精品解析：浙江省嘉兴市2025-2026学年下学期期末统考八下年级数学试卷

八年级（下）学科期末检测 数学试题卷 【考生须知】1．本卷为试题卷，请将答案做在答题卷上． 2．本次检测不使用计算器． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项的代码填入答题 卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形中，与相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 某校开展“趣味投篮”比赛，每班挑选位同学进行1分钟投篮，如图是A，B两班位同学投篮进球数的箱线图．下列说法错误的是（ ） A. A，B两班位同学投篮进球数的中位数相同 B. 两个班里进球数最多的同学在A班 C. B班的位同学投篮发挥得更稳定 D. A班位同学投篮进球数的和都高于B班 8. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 9. 折纸是一项益智的艺术活动．某数学综合实践小组将正方形纸片按如图所示折叠，图③中的点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①不正确，②正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②不正确 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中，字母的取值范围是_______． 12. 五边形的内角和为________． 13. 某款人形机器人在部分网友的评分中得分如下表，若将外观、性能、售后等三项评分按的比例统计，则该款机器人的平均得分为_______． 项目 外观 性能 售后 得分 14. 如图，在中，点在边上，平分，若，则的长为_______． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______． 16. 如图，菱形中，，，线段在所在的平面内移动，且，连结，，点，分别是和的中点，连结，当时，则线段的长为_______． 三、解答题（本题有8小题，第17～22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 解方程：． 18. 计算：． 19. 如图，在中，对角线与相交于点．点，在上，小王同学认为添加一个条件可使为平行四边形． （1）你添加的条件是 ．（写出一种情况即可） （2）根据你添加的条件证明为平行四边形． 20. 嘉兴凤桥水蜜桃是全国“名特优新”农产品．某校综合实践小组的同学来到果园协助果农对刚采摘的一批水蜜桃进行分级包装．为了制定科学合理的分级标准，同学们开展了以下统计活动： 【数据收集】同学们随机抽取了个水蜜桃作为样本，测量并记录它们的果径（单位：）如下：，，，，， （1）【数据整理】 为了解样本数据的分布特征，请你求出这个样本数据的众数和中位数． （2）【数据分析】 为了兼顾包装盒规格与果品的一致性，同学们提出了两种方案： 方案：一级果（，）；二级果（，，，）． 方案：一级果（，，）；二级果（，，）． 列式计算：计算方案的组内离差平方和． 作出决策：经计算得知，方案的组内离差平方和为．请你帮助同学们作出决策，应该选择哪种方案？并说明理由． 21. 观察与思考： ①；②；③；… （1）根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； （2）试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 22. 正方形中，，连结，将正方形绕点按逆时针方向旋转（）得到正方形． （1）如图，当点落在的延长线上时，连接，求的度数． （2）如图，当时，求的长． 23. 某科技公司推出的数学画图软件深受用户喜爱，上线第天的用户为万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第天用户达到万人． （1）求该软件用户前三天的日平均增长率． （2）公司推出会员优享业务，当会员价为元/月时，平均每天有名用户开通会员；月会员价每提高元，每天开通会员的用户就减少名． ①若公司希望每天的会员优享业务收入达到元，求会员价应为多少元/月？ ②公司每天的会员优享业务收入能否达到元？请说明理由． 24. 我们定义：有一组对角相等，且有一组邻边相等的凸四边形叫“双等四边形”．如图，在四边形中，若满足，，则四边形为“双等四边形”． （1）判断命题“有一个内角为的双等四边形是正方形”是否正确，并说明理由． （2）在中，在右侧平面内有一点，连结，以为对称轴将作轴对称变换得到，连接． ①如图，，，若四边形是“双等四边形”，且，求的长． ②如图，，，当四边形是“双等四边形”时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（下）学科期末检测 数学试题卷 【考生须知】1．本卷为试题卷，请将答案做在答题卷上． 2．本次检测不使用计算器． 一、选择题（每小题有4个选项，其中有且只有一个正确，请把正确选项的代码填入答题 卷的相应空格，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程中含有个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程是一元二次方程，故此选项符合题意． 2. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义逐项识别即可． 【详解】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项B能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选B． 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴根据平行四边形对角相等，可得． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A、， A错误； B、， B错误； C、， C正确； D、与不是同类二次根式，不能合并，， D错误． 5. 用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的反面即可得到答案． 【详解】反证法证明命题时，第一步应假设原命题的结论不成立，即结论的否定成立， 原命题结论为， 的否定为， 第一步应假设． 6. 如图，菱形中，与相交于点，点是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直可得为直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据菱形的四条边相等即可求解． 