（a-2） =（a-2）（2-3b）. 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： （1）x2-a2+x+a； （2）ax+a2-2ab-bx+b2． 八、用十字相乘法分解因式 1.如果x2+kx-10=（x-5）（x+2），则k应为（　　） A.-3 B.3 C.7 D.-7 2.甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x-2），乙看错了b的值，分解的结果为（x-8）（x+4），那么b-a的值为（　　） A.-8 B.-6 C.-4 D.2 3.若x2+x-12=（x+p）（x+q），则p,q的值可能为（　　） A.p=3，q=4 B.p=-3，q=4 C.p=3，q=-4 D.p=-3，q=-4 4.因式分解：x2-10x-24=                  ． 5.观察下列因式分解中的规律： ①x2+3x+2=（x+1）（x+2）；②x2+7x+10=（x+2）（x+5）；③x2-5x+6=（x-2）（x-3）； ④x2-2x-8=（x+2）（x-4）. 利用上述系数特点分解因式x2+x-6=                 ． 6.分解因式： （1）x2+2x-15； （2）m2+10mn-24n2； （3）x2-2x-8； （4）m2-4m-5； （5）x2+6x-16； （6）2x2+x-6； （7）2y2-y-10； （8）x2-5xy-24y2； （9）（x2-2x）2-7（x2-2x）-8； （10）（a+1）（a-5）+8. 7.阅读下列材料，回答问题． （1）形如x2+（p+q）x+pq型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来答案解： x2+（p+q）x+pq =x2+px+qx+pq =（x2+px）+（qx+pq） =x（x+p）+q（x+p） =（x+p）（x+q）． 因此，可以得x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； （2）利用（1）中的结论，分解因式： ①m2+7m-18； ②x2-2x-15； ③x2y2-7xy+10． 北师大版八年级下册 4.3 公式法 暑假题型专练（参考答案） 一、两个平方项是单项式 1.下列四个多项式：①-a2+b2；②-x2-y2；③1-（a-1）2；④m2-2mn+n2，其中能用平方差公式分解因式的有（　　） A.①② B.①③ C.②④ D.②③ 【答案】B 【解析】①-a2+b2，③1-（a-1）2符合公式特点，能用平方差公式分解因式；②-x2-y2，④m2-2mn+n2不符合公式特点，不能用平方差公式分解因式． 2.下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是(　　) A.－a2－b2 B.a2＋(－b)2 C.(－a)2＋(－b)2 D.－a2＋1 【答案】D 【解析】A项，－a2－b2＝－(a2＋b2)，无法因式分解，故此选项错误； B项，a2＋(－b)2＝a2＋b2，无法因式分解，故此选项错误； C项，(－a)2＋(－b)2＝a2＋b2，无法因式分解，故此选项错误； D项，－a2＋1＝1－a2＝(1－a)(1＋a)，故此选项正确． 3.分解因式16-x2等于（　　） A.（4-x）（4+x） B.（x-4）（x+4） C.（8+x）（8-x） D.（4-x）2 【答案】A 4.若整式x2+ky2（k为不等于零的常数）能在有理数范围内因式分解，则k的值可以是            ．（写出一个即可） 【答案】-1 【解析】令k=-1，整式为x2-y2=（x+y）（x-y），则k的值可以是-1． 5.分解因式：4a2-16=            ． 【答案】4（a+2）（a-2） 【解析】4a2-16=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）． 6.分解因式： （1）（x-1）2+2（x-5）； （2）2m（2m-3）+6m-1； （3）8（x2-2y2）-x（7x+y）+xy. 【答案】解　（1）原式=x2-2x+1+2x-10=x2-9=（x+3）（x-3）； （2）原式=4m2-6m+6m-1=4m2-1=（2m+1）（2m-1）； （3）原式=x2-16y2=（x+4y）（x-4y）. 7.分解因式：（x+y）（x-y）-3y2. 【答案】解　（x+y）（x-y）-3y2 =x2-y2-3y2 =x2-4y2 =（x+2y）（x-2y）． 二、两个平方项是一个单项式一个多项式 1.因式分解(x-1)2-9的结果是　(　　) A.（x+2）(x-4)　　 B.（x+8）(x+1)　 C.（x-2）(x-4)　　　 D.（x-10）(x+8)　 【答案】A 【解析】原式=(x-1+3)(x-1-3)=(x+2)(x-4). 2.对于任意正整数m，多项式（4m+5）2-9都能被（　　） A.8整除 B.m整除 C.（m-1）整除 D.（2m-1）整除 【答案】A 【解析】原式=（4m+5）2-32， =（4m+5-3）（4m+5+3）， =（4m+2）（4m+8）， =2（2m+1）×4（m+2）， =8（2m+1）（m+2）． ∴原式可以被8整除． 3.已知多项式4x2-（y-z）2的一个因式为2x-y+z，则另一个因式是（　　） A.2x-y-z B.2x-y+z C.2x+y+z D.2x+y-z 【答案】D 【解析】原式=（2x+y-z）（2x-y+z），∴另一个因式是2x+y-z． 4.分解因式：（a-2b）2-b2=            . 【答案】（a-b）（a-3b） 【解析】原式=（a-2b+b）（a-2b-b）=（a-b）（a-3b）. 5.分解因式（2x+3）2-x2=______________． 【答案】3（x+3）（x+1） 【解析】（2x+3）2-x2=（2x+3-x）（2x+3+x）=3（x+3）（x+1）． 6.请你从4a2，(x+y)2，1，9b2中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解. 【答案】解　(答案不唯一) 4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b)或(x+y)2-1=(x+y+1)(x+y-1)或 (x+y)2-4a2=(x+y+2a)(x+y-2a)或 (x+y)2-9b2=(x+y+3b)(x+y-3b)或 4a2-(x+y)2=[2a+(x+y)][2a-(x+y)]=(2a+x+y)(2a-x-y)或 9b2-(x+y)2=[3b+(x+y)][3b-(x+y)]=(3b+x+y)(3b-x-y)或 1-(x+y)2=[1+(x+y)][1-(x+y)]=(1+x+y)(1-x-y). 7.把下列各式分解因式： (1)(m+n)²-n²; (2)(x²+y²)²-x²y²； (3)y²-9(x+y)²; (4)16-(2a+3b)²; (5)x²-(a+b-c)²； (6)16a2-（2a+3b）2. 【答案】解　(1)(m+n)²-n² =[(m+n)+n][(m+n)-n] = m (m+2n). (2)(x²+y²)²-x²y² =(x²+y²-xy)(x²+y²+xy). (3)y²-9(x+y)² =[y+3(x+y)][y-3(x+y)] =(y+3x+3y)(y-3x-3y) =(3x+4y)(-3x-2y) =-(3x+4y)(3x+2y). (4)16-(2a+3b)² =[4+(2a+3b)][4-(2a+3b)] =(4+2a+3b)(4-2a-3b). (5)x²-(a+b-c)² =(x+a+b-c)(x-a-b+c). (6)16a2-（2a+3b）2 =(4a)2-（2a+3b）2 =（6a+3b）（2a-3b） =3（2a+b）（2a-3b）. 三、用平方差公式求某些字母的值 1.对于任意整数n，多项式(n＋7)2－n2都能够被(　　) A.2整除 B.n整除 C.n＋7整除 D.7整除 【答案】D 【解析】(n＋7)2－n2 ＝(n＋7＋n)(n＋7－n) ＝7(2n＋7)， ∴对于任意整数n，多项式(n＋7)2－n2都能够被7整除． 2.若多项式x2+pxy+qy2=(x-3y)(x+3y)，则p，q的值依次为　(　　) A.-12，-9　 B.-6，9　　 C.-9，-9　 D.0，-9 【答案】D 【解析】(x-3y)(x+3y)= x2-9y2= x2+pxy+qy2，所以p=0，q=-9. 3.两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于（　　） A.4 B.8 C.4或-4 D.8的倍数 【答案】B 【解析】设两个连续奇数为2n+1，2n+3， 根据题意得（2n+3）2-（2n+1）2=（2n+3+2n+1）（2n+3-2n-1）=8（n+1）， 则k的值为8． 4.已知|x-y+2|+ =0，则x2-y2的值为            ． 【答案】-4 【解析】∵|x-y+2|+=0，∴x-y+2=0，x+y-2=0， ∴x-y=-2，x+y=2，∴x2-y2=（x-y）（x+y）=-4． 5.若则多项式x2－4y2＋1的值为________． 【答案】－3 【解析】由题意，原式＝(x＋2y)(x－2y)＋1 ＝4×(－1)＋1 ＝－4＋1 ＝－3. 6.如果a+b=5，a-b=3，求a2-b2的值. 【答案】解　∵a2-b2=（a+b）（a-b）， ∴当a+b=5，a-b=3时，原式=5×3=15． 7.已知A=2x+y，B=2x-y，计算A2-B2． 【答案】解　A2-B2=（A+B）（A-B）=[（2x+y）+（2x-y）][（2x+y）-（2x-y）]=4x•2y=8xy. 四、用完全平方公式分解因式 1.下列各式能用完全平方公式分解因式的有　(　　) ①4x2-4xy-y2；② x2+x+；③ -1-a-；④m2n2+4-4mn；⑤a2-2ab+4b2；⑥x2-8x+9. A.1个　　 B.2个　　 C.3个　 D.4个 【答案】C 【解析】①⑤⑥不符合完全平方式的结构特点，不能用完全平方公式分解因式.②④符合完全平方式的特点，③提取“-”号后也符合完全平方式的特点，所以②③④能用完全平方公式分解. 2.下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A.x2+x+1　 B.x2+2x-1 C.x2-1　　 D.x2-6x+9 【答案】D 【解析】A中不含有写成平方的两项乘积的2倍，故A不符合题意； B中写成平方的两项的符号相反，故B不符合题意； C中只含有两项，C不符合题意； D符合完全平方式的特征，故D符合题意. 3.分解因式x2－2x＋1的最终结果是(　　) A.x(x－2)＋1 B.(x＋1)(x－2) C.(x－1)2 D.(x＋1)2 【答案】C 4.判断下列各式是不是完全平方式． ①a2－2ab－b2； ②a2＋b2－2ab； ③－6xy＋9x2＋y2； ④a2－6ab＋b2； ⑤x2＋x＋； ⑥m2＋4mn＋2n2. 其中属于完全平方式的是              .（只填写序号） 【答案】②③⑤ 5.多项式4-4(a-b)+(a-b)2分解因式的结果是　　　　. 【答案】(2-a+b)2 【解析】4-4(a-b)+(a-b)2=[2-(a-b)]2=(2-a+b)2. 6.分解因式： (1)16x2＋24x＋9； (2)－x2＋4xy－4y2. 【答案】解　(1)原式＝(4x)2＋2×4x·3＋32 ＝(4x＋3)2. (2)原式＝－(x2－4xy＋4y2)＝－[x2－2·x·2y＋(2y)2] ＝－(x－2y)2. 7.下面是某同学对多项式（x2-2x-1）（x2-2x+3）+4进行因式分解的过程： 解：设x2-2x=y， 原式=（y-1）（y+3）+4（第一步） =y2+2y+1（第二步） =（y+1）2（第三步） =（x2-2x+1）2，（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了 （ ） A．提取公因式 B．平方差公式 C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式 （2）该同学因式分解的结果是否彻底        .（填“彻底”或者“不彻底”）若不彻底．请直接写出因式分解的最后结果； （3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2-4x）（x2-4x-10）+25进行因式分解． 【答案】解　（1）该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式. （2）∵（x2-2x+1）2=（x-1）4， ∴该同学因式分解的结果不彻底. （3）设x2-4x=y， 原式=y（y-10）+25 =y2-10y+25 =（y-5）2 =（x2-4x-5）2 =（x-5）2（x+1）2. 五、完全平方公式与提公因式法 1.若a＋b＋1＝0，则3a2＋3b2＋6ab的值是(　　) A.1 B.－1 C.3 D.－3 【答案】C 【解析】易得3a2＋3b2＋6ab＝3(a＋b)2， ∵a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1， ∴原式＝3×(－1)2＝3. 2.下列因式分解错误的是（　　） A.2a3-8a2+12a=2a（a2-4a+6） B.x2-5x+6=（x-2）（x-3） C.（a-b）2-c2=（a-b+c）（a-b-c） D.-2a2+4a-2=2（a+1）2 【答案】D 【解析】A，B，C分解正确，不符合题意；D. -2a2+4a-2=-2（a2-2a+1）=-2·（a-1）2，分解错误，符合题意． 3.下列因式分解中，正确的是（　　） A.-2x3-3xy3+xy=-xy（2x2-3y2+1） B.-y2-x2=-（y+x）（y-x） C.16x2+4y2-16xy=4（2x-y）2 D.x2y+2xy+4y=y（x+2）2 【答案】C 【解析】A. 应为-2x3-3xy3+xy=-x（2x2+3y3-y），错误； B. -y2-x2不符合平方差公式的特征，不能进行因式分解，错误； C.16x2+4y2-16xy=4（2x-y）2，正确； D.应为x2y+2xy+4y=y·（x2+2x+4），错误． 4.分解因式：2a2－8a＋8＝________. 【答案】2(a－2)2 5.分解因式：2a3-8a2+8a=　　　　. 【答案】2a(a-2)2 【解析】2a3-8a2+8a=2a(a2-4a+4)=2a(a-2)2. 6.分解因式： (1)3ax2＋6axy＋3ay2； (2)(a＋b)2－12(a＋b)＋36. 【答案】解　(1)原式＝3a(x2＋2xy＋y2) ＝3a(x＋y)2. (2)原式＝(a＋b)2－2·(a＋b)·6＋62 ＝(a＋b－6)2. 7.已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值． 【答案】解　原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当ab＝2，a＋b＝5时，原式＝2×52＝50. 六、完全平方公式与平方差公式 1.下列各因式分解正确的是（　　） A.x2+2x-1=（x-1）2 B.-x2+（-2）2=（x-2）（x+2） C.x3-4x=x（x+2）（x-2） D.（x+1）2=x2+2x+1 【答案】C 【解析】A. x2+2x-1无法因式分解，故A错误； B. -x2+（-2）2=（2+x）（2-x），故B错误； C. x3-4x=x（x+2）（x-2），故C正确； D.（x+1）2=x2+2x+1，是多项式的乘法，不是因式分解，故D错误． 2.把多项式a4- 2a2b2+b4因式分解的结果为（ ） A.a2(a2-2b2)+b4 B.(a2-b2)2　 C.(a-b)4 D.(a+b)2(a-b)2 【答案】D 【解析】先运用完全平方公式，a4- 2a2b2+b4 = (a2-b2)2，再运用平方差公式，则有(a2-b2)2 = (a+b)2(a-b)2，注意因式分解要分解到不能分解为止． 3.下列分解因式正确的是（　　） A.x2+y2=（x+y）（x-y） B.m2-2m+1=（m+1）2 C.a2-16=（a+4）（a-4） D.x3-x=x（x2-1） 【答案】C 【解析】A. 原式不能分解，错误； B. 原式=（m-1）2，错误； C. 原式=（a+4）（a-4），正确； D. 原式=x（x2-1）=x（x+1）（x-1），错误． 4.分解因式：a2＋4ab＋4b2－1＝________. 【答案】(a＋2b＋1)(a＋2b－1) 【解析】原式=(a+2b)2-1=(a＋2b＋1)(a＋2b－1). 5.分解因式：x2+2xy+y2-4=　　　　. 【答案】 (x+y+2)(x+y-2) 【解析】x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2)-4=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2). 6.因式分解： (1)4x2y2-（x2+y2）2； (2)3x2－12xy＋12y2； (3)9x2(a－b)＋16y2(b－a)； (4)（x2-x）2-（1-x）2； (5)（y2-1）2-6（y2-1）+9； (6)（x2+1）2-4x2； (7)（x2-1）2+6（1-x2）+9； (8)（x2+25）2-100x2； (9)（x2+9）2-36x2. 【答案】解　(1)原式＝(2xy)2-(x2+y2)2＝(2xy＋x2+y2)(2xy-x2-y2)=(x+y)2[-(x-y)2]=-(x+y)2(x-y)2. (2)原式＝3(x2－4xy＋4y2)＝3(x－2y)2. (3)原式 (9x2－16y2)(a－b)＝(a－b)(3x＋4y)(3x－4y)． (4)原式＝（x2-x+1-x）（x2-x-1+x） =（x2-2x+1）（x2-1） =（x-1）2（x+1）（x-1） =（x-1）3（x+1）． (5)原式==（y2-1-3）2 =（y2-4）2 =[（y+2）（y-2）]2 =（y+2）2（y-2）2． (6)原式=（x2+1+2x）（x2+1-2x） =（x+1）2（x-1）2. (7)原式=（x2-1）2-6（x2-1）+9 =（x2-1-3）2 =（x-2）2（x+2）2． (8)原式=（x2+25）2-（10x）2 =（x2+25+10x）（x2+25-10x） =（x+5）2（x-5）2. (9)原式=（x2+9+6x）（x2+9-6x） =（x+3）2（x-3）2. 7.某老师在讲因式分解时，为了提高同学们的思维训练力度，他补充了一道这样的题：对多项式(x2－4x＋2)(x2－4x＋6)＋4进行因式分解，有个学生解答过程如下，并得到了老师的夸奖： 解：设x2－4x＝y. 原式＝(y＋2)(y＋6)＋4(第一步) ＝y2＋8y＋16(第二步) ＝(y＋4)2(第三步) ＝(x2－4x＋4)2(第四步) 根据以上解答过程回答以下问题： (1)第四步的结果继续因式分解得到的结果为________； (2)请你模仿以上方法对多项式(x2＋6x)(x2＋6x＋10)＋25进行因式分解． 【答案】解　(1)第四步的结果还能继续因式分解，结果为(x－2)4. (2)根据题意，设x2＋6x＝y，则 y(y＋10)＋25＝y2＋10y＋25＝(y＋5)2， ∴(x2＋6x)(x2＋6x＋10)＋25＝(x2＋6x＋5)2＝(x2＋6x＋9－4)2＝[(x＋3)2－4]2 ＝(x＋1)2(x＋5)2. 七、分组分解法与其它因式分解法 1.将多项式x2-y2+3x-3y分解因式的结果为（　　） A.（x+y+3）（x-y） B.（x-y-3）（x-y） C.（x+y-3）（x-y） D.（x-y+3）（x-y） 【答案】A 【解析】原式=（x2-y2）+（3x-3y） =（x+y）（x-y）+3（x-y） =（x-y）（x+y+3）. 2.多项式x2y2-y2-x2+1因式分解的结果是（　　） A.（x2+1）（y2+1） B.（x-1）（x+1）（y2+1） C.（x2+1）（y+1）（y-1） D.（x+1）（x-1）（y+1）（y-1） 【答案】D 【解析】x2y2-y2-x2+1 =y2（x2-1）-（x2-1） =（y2-1）（x-1）（x+1） =（y-1）（y+1）（x-1）（x+1）． 3.多项式x2-（y2-4y+4）分解因式结果正确的是（　　） A.（x+y+2）（x-y-2） B.（x+y-2）（x-y+2） C.（x+y-2）（x+y+2） D.（x-y+2）（x+y+2） 【答案】B 【解析】原式=x2-（y-2）2 =（x+y-2）（x-y+2）． 4.分解因式：x-xy+y-1=               ． 【答案】（x-1）（1-y） 【解析】 x-xy+y-1=x（1-y）+y-1 =x（1-y）-（1-y） =（x-1）（1-y）． 5.分解因式：（x+y-2xy）（x+y-2）+（xy-1）2=                 ． 【答案】（x-1）2（y-1）2 【解析】原式=（x+y）2-2（x+y）-2xy（x+y）+4xy+（xy-1）2 =（x+y）2-[2（x+y）+2xy（x+y）]+[4xy+（xy-1）2] =（x+y）2-2（x+y）（xy+1）+（xy+1）2 =[（x+y）-（xy+1）]2 =（x+y-xy-1）2 =（x-1）2（y-1）2． 6.因式分解： （1）m（5-m）+2（m-5）； （2）x4-81x2y2； （3）4x2-2x-y2-y； （4）x2+y2-1-2xy； （5）m2-2mn+n2+6-5m+5n. 【答案】解　（1）原式=m（5-m）-2（5-m） =（5-m）（m-2）. （2）原式=x2（x2-81y2） =x2（x+9y）（x-9y）. （3）原式=（4x2-y2）-（2x+y） =（2x+y）（2x-y）-（2x+y） =（2x+y）（2x-y-1）. （4）原式=（x2+y2-2xy）-1 =（x-y）2-12 =（x-y+1）（x-y-1）. （5）原式=（m2-2mn+n2）-5（m-n）+6 =（m-n）2-5（m-n）+6 =（m-n-2）（m-n-3）． 7.八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a-3ab-4+6b因式分解．经过小组合作交流，得到了如下的解决方法： 解法一：原式=（2a-3ab）-（4-6b） =a（2-3b）-2（2-3b） =（2-3b）（a-2）. 解法二：原式=（2a-4）-（3ab-6b） =2（a-2）-3b（a-2） =（a-2）（2-3b）. 小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的．这种方法可以称为分组分解法．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） 请你也试一试利用分组分解法进行因式分解： （1）x2-a2+x+a； （2）ax+a2-2ab-bx+b2． 【答案】解　（1）x2-a2+x+a =（x2-a2）+（x+a） =（x-a）（x+a）+（x+a） =（x+a）（x-a+1）. （2）ax+a2-2ab-bx+b2 =（ax-bx）+（a2-2ab+b2） =x（a-b）+（a-b）2 =（a-b）（x+a-b）． 八、用十字相乘法分解因式 1.如果x2+kx-10=（x-5）（x+2），则k应为（　　） A.-3 B.3 C.7 D.-7 【答案】A 【解析】因为x2+kx-10=（x-5）（x+2），（x-5）（x+2）=x2-3x-10， 所以k=-3. 2.甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时，甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x-2），乙看错了b的值，分解的结果为（x-8）（x+4），那么b-a的值为（　　） A.-8 B.-6 C.-4 D.2 【答案】A 【解析】甲、乙两人在因式分解x2+ax+b时， 由于甲看错了a的值，分解的结果是（x+6）（x-2）， 因此b的值是正确的，即b=6×（-2）=-12； 由于乙看错了b的值，分解的结果为（x-8）（x+4）， 因此a的值是正确的，即a=-8+4=-4， 所以b-a=-12-（-4）=-8. 3.若x2+x-12=（x+p）（x+q），则p,q的值可能为（　　） A.p=3，q=4 B.p=-3，q=4 C.p=3，q=-4 D.p=-3，q=-4 【答案】B 【解析】∵x2+x-12=（x+4）（x-3）=（x+p）（x+q）， ∴p=-3，q=4或p=4，q=-3. 4.因式分解：x2-10x-24=                  ． 【答案】（x-12）（x+2） 5.观察下列因式分解中的规律： ①x2+3x+2=（x+1）（x+2）；②x2+7x+10=（x+2）（x+5）；③x2-5x+6=（x-2）（x-3）； ④x2-2x-8=（x+2）（x-4）. 利用上述系数特点分解因式x2+x-6=                 ． 【答案】（x+3）（x-2） 6.分解因式： （1）x2+2x-15； （2）m2+10mn-24n2； （3）x2-2x-8； （4）m2-4m-5； （5）x2+6x-16； （6）2x2+x-6； （7）2y2-y-10； （8）x2-5xy-24y2； （9）（x2-2x）2-7（x2-2x）-8； （10）（a+1）（a-5）+8. 【答案】解　（1）x2+2x-15=（x+5）（x-3）. （2）m2+10mn-24n2=（m+12n）（m-2n）. （3）x2-2x-8=（x-4）（x+2）. （4）m2-4m-5=（m+1）（m-5）. （5）x2+6x-16=（x+8）（x-2）. （6）2x2+x-6=（x+2）（2x-3）. （7）2y2-y-10=（2y-5）（y+2）. （8）x2-5xy-24y2=（x-8y）（x+3y）. （9）（x2-2x）2-7（x2-2x）-8=（x2-2x-8）（x2-2x+1）=（x-4）（x+2）（x-1）2． （10）（a+1）（a-5）+8=a2-4a-5+8 =a2-4a+3 =（a-1）（a-3) . 7.阅读下列材料，回答问题． （1）形如x2+（p+q）x+pq型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和． 把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来答案解： x2+（p+q）x+pq =x2+px+qx+pq =（x2+px）+（qx+pq） =x（x+p）+q（x+p） =（x+p）（x+q）． 因此，可以得x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式； （2）利用（1）中的结论，分解因式： ①m2+7m-18； ②x2-2x-15； ③x2y2-7xy+10． 【答案】解　①m2+7m-18=（m-2）（m+9）. ②x2-2x-15=（x+3）（x-5）. ③x2y2-7xy+10=（xy-2）（xy-5）． 学科网（北京）股份有限公司 $$