精品解析：福建省厦门集美中学2025-2026学年高二下学期期中质量检测（A卷）数学试题

集美中学2025-2026学年第二学期高二年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 相关变量，的散点图如下.若剔除点后，剩下数据得到的统计中，较剔除之前值变大的是（ ） A. 的平均值 B. 相关系数 C. 决定系数 D. 残差的平方和 2. 如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第行中从左至右第个数与第个数的比为，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ） A. B. C. 80 D. 160 4. 某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布，质量指标大于或等于20的产品为优等品，且优等品出现的概率为0.1，现从该批产品中随机抽取6件，用表示这6件产品的质量指标不在区间的产品件数，则（ ） A. 0.2 B. 0.6 C. 0.8 D. 1.2 5. 随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2026年是马年，那么年后是（ ） A. 羊年 B. 马年 C. 龙年 D. 兔年 7. 某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取12人赠送保健品，这12人中有（ ）名女性的可能性最大． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 一条公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路灯，为安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两个路灯之间至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案总数共有（ ）种． A. 7 B. 21 C. 35 D. 70 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 某人在次射击中击中目标的次数为，其中，设击中偶数次为事件，则（ ） A. 当时，取得最大值 B. 当时，取得最小值 C. 当随的增大而减小 D. 当随的增大而减小 11. 从分别写有1，2，3，…，（）的张卡片中不放回随机抽取（）次，每次取1张卡片，记第（）次取出卡片的数字为，定义为满足，的不同情况数，则（ ） A. B. C. （） D. （） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量的分布列如表所示，且，则______． a 0 3 P b 13. 一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 14. 定义为集合中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合的所有非空子集依次记为、、…、，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．需写出必要的解答步骤． 15. 某公司计划对某市的共享电动车进行车辆投放，为了确定投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表，根据数据绘制的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，请从对数函数模型或指数函数模型（，）中选择一个更适宜的模型对两个变量的关系进行拟合，并求出关于的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比30%，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：，．参考公式：，． 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 ，其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16. 某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封. （1）若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； （2）若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率. 17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 18. 已知函数 （1）若对任意的恒成立，求实数的最小值. （2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）设各项为正的数列满足：求证： 19. 如图，在南水北调工程中，某测量水位的仪器为圆柱形，它的底面半径为米，若将该测量仪装水固定在墙面和地面的角落内，仪器的轴线与地面所成的角为，液面呈椭圆形状，则 （1）若以椭圆的中心为原点，长轴为轴，短轴为轴建立直角坐标系，求该椭圆的标准方程； （2）该椭圆：）的左、右焦点分别为，，经过点，且倾斜角为的直线与该椭圆交于，两点（其中点在轴上方），如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直. ①若，求异面直线和所成角的余弦值； ②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集美中学2025-2026学年第二学期高二年级期中质量检测 数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 相关变量，的散点图如下.若剔除点后，剩下数据得到的统计中，较剔除之前值变大的是（ ） A. 的平均值 B. 相关系数 C. 决定系数 D. 残差的平方和 【答案】C 【解析】 【分析】结合图像和变量之间的相关关系进行判断即可. 【详解】由散点图可知，去掉点后，，的线性相关加强，且是负相关， 故样本的相关系数变小，决定系数变大，残差平方和变小，样本数据y的平均值也变小. 故选：C 2. 如图所示，在由二项式系数构成的杨辉三角中，第行中从左至右第个数与第个数的比为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理可知第行第个数为，可列方程，解方程即可. 【详解】由二项式定理可知第行第个数为， 则第行中从左至右第个数与第个数分别为，， 又比值为， 即， 化简可得， 解得， 故选：C. 3. 已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（ ） A. B. C. 80 D. 160 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可确定，再结合通项公式即可求解. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 4. 某工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布，质量指标大于或等于20的产品为优等品，且优等品出现的概率为0.1，现从该批产品中随机抽取6件，用表示这6件产品的质量指标不在区间的产品件数，则（ ） A. 0.2 B. 0.6 C. 0.8 D. 1.2 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求出质量指标不在区间的概率，结合条件可得随机变量服从二项分布，根据二项分布的均值公式求解即可. 【详解】因为工厂生产的某批产品的质量指标服从正态分布， ，根据正态曲线的对称性，得， 所以1件产品的质量指标不在区间的概率为， 根据题意，故. 5. 随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，判断A，C；再根据期望和方差的性质，计算，判断B，D. 【详解】因为随机变量服从两点分布，其中，则. 所以，故A选项正确； ，故C选项正确； ，故B选项正确； ，故D选项错误． 6. 我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物按顺序轮流代表各年的生肖年号.已知2026年是马年，那么年后是（ ） A. 羊年 B. 马年 C. 龙年 D. 兔年 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理求得除以12所得余数即可得. 【详解】 ， 上式前面各项均是12的整数倍，所以除以12余数为1， 因此年后是羊年. 7. 某社区在重阳节开展敬老活动，已知当天参加活动的老人中女性占比为，现从参加活动的老人中随机抽取12人赠送保健品，这12人中有（ ）名女性的可能性最大． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式列出不等式组，通过组合数公式化简不等式组，进而求解的取值范围，再结合为自然数确定的值． 【详解】若从参加活动的老人中随机抽取12人，且抽到的女性人数为，则， 若抽到名女性的可能性最大，则 即解得， 又，故． 8. 一条公路上有18盏路灯，为节约用电，现打算关掉其中4盏路灯，为安全起见，要求公路的头尾两盏路灯不可关闭，关掉的相邻两个路灯之间至少有3盏亮着的路灯，则不同的方案总数共有（ ）种． A. 7 B. 21 C. 35 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】先将15盏路灯，按要求顺序排好，再将剩余的3盏灯放入，考虑三盏灯在一起，分成两组，三盏灯均不在一起三种情况，即可得. 【详解】先拿出15盏路灯，按如下顺序排好，(表示灯亮；表示灯灭) 再将剩下的三盏灯放进去， 若三盏灯在一起，有种方法； 若分成两组，有种方法； 若三盏灯均不在一起，有种方法， 所以共有35种方法. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】应用对立事件概率求法、全概率及条件概率公式判断A、B、D；由概率的性质判断C. 【详解】由题设，且， ， ， 所以A、C对，B、D错. 故选：AC 10. 某人在次射击中击中目标的次数为，其中，设击中偶数次为事件，则（ ） A. 当时，取得最大值 B. 当时，取得最小值 C. 当随的增大而减小 D. 当随的增大而减小 【答案】AD 【解析】 【分析】对于AB，直接由二项分布的方差公式即可求解；对于CD，可以根据二项式定理得出，进一步通过的范围即可判断的单调性. 【详解】对于AB：， 当时，取得最大值，故A正确，B错误； 对于CD：， ， ， ， 当时，为正负交替的摆动数列， 所以不会随着的增大而减小，故C错误； 当时，为正项且单调递减的数列， 所以随着的增大而减小，故D正确. 故选：AD． 11. 从分别写有1，2，3，…，（）的张卡片中不放回随机抽取（）次，每次取1张卡片，记第（）次取出卡片的数字为，定义为满足，的不同情况数，则（ ） A. B. C. （） D. （） 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意理解的含义，通过列举法、举反例以及分类讨论第个元素，即可得到答案. 【详解】对于A，当时，表示从中选1个数，且的不同情况数， 因此只能选，有种选法，即，故A正确； 对于B，表示从中选1个数，且的不同情况数，因此只能选，有2种抽法，即， 表示从中取2个数排列，且的不同情况数，满足条件的情况有，，，即， 表示从中取3个数排列，且的不同情况数，满足条件的情况有，，即， 因此，故B正确； 对于D，表示从中取个数排列，且的不同情况数， ①若第个元素未被选中，则从剩下的张卡片中抽取次，使得，那么情况数为， ②若第个元素未被选中，共有种可能，此时第个元素必被选中， 当第个元素排在第位时，则剩余的个元素排在剩余位置错排，有种情况， 当第个元素不排在第位时，由于第个元素未被选中，可将第个元素化为第个元素，转化为个元素的错排，有种情况， 因此，故D正确. 对于C，当时，，， 因此存在反例使得（）不成立，故C不正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 随机变量的分布列如表所示，且，则______． a 0 3 P b 【答案】2 【解析】 【分析】利用分布列性质来求参数，再利用期望和方差公式计算即可求解. 【详解】由题意得：，解得：， 所以. 13. 一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________． 【答案】 【解析】 【详解】两个孩子的生肖组合有种， 记事件A“其中一个孩子属马”，事件B“两个孩子都属马”， 则，， 所以. 14. 定义为集合中所有元素的乘积，规定：只有一个元素时，乘积即为该元素本身，已知集合，集合的所有非空子集依次记为、、…、，则______． 【答案】44 【解析】 【分析】构造函数，分析题意知，集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1. 【详解】设，则集合的所有子集的乘积之和即为展开式中所有项的系数之和减1， 令，则展开式中所有项的系数之和为，所以， 故答案为：44. 四、解答题：本题共5小题，共77分．需写出必要的解答步骤． 15. 某公司计划对某市的共享电动车进行车辆投放，为了确定投放量，对过去在其他城市的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到投放量（单位：千辆）与年使用人次（单位：千次）的数据如下表，根据数据绘制的散点图如图所示． 1 2 3 4 5 6 7 6 11 21 34 66 101 196 （1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，请从对数函数模型或指数函数模型（，）中选择一个更适宜的模型对两个变量的关系进行拟合，并求出关于的回归方程； （2）公司为了测试共享电动车的性能，从所有同型号共享电动车中随机抽取100辆进行等距离骑行测试，骑行前对其中60台进行保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的共享电动车占比30%，请根据统计数据完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为共享电动车是否报废与保养有关？ \ 保养 未保养 合计 报废 20 未报废 合计 60 100 参考数据：，．参考公式：，． 62.14 1.54 2535 50.12 3.47 ，其中． 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.001 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【答案】（1）； （2） \ 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 有关 【解析】 【分析】（1）根据已知数据，应用最小二乘法求回归方程； （2）根据已知完善列联表，再应用卡方公式求卡方值，结合独立性检验基本思想得到结论. 【小问1详解】 由散点图，适宜作为投放量与年使用人次的回归方程类型， 由，两边同时取常用对数得， 设，则， 因为，，，， 所以． 把代入，得， 所以，即，则， 故关于的回归方程为． 【小问2详解】 设零假设：是否报废与是否保养无关． 由题意，报废电动车中保养过的共台，未保养的报废电动车共台，补充列联表如下： \ 保养 未保养 合计 报废 6 14 20 未报废 54 26 80 合计 60 40 100 则 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否报废与保养有关． 16. 某校团委组织开展了知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个信封中，A信封中有6道选择题和3道论述题，B信封中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一信封中随机选取一题，作答完后再在此信封中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原信封. （1）若同学甲从B信封中抽取了2题，求第2题抽到论述题的概率； （2）若同学乙从A信封中抽取了2题，答题结束后误将题目放回了B信封，接着同学丙从B信封中抽取题目作答，已知丙取出的第一个题是选择题，求乙从A信封中取出的是2个论述题的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用全概率公式求解即可； （2）设出事件A，，，并求出对应的概率，利用全概率公式求出，然后利用条件概率公式求解即可. 【小问1详解】 设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，，，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率. 【小问2详解】 设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， 所以， 故所求概率. 17. “英才计划”最早开始于2013年，由中国科协、教育部共同组织实施，到2023年已经培养了6000多名具有创新潜质的优秀中学生，为选拔培养对象，某高校在暑假期间从中学里挑选优秀学生参加数学、物理、化学学科夏令营活动. （1）若数学组的7名学员中恰有3人来自中学，从这7名学员中选取3人，表示选取的人中来自中学的人数，求的分布列和数学期望； （2）在夏令营开幕式的晚会上，物理组举行了一次学科知识竞答活动，规则如下：两人一组，每一轮竞答中，每人分别答两题，若小组答对题数不小于3，则取得本轮胜利.已知甲乙两位同学组成一组，甲、乙答对每道题的概率分别为，.假设甲、乙两人每次答题相互独立，且互不影响.当时，求甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 3 P 期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布，求出分布列和期望，即可得出结果； （2）根据甲、乙答对题数为二项分布及独立事件的概率求出每轮答题中取得胜利的概率，再由二次函数的性质求出结果. 【小问1详解】 由题意知，的可能取值有0，1，2，3，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P . 【小问2详解】 因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为，则， 设乙答对题数为，则， 设“甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”, 则 由，又，所以， 则，又，所以， 设，所以，由二次函数可知当时取最大值， 所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为. 18. 已知函数 （1）若对任意的恒成立，求实数的最小值. （2）若且关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； （3）设各项为正的数列满足：求证： 【答案】（1）1； （2） ； （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得在上恒成立，然后构造函数，利用导数求出其最大值即可得答案， （2）表示出方程，分离出，然后构造函数，利用导数可求出在上的值域，作出的图像，结合图可求出的取值范围， （3）由（1）可得时，，即，则可化为，即，所以，然后利用累乘法可求得结论 【详解】（1）由恒成立，得恒成立， 所以， 令，则， 因为，所以， 所以在上单调递减， 所以， 所以， 所以实数的最小值为1， （2）由，得， 令（），则 ， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 因为， 所以， 所以的简图如图所示， 因为关于的方程在上恰有两个不相等的实数根， 所以可知的图像与直线有两个不同的交点， 所以由图像可知， 即实数的取值范围为 （3）由（1）知，当时，，即， 所以可化为， 即，所以， 所以， 所以， 所以，所以 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是由（1）得，从而将可化为，变形为，然后利用累乘法可得结论，考查数学转化思想，属于较难题 19. 如图，在南水北调工程中，某测量水位的仪器为圆柱形，它的底面半径为米，若将该测量仪装水固定在墙面和地面的角落内，仪器的轴线与地面所成的角为，液面呈椭圆形状，则 （1）若以椭圆的中心为原点，长轴为轴，短轴为轴建立直角坐标系，求该椭圆的标准方程； （2）该椭圆：）的左、右焦点分别为，，经过点，且倾斜角为的直线与该椭圆交于，两点（其中点在轴上方），如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直. ①若，求异面直线和所成角的余弦值； ②是否存在，使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）根据三角函数与椭圆定义，求出，进而写出椭圆标准方程； （2）①在平面中求出，再根据折叠后的空间图形建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出异面直线和所成角的余弦值即可； ②根据椭圆定义以及长度关系找到，再将长度关系根据弦长公式转化成解析式，结合韦达定理求出直线中的，进而求出. 【小问1详解】 圆柱轴线与水平面夹角，所以，，椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①由直线：与，联立消去整理得， 解得或，因为点，在轴上方，所以得，， 再以为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 记异面直线和所成角为， 则； ②设，在新图形中对应点记为，. 由，，故， 设折叠前，， 直线与椭圆联立方程得，，， 在折叠后的图形中建立空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）； ，，，， ，， 上式左右两边同时平方化简得：. 又；， 得，， ，， 解得， ∵，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $