云南文山州马关县第一中学校2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷

马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第二次月考试卷 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试 用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分) 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的)》 1.已知集合M={x|x+2≥0}，N={x|x-1<0},则M∩W= A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2<x≤1} C.{x|x≥-2 D.x|x<1} 2若复数3-4 (i为虚数单位)，则z= 4+3i 3 A.2 . 2 D.1 3.已知直线1：2x+my=1,2:mx+8y=m-2,则“m=-4”是“L1∥l2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 4.如图1，在空间四边形OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,点M 在OA上，且O成=O,点N为BC的中点，则M不等于 A. 2 1 2 02 B.、 2+ 3 2 2 D. 2、2 图1 高二数学MG·第1页（共6页） 5.椭圆C的左、右焦点分别记为F,F2,过左焦点F,的直线交椭圆C于A,B两点.若 弦长AB的最小值为3，且△ABF2的周长为8，则椭圆C的焦距等于 A.1 B.2 C.√5 D.23 6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2+m(m为常数)，则 f(-log23)的值为 2 A.-2 B.2 C.- 3 D.3 7.已知函数f(x)=sin(wx+p) >0,19<的最小正周期为T,且0)=- 2,则函 数y=f(x)在区间 7π11m1 6’6 上零点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 x y 8.双曲线C:云P=1(>0,b>0)的右焦点为F,点P,Q分别在C的两条渐近线上.若 P0=Q且P?.O0=0(0为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 A.√2 B.3 C.2 D.4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有 多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知m,n是两条不同的直线，α，B,y是三个不同的平面，则下列说法正确的是 A.若mC,nCa,且m∥B,n∥B,则a∥B B.若a∥B,B∥y,m⊥a,则m⊥Y C.若m⊥a,n∥a,则m⊥n D.若m∥n,m∥a,且nta,则n∥a 10.点P在圆C1:x2+y2=1上，点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上，则 A.两个圆的公切线有2条 B.PQ的取值范围为[3,7] C.两个圆上任意一点关于直线4x+3y=0的对称点仍在对应圆上 D.C,到两个圆的公共弦所在直线的距离为) 高二数学MG·第2页（共6页） 山已知双曲线T:父)1的左、右顶点分别为A,B,M是T上异于A,B的一个动 点，记直线AM,BM的斜率分别为k1,k2,则下列说法正确的是 A.T的离心率为√3 B.k1k2=-2 C.当k,=1时，tan∠AMB= 3 D.直线√2x+y-1=0与T恰有一个公共点 第Ⅱ卷（非选择题，共92分)》 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.平面向量a与b的夹角为60°，a=(2,0),b1=1,则a+2b等于 13.若圆+y+2x-2-3=0的圆心在直线2ax-b+2=0(a>0,6>0)上，则2a十6的最小值 是 14.已知0为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(2,yo)到其焦点的距离为3， 过C的焦点F的直线交C于A,B两点，当S AAOR=2V2时，|FA|·|FB|的值为 四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分) 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 bcosA+ccosA+acosC=0. (1)求A的大小； (2)若AB·AC=-5,b+c=7,求a的值. 高二数学MG·第3页（共6页) 16.（本小题满分15分) “国庆小长假”期间，某市举办了主题为“旅游文化周”的活动.为了了解该市关注 “旅游文化周”活动的市民的年龄段分布，该市旅游局随机抽取了600名年龄在 [10,60]且关注“旅游文化周”的市民进行调查，所得结果统计为如图2所示的频 率分布直方图. ↑频率 组距 0.025 0.020 0.015 0.010 0102030405060年龄 图2 (1)根据频率分布直方图，估计市民年龄的平均数、第25百分位数和众数；（同一 组数据用该区间的中点值代替) (2)若按照分层抽样的方法从年龄在[10,20)，[50,60]的市民中抽取6人进行旅 游知识推广，并在知识推广后再抽取2人反馈，求进行反馈的市民中至少有1人的年 龄在[50,60]的概率. 17.（本小题满分15分) 已知线段AB的端点B的坐标为(6,1)，端点A在圆C1:(x+2)2+(y+3)2=4上运动， (1)求线段AB的中点P的轨迹C,的方程； (2)求过点(3,2)并与轨迹C,相切的直线方程 高二数学MG·第4页（共6页） 18.(本小题满分17分) 如图3，三棱柱ABC-AB,C1中，∠AAC=60°，AC⊥BC,A,C⊥AB,AC=1,A41=2. (1)求证：AC⊥平面ABC; 3 (2)直线A,与平面BCC,B,所成角的正弦值为，求平面A,B,与平面BCC,B,夹 角的余弦值. 图3 高二数学MG·第5页（共6页） 19.(本小题满分17分) =1(a>b>0)的长轴长为42，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点 已知椭圆E:疗 的四边形的面积为8. (1)求椭圆E的方程； (2)过点(2,0)且斜率为k(k≠0)的直线与椭圆E交于A,B两点. (i)若线段AB的中点横坐标为1，求k; (iⅱ)点C与点B关于x轴对称.在x轴上是否存在定点D(m,0),使A,C,D三点 共线？若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由. 高二数学MG·第6页（共6页）马关县第一中学2025年秋季学期高二年级第二次月考试卷 数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B B B C 【解析】 1,由题意，M={x|x+2≥0}={x|x≥-2}，N={x|x-1<0}={x|x<1},根据交集的运算可 知，M∩N={x|-2≤x<1},故选A. 2.由3-4_ (3-4i)(4-3i) =-i=1,故选D. 4+3i 25 3.令2×8=m2,得m=±4，当m=4时，：2x+4y=1,12:4x+8y=2,4,1重合；当m=-4 时，4∥12，故“m=-4是“4∥1的充要条件，故选C. 4.:点N为8C的中点，0丽-0丽+丽-0丽+号8c=0丽+0c-0丽=0丽+0C 5+.m-oN-0m-0m-0-+=05,故选B 2 2 3 2 5由愿意可知名号如=8a=26-c-1,焦死等于2故选B 6.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2+m,所以f(0)=1+m=0, 解得m=-1.又因为f(1og23)=-f1og23),1og23>0,所以f1og23)=23-1=2,所 以f(-log23)=-f1og23)=-2,故选A. 7.因为函数f(x)=sin(x+p的最小正周期为兀，可得o=2,即f(x)=sin(2x+p).又因为 f(0)=-3 2 即m9=9,所以p=子，所以0=m2-到由[g 令m2x- 可得2-2,19 =0,解得2x号2成2x--3,即x-7或 3 3 6 x-，即函在区间[上的点个数为2个，放选B, 7π.11π 高二数学MG参考答案·第1页（共8页） 8.如图1，设Fe,0),不妨设点P在4：y=-bx上，点Q在 a 4:y=x上，由P际，O0=0,得PF1h,设直线PF的方 y=bx 程为y=-x-d),由 a a2 ，解得Q ab b ,由 y二 _a(x-c） C b P@=QF,得Q是PF的中点，则P 2a2-c2 2ab C, ,因此2a=-b.2a2-c -,解得c=2a, C 所以双曲线C的离心率为2，故选C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 9 10 11 答案 BCD BC ACD 【解析】 9.对于A:根据平面与平面平行的判定定理，还需要m与n相交才能得到a∥B,故A错误： 对于B:由a∥B,B∥y,得a∥Y,又m⊥，所以m⊥y,故B正确；对于C:由n∥a, 知存在过n的平面与a相交，令交线为l,则n∥1，而m⊥a,于是m⊥l,因此m⊥n, 故C正确：对于D:由m∥a,知存在过m的平面与a相交，令交线为l,则m∥1，而 m∥n,于是n∥l.又nt&,lca,因此n∥&，故D正确，故选BCD 10.易知圆C:x2+y2=1的圆心为G(0,0),半径5=1，将圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0化 为(x-3)2+(y+4)2=1,可知圆心为C,(3,-4),半径5=1.对于A,易知 1CC=5>5+5,可知两圆外离，所以两个圆的公切线有4条，故A错误：对于B,易 知PO的最小值为CC-5-5=3,最大值为CC2+5+5=7,所以|PQ|的取值范围 为[3，刀，故B正确；对于C,显然两圆圆心C(0,0),C(3,-4)都在直线4x+3y=0上， 因此直线4x+3y=0为两圆对称轴，故C正确；对于D,由选项A可知两圆外离，即不 存在公共弦，故D错误，故选BC 高二数学MG参考答案·第2页（共8页） 11.由题意可知，a=1,b=V2,则c=√+b=+2=5,则离心率为=5，故A正 确；如图2，设M(山6≠0，则6-日-1，因 2 A10B00,则k=6出日5=2，故B x+1x0-1x7-1y0 2 错误；当k1=1时，k=2,设直线AM,BM的倾斜角分别为，B, m@am片发e压：10与 图2 2x-y广=2得，x=35,故D正确，故选ACD. 4 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 2W5 2 P 【解析】 12.因为=(2,0)，所以|a=2.又因为a与b的夹角为60°，1b=1,所以 |a+25P=0+4a.6+46=4+4|a×51×cos60°+4×1=8+4×2x1×号=12，所以 1a+2b=23.故答案为：23 13.由题可知圆的圆心为(11)，因为直线过圆心，即2a×(-1)-b×1+2=0,即2a+b=2, 且a>0,微名。0式非会+2-3原哥-2 当日仅当会台，即a合61时取将等号故答案为：2 14.,+?=2+?=3→p=2→抛物线方程为y-4x,设直线AB的倾斜角为a,由于AB 2 2 高二数学MG参考答案·第3页（共8页） 卫，4-25→ma5,又+2-1 过焦点F,因此，Saoa=2sina2sina 2 AFBFI P 2p=4=8. AF+IBFHAFI1BFHAB 2 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由已知2 bcosA+ccosA+acos C=0, 所以2 sin Bcos A+sin Ccos A+sin Acos C=0, 所以2 sin Bcos A+sin(A+C)=2 sin BcosA+sinB=0. 因为sinB≠0，所以coA=2 1 2 因为A∈(0，D),所以A=二π. …(6分) (2)由已知可得AB.AC=bccosA=-上bc=-5,所以bc=10. 2 因为a2=b2+c2-2 bc cos A,b+c=7, 所以a2=(b+c)2-2bc+bc=49-10=39, 所以a=√39. …（13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)年龄在[30,40)的频率为：1-(0.020+0.025+0.015+0.010)×10=0.3， 故估计该市被抽取市民的年龄的平均数为： x=15×0.2+25×0.25+35×0.3+45×0.15+55×0.1=32: 第25百分位数为：20+10× 56=22: 250% 众数为： 30+40=35. …(9分) 2 (2)由题意得被抽取的6人中，有4人年龄在10,20)，分别记为a,b,c,d; 高二数学MG参考答案·第4页（共8页） 有2人年龄在[50,60]，分别记为E,F, 记{a,b}表示抽取a,b两人，则“抽取2人进行反馈”包含的基本事件为{a,b},{a,c, {a,d,{a,E},{a,F},{b,c},{b,d},{b,E},{b,F},{c,d,{cE},{cF}, {d,E,{d,F},{E,F},共15种， 其中事件“至少有1人的年龄在[50,60]”包含的基本事件为{a,E},{a,F},{b,E}, {b,F},{c,E,{c,F},{d,E},{dF},{E,F},共9种， 93 故该事件发生的概率为P= 155 (15分) 17.(本小题满分15分) 解：(1)设点P的坐标为(x,y),点A的坐标为(：)， 2，ysb+1 由于点B的坐标为(6,1)，且点P是线段AB的中点，所以x=6+6, 2 于是有 x0=2x-6 0=2y-1 ① 因为点A在圆C1:(x+2)2+(y+3)2=4上运动，即：(x+2)2+(y0+3)2=4②， 把①代入②，得(2x-6+2)2+(2y-1+3)2=4, 整理，得C2:(x-2)2+(y+1)2=1, 所以点P的轨迹C,的方程为(x-2)2+(y+1)2=1. …(7分) (2)由圆C,:(x-2)2+(y+1)2=1,可得圆心C3(2,-1),半径r=1, 若过点(3,2)的直线斜率不存在时，直线方程为x=3, 圆心C(2,-1)到直线的距离d=2-3=1=r,所以x=3是圆的切线： 若过点(3,2)的直线斜率存在时，设切线方程为y-2=k(x-3),即kx-y-3k+2=0, 所以 2--延41，所以生山，所以21=2-6+9，解得 Vk2+(-1)2 Vk2+1 3 高二数学MG参考答案·第5页（共8页） 所以切线方程为4x-y-4+2=0,即4x-3y-6=0. 3 综上所述：过点(3,2)并与圆C,相切的直线方程为4x-3y-6=0或x=3. ……(15分) 18.(本小题满分17分) (1)证明：在△AAC中，∠AAC=60°，AC=1,AA=2, 由余弦定理可得COZAAC=AC+AA-AC,则cos60=2+1,AC,解得 2·AC·AA 2×2×1 AC2=3, 由AC2+AC2=AA2,则在△AAC中，AC⊥AC, 因为AC⊥AB,AC,ABC平面ABC,AC∩AB=A, 所以AC⊥平面ABC. …(7分)》 (2)解：由(1)及AC⊥BC,则AC,AC,BC两两相互垂直， 以C为原点，分别以CA,CB,CA为x,y,z轴建立空间直角坐标 系，如图3： 设BC=k(k>0),由(1)知AC=√5， 图3 则A(0,0,√3)，B(0,k,0),C(00,0),C(-1,0,√3)， 则BA=(0,-k,V5),CB=(0,k,0),C℃=(-1,0，√3)， 「i.CB=0 [y=0 设平面BCCB的一个法向量元=(x,y,),则 可得 .CC=0 1-x+√3z=0 令x=√3，则y=0,z=1，,所以平面BCCB的一个法向量i=(3,0,1), √5 设直线BA与平面BCCB,所成角为日，则sin6= BA·l |BAl|lV√k2+3.√3+1 则3 5 解得k=1,则BA=(0,-1,√5)， 4√k2+3.2 高二数学MG参考答案·第6页（共8页） 在三棱柱ABC-ABC中，BB,∥CC1,则BB,=CC=(-1,0,V3), 设平面ABB,的一个法向量m=(,y:), 则m·84=0 mBB =0 可得光+=0，令=1，则6=5，为=5， -+V3z0=0 所以平面ABB,的一个法向量m=(3,√3,1)， 设平面ABB与平面BCC,B,的夹角为a, 1元.m3+0+12√7 则cosa= ……(17分) l2×√万7 19.(本小题满分17分) 2a=42, 解：(1)由题意得 2bc=8, 解得a=2√2，b=2,c=2, a2=b2+c2, 所以椭圆E的方程为。+上=1 …………(4分) 84 (2)(i)如图4，由题意，直线AB的方程为y=k(x-2),设A(x,),B(,y2), y=k(x-2) 联立 3+上=1得1+2k）x一8k+8-8=。 则△=64k4-41+2k2)(8k2-8)=32k2+32>0, 0 8k2 8k2-8 且+6=1中2水6=1+2 图4 21+21,解得k=± 因为线段AB的中点横坐标为1，则+五=4k2 2 …(9分) 高二数学MG参考答案·第7页（共8页） (ⅱ)因为点C与点B关于x轴对称，所以点C(x,-2), 若在x轴上存在定点D(m,O),使AD,C三点共线，则kD-kcD=0. ko-k0=》-二为=当-m+当G-m） x-m x2-mxx-m(x+x)+m k(5-2(32-m+k(3-25-m_25-m+2x+)+4m=0, x-m(+x)+m2 xx3-(x+x2)+m2 由于k≠0，则2xx3-(0m+2):+x)+4m=0. 则之×8km+2·必 72之+4=0，则16十42=0，解得=4 1+2k2 故在x轴上存在定点D(4,O),使A,C,D三点共线 …(17分) 高二数学MG参考答案·第8页（共8页）