精品解析：江苏省南京师范大学附属实验学校2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

南京师范大学附属实验学校 2024-2025学年度第二学期高一年级期末考试数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2. 已知复数（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 如图，在正方体中，二面角的大小为 A. B. C. D. 5. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（ ） A. 相互独立 B. 互斥 C. 互为对立 D. 相等 6. 在中，内角、、所对边为、、，若，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A B. C. D. 8. 如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（ ） A B. 2dm C. 3dm D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 9. 已知复数为z的共轭复数，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则z为实数 D. 和z在复平面内对应的点关于虚轴对称 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为32. 11. 单位向量与的夹角为锐角，则的取值可能为（ ） A. B. C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 在正四面体中，点分别为棱中点，则异面直线所成角的余弦值为__________． 13. 已知向量，，向量与垂直，则实数的值为__________． 14. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知.设. （1）若三点共线，求的值； （2）若，求的值. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求及面积． 17. 已知向量，． （1）若角的终边过点，求的值； （2）若向量，求角的大小，其中． 18. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求、的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）； （3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 19. 如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京师范大学附属实验学校 2024-2025学年度第二学期高一年级期末考试数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用二倍角余弦公式计算即可. 【详解】因为，则. 故选：B. 2. 已知复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用复数除法化简即可. 【详解】. 故选：A 3. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据基底的定义依次判断各项对应向量是否能作为基底即可. 【详解】由于基底是一对不共线的非零向量构成， A：为零向量，不符； B：由，即向量共线，不符； C：由，即向量共线，不符； D：，是一对不共线的非零向量，符合. 故选：D 4. 如图，在正方体中，二面角的大小为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面，可知，同时，可知二面角的平面角为，即可得结果. 【详解】由题可知： 在正方体中，平面 由平面，所以，又 所以二面角的平面角为， 因为，则 故选：B 【点睛】本题考查二面角的平面角的大小，关键在于找到该二面角的平面角，考查观察能力以及概念的理解，属基础题. 5. 掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现点数不超过3”，则事件与事件的关系为（ ） A. 相互独立 B. 互斥 C. 互为对立 D. 相等 【答案】A 【解析】 【分析】根据是否相等判断独立性，由互斥、对立及相等事件的定义判断B、C、D. 【详解】由题意，，且，即， 而事件可以同时发生，故它们不互斥，更不相等； 由于“第一枚出现偶数点”， “第二枚出现点数超过3”，则不是对立事件； 综上，A正确，B、C、D错误. 故选：A 6. 在中，内角、、所对的边为、、，若，，．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理求出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】由余弦定理可得，可得. 由正弦定理可得. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式及二倍角的正切公式化简即可得解. 【详解】由可得， 即， 所以. 故选：C 8. 如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（ ） A B. 2dm C. 3dm D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合圆锥体积公式，利用液体的体积相等可求答案. 【详解】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为1，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即， .此时液体的体积为， 由，得，所以. 故选：D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 9. 已知复数为z的共轭复数，下列命题正确的是（ ） A. B. C. 若，则z为实数 D. 和z在复平面内对应的点关于虚轴对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的相关概念和几何意义，逐项分析判断即可得解. 【详解】∵，∴A正确； 共轭复数的模相等，∴B正确； ，∴C正确. 和z在复平面内对应的点关于实轴对称，∴D错误； 故选：ABC 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1； B. 已知一组数据1，2，，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5； C. 数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； D. 若样本数据，，，的标准差为8，则数据，，，的标准差为32. 【答案】AC 【解析】 【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及百分位数的定义求解即可. 【详解】对于选项A，个体被抽到的概率为，故选项A正确； 对于选项B，，即，解得，这组数据的方差是，故选项B错误； 对于选项C，对27，12，14，30，15，17，19，23从小到大排序后为12，14，15，17，19，23，27，30，因为，所以这组数据的第70百分位数是从小到大排序后的第6个数，即23，故选项C正确； 对于选项D，样本数据，，，标准差为， 则数据，，，的标准差为，故选项D错误. 故选：AC. 11. 单位向量与的夹角为锐角，则的取值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】令与的夹角为，则，利用向量的模的运算，即可得出相应的范围. 【详解】由题知，令与的夹角为，则， ， 所以，， 故选：BC 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 在正四面体中，点分别为棱的中点，则异面直线所成角的余弦值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题目已知条件判断出异面直线所成角为，利用余弦定理计算即可. 【详解】连接，因为分别为的中点，所以， 因异面直线所成角的范围为，则异面直线所成角为， 设正四面体棱长为，则，， 根据余弦定理，， 则异面直线所成角的余弦值为. 故答案为：. 13. 已知向量，，向量与垂直，则实数的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：因为所以由向量与垂直得： 考点：向量垂直坐标表示 14. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为2，圆柱的底面半径为1，高为3，则该几何体的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知.设. （1）若三点共线，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示计算可得； （2）根据向量垂直的坐标表示可求得. 【小问1详解】 因为， ， 又因为三点共线，所以， 则， 解得. 【小问2详解】 由，可得，即 解得. 16. 在中，角，，所对的边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，，求及的面积． 【答案】（1）； （2），. 【解析】 分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及同角公式化简求得角. （2）由正弦定理求出即得，再利用两角和的正弦公式及三角形的面积公式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得， 则，而，所以. 【小问2详解】 由（1）知，而，由正弦定理得， 由，得，则， ， 所以的面积. 17. 已知向量，． （1）若角的终边过点，求的值； （2）若向量，求角的大小，其中． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义求出，，根据两角差的正弦公式求出，再根据平面向量的数量积的坐标表示可得结果； （2）利用平面向量共线的坐标表示可得，再根据两角差的正弦公式化简可解得结果. 【小问1详解】 因为角的终边过点，所以，， 所以， 所以，， 所以. 【小问2详解】 因为向量，所以，即， ， 所以， 因为，所以， 所以，即， 所以. 18. 某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求、的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）； （3）在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率. 【答案】（1） （2）平均数为，中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，即可求出a，b； （2）根据频率分布直方图中各个数字特征的求法计算即可求解； （3）先分层抽样求出第四、五组抽取的人数，利用列举法求出古典概型的概率即可. 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为， 即，解得； 【小问2详解】 由（1）知，平均数为； 前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75， 所以中位数位于组内，且，即中位数为69.4； 【小问3详解】 第四、五两组志愿者分别有20人、5人， 故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为， 第五组志愿者人数为1，设为， 这5人选出2人，所有情况有，共10种， 其中选出的2人来自同一组的有，共6种， 所以选出的2人来自同一组的概率为. 19. 如图，在直三棱柱中，M为棱AC的中点，，． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用中位线定理得线线平行，再运用线面平行的判定定理即可. （2）设，利用相似三角形的性质结合勾股定理可计算，再由勾股定理可得，由面面垂直的性质定理可得面，继而可得，再运用线面垂直的判定定理即可. 【小问1详解】 连接交于点， 分别为的中点， ， 又平面，平面， 平面 【小问2详解】 设 ,设，则， 由勾股定理得，， M为棱AC的中点，由，得为，的三等分点， ， ，即， 在直三棱柱中，面面，且面面， M为棱AC的中点，， ，又面， 面，又面， ， 又，平面，平面， 平面. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$