【详解】解：四边形是菱形，  ，，  是直角三角形，  点是的中点，  是斜边上的中线，  ，  ，  ，  ． 7. 某校开展“趣味投篮”比赛，每班挑选位同学进行1分钟投篮，如图是A，B两班位同学投篮进球数的箱线图．下列说法错误的是（ ） A. A，B两班位同学投篮进球数的中位数相同 B. 两个班里进球数最多的同学在A班 C. B班的位同学投篮发挥得更稳定 D. A班位同学投篮进球数的和都高于B班 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由箱线图可知，A，B两班位同学投篮进球数的中位数相同，原说法正确，故此选项不符合题意； B、由箱线图可知，两个班里进球数最多的同学在A班，原说法正确，故此选项不符合题意； C、由箱线图可知，B班数据的极差及四分位数距均小于A班，数据分布更集中，故B班发挥更稳定，原说法正确，故此选项不符合题意； D、由箱线图可知，B班不低于A班， 原说法错误，故此选项符合题意． 8. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题：一个矩形长和宽的和为步，面积是平方步，问长比宽多几步？若设长为步，根据题意可列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据长与宽的和表示出宽，再利用矩形面积公式列方程即可 【详解】解：设长为步，长和宽的和为步 宽为步 矩形面积长宽，已知矩形面积为平方步 可列方程为 9. 折纸是一项益智的艺术活动．某数学综合实践小组将正方形纸片按如图所示折叠，图③中的点在上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设正方形边长为，利用折叠性质得出，，在中求出，进而得到；设，在中利用勾股定理建立方程求解，最后计算比值． 【详解】解：设正方形的边长为，  图①中为对折线，  ，， ， 由折叠性质可知，， 在中，，    设，由折叠性质可知原图中对应线段长为 ，  原图中为中点，   在中， ，即 ， ，   ， 解得  ∴ ． 10. 已知关于的一元二次方程（）的两个根分别为，，小范有以下两种说法：①；②关于的方程和的解相同，下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①不正确，②正确 C. ①正确，②不正确 D. ①不正确，②不正确 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程的解的定义得到，把该等式的右边展开即可判断①；可证明方程 和 是同一个方程，据此可判断②． 【详解】解：∵方程 的两根为，，， ∴方程 的两根为，，， ∴， ， ∴，因此①正确； ∵， ∴， ∴方程 和 是同一个方程，故二者的解完全相同，因此②正确； 综上，①正确，②正确． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 二次根式中，字母的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解即可得到字母的取值范围． 【详解】解：由题意得， ∴ ． 12. 五边形的内角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：五边形的内角和为． 13. 某款人形机器人在部分网友的评分中得分如下表，若将外观、性能、售后等三项评分按的比例统计，则该款机器人的平均得分为_______． 项目 外观 性能 售后 得分 【答案】 【解析】 【分析】根据题目给出的三项评分的权重比，结合各项得分，利用加权平均数公式计算即可得到结果． 【详解】解：，   ∴该款机器人的平均得分为 ． 14. 如图，在中，点在边上，平分，若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质和角平分线的定义可证，可得． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  ，  ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，关键通过角度的关系判定是等腰三角形． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系求出的值，再把所求式子通分得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴ ． 16. 如图，菱形中，，，线段在所在的平面内移动，且，连结，，点，分别是和的中点，连结，当时，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】过作的垂线交的延长线于点，分别取，的中点和，分别连接，，，，，先利用菱形性质及直角三角形特征求出辅助线段的长，进而证得四边形为平行四边形；接着借助三角形中位线定理证明四边形为平行四边形，从而将求解转化为求解；最后在中利用勾股定理计算出的长，即得的值． 【详解】解：过作的垂线交的延长线于点，分别取，的中点和，分别连接，，，，， 四边形为菱形 ， ， 四边形为平行四边形 且 是的中点，是的中点 且 是的中点，是的中点 且 且 四边形为平行四边形 ， ． 【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理及勾股定理。解题的关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用菱形和中点条件推导线段关系，将求 的长转化为求的长，最终借助勾股定理求解． 三、解答题（本题有8小题，第17～22题每题6分，第23、24题每题8分，共52分） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【详解】解：． ， 或， 解得：，． 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 19. 如图，在中，对角线与相交于点．点，在上，小王同学认为添加一个条件可使为平行四边形． （1）你添加的条件是 ．（写出一种情况即可） （2）根据你添加的条件证明为平行四边形． 【答案】（1）（答案不唯一） （2）证明：∵在中，对角线与相交于点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定方法，添加即可； （2）根据对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 嘉兴凤桥水蜜桃是全国“名特优新”农产品．某校综合实践小组的同学来到果园协助果农对刚采摘的一批水蜜桃进行分级包装．为了制定科学合理的分级标准，同学们开展了以下统计活动： 【数据收集】同学们随机抽取了个水蜜桃作为样本，测量并记录它们的果径（单位：）如下：，，，，， （1）【数据整理】 为了解样本数据的分布特征，请你求出这个样本数据的众数和中位数． （2）【数据分析】 为了兼顾包装盒规格与果品的一致性，同学们提出了两种方案： 方案：一级果（，）；二级果（，，，）． 方案：一级果（，，）；二级果（，，）． 列式计算：计算方案的组内离差平方和． 作出决策：经计算得知，方案的组内离差平方和为．请你帮助同学们作出决策，应该选择哪种方案？并说明理由． 【答案】（1）众数为，中位数为 （2）方案的组内离差平方和为； 应选择方案，理由如下： 方案的组内离差平方和为，方案的组内离差平方和为，且， 方案的组内离差平方和更小，故方案的组内果品一致性越好， 应选择方案． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）分别求出一级果的离差平方和和二级果的离差平方和，二者求和即可得到答案；根据题意可得方案的组内离差平方和更小，故方案B的组内果品一致性越好，据此可得结论． 【小问1详解】 解：果径为的水蜜桃数量最多， 这个样本数据的众数为； 把这个样本数据按照从低到高的顺序排列为：，，，，，，位于第位和第位的数据为，， 这个样本数据的中位数为； 【小问2详解】 解：一级果的平均数为， 一级果的离差平方和为； 二级果的平均数为， 二级果的离差平方和为； 方案的组内离差平方和为； 略． 21. 观察与思考： ①；②；③；… （1）根据上述等式的规律，直接写出第④个等式； （2）试用含（为自然数，且）的等式表示这一规律，并加以验证． 【答案】（1） （2）（的整数），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． （1）由题干找出规律求解即可； （2）先找出规律，再由二次根式的性质化简证明． 【小问1详解】 解：∵①； ②； ③；… ∴写出第④个等式为：； 【小问2详解】 解： （的整数） 证明如下： ． 22. 正方形中，，连结，将正方形绕点按逆时针方向旋转（）得到正方形． （1）如图，当点落在的延长线上时，连接，求的度数． （2）如图，当时，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，正方形的性质，推出为等腰三角形，进而求出的度数，利用角的和差关系即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长，证明为等边三角形即可得出结果. 【小问1详解】 解：∵正方形， ∴， ∵旋转， ∴， ∵正方形，点落在的延长线上， ∴， ∴点落在线段上， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形， ∴， ∴， 连接，则，， 由题意，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴. 23. 某科技公司推出的数学画图软件深受用户喜爱，上线第天的用户为万人，由于功能持续优化，用户数量稳步增长，到第天用户达到万人． （1）求该软件用户前三天的日平均增长率． （2）公司推出会员优享业务，当会员价为元/月时，平均每天有名用户开通会员；月会员价每提高元，每天开通会员的用户就减少名． ①若公司希望每天的会员优享业务收入达到元，求会员价应为多少元/月？ ②公司每天的会员优享业务收入能否达到元？请说明理由． 【答案】（1）该软件用户前三天的日平均增长率为； （2）①会员价应为34元/月或36元/月； ②公司每天的会员优享业务收入不能达到元，理由如下： 设会员价在元/月的基础上提高n元/月，公司每天的会员优享业务收入为W元， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴公司每天的会员优享业务收入不能达到元． 【解析】 【分析】（1）设该软件用户前三天的日平均增长率为x，根据第一天用户量和第三天的用户量建立方程求解即可； （2）①设会员价在元/月的基础上提高m元/月，根据每天的会员优享业务收入达到元建立方程求解即可；②设会员价在元/月的基础上提高n元/月，公司每天的会员优享业务收入为W元，可求出，根据偶次方的非负性可推出，据此可得结论． 【小问1详解】 解：设该软件用户前三天的日平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：该软件用户前三天的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：①设会员价在元/月的基础上提高m元/月， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∴或， 答：会员价应为34元/月或36元/月； ②略 24. 我们定义：有一组对角相等，且有一组邻边相等的凸四边形叫“双等四边形”．如图，在四边形中，若满足，，则四边形为“双等四边形”． （1）判断命题“有一个内角为的双等四边形是正方形”是否正确，并说明理由． （2）在中，在右侧平面内有一点，连结，以为对称轴将作轴对称变换得到，连接． ①如图，，，若四边形是“双等四边形”，且，求的长． ②如图，，，当四边形是“双等四边形”时，求的长． 【答案】（1）不正确，理由如下： 如图，， 故四边形为双等四边形，但四边形不是正方形； 故有一个内角为的双等四边形是正方形不正确； （2）①3；②或. 【解析】 【分析】（1）举反例进行说明即可； （2）①根据题意，易得为等边三角形，进而得到，根据新定义得到，进而推出即可得出结果；②分和，两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵以为对称轴将作轴对称变换得到， ∴， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵四边形是“双等四边形”， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∵四边形是“双等四边形”，且， ∴①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时， ∵， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接，作，， 则，， ， ∴， 设，则，， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得（舍去）； ∴； 综上：或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $