第55讲 直线与抛物线的位置关系 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦直线与抛物线位置关系这一高考核心考点，涵盖位置关系判断、弦长计算、焦点弦性质、切线方程、中点弦问题及综合应用，按基础回顾、题型突破、真题演练的逻辑架构知识体系。通过考点梳理、方法归纳、例题精讲与分层训练，帮助学生构建解题框架，突破解析几何难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以题型为载体创新教学方法，如焦点弦性质推导培养数学思维，切线方程多解法训练数学语言表达。设置例题精讲、变式迁移、课时精练三级练习，配合真题回顾强化实战能力。助力学生在有限时间内掌握解题策略，提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第55讲直线与抛物线的位置关系 题型一 直线与抛物线的位置关系 【例1】【答案】D 【例2】【答案】A 【变式训练1】【答案】C 【变式训练2】【答案】C 【变式训练3】【答案】D 【课时精练】 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】ABC 4．【答案】ACD 5．【答案】ABD 题型二 弦长问题 【例1】【答案】B 【例2】【答案】A 【变式训练1】【答案】B 【变式训练2】【答案】B 【变式训练3】【答案】B 【课时精练】 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】BCD 4．【答案】BD 5．【答案】AB 题型三 焦点弦问题 【例1】【答案】A 【例2】【答案】B 【变式训练1】【答案】A 【变式训练2】【答案】A 【变式训练3】【答案】C 【课时精练】 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】ACD 4．【答案】BCD 5．【答案】BCD 题型四 抛物线的切线 【例1】【答案】B 【例2】【答案】D 【变式训练1】【答案】B 【变式训练2】【答案】B 【变式训练3】【答案】B 【课时精练】 1．【答案】B 2．【答案】B 3．【答案】BCD 4．【答案】ACD 5．【答案】ABD 题型五 中点弦问题 【例1】【答案】D 【例2】【答案】B 【变式训练1】【答案】C 【变式训练2】【答案】A 【变式训练3】【答案】A 【课时精练】 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】BCD 4．【答案】AC 5．【答案】ABD 题型六 直线与抛物线的综合问题 【例题精讲】 【例1】【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）4 【分析】（1）利用抛物线的定义求出轨迹的方程，设出点的坐标，再利用两点间距离公式及导数求出最小值. （2）（i）设出点的坐标，求出切线方程，进而求得直线方程，再由直线过定点求出的轨迹方程；（ⅱ）利用点到直线的距离公式及基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由点到点的距离与到直线的距离相等，得轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 因此轨迹的方程为，设点， 令， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以的最小值为. （2）（i）设点， 由题意知轨迹在点处的切线不垂直于轴，设切线的方程为， 由消去得，则， 而，则，即，解得， 所以切线的方程为， 整理得，同理得切线的方程为. 又直线过点，则， 因此点的坐标都满足方程，则直线的方程为. 又直线过点，则，解得， 所以点的轨迹方程为. （ⅱ）如图，由（i）知直线的方程为，则点到直线的距离 ， 当且仅当，即时取等号， 所以到直线的距离的最小值为4. 【例2】【答案】(1) (2)设，则的重心． 由于直线 的斜率， 则，所以， 故 的重心在直线上运动． (3) 【分析】（1）利用抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，结合题设距离关系推导准线方程，进而求出得到抛物线方程. （2）设出的坐标，根据直线斜率为得到两点纵坐标的关系；再结合重心坐标公式，用的坐标表示重心坐标，消去参数得到重心横纵坐标的关系，判断是否为定直线. （3）设过焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，得到坐标的关系；分别求出直线与交点的坐标，用弦长公式写出的表达式，再求最小值. 【详解】（1）因为抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线的距离少， 所以抛物线的准线为直线． 由抛物线的定义知，所以， 所以抛物线的方程是． （2）略 （3）由（1）知焦点．不妨设点 在 轴上方． ①当直线的斜率不存在时，，则 ． 联立方程组，解得，所以． 同理，由，得． 所以． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，消去并整理， 得，则， 所以 ．而直线 的方程是， 联立方程组，解得，所以． 因为，所以，同理，． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立．所以． 因为，故的最小值是． 【变式训练1】【答案】(1) (2) 由题意直线过焦点， 设的方程为，，， 由，得， ， ，， 直线的斜率，所以直线的方程为， 抛物线的准线方程为，代入得，即， 又，所以点的纵坐标， 所以，即与的纵坐标相等， 所以直线平行于轴，从而轴． (3) 【详解】（1）抛物线：的焦点为，准线为， 因为焦点到抛物线准线的距离是，所以， 所以抛物线的方程为． （2）略 （3）由（2）知的方程为，即， 点，点， 因为的面积与的面积相等， 所以到直线的距离相等，即，解得， 所以直线的方程为． 【变式训练2】【答案】(1) (2)证明：设 ，满足 ，由 得：，又， 所以，整理得，解得， 设直线 ，联立 得 ， 由韦达定理 ，结合 得 ， 故直线方程为，恒过定点 . (3) 【分析】（1）利用抛物线的定义求出点的横坐标，将横坐标代入抛物线方程，即可得到点A的坐标； （2）设出直线的斜截式方程，与抛物线联立得到韦达定理关系，代入求出直线方程中的定值参数，即可证明直线过的定点并求出定点坐标； （3）设出过焦点的直线的方程，联立抛物线得到的坐标关系，结合确定点坐标，再联立与抛物线得到点坐标，利用倾斜角与斜率的关系得到关于直线斜率的表达式，最后用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）抛物线 中，，得 ，焦点 ，准线 ， 设 ，由抛物线定义：点 到焦点 的距离等于到准线的距离，即，解得， 代入抛物线方程得 ，解得， 故点 的坐标为或 . （2）略 （3）设过的直线，，， 联立得 ，由韦达定理：，所以， 设，由，，平方得， 代入，整理得（），所以即， 所以，所以直线， 联立，得，整理得， 所以，解得的纵坐标 ， 因为， 所以，因为， 所以 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 . 【变式训练3】【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出角度坐标和准线方程，再求解距离即可. （2）对直线斜率是否存在进行讨论，再结合焦半径公式求解最值即可. （3）利用中点坐标公式并结合题意表示出距离，再利用平面向量数量积的坐标表示得到或，最后分类讨论得到最值即可. 【详解】（1）由题意得，准线方程为， 则点到抛物线准线的距离为. （2）当斜率不存在时，直线方程为， 设，，联立方程组， 解得，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，由焦半径公式得， 综上可得，的最小值为. （3）如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为，设，， 联立方程组，可得， 可得，由韦达定理得， 设线段中点为，由中点坐标公式得， 由题意得线段中点到轴的距离为 ， 而，而， 得到，而， 可得，解得或， 当时，满足，此时， 当时，此时， 解得，此时， 综上可得，线段中点到轴的距离的取值范围为. 【课时精练】 1．【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用直线与抛物线相切得到参数值，进而得到点坐标，再利用抛物线的定义求解长度即可. （2）联立方程组结合韦达定理得到，结合给定向量关系建立方程，求出点的不同坐标，再结合重心的性质求解三角形面积即可. 【详解】（1）设直线的方程为， 联立方程组，得到， 因为直线PQ与抛物线相切，所以，解得， 此时，代入抛物线中得， 由抛物线定义得． （2）由题意得直线的方程为， 如图，设，，连接， 联立方程组， 得，则．    ， 且，， ，解得， 当时，，，直线， 联立方程， 得，则， 由已知得点为的重心， 所以 ， 同理当时，， 综上所述． 2．【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过准线方程得到抛物线方程中参数的值从而得到抛物线的标准方程； （2）设出切线方程，通过切线与抛物线方程的联立求出切点，从而得到法线方程，结合题目中的反射原理，通过向量的数量积得到夹角相等从而得证； （3）根据第2小问得到切线方程，联立得到任意点的坐标，结合向量的数量积来证明两个角的余弦值相等，从而证得两个角相等. 【详解】（1）抛物线的准线为， 则，解得， 因此抛物线的标准方程为. （2）抛物线的焦点坐标为，对称轴为y轴， 设为抛物线上一点（非顶点），如下图所示，    抛物线方程，求导可得， 所以点处切线的斜率为， 则切线方程为，即， 因为点处法线与切线垂直，所以法线的斜率为， 则法线方程为，即， 根据题目可知入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角， 入射光线为，斜率为， 设反射光线的方向向量为，入射光线的方向向量为， 法线的方向向量为， 因为入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角，即它们与法线的夹角的余弦值相等， 所以， 假设反射光线平行于y轴，即方向向量， 代入可得， ， 因为，，所以，满足光的反射原理，假设成立， 因此从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于顶点）， 反射后平行于抛物线的对称轴. （3）设切点，，，如下图所示，    由（2）可知，抛物线在处的切线方程分别为 ，， 联立可得，解得，代入可得， 即，焦点， 所以，，， 则， 同理， 因此， 因为， 所以. 3．【答案】(1)或. (2)证明：①根据题意，设，所以， 因为三点共线，所以，可得， 又因为曲线在处的切线方程分别为， 所以， 所以，可得，所以，所以. ② 【分析】（1）设是曲线的任意一点，根据题意，得到，化简后即可求解； （2）①设，得到，根据三点共线，求得，再由曲线在处的切线方程，求得，证得，即可得证； ②设，由，求得，设直线的方程，联立方程组，结合韦达定理，求得，利用弦长公式，求得的长，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：设是曲线的任意一点， 因为动点到定点的距离比到轴距离大1，可得， 整理得或， 所以曲线的轨迹方程为或. （2）解：②设， 因为，可得，所以， 设直线的方程，联立方程组，整理得， 则，且， 因为，解得， 则， 由，可得，则且， 所以曲线在处的切线方程为，即， 可得，同理可得， 联立方程组，两式相减得， 解得，则， 所以，可得， 因为，所以. 4．【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，结合直线恒过的定点与焦点重合，直接求解参p，得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，通过韦达定理得到交点坐标的整体关系，结合三角形面积公式及共线线段的纵坐标比例，将面积条件转化为t与交点纵坐标的等式，进而求出t； （3）用斜率参数k表示圆心、半径相关点的坐标，写出圆的标准方程，将方程整理为关于参数k的多项式形式，构造方程组得出定点坐标及t的值． 【详解】（1）直线l： 经过点，由题意知，抛物线焦点即为， 所以 ， 故抛物线方程为： ． （2）已知直线与抛物线交于 两点，设，，联立直线与抛物线方程得： ， ，， 记直线分别与 ， 交于点E，F， 由三角形面积公式 ， 则，， 所以．    （3）存在，， D为线段 中点，则 ， ， 故，点， 以点为圆心且过点 的圆为， 即 ， 令， 所以存在，，使得以点为圆心且过点 的圆过点．    5．【答案】(1) (2) (3)轨迹有中心，中心为，平移后为双曲线 【分析】（1）根据点设出直线方程，再与抛物线方程联立，根据即可求得切线方程. （2）根据切线方程与直线方程，分别用表示出，进而得到关系，即点的轨迹方程. （3）首先平移消去一次项得到轨迹存在中心，再双曲型非退化得到轨迹方程为双曲线. 【详解】（1）已知抛物线，点在抛物线上，且. 设切线方程过点直线设为，即. 代入抛物线方程，， 化简得. 因为直线与抛物线相切，所以，即. 令，. 方程化简为，即. 若，则. 化简得，矛盾 若有，则. 化简得，即，因此切线方程，即. （2）点是切线与直线的交点. 设，则且. 消去,可得. 由于，所以，因. 代入可得，整理得. 因此点的轨迹方程为，. （3）令，.则，. 于是. 则变为，即. 可见平移后方程不含一次项，故原轨迹有中心，其中心为. 又二次部分对应非退化双曲型二次曲线， 因此平移到以中心为原点后所得的曲线为双曲线. 【真题回顾】 1．【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 2．【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    3．【答案】ACD 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 4．【答案】BCD 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $ 第55讲直线与抛物线的位置关系 题型一 直线与抛物线的位置关系 3 题型二 弦长问题 11 题型三 焦点弦问题 19 题型四 抛物线的切线 28 题型五 中点弦问题 37 题型六 直线与抛物线的综合问题 44 【真题回顾】 61 【基础回顾】 知识点1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系 (2)设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0. ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点． ②若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 因此，直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． 知识点2．弦长问题 设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线的斜率且k≠0． 知识点3．抛物线的焦点弦问题 若MN为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝x1＋x2＋p(x1，x2分别为M，N的横坐标)． 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表． 标准方程 弦长公式 y2＝2px(p>0) |AB|＝x1＋x2＋p y2＝－2px(p>0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p>0) |AB|＝y1＋y2＋p x2＝－2py(p>0) |AB|＝p－(y1＋y2) 知识点4.抛物线的切线 (1)过抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x1，y1)的切线方程是y1y＝p(x＋x1)． (2)抛物线y2＝2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y＝kx＋(k≠0)． 常见结论： 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(为弦AB的倾斜角)； (3) (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p； (8)过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点．设直线l1的倾斜角为α，则|AB|＝，|DE|＝＝. 题型一 直线与抛物线的位置关系 【例题精讲】 【例1】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【答案】D 【分析】设直线的方程为，联立抛物线方程，当时，一次方程有一解，直线与抛物线相交可判断A，当时，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系可判断BCD. 【详解】设直线的方程为， 即，由消去得：， 当时，直线与抛物线相交，只有一个公共点，故A错误； 当时，， 当时，解得或，此时方程组有两个相同的实数解，直线与抛物线相切，只有一个公共点， 所以直线与抛物线只有一个公共点时，直线的斜率分别为，故C错误； 当时，解得，此时方程组有两个不同的实数解，故直线与抛物线交于两点，故B错误； 当时，解得，此时方程组没有实数解，知直线与抛物线相离，没有公共点，故D正确. 故选：D. 【例2】（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【分析】充分性分析：当时，将代入抛物线的方程，利用判别式说明充分性成立；必要性分析：将直线代入抛物线，得到，分和两种情况讨论，说明必要性不成立，从而得到结论. 【详解】分析充分性： 当时，将代入抛物线的方程， 整理得，此时， 即直线与抛物线恰有一个公共点，因此充分性成立； 分析必要性： 将直线代入抛物线，整理得， 当时，令 解得. 当时，此时直线方程为，此时直线与抛物线恰有一个公共点. 综上可知，当直线与抛物线恰有一个公共点时，或， 故“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A 【变式训练1】（浙江省部分学校2024-2025学年高三下学期5月联考数学试题）抛物线的准线为，焦点为，两点均在上，均为第一象限角，为线段上一点，则（   ） A．,斜率之积为 B．若P为中点，则P到的距离为 C．存在实数m，使得在抛物线上 D．存在，使得为等腰三角形 【答案】C 【分析】首先通过准线方程求出抛物线的方程表达式，然后将点的坐标求出来，最后根据斜率公式、点到直线距离公式、三角函数相关公式等知识点判断选项的正确性. 【详解】因为抛物线的准线为， 所以，所以. 所以抛物线. 因为点均在抛物线上， 所以 化简得：，因为， 所以，因为为第一象限角，所以. 进而可以求得：，，，. 点. 对于选项A： ，所以， 所以A错误. 对于选项B：因为点为的中点，所以, 所以点到的距离为，所以B错误. 对于选项C： 因为，，，， 所以，. 假设存在实数使得在抛物线上， 所以. 对上述方程求取判别式，如果判别式大于等于0，则存在实数满足条件. 令，所以方程转变为 通过计算可得， 因为的值小于0，所以可以得出，所以C正确. 对于选项D： 因为点，所以直线的方程为： 通过点的横坐标和纵坐标比较可以发现，点在抛物线同一侧，而且距离很近，而点在线段上，所以点的横坐标在之间，纵坐标在之间，所以不存在使得为等腰三角形.所以D错误. 故选：C. 【变式训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分斜率不存在，斜率为0及斜率其他情况分类讨论，结合联立方程组应用判别式计算判断即可. 【详解】由抛物线的方程为知． 当过点的直线斜率不存在，即直线与轴重合时，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率为0时，直线方程为，满足直线与抛物线有唯一公共点． 当过点的直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 由得关于的方程， 令，解得，此时满足条件的直线有1条． 综上，过点与抛物线有唯一公共点的直线有3条， 故选：C． 【变式训练3】（24-25高三上·北京·阶段检测）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线的几何性质，当直线与轴平行时，直线与轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况，结合，即可求解. 【详解】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点； 当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点； 当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线 ，代入抛物线，得：， 因为 . 由 ，因为，所以方程有两根， 故过点可以作两条直线与抛物线相切. 综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点. 故选：D 【课时精练】 1．（24-25高一上·湖南·开学考试）定义平面内任意两点之间的距离，称为之间的曼哈顿距离．若点在直线上，点为抛物线上一点，则之间的曼哈顿距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，如图所示，，故当两点的横坐标相等时，最小，即，然后通过二次函数求解即可. 【详解】由题意，设， 所以， 如图所示，，且直线与抛物线无交点， 所以，只需两点的横坐标相等时，最小，即 所以， 所以的最小值为. 故选：C. 2．（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断. 【详解】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. 3．（多选）（2026·湖南岳阳·三模）已知点，直线，动点到的垂线为PQ，Q为垂足，且满足，记动点的轨迹为，下列说法正确的有（    ） A．E的方程为 B．若，则的最小值为4 C．过作斜率为的直线交于A，B两点，则 D．上存在两点关于直线对称 【答案】ABC 【分析】A选项，设，则，由可列出等式，整理得到的方程为抛物线；B选项，根据抛物线的定义把转为，利用几何知识求解；C选项，联立该直线和的方程求解得到交点，再利用弦长公式计算即可；D选项，通过联立方程得到该直线与抛物线相切，从而不存在两点关于它对称. 【详解】设，则 由条件得，整理得，A正确； 根据抛物线的定义，等于点到准线的距离（记为）， 因此，当时取等，B正确； 过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，联立方程 得，解得，则，C正确； 联立方程得，因为，所以与相切， 故上不存在两点关于直线对称，D错误． 4．（多选）（2026·湖北恩施·二模）已知抛物线经过平移后得到曲线与轴交于两点，点坐标为的外接圆为圆，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．圆心在直线上 C．圆过定点 D．若，则圆与有且仅有两个交点 【答案】ACD 【分析】选项A由抛物线方程求出曲线焦点坐标；选项B先求出两点的坐标，再根据圆的性质求出圆心的坐标判断；选项C先求出圆的方程，然后将定点代入验证；选项D求出圆的方程联立方程判断交点个数. 【详解】已知曲线， 即， 所以焦点坐标为， 即曲线的焦点坐标，故A正确． 已知， 设的外接圆的一般方程为， 则满足以下方程组 又，又， 所以． 可得外接圆圆心的坐标为，即， 故外接圆圆心满足，B错． 又， 该外接圆经过的定点（x，y）满足， 解得（1，1）与满足题意，故圆 E经过定点，C正确． 当时，联立圆和曲线的方程有， 解得或， 因为， 所以圆和曲线有且仅有两点，D正确． 5．（多选）（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．线段的长度为10 C．抛物线上恰有三个点，使得为等腰三角形 D．抛物线上恰有三个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A：可得抛物线的焦点坐标为，即可得结果；对于B：联立方程可得韦达定理，结合抛物线的定义运算求解；对于C：根据题意分析线段的中垂线以及圆与抛物线的交点，结合图像分析判断；对于D：先求点到直线的距离为的直线方程，再与抛物线联立判断交点个数即可. 【详解】对于选项A：因为抛物线的焦点在x轴正半轴上，且直线与x轴的交点为， 由题意可知：抛物线的焦点坐标为，即，即，故A正确； 对于选项B：可知抛物线方程为，设， 联立方程，消去可得，则， 所以，故B正确； 对于选项C：由图可知：线段的中垂线与抛物线必有2个交点， 此时，符合题意； 以为圆心，为半径的圆与抛物线至少有一个异于点的交点， 此时，符合题意； 以为圆心，为半径的圆与抛物线至少有一个异于点的交点， 此时，符合题意； 综上所述：使得为等腰三角形的点不止3个，故C错误； 对于选项D：设与平行的直线方程为， 则，解得或， 若，则直线为， 联立方程，消去y可得，解得， 可知直线与抛物线有且仅有一个交点； 若，则直线过点， 且点在抛物线内部，直线的斜率不为0， 可知直线与抛物线有2个交点； 综上所述：抛物线上恰有三个点到直线的距离为，故D正确； 故选：ABD. 题型二 弦长问题 【例题精讲】 【例1】（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用抛物线交点弦长公式和，，求出，进一步得出抛物线方程. 【详解】因为直线过焦点， 所以， 所以，所以抛物线方程为． 【例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   ) A．16 B．8 C．12 D．4 【答案】A 【分析】先利用焦点在已知直线上求出参数，联立直线与抛物线方程得到交点横坐标之和，结合抛物线焦点弦长公式直接计算弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为. 直线过点，将代入直线方程得， 解得，抛物线方程化为. 联立，消去得， 展开整理，. 设，，由一元二次方程根与系数关系得. 抛物线焦点弦长公式， 代入数值. 【变式训练1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先求出焦点 坐标，设，利用中点坐标公式得，利用抛物线的定义即可求出弦长. 【详解】抛物线方程为 ，焦点坐标为 ，准线方程为 ， 设 ，由中点坐标公式得： ，因此 ， 根据抛物线的定义得， 故弦长. 【变式训练2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】联立方程组，利用判别式法得到切线方程，再表示出三角形面积，最后求解参数即可. 【详解】如图，设过点的抛物线切线斜率为， 则切线方程为， 联立，消元可得， 因该直线与抛物线相切，则，化简得， 解得，即切线方程为， 令，得，即，于是， 又，则，解得． 【变式训练3】（2026·山西忻州·模拟预测）设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及焦半径公式求解即可. 【详解】抛物线的焦点， 设过的直线的方程为 ，设，. 联立，整理得， ， 则，. 抛物线的弦长，解得，即. 【课时精练】 1．（2026·广西河池·模拟预测）已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】先根据抛物线方程求出焦点和点的坐标，进而得到圆的方程,然后联立圆的方程与抛物线方程求出交点的坐标,最后根据三角形面积公式求出的面积. 【详解】抛物线的焦点为,准线与轴交于点, 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 圆与抛物线在第一象限的交点为，设，如图，作出符合题意的图形， 由，得，因为点在第一象限， 所以，即，显然，所以为直角三角形， 所以的面积为. 2．（2026·河北保定·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，其准线与x轴交于点E，过点 E且斜率为负的直线交C于A，B两点(点A在点B的左侧)，若 点D(8，8)，△DBF 的面积为 ，△ABF 的面积为，则 （    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】设，由共线可得， 整理得， 所以，根据的斜率分别为， ，即， 可得 ，解得或， 因为的斜率相反且在左侧，所以， 而的斜率，故有三点共线， 将的方程与抛物线方程联立得， 整理得，一个解即为点横坐标，则另一个解为， 即点横坐标为，所以. 3．（多选）（2026·江西南昌·三模）设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 【答案】BCD 【分析】对于A，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即得；对于B，利用抛物线上点的性质进行转化再结合图像，三点共线时，对应线段和最小即得；对于C，由条件推理得点A的坐标，得到直线的方程，与抛物线方程联立求得两点即得；对于D，设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，将所求式代入化简，分析推理即得． 【详解】 对于A，因为直线经过点，所以当且仅当轴时，最短，即，解得，A错误； 对于B，由抛物线定义知，所以， 由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值， 即，B正确； 对于C，在中，，， 所以，即点， 由，得，解得，， 即得，， 所以，C正确； 对于D，设直线：， 由，得，设，， 所以，， 设轴上存在一点， 则 ， 当时，，即存在点时，使得为定值，D正确． 4．（多选）（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 【答案】BD 【分析】A根据抛物线的性质求焦点坐标可判断，B设直线，联立方程组结合根与系数的关系求可判断，C结合抛物线焦点弦公式求弦长的表达式，再求其最小值可判断，D根据抛物线定义利用表示，进一步计算可判断. 【详解】A，抛物线，设抛物线的焦点到准线的距离为，则， 故的坐标为，故A错误； B，设直线，联立，得， 方程的判别式，，， ，， 故，故B正确； C，因为， 所以时，弦的长度最小，最短弦的长度为4，故C错误； D，由，得，故D正确. 5．（多选）（2026·陕西咸阳·二模）已知圆与抛物线（）交于A，B两点，与C的准线l交于M，N两点（点A，M均在x轴上方），过C的焦点F且斜率为的直线交C于另一点D，若，则（   ） A． B． C．的面积是 D．若C上一点满足，则 【答案】AB 【分析】先利用抛物线定义与直线倾斜角求出参数，再逐一验证直线位置关系、三角形面积、动点坐标相关结论. 【详解】圆 的圆心为 ，半径 . 抛物线 的焦点为 ，准线为 . 设 ，由抛物线定义得 ，即 . 直线 斜率为 ，倾斜角为 ，可得 . 因此，，解得 ，选项A正确. 时，抛物线方程为 ，焦点 ，准线 . 代入得 ，结合抛物线方程得 ，取 . 将 代入圆 的方程，，解得 ， 即 ,, 因此，直线 平行于 轴，准线 垂直于 轴，故 ，选项B正确. 直线 的方程为 ，与抛物线联立得 ， 整理得 ，解得 或 ，即 . ，点 到直线 的距离为 ，则 . 因此，，选项C错误. 设 在抛物线上且满足 ， 由两点间距离公式得 ， 展开化简得 ，结合 ，解得. 因此，满足条件的点 存在两个不同横坐标，选项D错误. 题型三 焦点弦问题 【例题精讲】 【例1】 （2026·河南许昌·三模）已知抛物线，过C的焦点的直线交C于A，B两点，交圆于M，N两点，其中A，M位于第一象限，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据抛物线的几何性质，结合已知条件求出，联立直线和抛物线方程，利用韦达定理求出，利用基本不等式求的最小值． 【详解】已知抛物线，过C的焦点的直线交C于A，B两点， 则，由焦半径公式得：， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ， 设直线的方程为，联立抛物线方程得， 化简得， 由韦达定理得， 则 ，当且仅当时取等号， 故的最小值为3．    【例2】（2026·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上（点在第一象限），直线的倾斜角为，过点作于点，直线交轴于点．若的外接圆周长为，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，设出直线的方程并与抛物线联立方程组，可求出点坐标，由于点可求得点坐标和直线的斜率，从而表示出点坐标，利用平面向量的数量积坐标表现可证 为直角三角形，最后结合外接圆周长进而求解. 【详解】设点 ，由题意得抛物线焦点为 ，准线 的方程为 ， 因为直线的倾斜角为，则其斜率为，其方程为 ，即 ， 将其与抛物线方程联立 ，消去得 ， 整理得 ，解得 . 因为点在第一象限，所以 ，即 ，则， 又由，可得； 由于点，得 ，则直线的斜率为， 直线的方程为， 令 ，得．所以 . 在 中，易得 ， ， 因 可得 ， 因此 为直角三角形，其外接圆的直径为斜边， 由抛物线定义可知 ， 则外接圆的周长为 . 由题意得 ，解得 . 【变式训练1】（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线l：，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式可得，进而求出O到直线l的距离，进而求解即可. 【详解】由题意，设直线l：， 联立，得， 设，，则，， 故，则， 所以直线l：，即， 则O到直线l的距离为， 所以的面积为. 【变式训练2】（2026·湖南·模拟预测）抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．30 【答案】A 【分析】设，由题知三点共线，则，，再解方程得，最后根据焦半径公式求解即可. 【详解】由题知，代入抛物线方程得，即， 因为抛物线的焦点为， 所以，设， 因为三点共线，则，即， 即，解得或（舍），所以， 所以，由焦半径公式得 【变式训练3】（2026·北京昌平·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且与准线交于点. 若点为线段的中点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设抛物线的准线与轴的交点为，过点分别作，，垂足分别为，进而根据几何关系求得即可求得答案. 【详解】如图，记抛物线的准线为，设抛物线的准线与轴的交点为， 过点分别作，，垂足分别为，则 因为点为线段的中点，， 所以点为线段的中点，， 所以，， 所以， 因为， 所以，即，解得， 所以，根据抛物线的定义，. 【课时精练】 1．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程为，，，作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，利用几何关系得，从而得，进而求出点坐标，即可求解. 【详解】根据题意可得直线斜率一定存在，设直线的方程为，，，, 因为，由抛物线的定义知，① 作垂直轴，垂足为，作垂直轴，垂足为，则， 从而，得到，所以②，由①②解得， 因为在抛物线上，所以，解得， 则． 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】抛物线：的焦点为， 设，由题意可知到 轴的距离为3，即， 设，则， 由，得，得，则， 故的标准方程为. 3．（多选）（25-26高二下·云南大理·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．若直线的方程为，则 B． C．点的轨迹方程为 D． 【答案】ACD 【分析】先联立抛物线与直线方程，利用韦达定理得到交点坐标关系，再根据各选项要求，结合中点公式，焦半径公式、弦长公式等进行推理判断. 【详解】 已知抛物线为，其焦点为，直线的方程为， 联立抛物线与直线方程可得：，化简可得：， 由题意可得直线与抛物线交于两点，所以， 设，则由韦达定理可得：， 代入直线的方程可得：，所以利用中点公式可得：， 在A选项中，若直线的方程为：，则，所以，A选项正确， 在B选项中，，B选项错误， 在C选项中，，所以，C选项正确， 在D选项中，， D选项正确.    4．（多选）（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 【答案】BCD 【分析】对于A，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得；对于B，设，过点的切线方程为，联立得到切线方程，进而得到过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，再联立得到点与点的纵坐标即可判断；对于C，设直线的方程为，联立，结合韦达定理可得即可判断；对于D，由三点共线，可得，即直线的方程为，再利用弦长公式，结合三角形面积公式进行计算． 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，所以， 抛物线的准线方程为. 如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A错误； 对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0）， 联立抛物线方程，化简并整理，得. 又，所以， 所以，所以过点的切线方程为，即. 同理可得，过点的切线方程为. 联立得. 因为线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确； 对于C，设直线的方程为，联立， 化简并整理，得，则. 又因为点在直线上，所以，所以， 即直线的方程为，则直线过点，故C正确； 对于D，因为三点共线，所以， 即直线的方程为， 所以点到直线的距离，， 所以，当时取最小值为1，故D正确． 5．（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，连接并延长与准线交于点，与轴交于点，准线与轴交于点，则（    ） A．为锐角 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设过焦点的直线方程并联立抛物线得到韦达定理关系，再逐一验证每个选项的结论. 【详解】抛物线，焦点，准线，， 设过的直线，，联立抛物线得 ， 由韦达定理得，，则，逐一分析选项： 对于A：，故，A错误； 对于B：直线的方程为，代入准线 得的纵坐标， 代入得，即，， 由抛物线定义，故 ，B正确； 对于C：直线过和，斜率，方程为， 令得， 向量，， ，故 ，C正确； 对于D：要证，平方后等价于， 化简得：， 代入，整理得， 因为，所以等式成立， D正确. 题型四 抛物线的切线 求抛物线切线方程的方法 方法一 首先设出切线方程，然后与抛物线方程联立，利用判别式求解 方法二 首先求导得出切线的斜率，然后由点斜式得出切线方程 方法三 过抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0) 【例题精讲】 【例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由抛物线方程求导得切线斜率，写出两点处的切线方程；再利用两切线交点的坐标，推导出直线的方程；最后将焦点代入直线的方程，即可直接求出点的纵坐标． 【详解】设，，， 由，得，则， 所以抛物线在点处的切线方程为， 又，化简得， 同理得抛物线在点处的切线方程为， 又两切线相交于点，所以， 即点都在直线上，即直线的方程为， 因为点在直线上，代入得． 【例2】（2026·天津和平·二模）已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式得出抛物线的方程，然后再通过抛物线的切点弦公式即可求解. 【详解】双曲线的两条渐近线分别为和，由于这两条渐近线垂直，斜率乘积为， 即，故两条渐近线分别为和， 设抛物线的焦点为，焦点到渐近线的距离为，由点到直线的距离公式得， 因此抛物线方程为，由于过外点作抛物线的切点弦方程为， 代入，得，因此直线的方程为， 在轴的截距为当时的值，代入得，即直线在轴的截距为，故D正确. 【变式训练1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知抛物线在处的切线与圆交于A、B两点，则的面积为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】用方程组法求得切线方程，然后求出圆心到切线的距离，并利用勾股定理求得弦长，再计算三角形面积． 【详解】在抛物线中，时，，即切点为， 设切线方程为， 由得， ，解得， 所以切线方程为，即， 由题意圆心为，半径为， 圆心到切线的距离为， 所以， ．    【变式训练2】（25-26高二下·天津南开·阶段检测）求曲线过点的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】设切线方程为，与抛物线方程联立方程组，消元，然后由判别式等于0求得，得切线方程. 【详解】设切线方程为， 由得， 所以，解得或， 所以切线方程为或，即或. 【变式训练3】（2026·湖南郴州·三模）已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设到准线的距离为，则．然后求出．判断当与抛物线相切时，最小，即取得最大值，再利用切线性质计算即可得. 【详解】抛物线的准线方程为， 设到准线的距离为，则， 则， 则当与抛物线相切时，最小，即取得最大值， 设过点的直线与抛物线相切， 联立，得， ，解得， 即有，解得，把代入得， 或，此时. 【课时精练】 1．（2026·山西临汾·一模）阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线的方程为，联立方程利用，得到 ，以及直线的方程，对两边求导得到，求得方程为，方程为，联立方程得到，利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离为，，再利用面积公式求解即可. 【详解】设过的直线的方程为， 联立方程，得到， 不妨设， 由韦达定理得到， 因为，所以， 又因为，即 ， 所以，即， 所以，得到 即，解得，所以 即，解得，所以， 所以,得到， 所以直线的方程为，即. 对两边求导得到， 所以点的切线斜率， 所以方程为即， 同理可得方程为， 联立方程得到，解得， 所以点到直线的距离为， ， 所以 . 2．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知过点作抛物线的两条切线，分别交轴于点，则外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切线方程为，联立抛物线方程，由，求得参数.根据题意求得的坐标，利用待定系数法求得圆的标准方程. 【详解】设切线方程为. 由，得. 由，得. 所以切线方程为. 令，得或. 所以，或. 设外接圆的方程为， 则，解得. 所以外接圆的方程为. 故选：B. 3．（多选）（2026·河北唐山·模拟预测）抛物线的焦点为过点作的切线，与轴、轴分别交于点、；过坐标原点作的垂线，与直线交于点，则（ ） A．的斜率为 B． C． D．是等腰三角形 【答案】BCD 【分析】设直线的方程为，将该直线方程与抛物线方程联立，由可判断A选项；求出点的坐标，利用斜率的关系证明出，可判断C选项；证明出为的中点，结合中垂线的性质可判断B选项；求出点的坐标，可得出，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由图可知，直线的斜率存在且不为零，设其斜率为， 则直线的方程为，即， 联立可得， 由，整理可得，解得， 故直线的斜率为，故A错误； 对于C选项，由A选项可知直线的方程为，则点， 易知点，直线的斜率为，则，即， 又因为，所以，故C正确； 对于B选项，在直线的方程中，令，可得，即点， 又因为点，则为线段的中点， 又因为，故，故B正确； 对于D选项，，所以直线的方程为，即， 直线的方程为，联立可得，即点， 所以，故为等腰三角形，故D正确. 4．（多选）（25-26高三下·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与相切于点，点在上，且满足，则（    ） A．准线的方程为 B．可能在直线上 C．的最小值为9 D．面积的最小值为16 【答案】ACD 【分析】根据抛物线方程求出准线求解选项A.设点的坐标，求出直线方程代入点，得到，无解，求解选项B.联立直线与抛物线方程，得到点的坐标，求出，根据基本不等式求解即可.根据直线方程求出坐标，根据距离公式求出，得到的面积，再利用基本不等式求解即可. 【详解】易知，所以准线的方程为，A选项正确； 设点的坐标为，因为，所以点处的切线斜率为， 所以直线的斜率为， 所以直线， 若在直线上，则，即，无解，B选项错误； 直线与联立可得，，解得， 即的横坐标为，所以的纵坐标为， 所以，当且仅当时，等号成立.C选项正确； 直线的方程为：，令，则， 所以， 所以，， 所以的面积为， 设，当且仅当时，等号成立， 所以面积的最小值为.D选项正确. 5．（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，抛物线E：，过点P向抛物线E作两条切线，，切点分别为A，B．切线，分别交x轴于C，D．设，则下列说法正确的有（    ） A．过点A的切线方程为 B．当点P在准线上时，的最小值为8 C．当点P在准线上时， D．对任意点P均有 【答案】ABD 【分析】对于A：抛物线E：，可化简为，求导得，结合可得过点A的切线方程；对于B：假设点，可得直线方程，再与抛物线联立，可得，，代入表达式中可得解；对于C：由B可知，再计算，得到求解；对于D：用坐标表示向量，利用数量积公式可得，即. 【详解】对于A：抛物线E：，可化简为，求导得. 所以过点A的切线： ，即.故A正确； 对于B：设， 切线：过点P，所以， 同理可得，∴直线方程为：， 联立，∴，∴，， ∴，∴， ∴ ，故选项B正确； 对于C：由B知， 所以， ， 则，又有 ，则，故C错； 对于D：， 则 所以 同理可得，所以，即 所以，D正确. 题型五 中点弦问题 解决焦点弦、中点弦问题的策略 (1)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解． (2)利用与抛物线焦点弦有关的二级结论求解． (3)解决中点弦问题的常用方法为“根与系数的关系法”和“点差法”． (4)若AB为抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦，M(x0，y0)为弦AB的中点，k为直线AB的斜率，则k＝. 【例题精讲】 【例1】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），线段的中点分别为．若，则直线的斜率为（   ） A． B．-2 C． D． 【答案】D 【分析】易知，设，根据中点坐标公式，表示出三点的坐标，由结合图像知，，根据向量的坐标运算，可得.设直线的方程为，联立抛物线的方程，解得，将直线的方程转化为斜截式方程，可得斜率. 【详解】由题可知，. 设直线的方程为，， 则. 若，则，即， 所以，所以，即. 由，得. 所以，所以，解得. 所以直线的方程为，即，所以其斜率为. 故选：D. 【例2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】设，联立抛物线并应用韦达定理及中点横坐标求得，再由弦长公式求. 【详解】由题设，抛物线的焦点为，可设， 联立，可得，则， 所以，，则，得， 所以. 故选：B 【变式训练1】（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 【变式训练2】（25-26高二上·广东汕头·期末）双曲线的渐近线与抛物线交于，两点，若中点的横坐标为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】联立双曲线渐近线方程和抛物线方程，求出点的坐标，然后根据中点的横坐标为列出等式求出的关系，进而求出双曲线的离心率. 【详解】由题意知，双曲线的渐近线为， 由于双曲线的渐近线与抛物线交于，两点， 所以联立渐近线方程和抛物线方程得，解得或（舍去）， 所以， 又中点的横坐标为，所以，化简得， 所以，所以双曲线的离心率为. 故选：A. 【变式训练3】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为， 此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率存在， 设点、， 因为的中点为，则， 则，这两个等式作差得， 即， 故直线的斜率为. 故选：A. 【课时精练】 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】设，，由点差法即可求解. 【详解】设，，则， 由：作差得， 得. 故选：A 2．（25-26高三上·广东·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由以及线段的中点的纵坐标为1，可得直线的斜率，从而得到直线的方程，求出直线的中点的横坐标为，则，由抛物线的弦长公式求解即可 【详解】设，则，则. 因为线段的中点的纵坐标为1，所以，则. 又直线过的焦点，所以直线的方程为， 则线段的中点的横坐标为，则，故. 故选：C 3．（多选）（25-26高二上·山东滨州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与交于两点，点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为，若的最小值为8，则下列说法正确的是（    ） A．焦点的坐标为 B．若，则的最小值为 C．若线段的中点坐标为，则直线的方程为 D．若，则直线的斜率为 【答案】BCD 【分析】设直线的方程为，，联立抛物线方程，利用韦达定理得，所以.由抛物线的定义，得，利用基本不等式，求得，从而得到抛物线的方程.求出焦点坐标，判断A；将转化为，由求得其最小值，判断B；若线段的中点坐标为，根据中点坐标公式求得直线的斜率，进而得到直线的方程，判断C；根据向量的坐标运算，得的关系，结合求出的值，从而求得直线的斜率，判断D. 【详解】由题可知，设直线的方程为，，则. 由，得，所以，，所以. 根据抛物线的定义，得， 因为（当且仅当时，等号成立）， 所以. 若的最小值为8，则，所以. 所以抛物线的方程为：. 对于A，因为，所以，所以焦点的坐标为，所以A不正确； 对于B，根据抛物线的定义，得， 若，则， 的最小值为.所以B正确； 对于C，若线段的中点坐标为，则，则即，. 所以直线的方程为，即，所以C正确； 对于D，若，则，所以， 所以，所以. 所以，解得 即直线的斜率为.所以D正确. 故选：BCD. 4．（多选）（25-26高二上·江苏连云港·期末）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若点到焦点的距离为3，则的坐标为 C．若，则的最小值为 D．抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 【答案】AC 【分析】由抛物线的方程及两点距离公式依次判断A、B、C，应用点差法求直线斜率，再由点斜式写出直线方程判断D. 【详解】抛物线，， A，，则，A正确； B，设且，则，得， ，B错误； C，因为，所以点在抛物线开口外侧，如下图： 所以，C正确； D，由，则， 而，则，由题意直线的斜率一定存在， 所以，则，可得，D错误. 故选：AC 5．（多选）（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若点，则的最小值为5 C．若直线的倾斜角为，则 D．点为线段中点，则点的坐标可以是 【答案】ABD 【分析】计算和中点到准线的距离可判断A；根据抛物线的定义结合距离和最小计算可判断B；应用韦达定理计算面积可判断C；根据点差法可判断D. 【详解】由题意可知抛物线的焦点，准线方程为； 设，的中点， 则到准线的距离为，， 所以以为直径的圆与准线相切，故A正确； 过点作垂直于准线，垂足为， 则，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为5，故B正确； 若直线的倾斜角为，则直线的方程为，即， 则点到直线的距离， 由得， 所以，， 所以，故C错误； 假设点的坐标为，则， 由直线与抛物线交于两点得，两式相减得， 即，所以， 所以直线的方程为， 即，点在直线上， 由得，，故D正确. 故选：ABD    题型六 直线与抛物线的综合问题 解决直线与抛物线综合问题的策略 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则一般用弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． 【例题精讲】 【例1】（2026·江苏南京·三模）已知到点的距离与到直线的距离相等，的轨迹为. (1)是轨迹的方程上一点，，求的最小值. (2)若直线过点交轨迹于两点，过分别作轨迹的切线，两切线交于点. （i）求的轨迹方程； （ⅱ）求到直线的距离的最小值． 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）4 【分析】（1）利用抛物线的定义求出轨迹的方程，设出点的坐标，再利用两点间距离公式及导数求出最小值. （2）（i）设出点的坐标，求出切线方程，进而求得直线方程，再由直线过定点求出的轨迹方程；（ⅱ）利用点到直线的距离公式及基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由点到点的距离与到直线的距离相等，得轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 因此轨迹的方程为，设点， 令， 求导得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以的最小值为. （2）（i）设点， 由题意知轨迹在点处的切线不垂直于轴，设切线的方程为， 由消去得，则， 而，则，即，解得， 所以切线的方程为， 整理得，同理得切线的方程为. 又直线过点，则， 因此点的坐标都满足方程，则直线的方程为. 又直线过点，则，解得， 所以点的轨迹方程为. （ⅱ）如图，由（i）知直线的方程为，则点到直线的距离 ， 当且仅当，即时取等号， 所以到直线的距离的最小值为4. 【例2】（25-26高二下·河北衡水·期末）已知抛物线（）的焦点为 ，抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线 的距离少． (1)求抛物线的方程． (2)若 ， 为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． (3)过焦点的直线与抛物线交于 ， 两点,为坐标原点，直线，与直线分别相交于，两点，求的最小值． 【答案】(1) (2)设，则的重心． 由于直线 的斜率， 则，所以， 故 的重心在直线上运动． (3) 【分析】（1）利用抛物线的定义，抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离，结合题设距离关系推导准线方程，进而求出得到抛物线方程. （2）设出的坐标，根据直线斜率为得到两点纵坐标的关系；再结合重心坐标公式，用的坐标表示重心坐标，消去参数得到重心横纵坐标的关系，判断是否为定直线. （3）设过焦点的直线的方程，与抛物线方程联立，得到坐标的关系；分别求出直线与交点的坐标，用弦长公式写出的表达式，再求最小值. 【详解】（1）因为抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线的距离少， 所以抛物线的准线为直线． 由抛物线的定义知，所以， 所以抛物线的方程是． （2）略 （3）由（1）知焦点．不妨设点 在 轴上方． ①当直线的斜率不存在时，，则 ． 联立方程组，解得，所以． 同理，由，得． 所以． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，消去并整理， 得，则， 所以 ．而直线 的方程是， 联立方程组，解得，所以． 因为，所以，同理，． 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立．所以． 因为，故的最小值是． 【变式训练1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交抛物线于两点，且到抛物线准线的距离是． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线的准线交于点，证明：轴； (3)已知点，抛物线的准线与轴的交点为，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 由题意直线过焦点， 设的方程为，，， 由，得， ， ，， 直线的斜率，所以直线的方程为， 抛物线的准线方程为，代入得，即， 又，所以点的纵坐标， 所以，即与的纵坐标相等， 所以直线平行于轴，从而轴． (3) 【详解】（1）抛物线：的焦点为，准线为， 因为焦点到抛物线准线的距离是，所以， 所以抛物线的方程为． （2）略 （3）由（2）知的方程为，即， 点，点， 因为的面积与的面积相等， 所以到直线的距离相等，即，解得， 所以直线的方程为． 【变式训练2】（25-26高二下·上海·期末）已知抛物线：，是坐标原点，是焦点，，是抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线和的倾斜角分别为，，求的最小值． 【答案】(1) (2)证明：设 ，满足 ，由 得：，又， 所以，整理得，解得， 设直线 ，联立 得 ， 由韦达定理 ，结合 得 ， 故直线方程为，恒过定点 . (3) 【分析】（1）利用抛物线的定义求出点的横坐标，将横坐标代入抛物线方程，即可得到点A的坐标； （2）设出直线的斜截式方程，与抛物线联立得到韦达定理关系，代入求出直线方程中的定值参数，即可证明直线过的定点并求出定点坐标； （3）设出过焦点的直线的方程，联立抛物线得到的坐标关系，结合确定点坐标，再联立与抛物线得到点坐标，利用倾斜角与斜率的关系得到关于直线斜率的表达式，最后用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）抛物线 中，，得 ，焦点 ，准线 ， 设 ，由抛物线定义：点 到焦点 的距离等于到准线的距离，即，解得， 代入抛物线方程得 ，解得， 故点 的坐标为或 . （2）略 （3）设过的直线，，， 联立得 ，由韦达定理：，所以， 设，由，，平方得， 代入，整理得（），所以即， 所以，所以直线， 联立，得，整理得， 所以，解得的纵坐标 ， 因为， 所以，因为， 所以 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 . 【变式训练3】（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出角度坐标和准线方程，再求解距离即可. （2）对直线斜率是否存在进行讨论，再结合焦半径公式求解最值即可. （3）利用中点坐标公式并结合题意表示出距离，再利用平面向量数量积的坐标表示得到或，最后分类讨论得到最值即可. 【详解】（1）由题意得，准线方程为， 则点到抛物线准线的距离为. （2）当斜率不存在时，直线方程为， 设，，联立方程组， 解得，可得， 当斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，由焦半径公式得， 综上可得，的最小值为. （3）如图，作出符合题意的图形， 设直线方程为，设，， 联立方程组，可得， 可得，由韦达定理得， 设线段中点为，由中点坐标公式得， 由题意得线段中点到轴的距离为 ， 而，而， 得到，而， 可得，解得或， 当时，满足，此时， 当时，此时， 解得，此时， 综上可得，线段中点到轴的距离的取值范围为. 【课时精练】 1．（2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，已知抛物线：的焦点为，直线过点． (1)若直线与抛物线相切于点，求线段的长度； (2)若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（1）利用直线与抛物线相切得到参数值，进而得到点坐标，再利用抛物线的定义求解长度即可. （2）联立方程组结合韦达定理得到，结合给定向量关系建立方程，求出点的不同坐标，再结合重心的性质求解三角形面积即可. 【详解】（1）设直线的方程为， 联立方程组，得到， 因为直线PQ与抛物线相切，所以，解得， 此时，代入抛物线中得， 由抛物线定义得． （2）由题意得直线的方程为， 如图，设，，连接， 联立方程组， 得，则．    ， 且，， ，解得， 当时，，，直线， 联立方程， 得，则， 由已知得点为的重心， 所以 ， 同理当时，， 综上所述． 2．（2026·重庆江北·模拟预测）抛物线因其特殊的光学以及声学性质而广泛地应用于生活中．现已知光在曲线上的反射原理如下：找到入射光线与曲线的交点，在交点处作曲线的切线及垂直于该切线的直线（法线），从而作出反射光（反射光线与入射光线分居法线两侧，与法线夹角大小一样）．设抛物线的准线为：，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，与抛物线C分别相切于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)证明：从抛物线C的焦点F发出的光线经抛物线上一点M（不同于顶点）反射后平行于抛物线C的对称轴； (3)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）通过准线方程得到抛物线方程中参数的值从而得到抛物线的标准方程； （2）设出切线方程，通过切线与抛物线方程的联立求出切点，从而得到法线方程，结合题目中的反射原理，通过向量的数量积得到夹角相等从而得证； （3）根据第2小问得到切线方程，联立得到任意点的坐标，结合向量的数量积来证明两个角的余弦值相等，从而证得两个角相等. 【详解】（1）抛物线的准线为， 则，解得， 因此抛物线的标准方程为. （2）抛物线的焦点坐标为，对称轴为y轴， 设为抛物线上一点（非顶点），如下图所示，    抛物线方程，求导可得， 所以点处切线的斜率为， 则切线方程为，即， 因为点处法线与切线垂直，所以法线的斜率为， 则法线方程为，即， 根据题目可知入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角， 入射光线为，斜率为， 设反射光线的方向向量为，入射光线的方向向量为， 法线的方向向量为， 因为入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角，即它们与法线的夹角的余弦值相等， 所以， 假设反射光线平行于y轴，即方向向量， 代入可得， ， 因为，，所以，满足光的反射原理，假设成立， 因此从抛物线的焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于顶点）， 反射后平行于抛物线的对称轴. （3）设切点，，，如下图所示，    由（2）可知，抛物线在处的切线方程分别为 ，， 联立可得，解得，代入可得， 即，焦点， 所以，，， 则， 同理， 因此， 因为， 所以. 3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知动点到定点的距离比到轴距离大1，记动点的轨迹为曲线. (1)求轨迹的方程； (2)过的直线交曲线于，曲线在点处的切线相交于点. ①证明：； ②时，求的面积. 【答案】(1)或. (2)证明：①根据题意，设，所以， 因为三点共线，所以，可得， 又因为曲线在处的切线方程分别为， 所以， 所以，可得，所以，所以. ② 【分析】（1）设是曲线的任意一点，根据题意，得到，化简后即可求解； （2）①设，得到，根据三点共线，求得，再由曲线在处的切线方程，求得，证得，即可得证； ②设，由，求得，设直线的方程，联立方程组，结合韦达定理，求得，利用弦长公式，求得的长，利用三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：设是曲线的任意一点， 因为动点到定点的距离比到轴距离大1，可得， 整理得或， 所以曲线的轨迹方程为或. （2）解：②设， 因为，可得，所以， 设直线的方程，联立方程组，整理得， 则，且， 因为，解得， 则， 由，可得，则且， 所以曲线在处的切线方程为，即， 可得，同理可得， 联立方程组，两式相减得， 解得，则， 所以，可得， 因为，所以. 4．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线： （ ），为坐标原点，直线 ： ， 经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于， 两点，为线段 中点．动直线 ： 在轴上方．    (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分三角形的面积，求 的值． (3)点在直线上的射影为点 ，是否存在 使得以点为圆心且过点 的圆过定点，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）利用抛物线标准方程的焦点坐标公式，结合直线恒过的定点与焦点重合，直接求解参p，得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，通过韦达定理得到交点坐标的整体关系，结合三角形面积公式及共线线段的纵坐标比例，将面积条件转化为t与交点纵坐标的等式，进而求出t； （3）用斜率参数k表示圆心、半径相关点的坐标，写出圆的标准方程，将方程整理为关于参数k的多项式形式，构造方程组得出定点坐标及t的值． 【详解】（1）直线l： 经过点，由题意知，抛物线焦点即为， 所以 ， 故抛物线方程为： ． （2）已知直线与抛物线交于 两点，设，，联立直线与抛物线方程得： ， ，， 记直线分别与 ， 交于点E，F， 由三角形面积公式 ， 则，， 所以．    （3）存在，， D为线段 中点，则 ， ， 故，点， 以点为圆心且过点 的圆为， 即 ， 令， 所以存在，，使得以点为圆心且过点 的圆过点．    5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：.点在抛物线上，其中.过点作抛物线的切线，记该切线与直线的交点为. (1)求过点的抛物线切线方程； (2)设，求点的轨迹方程； (3)判断点的轨迹是否有中心，若有，求其中心，并说明将该轨迹平移到以其中心为原点后所得曲线的类型. 【答案】(1) (2) (3)轨迹有中心，中心为，平移后为双曲线 【分析】（1）根据点设出直线方程，再与抛物线方程联立，根据即可求得切线方程. （2）根据切线方程与直线方程，分别用表示出，进而得到关系，即点的轨迹方程. （3）首先平移消去一次项得到轨迹存在中心，再双曲型非退化得到轨迹方程为双曲线. 【详解】（1）已知抛物线，点在抛物线上，且. 设切线方程过点直线设为，即. 代入抛物线方程，， 化简得. 因为直线与抛物线相切，所以，即. 令，. 方程化简为，即. 若，则. 化简得，矛盾 若有，则. 化简得，即，因此切线方程，即. （2）点是切线与直线的交点. 设，则且. 消去,可得. 由于，所以，因. 代入可得，整理得. 因此点的轨迹方程为，. （3）令，.则，. 于是. 则变为，即. 可见平移后方程不含一次项，故原轨迹有中心，其中心为. 又二次部分对应非退化双曲型二次曲线， 因此平移到以中心为原点后所得的曲线为双曲线. 【真题回顾】 1．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 2．（多选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 【答案】AC 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC.    3．（多选）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 4．（多选）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 【答案】BCD 【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D. 【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误； ，所以直线的方程为， 联立，可得，解得，故B正确； 设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点， 所以，直线的斜率存在，设其方程为，， 联立，得， 所以，所以或，， 又，， 所以，故C正确； 因为，， 所以，而，故D正确. 故选：BCD 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $ 第55讲直线与抛物线的位置关系 题型一 直线与抛物线的位置关系 3 题型二 弦长问题 4 题型三 焦点弦问题 6 题型四 抛物线的切线 8 题型五 中点弦问题 10 题型六 直线与抛物线的综合问题 11 【真题回顾】 14 【基础回顾】 知识点1．直线与抛物线的位置关系 (1)直线与抛物线的三种位置关系 (2)设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立，整理成关于x的方程k2x2＋(2km－2p)x＋m2＝0. ①若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点． ②若k＝0，直线与抛物线只有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合． 因此，直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件． 知识点2．弦长问题 设直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝ 或|AB|＝|y1－y2|＝，k为直线的斜率且k≠0． 知识点3．抛物线的焦点弦问题 若MN为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦(过焦点的弦)，则焦点弦长为|MN|＝x1＋x2＋p(x1，x2分别为M，N的横坐标)． 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准方程形式下的弦长公式如下表． 标准方程 弦长公式 y2＝2px(p>0) |AB|＝x1＋x2＋p y2＝－2px(p>0) |AB|＝p－(x1＋x2) x2＝2py(p>0) |AB|＝y1＋y2＋p x2＝－2py(p>0) |AB|＝p－(y1＋y2) 知识点4.抛物线的切线 (1)过抛物线y2＝2px(p>0)上的点P(x1，y1)的切线方程是y1y＝p(x＋x1)． (2)抛物线y2＝2px(p>0)的斜率为k的切线方程是y＝kx＋(k≠0)． 常见结论： 抛物线焦点弦的几个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)若A在第一象限，B在第四象限，则|AF|＝，|BF|＝，弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(为弦AB的倾斜角)； (3) (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切； (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上； (7)通径：过焦点与对称轴垂直的弦，长度为2p； (8)过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点．设直线l1的倾斜角为α，则|AB|＝，|DE|＝＝. 题型一 直线与抛物线的位置关系 【例题精讲】 【例1】（25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知抛物线，斜率为的直线绕定点旋转，下列说法正确的是（    ） A．直线与抛物线只有一个公共点时，一定是相切 B．当直线与抛物线有两个公共点时，斜率的范围是 C．当直线与抛物线只有一个公共点时，或， D．当直线与抛物线没有公共点时，斜率的范围是 【例2】（25-26高二上·河北·期中）已知直线和抛物线，则“”是“直线与抛物线恰有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 【变式训练1】（浙江省部分学校2024-2025学年高三下学期5月联考数学试题）抛物线的准线为，焦点为，两点均在上，均为第一象限角，为线段上一点，则（   ） A．,斜率之积为 B．若P为中点，则P到的距离为 C．存在实数m，使得在抛物线上 D．存在，使得为等腰三角形 【变式训练2】（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点为，过点且与抛物线有唯一公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式训练3】（24-25高三上·北京·阶段检测）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【课时精练】 1．（24-25高一上·湖南·开学考试）定义平面内任意两点之间的距离，称为之间的曼哈顿距离．若点在直线上，点为抛物线上一点，则之间的曼哈顿距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（多选）（2026·湖南岳阳·三模）已知点，直线，动点到的垂线为PQ，Q为垂足，且满足，记动点的轨迹为，下列说法正确的有（    ） A．E的方程为 B．若，则的最小值为4 C．过作斜率为的直线交于A，B两点，则 D．上存在两点关于直线对称 4．（多选）（2026·湖北恩施·二模）已知抛物线经过平移后得到曲线与轴交于两点，点坐标为的外接圆为圆，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点坐标为 B．圆心在直线上 C．圆过定点 D．若，则圆与有且仅有两个交点 5．（多选）（25-26高二上·广东广州·期末）已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（    ） A． B．线段的长度为10 C．抛物线上恰有三个点，使得为等腰三角形 D．抛物线上恰有三个点到直线的距离为 题型二 弦长问题 【例题精讲】 【例1】（25-26高二上·福建厦门·期中）过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，且，那么抛物线方程为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·贵州遵义·模拟预测）已知直线过抛物线 的焦点，且直线与抛物线交于，两点，若直线的方程为，则 (   ) A．16 B．8 C．12 D．4 【变式训练1】（2026·陕西西安·模拟预测）已知直线 过抛物线 的焦点 ，与抛物线 交于 ， 两点，且线段 中点的横坐标为 ，则弦 的长为（    ） A． B．2 C． D．3 【变式训练2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线．点在抛物线上，其中．过点作抛物线的切线，该切线与轴交于点．若，其中为坐标原点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练3】（2026·山西忻州·模拟预测）设抛物线：的焦点为，过的直线与交于，两点．若，则直线的斜率的绝对值为（    ） A． B．1 C． D．2 【课时精练】 1．（2026·广西河池·模拟预测）已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，以为圆心，为半径的圆与抛物线在第一象限的交点为，则的面积为（     ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（2026·河北保定·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，其准线与x轴交于点E，过点 E且斜率为负的直线交C于A，B两点(点A在点B的左侧)，若 点D(8，8)，△DBF 的面积为 ，△ABF 的面积为，则 （    ） A．5 B．4 C．3 D．2 3．（多选）（2026·江西南昌·三模）设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点且与交于两点（点在第一象限），，为的准线，，垂足为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．若，则 D．轴上存在一点，使为定值 4．（多选）（25-26高二下·云南文山·阶段检测）已知抛物线C：，过焦点的直线交于点，，则（   ） A．的坐标为 B． C．的最小值为3 D． 5．（多选）（2026·陕西咸阳·二模）已知圆与抛物线（）交于A，B两点，与C的准线l交于M，N两点（点A，M均在x轴上方），过C的焦点F且斜率为的直线交C于另一点D，若，则（   ） A． B． C．的面积是 D．若C上一点满足，则 题型三 焦点弦问题 【例题精讲】 【例1】 （2026·河南许昌·三模）已知抛物线，过C的焦点的直线交C于A，B两点，交圆于M，N两点，其中A，M位于第一象限，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例2】（2026·河南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上（点在第一象限），直线的倾斜角为，过点作于点，直线交轴于点．若的外接圆周长为，则（ ） A．1 B．2 C． D． 【变式训练1】（2026·安徽·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于M，N两点．O为坐标原点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026·湖南·模拟预测）抛物线的光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．设抛物线的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则（    ） A．10 B．12.5 C．15 D．30 【变式训练3】（2026·北京昌平·二模）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且与准线交于点. 若点为线段的中点，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【课时精练】 1．（25-26高二上·四川广安·阶段检测）已知抛物线的焦点是，过点的直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作直线的垂线，垂足分别为，．若，则直线斜率（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南·阶段检测）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，且线段的中点到 轴的距离为3，直线与 轴交于点．若，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（25-26高二下·云南大理·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，其中为的中点，为坐标原点，则下列说法正确的为（    ） A．若直线的方程为，则 B． C．点的轨迹方程为 D． 4．（多选）（2026·四川成都·三模）已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 5．（多选）（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点，连接并延长与准线交于点，与轴交于点，准线与轴交于点，则（    ） A．为锐角 B． C． D． 题型四 抛物线的切线 求抛物线切线方程的方法 方法一 首先设出切线方程，然后与抛物线方程联立，利用判别式求解 方法二 首先求导得出切线的斜率，然后由点斜式得出切线方程 方法三 过抛物线C：y2＝2px(p＞0)上一点P(x0，y0)的切线方程为y0y＝p(x＋x0) 【例题精讲】 【例1】（2026·陕西咸阳·模拟预测）过抛物线：的焦点作直线与相交于两点，过两点分别作的切线，两切线相交于点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026·天津和平·二模）已知双曲线：（）的两条渐近线互相垂直，抛物线：（）的焦点到的渐近线的距离为，过点作的两条切线，切点分别为点，则直线在轴上的截距为（   ） A． B．2 C． D． 【变式训练1】（2026·江苏南京·模拟预测）已知抛物线在处的切线与圆交于A、B两点，则的面积为（    ） A．3 B．5 C． D． 【变式训练2】（25-26高二下·天津南开·阶段检测）求曲线过点的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式训练3】（2026·湖南郴州·三模）已知点，抛物线的焦点为，点是抛物线上一动点，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【课时精练】 1．（2026·山西临汾·一模）阿基米德不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号，圆锥曲线上任意两点M，N处的切线交于点Q，称为“阿基米德三角形”.已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，且，抛物线C在A，B处的切线交于点P，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知过点作抛物线的两条切线，分别交轴于点，则外接圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·河北唐山·模拟预测）抛物线的焦点为过点作的切线，与轴、轴分别交于点、；过坐标原点作的垂线，与直线交于点，则（ ） A．的斜率为 B． C． D．是等腰三角形 4．（多选）（25-26高三下·河南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，点在的准线上，过的直线与相切于点，点在上，且满足，则（    ） A．准线的方程为 B．可能在直线上 C．的最小值为9 D．面积的最小值为16 5．（多选）（2026·安徽合肥·模拟预测）如图，抛物线E：，过点P向抛物线E作两条切线，，切点分别为A，B．切线，分别交x轴于C，D．设，则下列说法正确的有（    ） A．过点A的切线方程为 B．当点P在准线上时，的最小值为8 C．当点P在准线上时， D．对任意点P均有 题型五 中点弦问题 解决焦点弦、中点弦问题的策略 (1)利用抛物线的定义把过焦点的弦分成两个焦半径，然后转化为到准线的距离，再求解． (2)利用与抛物线焦点弦有关的二级结论求解． (3)解决中点弦问题的常用方法为“根与系数的关系法”和“点差法”． (4)若AB为抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦，M(x0，y0)为弦AB的中点，k为直线AB的斜率，则k＝. 【例题精讲】 【例1】（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点（在第一象限），线段的中点分别为．若，则直线的斜率为（   ） A． B．-2 C． D． 【例2】（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点.若线段中点的横坐标为6，则等于（    ） A．20 B．16 C．12 D．8 【变式训练1】（25-26高二上·福建厦门·期末）设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（25-26高二上·广东汕头·期末）双曲线的渐近线与抛物线交于，两点，若中点的横坐标为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【变式训练3】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知直线交抛物线于、两点，且的中点为，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【课时精练】 1．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（25-26高三上·广东·阶段检测）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（    ） A．12 B． C． D． 3．（多选）（25-26高二上·山东滨州·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过焦点的直线与交于两点，点在第一象限，过点作准线的垂线，垂足为，若的最小值为8，则下列说法正确的是（    ） A．焦点的坐标为 B．若，则的最小值为 C．若线段的中点坐标为，则直线的方程为 D．若，则直线的斜率为 4．（多选）（25-26高二上·江苏连云港·期末）设抛物线，为其焦点，为抛物线上一点.则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若点到焦点的距离为3，则的坐标为 C．若，则的最小值为 D．抛物线的一条弦恰好以为中点，则弦所在直线方程是 5．（多选）（25-26高二上·四川巴中·阶段检测）已知过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则下列结论正确的是（    ） A．以为直径的圆与准线相切 B．若点，则的最小值为5 C．若直线的倾斜角为，则 D．点为线段中点，则点的坐标可以是 题型六 直线与抛物线的综合问题 解决直线与抛物线综合问题的策略 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则一般用弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． 【例题精讲】 【例1】（2026·江苏南京·三模）已知到点的距离与到直线的距离相等，的轨迹为. (1)是轨迹的方程上一点，，求的最小值. (2)若直线过点交轨迹于两点，过分别作轨迹的切线，两切线交于点. （i）求的轨迹方程； （ⅱ）求到直线的距离的最小值． 【例2】（25-26高二下·河北衡水·期末）已知抛物线（）的焦点为 ，抛物线上的任意一点到焦点 的距离比到直线 的距离少． (1)求抛物线的方程． (2)若 ， 为抛物线上异于点的两点，直线的斜率为．求证：的重心在定直线上运动． (3)过焦点的直线与抛物线交于 ， 两点,为坐标原点，直线，与直线分别相交于，两点，求的最小值． 【变式训练1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）抛物线：的焦点为，为坐标原点，过点的直线交抛物线于两点，且到抛物线准线的距离是． (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线与抛物线的准线交于点，证明：轴； (3)已知点，抛物线的准线与轴的交点为，若的面积与的面积相等，求直线的方程． 【变式训练2】（25-26高二下·上海·期末）已知抛物线：，是坐标原点，是焦点，，是抛物线上异于原点的两个不同点． (1)若点到焦点的距离等于9，求点的坐标； (2)若，求证：直线过定点，并求出该定点坐标； (3)若过点且不与轴垂直的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，设点为轴上异于点的点，且满足，延长交抛物线于点．记直线和的倾斜角分别为，，求的最小值． 【变式训练3】（2026·上海·模拟预测）已知抛物线的焦点为． (1)求点到抛物线准线的距离； (2)若过点的直线交抛物线于、两点，求的最小值； (3)设直线与抛物线交于、两点，若，求线段中点到轴的距离的取值范围． 【课时精练】 1．（2026·山东泰安·模拟预测）如图所示，已知抛物线：的焦点为，直线过点． (1)若直线与抛物线相切于点，求线段的长度； (2)若直线与抛物线相交于，两点，且，直线与抛物线交于另一点，连接，记中点为，直线交于点，求的面积． 2．（2026·重庆江北·模拟预测）抛物线因其特殊的光学以及声学性质而广泛地应用于生活中．现已知光在曲线上的反射原理如下：找到入射光线与曲线的交点，在交点处作曲线的切线及垂直于该切线的直线（法线），从而作出反射光（反射光线与入射光线分居法线两侧，与法线夹角大小一样）．设抛物线的准线为：，过抛物线外一点P作抛物线C的两条切线PA，PB，与抛物线C分别相切于A，B两点． (1)求C的标准方程； (2)证明：从抛物线C的焦点F发出的光线经抛物线上一点M（不同于顶点）反射后平行于抛物线C的对称轴； (3)证明：． 3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）已知动点到定点的距离比到轴距离大1，记动点的轨迹为曲线. (1)求轨迹的方程； (2)过的直线交曲线于，曲线在点处的切线相交于点. ①证明：； ②时，求的面积. 4．（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知抛物线： （ ），为坐标原点，直线 ： ， 经过该抛物线的焦点，且与抛物线交于， 两点，为线段 中点．动直线 ： 在轴上方．    (1)求抛物线的方程； (2)当线段在直线上方时，直线等分三角形的面积，求 的值． (3)点在直线上的射影为点 ，是否存在 使得以点为圆心且过点 的圆过定点，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由． 5．（2026·山西忻州·模拟预测）已知抛物线：.点在抛物线上，其中.过点作抛物线的切线，记该切线与直线的交点为. (1)求过点的抛物线切线方程； (2)设，求点的轨迹方程； (3)判断点的轨迹是否有中心，若有，求其中心，并说明将该轨迹平移到以其中心为原点后所得曲线的类型. 【真题回顾】 1．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 2．（多选）（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（    ）． A． B． C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形 3．（多选）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（    ） A．直线的斜率为 B． C． D． 4．（多选）（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（    ） A．C的准线为 B．直线AB与C相切 C． D． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $