精品解析：河南省新乡市第一中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

2025－2026学年初二年级下学期期末 数学试卷 一．选择题（共每小题3分，共30分） 1. 一个六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵边形内角和公式为，六边形的边数， ∴六边形的内角和为. 2. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，2， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】若三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形是直角三角形，否则不能组成直角三角形． 【详解】解：选项A：三边为，，，最长边为， ，， ，能组成直角三角形； 选项B：三边为，，，最长边为， ，， ，能组成直角三角形； 选项C：三边为，，，最长边为， ，， ，能组成直角三角形； 选项D：三边为，，，最长边为， ，， ，不能组成直角三角形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式加减乘的运算法则，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A：∵ 和不是同类二次根式，无法直接合并， ∴，A错误，该选项不符合题意； B：∵， ∴B错误，该选项不符合题意； C：∵， ∴C错误，该选项不符合题意； D：∵，计算正确， ∴D正确，该选项符合题意． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式．求出判别式的符号，即可得出结论，掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 5. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 168 C. 124 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查第一四分位数的计算，解题思路为先对数据从小到大排序，第一四分位数为前一半数据的中位数，计算即可得到结果． 【详解】解：将原数据从小到大排序得：， ∵总共有8个数据，第一四分位数是前4个数据的中位数，前4个数据为， ∴第一四分位数是． 6. 如果一个平行四边形要成为一个正方形，需要增加的条件是（ ）． A. 对角线互相垂直 B. 对角互补 C. 对角线互相垂直且相等 D. 对角线相等 【答案】C 【解析】 【分析】结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理逐一判断，正方形是同时满足矩形和菱形性质的平行四边形． 【详解】解：选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不一定是正方形，故选项不符合题意； 选项：∵平行四边形对角相等，若对角互补，则每个内角为，此时平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项不符合题意； 选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形， ∴对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项符合题意； 选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故选项不符合题意． 7. 如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，进而得到，根据角平分线的定义得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵直线和交于点， ∴当时，两函数值相等， 由图象可知，当时，直线的图象在直线的图象下方或重合， ∴不等式的解集为． 9. 在年新国标全面落地后，电动自行车的优点变得更加突出，主要体现在经济省钱、灵活高效以及安全升级三个方面．小红妈妈新买了一辆电动自行车，充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图所示，当电池剩余能量小于时，电动车将自动报警，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A. 电池能量最多可充 B. 电动自行车每行驶消耗能量 C. 电动自行车充满电后，行驶时将自动报警 D. 一次性充满电后，电动自行车最多行驶 【答案】D 【解析】 【分析】从函数图象上获取信息即可求解． 【详解】解：、由函数图象可知，当时，，则电池电量最多可充，该选项正确，不符合题意； 、，故电动车每行驶消耗电量，该选项正确，不符合题意； 、，故电动车充满电后，行驶超过将自动报警，该选项正确，不符合题意； 、由函数图象可知，当时，，故一次性充满电后，电动车最多行驶，该选项错误，符合题意． 10. 如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图象上的点、的实际意义可知、的长及的最大面积，从而求得、的长；接下来，再根据点运动到点时得，从而求得的长，求得直线的解析式，根据一次函数图象可得当点运动到中点时，的面积． 【详解】解：由图象可知，，， ． 根据题意可知，当点运动到点时，的面积最大，此时， ， ， ， 如图，则可得， 设直线的解析式为， 把，代入可得 ， 解得， 所以直线的解析式为， 当点P运动到中点时，即时， 把代入，得， 所以当点P运动到中点时，的面积为20． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 代数式中的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：要使二次根式有意义，需满足被开方数为非负数， 因此可得不等式， 解得． 12. 若点，都在一次函数的图象上，且，则实数a的取值范围是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 根据一次函数的性质，判断一次函数中k的正负即可． 【详解】解：∵点和点都在一次函数的图象上，且， 又∵， ∴随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 甲、乙两位同学参加学校组织的射击选拔赛，每人射击10次，射击成绩的平均数都是8环，方差分别是，，则这10次射击成绩较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【解析】 【分析】方差是衡量数据波动程度的量，方差越小，成绩越稳定．本题中甲和乙的平均数相同，直接比较两个方差的大小即可判断谁的成绩更稳定． 【详解】解：甲，乙两位同学射击成绩的平均数相同，方差分别为，． ， 乙的方差较小， 因此乙的射击成绩更稳定． 14. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴，则， ∴等式两边同时乘以得，． 15. 在菱形中，，，是中点，是上一动点，，是，的中点．