11.5因式分解 课件 2026-2027学年华东师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“因式分解”，涵盖提公因式法及平方差、完全平方公式法。通过复习整式乘法导入，对比其与因式分解的互逆关系，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以数学思维中的推理意识为核心，引导学生抽象公因式确定方法与公式特征，通过分层练习强化应用。如提公因式“三看”步骤、公式法从乘法公式反推，培养学生抽象能力与模型意识，助力学生提升逻辑推理能力，也为教师提供清晰教学流程与丰富资源。

11.5因式分解（一） 第十一章 整式的乘除 相似三角形 学习目标 1.理解因式分解的概念. 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系. 3.掌握公因式的概念，会利用提公因式法分解因式. 复习旧知 本章我们学习了整式的乘法，它分为几种形式? 计算： 单项式与单项式相乘； 单项式与多项式相乘； 多项式与多项式相乘. 3a·(2b2-ab+b2)= (3a+2b)(2a+3b)= (a+2b)(a2+2ab+2b2)= 6ab2-3a2b+3ab2； 6a2+13ab+6b2； a3+4a2b+6ab2+4b3. 探究新知 试一 试 （ ） （ ） （ ）（ ） 这两组等式有什么联系和区别？ 探究新知 归 纳 把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫做多项式的因式分解. 如：ma+mb+mc= m•( a+b+c) 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？ 因式分解 整式乘法 因式分解等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积. ma+mb+mc m(a+b+c) 整式乘法与因式分解是两种互逆的变形 探究新知 判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1)2x(x-3y) = 2x2-6xy (2)x2+4x+4 = (x+2)2 (3) m2-4 = (m+2)(m-2) (4)2πR+ 2πr = 2π(R+r) 整式乘法 因式分解 因式分解 因式分解 探究发现：下列各多项式的结构有什么共同特点？ ax-ay ma+mb+mc 2πR+2πr a m 2π 多项式ma+mb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式． 探究新知 8a3b2－12ab3c 的公因式是什么？ 最大公约数 相同字母 公因式 4 a、b a、b2 一看系数　 观察方向 二看字母 三看指数 最低指数 所以公因式是4ab2 . 探究新知 多项式中的公因式是如何确定的？ 思 考 探究新知 归 纳 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法. 提公因式法 探究新知 例1 把下列多项式分解因式: (1)-5a2 +25a； (2)3a2 -9ab. 解： (1) -5a2+25a =-5a(a - 5)； (2)3a2 -9ab =3a(a-3b). 注意:当多项式的第一项系数是负数时，一般地，先提出负号，再进行因式分解．但应注意，这时留在括号内的每一项的符号都要改变. 巩固练习 1.xa＋xb＋xc＝x　(a＋b＋c)　.  2.因式分解:4x2－2x＝　2x(2x－1)　.  (a＋b＋c)　 2x(2x－1)　 3.有下列等式：①x－3xy＝x（1－3y）； ②（x＋3）（x－1）＝x2＋2x－3.从左到右的变形， 表述正确的是（　C　） A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 C 4.把多项式m2（a－2）＋m（2－a）进行分解因式得（　C　） A.（a－2）（m2＋m） B.（a－2）（m2－m） C.m（a－2）（m－1） D.m（a－2）（m＋1） 5.把下列各式分解因式： （1）4m－2m2＝ 　2m（2－m）　⁠；  （2）3a2－9ab＝ 　3a（a－3b）　⁠；  （3）xy－2y2＝ 　y（x－2y）　⁠.  6.计算： （1）1.992＋1.99×0.01＝ 　3.98　⁠；  （2）（－2）404＋（－2）405＝ 　－22 024　⁠.  C 2m（2－m）　 3a（a－3b）　 y（x－2y）　 3.98　 －2404　 巩固练习 7.把下列各式分解因式： （1）4a3b2－10ab3c； 解：原式＝2ab2（2a2－5bc）. （2）－3ma3＋6ma2－12ma； 解：原式＝－3ma（a2－2a＋4）. （3）6p（p＋q）－4q（p＋q）； 解：原式＝2（p＋q）（3p－2q）. （4）2a（x－y）－3b（y－x）； 解：原式＝2a（x－y）＋3b（x－y） ＝（x－y）（2a＋3b）. 巩固练习 巩固练习 8.（1）将多项式x（x＋y）（x－y）－x（x＋y）2进行分解因式，并求出当x＋y＝1，xy＝－时，此多项式的值； 解：原式＝x（x＋y）[（x－y）－（x＋y）]＝－2xy（x＋y）. 当x＋y＝1，xy＝－时， 原式＝－2×（－）×1＝1. 11.5因式分解（二） 第十一章 整式的乘除 学习目标 1.理解用平方差公式和完全平方公式因式分解. 2.能较熟练地应用公式法分解因式. 3.观察多项式的结构，能按照一提(公因式)，二套(套乘法 公式)，三查(查最简)的顺序将多项式分解因式. 1.因式分解的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 2.确定公因式 3.提公因式法： 4.乘法公式： 复习旧知 17 整式的乘法 整式的乘法 因式分解 因式分解 这样因式分解的方法叫做公式法 公式法 探究新知 18 探究新知 (a±b)2 a2±2ab+b2 (a+b)(a-b) a2-b2 整式乘法 因式分解 整式乘法 因式分解 归 纳 把整式的乘法公式，反过来就得到因式分解的公式 探究新知 例1 把下列多项式分解因式: (3)25x2 - 16y2； (4) x2 + 4xy + 4y2. (4) x2 + 4xy + 4y2 = x2 + 2 · x · 2y + （2y）2 =（ x + 2y ）2 解： (3) 25x2 - 16y2 = ( 5x )2 - ( 4y )2 = ( 5x + 4y )( 5x - 4y ) 2.能用完全平方公式分解因式的多项式的特征：形如 ， 其中 可以代表字母、数字或代数式. 1. 把下列多项式因式分解： 1.能用平方差公式分解因式的多项式的特征：形如 解： ，其中 可以代表字母、数字或代数式； 巩固练习 21 2. 分解多项式: (1) 4x2y-4xy2+y3； (2) x2 (x-2)+(2-x)； (3) (x2+1)2-4x2. 解: (1) 4x2y-4xy2+y3 = y(4x2-4xy+y2) = y(2x-y)2 ； (2) x2 (x-2)+(2-x) = (x-2)(x2-1) = (x-2)(x-1)(x+1) ； (3) (x2+1)2-4x2 = (x2+1+2x)(x2+1-2x) = (x+1)2(x-1)2 . 巩固练习 巩固练习 3.若x＋y＝2，求x2＋xy＋y2的 解:x2＋xy＋y2＝(x2＋2xy＋y2)＝(x＋y)2. 当x＋y＝2时，原式＝×22＝2. 4.分解因式(a＋b)2－4ab. 解:(a＋b)2－4ab ＝a2＋2ab＋b2－4ab ＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 5. 已知x-y=1，xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.  解：∵x-y=1，xy=2， ∴ x3y-2x2y2+xy3 = xy(x2-2xy+y2) = xy(x-y)2 = 2×1 = 2． 巩固练习 $