江苏南京市2025-2026学年度第二学期高一期末数学试卷

高一期末数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效. 3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在复平面内，对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3.已知，是两条直线，是平面，若，则“”是“”（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知，则（ ） A. B. C. D. 5.在中，角，，的对边分别为，，.若，则（ ） A. B. C. D. 6.在边长为3的正方形中，，则（ ） A.-5 B.5 C.6 D.9 7.一组样本数据，，，…，的平均数为，标准差为2.另一组样本数据，，，…，，的平均数为，标准差为，则（ ） A.， B.， C.， D.， 8.用半径为2的半圆形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的体积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在中，为边的中点，则（ ） A. B. C. D. 10.同时抛掷两枚均匀硬币，记“出现两个正面”为事件，“出现一正一反”为事件，则（ ） A. B. C.与为互斥事件 D.为必然事件 11.如图，在直四棱柱中，，，M，N分别为棱，的中点，则（ ） A.平面 B. C.直线与平面所成角的正弦值为 D.三棱柱的外接球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知复数，则______. 13.某学生8次素养测试的成绩统计如下：72，76，78，82，86，88，92，98，则该组数据的第80百分位数为______. 14.海上A，B两个小岛相距海里，从A岛望B岛和C岛所成的视角为60°，从B岛望A岛和C岛所成的视角为75°，则B，C两岛之间相距______海里. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知向量，，求： （1）； （2）向量与的夹角的余弦值. 16.（15分） 已知，. （1）求和的值； （2）若，，求证：. 17.（15分） 某校知识竞赛分初赛、复赛两轮.某班从甲、乙两名学生中选拔一人参加学校知识竞赛（初赛），抽取了两人5次模拟测试的成绩，统计结果如下表： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲的成绩（分） 90 95 92 100 98 乙的成绩（分） 95 94 100 96 90 （1）试根据以上数据比较两名同学的平均水平和稳定性，并确定参加初赛的对象； （2）初赛要求如下：参赛者从5道编号为“1、2、3、4、5”的试题中随机抽取3道作答，已知该参赛者会这5道试题中的3道（编号为奇数的题目）. （i）写出参赛者抽到的题号构成的样本空间Ω； （ii）规定抽取的3道题至少答对2题方可进入复赛，求参赛者能进入复赛的概率. 18.（17分） 如图，在三棱锥中，平面. （1）若，求证：平面平面； （2）已知为的中点，，F是棱上的一点. （i）若平面，求； （ii）若平面，试判断的形状，并给出证明. 19.（17分） 在中，内角，，的对边分别为，，，. （1）求； （2）若，. （i）试判断的形状，并说明理由； （ii）设点在边上，连接并延长至点，且.求面积的最大值及此时点的位置. 高一期末测试 数学参考答案与评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D B A B C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。 9 10 11 BCD AC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.2 13.92 14.15 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解】（1）因为， 所以. （2）因为，， 所以，， 因为， 设向量与的夹角为， 所以. 16.【解】（1）因为，， 因为， 所以. 所以. 所以. （2）由（1）知， 因为， 因为，，所以， 所以. 17.【解】（1）由题意可得， ，.， 所以，， 所以甲、乙的平均分相同，但乙的成绩比甲稳定， 故选乙参加知识竞赛较合适. （2）在5道题中，参赛者会答的3道题分别为1，3，5， 另外2道不会答的题分别为2，4. （ⅰ）参赛者从5道题中抽3道题的结果构成的样本空间为 ，共10种. （ⅱ）记“参赛者进入复赛”为事件， 进入复赛，即至少答对2道的情况有，，，，，，，共7种. 所以参赛者进入复赛的概率为. 答：该参赛者进入复赛的概率为. 18.（1）【解】（1）因为平面，平面， 所以， 因为，所以，， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）连接并延长交于点，连接. （ⅰ）因为平面，平面，平面平面， 所以. 因为，是中点， 所以是的重心，是的中点， 所以. （ⅱ）是等腰三角形，理由如下： 因为平面，平面， 所以平面平面. 因为平面，平面， 所以平面平面. 法1：在平面内过作， 因为平面，平面平面，平面平面， 所以平面； 同理，过作，可知平面. 因为过平面外一点有且只有一条直线与该平面垂直， 所以，重合，由于， 所以，，重合， 所以， 因为为中点，故，即是等腰三角形.1 法2：证明结论：设，，是平面，若，，，则. 因为，设，在内作，则， 同理，可设，，，则， 所以， 因为，，所以，因为，，所以. 所以. 因为平面平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为为中点，故，即是等腰三角形. 19.（1）【解】（1）在中，由正弦定理，得. 因为， 所以. 因为，所以， 所以， ， . 因为， 所以， . （2）（ⅰ）在中，，，由（1）知. 在中，由正弦定理， 得. 因为，所以， 所以，， 所以是直角三角形. （ⅱ）在中，因为，所以. 设，. 在中，由余弦定理， 得. 因为， 所以，所以， 当且仅当时等号成立. 所以面积的最大值为. 在中，因为，，，所以. 在中，因为，，所以. 在中，， 所以点在边上靠近的三等分点. 学科网（北京）股份有限公司 $