则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点，连接，证明得出，由三角形中位线定理得出，从而得出当时，最小，此时有最小值，过点作于点，此时点和点重合，根据菱形的性质得出，即可得解． 【详解】解：如图，连接并延长交于点，连接， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵分别是，的中点， ∴， ∴要使有最小值， 即最小， ∴当时，最小， 过点作于点，此时点和点重合， 在菱形中，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的最小值是． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程． （1）（配方法）； （2）（选择适当的方法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：配方得，即， 开方得， 解得，； 【小问2详解】 解：整理得， 因式分解得， 即或， 解得，． 18. 已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点B． （1）求一次函数的解析式； （2）点C是x轴上一点，若的面积为3，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）C点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的综合，涉及到面积求解以及待定系数法求解析式，解题的关键是设点坐标，并表示的面积，得到方程． （1）将点代入一次函数，求解即可； （2）先求得点的坐标，设C点为，表示出的面积，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵在一次函数的图象上， ∴解得， 则一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 当时，由得， 即B点坐标为， ∵C是x轴上一点， ∴可设C点为，则 则， 解得或， ∴C点坐标为或． 19. 我国在“量子计算”“脑机接口”“技术”三大前沿科技领域已进入全球第一梯队，整体呈现创新活力强劲、应用导向明确的发展态势．某校为了解学生对这些高新科技的关注情况，从全校随机抽取部分学生，调查了他们一周关注高新科技的时间，并对调查数据进行了整理，绘制成如下条形统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查数据的中位数是______，众数是______； （2）该校抽取的这些学生一周的平均关注高新科技的时间是多少？ （3）若该校共有名学生，估计该校学生一周关注高新科技的时间不少于的人数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）先计算本次抽取的总人数，再根据中位数的定义，确定所有数据从小到大排序后最中间的两个数据，计算二者的平均数得到中位数；再找出出现次数最多（对应人数最多）的关注时间，即为众数； （）根据加权平均数的计算规则，用每个关注时间乘以对应人数得到总关注时长，再除以抽取的总人数，即可得到平均关注时间； （）利用样本估计总体的思想，先计算出样本中关注时间不少于的人数占样本总人数的比例，再将该比例乘以全校总人数，即可得到估计的人数． 【小问1详解】 解：∵本次抽取的总人数：（人） ∴将所有数据从小到大排列后，中位数为第和第个数据的平均数， 累计人数可得：前两组（）累计人， 前三组累计人， ∴第个数据均为， ∴中位数为； ∵关注时间为的人数最多（人）， ∴众数为； 【小问2详解】 ， 答：该校此次抽取的这些学生一周的平均关注高新科技的时间是． 【小问3详解】 ． 答：估记该校学生一周关注高新科技的时间不少于的人数为． 20. 天沐河贯穿横琴岛，西接磨刀门水道，东接十字门水道，南北为大小横琴山．如图，在天沐河笔直的河流一侧有一旅游地A，河边有两个景点B，C．其中，由于某种原因，从A到B的路现在不通，为让游客有更好的体验，现决定在河边新建一个景点D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条公路，测得千米，千米，千米． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 【答案】（1）是直角三角形；理由见解析； （2）千米． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可判断； （2）设千米，则千米，利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下： 千米，千米，千米， ，， ， 是直角三角形； 【小问2详解】 解：由（1）可知， 设千米，则千米， 在中，， ， 解得千米， 千米． 21. 如图，在中，点E、F分别在上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，，则的长为 ． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件可证明，，则可证明四边形是平行四边形，由垂线的定义得到，据此可证明平行四边形是矩形； （2）证明，得到，则，由勾股定理可得，由矩形的性质可得，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 22. 户外露营成为当下流行的休闲方式如图，某户外用品店购进甲、乙两款露营折叠椅进行销售．已知购进2把甲款折叠椅和3把乙款折叠椅共需310元；购进3把甲款折叠椅和1把乙款折叠椅共需220元． （1）求甲、乙两款折叠椅的进价各是多少？ （2）该店计划用不超过3000元的资金购进这两款折叠椅共50把，设购进甲款折叠椅把，全部售完后获得的总利润为元．甲款折叠椅每把的利润为25元，乙款折叠椅每把的利润为35元．该店如何进货可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】（1）甲款折叠椅进价为50元/把，乙款折叠椅进价为70元/把； （2）购进甲款25把、乙款25把时利润最大，最大利润为元. 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两款折叠椅的进价各是元/把和元/把，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）根据题意，列出不等式，求出的范围，再根据总利润等于两款折叠椅的利润之和，列出函数关系式，求最值即可. 【小问1详解】 解：设甲、乙两款折叠椅的进价各是元/把和元/把， 由题意，得， 解得； 答：甲款折叠椅进价为50元/把，乙款折叠椅进价为70元/把； 【小问2详解】 解：购进甲款折叠椅把，则购进乙款折叠椅把， 由题意，得， 解得； ∵， ∵， ∴随着的增大而减小， ∴当时，最大，最大为， 此时； 答：购进甲款25把、乙款25把时利润最大，最大利润为元. 23. 综合与探究 问题情境：在矩形纸片中，，，点在边上，沿过点，的直线折叠该纸片，得到，然后把纸片展平．连接并延长交射线于点． 猜想证明： （1）如图1，当点与点重合时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 数学思考： （2）如图2，沿过点的直线继续折叠该纸片，折痕为，，且与交于点，然后展平．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （3）隐去折痕，连接．当时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），理由见解析 （2）四边形是菱形，理由见解析 （3）的长为，或 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得出，，进而得出，根据矩形的性质，即可求解； （2）由（1）可知，，，进而证明得出四边形是平行四边形，根据折叠的性质可得，即可得证； （3）设，分类讨论，分别画出图形，当时，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解： 理由如下：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠，得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 四边形是菱形 证明：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴是菱形． 【小问3详解】 解：设， 如图，当时， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵折叠， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，则， ∴， 在中， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 如图，当重合时，，解得：，即 如图，当是等腰梯形时，如图 ∵，则， ∴， 在中， ∴ 解得： 综上所述，的长为，或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年初二年级下学期期末 数学试卷 一．选择题（共每小题3分，共30分） 1. 一个六边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 2. 以下列长度的线段为边，不能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，2， D. ，， 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 九年级某小组的8名同学每分钟跳绳的个数分别为165，182，136，112，145，171，155，93．这组数据的第一四分位数是（ ） A. B. 168 C. 124 D. 150 6. 如果一个平行四边形要成为一个正方形，需要增加的条件是（ ）． A. 对角线互相垂直 B. 对角互补 C. 对角线互相垂直且相等 D. 对角线相等 7. 如图，在平行四边形中，平分交于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，和交于点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 在年新国标全面落地后，电动自行车的优点变得更加突出，主要体现在经济省钱、灵活高效以及安全升级三个方面．小红妈妈新买了一辆电动自行车，充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图所示，当电池剩余能量小于时，电动车将自动报警，根据图象，下列结论中错误的是（ ） A. 电池能量最多可充 B. 电动自行车每行驶消耗能量 C. 电动自行车充满电后，行驶时将自动报警 D. 一次性充满电后，电动自行车最多行驶 10. 如图①，在四边形中，，，点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度按的顺序在边上匀速运动，设点P的运动时间为t秒，的面积为S，S关于的函数图象如图②所示，当点P运动到中点时，的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 代数式中的取值范围是________． 12. 若点，都在一次函数的图象上，且，则实数a的取值范围是__________ ． 13. 甲、乙两位同学参加学校组织的射击选拔赛，每人射击10次，射击成绩的平均数都是8环，方差分别是，，则这10次射击成绩较稳定的是________（填“甲”或“乙”）． 14. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 15. 在菱形中，，，是中点，是上一动点，，是，的中点．则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）； 17. 解方程． （1）（配方法）； （2）（选择适当的方法）． 18. 已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点B． （1）求一次函数的解析式； （2）点C是x轴上一点，若的面积为3，求点C的坐标． 19. 我国在“量子计算”“脑机接口”“技术”三大前沿科技领域已进入全球第一梯队，整体呈现创新活力强劲、应用导向明确的发展态势．某校为了解学生对这些高新科技的关注情况，从全校随机抽取部分学生，调查了他们一周关注高新科技的时间，并对调查数据进行了整理，绘制成如下条形统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查数据的中位数是______，众数是______； （2）该校抽取的这些学生一周的平均关注高新科技的时间是多少？ （3）若该校共有名学生，估计该校学生一周关注高新科技的时间不少于的人数． 20. 天沐河贯穿横琴岛，西接磨刀门水道，东接十字门水道，南北为大小横琴山．如图，在天沐河笔直的河流一侧有一旅游地A，河边有两个景点B，C．其中，由于某种原因，从A到B的路现在不通，为让游客有更好的体验，现决定在河边新建一个景点D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条公路，测得千米，千米，千米． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 21. 如图，在中，点E、F分别在上，． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若平分，，则的长为 ． 22. 户外露营成为当下流行的休闲方式如图，某户外用品店购进甲、乙两款露营折叠椅进行销售．已知购进2把甲款折叠椅和3把乙款折叠椅共需310元；购进3把甲款折叠椅和1把乙款折叠椅共需220元． （1）求甲、乙两款折叠椅的进价各是多少？ （2）该店计划用不超过3000元的资金购进这两款折叠椅共50把，设购进甲款折叠椅把，全部售完后获得的总利润为元．甲款折叠椅每把的利润为25元，乙款折叠椅每把的利润为35元．该店如何进货可获得最大利润？最大利润是多少元？ 23. 综合与探究 问题情境：在矩形纸片中，，，点在边上，沿过点，的直线折叠该纸片，得到，然后把纸片展平．连接并延长交射线于点． 猜想证明： （1）如图1，当点与点重合时，猜想线段与的数量关系，并说明理由； 数学思考： （2）如图2，沿过点的直线继续折叠该纸片，折痕为，，且与交于点，然后展平．连接，判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： （3）隐去折痕，连接．当时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $