精品解析：福建漳州市2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2025-2026学年下学期期中考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第二册第一章（导数）、第二章（空间向量与立体几何）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则的导函数（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的极值点为0，则（ ） A. 0 B. C. D. 4. 在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数为减函数，则必有（ ） A. B. C. D. 6. 某企业的一个产品的月均产量（单位：百件）与月份数的关系式为，则该企业这个产品的月均产量的最小值为（ ） A. 56件 B. 63件 C. 5600件 D. 6300件 7. 在平行六面体中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在四面体中，，则（ ） A. B. C. D. 10. 若，则的取值可以为（ ） A. -10 B. C. -4 D. 1 11. 在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最大值是最小值的2倍 C. 四面体外接球的体积为 D. 当取得最小值时，点的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为________． 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 14. 若，则的取值范围是________． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 15. 已知函数. （1）求值； （2）求在上的极值. 16. 将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 18. 如图，在四棱锥中，，底面是正方形，，分别为，的中点．过点的直线与平行，且． （1）证明：底面． （2）已知平面与平面的夹角为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若是上的一个动点，直线与平面所成的角为，证明：． 19. 已知函数 ． （1）证明：当 ，时， ． （2）讨论的零点个数． （3）若 ，正数满足 ，证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期期中考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：湘教版选择性必修第二册第一章（导数）、第二章（空间向量与立体几何）． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在空间直角坐标系中，点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以. 2. 已知函数，则的导函数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，得到. 3. 已知函数的极值点为0，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用极值点的导数为0求解参数，注意检验. 【详解】， 因为，所以． 当时，由得，由得， 由得， 所以的极小值点为0，故． 4. 在空间直角坐标系中，是平面外一点，平面的一个法向量为，的面积为3，且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到平面距离的向量公式，求出点到平面的距离，再结合锥体体积公式计算即得. 【详解】因为，平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离， 又的面积， 所以三棱锥的体积. 5. 若函数为减函数，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数为减函数，可得，即， 又因为，所以，即. 6. 某企业的一个产品的月均产量（单位：百件）与月份数的关系式为，则该企业这个产品的月均产量的最小值为（ ） A. 56件 B. 63件 C. 5600件 D. 6300件 【答案】D 【解析】 【详解】可知， 在时，，函数单调递减， 在时，，函数单调递增， 所以当时，月均产量取得最小值，最小为件. 7. 在平行六面体中，，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算可知,，通过数量积求出，进而求出. 【详解】利用空间向量的线性运算可知， 所以， 即, 由于, 所以，， 所以，故 ，即， 故平行四边形为矩形， 8. 函数的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】令，通过求导确定的范围，再结合二次函数性质即可求解. 【详解】. 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则. 令，，则， 因为在上单调递增， 所以当时，取得最小值，且最小值为0. 故的最小值为0. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在四面体中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】 ，故A正确，C错误； ，故B错误，D正确. 10. 若，则的取值可以为（ ） A. -10 B. C. -4 D. 1 【答案】ABD 【解析】 【分析】将问题转化为，设函数 ，由求解. 【详解】若，则， 设函数 ，则， ， 令，得单调递增， 令，得 单调递减． 因为，当时，， 所以， 故，解得． ABD选项符合题意. 11. 在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最大值是最小值的2倍 C. 四面体外接球的体积为 D. 当取得最小值时，点的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据外接球体积公式、勾股定理、空间向量坐标的线性表示等知识逐项计算判断即可. 【详解】四面体的直观图如图所示．设顶点在底面上的射影为，连接， 则平面，连接并延长，交于点，易得为的中点． 因为，所以，所以， 则，则，A正确． 设四面体外接球的球心为，则在上，设， 则，解得，所以四面体外接球的半径为3， 四面体外接球的体积为，C错误． 易得四面体内切球的半径，内切球的球心为， 则的最大值为，最小值为，B正确． 因为平面，所以， 又因为，所以， 解得或（舍去），． 当取得最小值时，，即， 得，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在标准正交基底下，已知向量，，则向量在上的投影长为________． 【答案】9 【解析】 【详解】由已知，， 则的坐标表示为，的坐标表示为， 则向量在上的投影长为. 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，， ， ， 向量在直线上的投影长度为， 故点到直线的距离为 14. 若，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】观察不等式两边结构相同，构造函数，利用单调性将不等式转化为，再取对数求范围. 【详解】令（），则，故在上单调递增. 左边：； 右边：. 由题意，所以. 两边取自然对数得，即，则的取值范围为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 15. 已知函数. （1）求值； （2）求在上的极值. 【答案】（1） （2）极小值为，无极大值 【解析】 【小问1详解】 ， 则. 【小问2详解】 当时，令，得， 令，得，则在上单调递减， 令，得，则在上单调递增， 所以在上的极小值为，在上无极大值. 16. 将正方体截去三棱锥后得到如图所示的几何体，且为的中点． （1）证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接，． 易证，且， 又为的中点，所以，且， 则四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解即可. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，进而可求得其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设，则，，，，，，． 设平面的法向量为，则 令，得． 设平面的法向量为，则 令，得． 设二面角的平面角为， 则， 所以二面角的正弦值为． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 【答案】（1） （2）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增 【解析】 【分析】（1）当时，求得，结合导数的几何意义，即可求解； （2）求得，分和，两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 当时，，可得， 则，且，即切线的斜率为，切点为， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 由函数，其定义域为，且， 当时，，则在上单调递减； 当时，令，可得， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 18. 如图，在四棱锥中，，底面是正方形，，分别为，的中点．过点的直线与平行，且． （1）证明：底面． （2）已知平面与平面的夹角为． （Ⅰ）求； （Ⅱ）若是上的一个动点，直线与平面所成的角为，证明：． 【答案】（1） 因为，，所以． 因为底面底面， 所以底面． （2）（Ⅰ） （Ⅱ）设，得， 则， 因为，函数在上单调递增， 所以要证，只需要证 即证． 因为，所以恒成立．故． 【解析】 【分析】（1）证明，结合线面垂直的判定定理即可证明结论； （2）（Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别表示出各点坐标，求出平面与平面的法向量，用向量夹角的余弦公式求解即可；（Ⅱ）设，利用线面角的空间向量法得到,结合正弦函数的单调性，将问题转化为证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （Ⅰ）以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，得． 设平面的法向量为， 则令，则，得． 易得平面的一个法向量为 则 故． （Ⅱ）略 19. 已知函数 ． （1）证明：当 ，时， ． （2）讨论的零点个数． （3）若 ，正数满足 ，证明： ． 【答案】（1）当 ，时， ， ，当且仅当，即 时，等号成立， 所以，在上单调递增． 又 ，所以当时， ，即 ． （2）当 时，的零点个数为1，当 时，的零点个数为3 （3）由 ，得，即． 要证 ，只需证， 即证，即证 ， 设，， 则． 因为，所以 ， ， 所以，在上单调递增． 又 ，且，所以， 即 ，故 得证． 【解析】 【分析】（1）利用函数在区间上的单调性，把 转化为在区间上最小值不小于0； （2）讨论参数与函数单调性的关系，结合奇偶性及函数图像变化即可判断零点个数； （3）通过 可得，要证 ，只需证，即证 ，通过构造函数 ，利用导数证明函数 的最小值大于0即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以为上的奇函数, ， 当 时，，在上单调递增, 又，所以的零点个数为1， 当 时，令，即 ， 设，则 ，即 ， 解得，即，， 又因为 ， ， 所以 ，即 ， ， 则当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以 ， ． 又因为当 时， ，，当时， ，所以的零点个数为3． 综上，当 时，的零点个数为1，当 时，的零点个数为3． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $