精品解析：云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试卷

马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第三次月考试卷 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. 对应的点在第一象限 B. 的虚部为 C. D. 3. 已知，，动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 射线 4. 已知直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 1或2 5. 已知为等差数列，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（　　） A. 的最小值为6 B. 数据1，3，5，7，9，11，13，15的第75百分位数为12 C. 函数在定义域上单调递增的充要条件是：，当时， D. 若单位向量满足，则与的夹角为 10. 已知函数（，，）的图象如图所示，，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，且，，与轴的交点为，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的一个最大值点为 C. 函数的对称中心为（） D. 函数在区间上单调递增 11. 如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ） A. 关于轴对称 B. 上的点到原点的距离最小值为 C. 与轴围成的图形的面积等于 D. 截直线所得弦长为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是等差数列的前项和，，则___________． 13. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________． 14. 若数列的首项，且；令，则_____________． 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，求的长． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求前项和. 17. 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少有一家回答正确的概率是．各家庭是否回答正确相互独立． （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中至少有2个家庭回答正确的概率． 18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰祶形，AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，，，M为CD的中点． （1）证明：平面ABCD⊥平面CDEF； （2）求直线DA与平面AEM所成角的余弦值 （3）设点N是内一动点，，当线段AN的长最小时，求直线EN与直线BF所成角的余弦值． 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． （1）求抛物线的方程； （2）求的面积； （3）过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第三次月考试卷 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解指数不等式，求出，由对数函数定义域得到，根据交集，可得答案. 【详解】集合， 由得，故，. 故选：D. 2. 若复数满足，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. 对应的点在第一象限 B. 的虚部为 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算求得，由此对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由两边乘以得，， 所以对应点在第四象限， 的虚部为，，， 所以C选项正确，ABD选项错误. 故选：C 3. 已知，，动点满足，则点的轨迹是（ ） A. 双曲线的一支 B. 双曲线 C. 椭圆 D. 射线 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 4. 已知直线：，：，若，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 1或2 【答案】C 【解析】 【详解】已知直线：，：，若， 则有， 化简方程得：， 解得或，C正确. 5. 已知为等差数列，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列下表和的性质及特殊角三角函数值即可求解. 【详解】因为为等差数列，且， 由等差数列的性质得，所以， 所以， 故. 故选：C 6. 设为坐标原点，直线与抛物线：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出的值，再根据抛物线的焦点坐标公式求解即可. 【详解】由，得或， 不妨设， 因为， 所以， 即， 解得， 又因为抛物线的焦点坐标为，即. 7. 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】建立如图空间直角坐标系， 则， ，. 故点到直线的距离. 8. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列命题正确的是（　　） A. 的最小值为6 B. 数据1，3，5，7，9，11，13，15的第75百分位数为12 C. 函数在定义域上单调递增的充要条件是：，当时， D. 若单位向量满足，则与的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】当时可判断A；由百分位数的计算可得到B；利用单调性的定义证明可判断C；由数量积的运算律结合夹角的计算可判断D. 【详解】对于A，当不成立，A错误； 对于B，由，得数据1，3，5，7，9，11，13，15的第75百分位数是，B正确； 对于C，充分性：不妨设，则， 因为，所以，所以在R上单调递增． 必要性：，不妨设，则， 因为在R上单调递增，所以， 所以，所以，C正确； 对于D，由单位向量满足，两边平方得，解得， 又，则，D正确. 故选：BCD． 10. 已知函数（，，）的图象如图所示，，分别为图象的最高点和最低点，过作轴的垂线，交轴于，且，，与轴的交点为，则下列说法正确的有（ ） A. 函数的解析式为 B. 函数的一个最大值点为 C. 函数的对称中心为（） D. 函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.由图像信息求解函数解析式；B.由最大值求解x的取值；C.由对称中心公式求解；D.由单调递增区间公式求解. 【详解】选项A. 是最高点，，即函数最大值为 2，，得 ， 设最高点，最低点，两点纵向距离：， 已知，由勾股定理， ， ，此时， 图像过， 代入，条件，则或 由图像：处函数呈下降趋势，故， ，选项A正确； 选项B. 函数取最大值满足：，得， 令，；，， 不在解集内，选项B错误； 选项C.由，得 函数的对称中心为，选项C正确； 选项D.由得 取，递增区间为 ， 即为一个单调递增区间，选项D正确. 11. 如图，点，，，，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，是以为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线，则（ ） A. 关于轴对称 B. 上的点到原点的距离最小值为 C. 与轴围成的图形的面积等于 D. 截直线所得弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意结合图象表示三段弧，结合图象判断选项A；结合图象利用两点间距离公式计算判断选项B；结合图象利用圆及正方形的面积公式计算判断选项C；结合图象，计算两交点坐标，进而求出弦长判断选项D． 【详解】由题意可知，三段弧长可表示为： ， ， ， 选项A：由图象可知三段弧长整体关于轴对称，故A正确； 选项B：结合图象可知上的点到原点的距离最小值点为点， 距离为，故B正确； 选项C：与轴围成的图形由半径为2的半圆、两个半径为2的圆及两个边长为2的正方形组成， 故，故C错误； 选项D：与联立得， 解得，结合得，故交点为； 与联立得， 解得，结合得，故交点为， 与无交点， 综上，弦长为，故D正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知是等差数列的前项和，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式求出，利用等差数列的前项和的公式求解. 【详解】，，， . 故答案为：. 13. 如图，在平行六面体中，，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用两边进行完全平方，转化为，从而求解 【详解】在平行六面体中， ， 则， 因为， 则,,, 所以， 故. 14. 若数列的首项，且；令，则_____________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：由可知，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以，因此 考点：等比数列的通项公式与等差数列求和． 【方法点晴】本题主要考查了等比数列的通项公式与等差数列求和，属于中档题.本题解答的关键是根据递推式构造数列是以为首项，为公比的等比数列.据此得到数列的通项公式，根据对数运算得到是通项公式，可判断其为等差数列，由等差数列的前项和公式求解. 四、解答题（本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为，且． （1）求的大小； （2）为边的中点，且，求的长． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合两角和正弦公式即可求解； （2）利用中线向量公式，结合向量的数量积运算即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理边化角可得：， 再利用三角形内角和可知：， 所以有， 整理得：，在三角形中， 所以有， 又因为，所以； 【小问2详解】 由中线向量可得：， 则， 所以. 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，，求前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析可知数列是等比数列，进而可得数列的通项公式； （2）根据（1）中结论可得，利用裂项相消法求和. 【小问1详解】 因为， 当时，可得，解得； 当时，可得， 两式相减得，即； 可知数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． 【小问2详解】 由（1）可知， 则，， 可得， 故 . 17. 某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少有一家回答正确的概率是．各家庭是否回答正确相互独立． （1）求乙、丙两个家庭各自回答正确的概率； （2）求甲、乙、丙三个家庭中至少有2个家庭回答正确的概率． 【答案】（1）和. （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式求解； （2）分有3个家庭回答正确和有2个家庭回答正确两种情况，根据独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率关系求解. 【小问1详解】 记事件为“甲家庭回答正确”，事件为“乙家庭回答正确”，事件为“丙家庭回答正确”． 由已知得， 解得， 设“乙、丙两个家庭至少有一家回答正确”为事件，则， 则， 即， 解得，则． 所以乙、丙两个家庭各自回答正确的概率分别为和； 【小问2详解】 有3个家庭回答正确的概率. 有2个家庭回答正确的概率， 所以至少有2个家庭回答正确的概率． 18. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形CDEF均为等腰祶形，AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2，，，M为CD的中点． （1）证明：平面ABCD⊥平面CDEF； （2）求直线DA与平面AEM所成角的余弦值 （3）设点N是内一动点，，当线段AN的长最小时，求直线EN与直线BF所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）取DM的中点为O，由等腰三角形得性质得到OE⊥DM，OA⊥DM，再由勾股定理证明OA⊥OE，即可根据线面垂直的判定定理证明OA⊥平面CDEF，再根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）以O为坐标原点，以OE，OC，OA所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，先求出平面AEM的法向量，设直线DA与平面AEM所成的角为，再根据公式计算即可； （3）先分析出点N在以DM为直径的圆上，当线段AN的长最小时，得到点N的坐标，设直线EN与直线BF所成角为，再根据公式计算即可. 【小问1详解】 如图所示，取DM的中点为O，连接OA，OE， 因为M为CD的中点，，所以， 又因为AB∥CD，CD∥EF，AB＝DE＝EF＝CF＝2， 所以AB∥CM，且,CM∥EF，且, 所以四边形ABCM与四边形CMEF都是平行四边形，所以， 所以是边长为2的等边三角形，△ADM是等腰三角形，所以OE⊥DM，OA⊥DM. 因为，DE＝2，所以，， 因为，且，所以OA⊥OE， 因为，平面CDEF，所以OA⊥平面CDEF， 又平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面CDEF； 【小问2详解】 以O为坐标原点，以OE，OC，OA所在的直线分别为x，y，z轴建立 如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，，. 设平面AEM的法向量为， 则，即， 令z＝1，则，所以. 设直线DA与平面AEM所成的角为，则 ， 所以, 所以直线DA与平面AEM所成角的余弦值； 【小问3详解】 当点N是△ADM内一动点，且，则点N在以DM为直径的圆上， 当线段AN的长最小时，点N在AO与圆的交点处，所以N（0，0，1）， 所以， 则， ||2，||2， 设直线EN与直线BF所成角为， 则． 所以直线EN与直线BF所成角的余弦值为． 19. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，其中点在第一象限．若的中点到轴的距离为，且（为坐标原点）． （1）求抛物线的方程； （2）求的面积； （3）过点的直线与抛物线交于两点，问：在轴上是否存在定点，设直线的斜率分别为，使为定值，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，定点为 【解析】 【分析】（1）根据条件，用表示出点坐标，结合可求的值，得到抛物线的方程. （2）结合（1）的结论，写出直线的方程，与抛物线方程联立，可得点坐标，利用求的面积. （3）设直线：，代入抛物线方程，利用韦达定理，表示，，再设，用表示得：，可得时，为定值. 【小问1详解】 由题意得 的中点到轴的距离为， 又点在抛物线上， ，又点在第一象限，即， ，,. 抛物线的方程：. 【小问2详解】 由（1）可知：，，， 所以直线的斜率为，则直线的方程为 联立抛物线可得，． 又，，那么 所以的面积. 【小问3详解】 如图： 设，，， 易知直线斜率存在，设直线， 联立，消得： ， ， 由韦达定理得：，， ， 为使得为定值，则需满足与m无关， 故，即，， 综上，存在定点，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $