精品解析：福建省厦门市同安一中附属学校2025-2026学年(下)九年级6月中考热身练习数学试题

同安一中附属学校2025—2026学年（下）九年级期末模拟练习 数学 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 在实数，，，中，最小的是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年4月，我国浸没式光刻机成功问世．已知，将数字0.0000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 若某不等式的解集为，则该解集在数轴上的表示是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某地区5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（ ） A. 这五天中，温差最大的是5月1号 B. 这五天中，每日最低气温的众数是 C. 这五天中，每日最高气温的中位数是 D. 这五天中，每日最高气温的平均数为 7. 如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数，点，为该函数图象上两点，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中国古代建筑中，常通过榫构件和卯构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作个榫构件需要的圆木为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 在钟表校准中，若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作______． 12. ________，________． 13. 如图，在中，，是边上的中线，若，则_____． 14. 一个不透明的盒子里装有6个红球，3个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从盒子里随机摸出一个小球是红球的概率是______． 15. 勾股定理是我国古代数学发展的重要起源，数学传统文化中的精髓：开方术、方程术等都与勾股定理密切相关，勾股定理在生活中有着极其广泛的应用．如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端C距离地面（即），将其展开至点B距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端B离地面的垂直高度是________． 16. 已知实数k、m、n，满足，．若m，n异号，则k的取值范围为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解不等式组：． 18. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 为了从甲、乙两位同学中选出一人担任班长，全班同学都对甲、乙两人进行了无记名等级制投票．为了方便统计，大家约定：A表示95分，B表示90分，C表示85分，D表示80分；综合平均得分高的同学当选为班长．投票结果统计如下： 甲同学得票情况统计表 等级 A B C D 人数 15 20 m n 根据以上信息，解决下列问题： （1）________，________； （2）乙同学说自己D等级的票数比甲同学少，一定能当选为班长．你认为乙同学的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． 21. 如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 22. 如图，在矩形中，点是线段上的一点，且，连接，设． （1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）试判断与的数量关系，并给予证明． 23. 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点，． （1）求的值； （2）已知该二次函数的最小值为若为该二次函数图象上不同的两点，且，求证： 24. 综合与实践 如图1，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 信息采集： ①国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）： 轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）； 无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． ②某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为； 入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． ③计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 方案设计： 方案 方案一：单段直坡道 方案二：两段式折返坡道 示意图 数据分析 如图2，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度，CD为单段直坡道： 如图3，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 问题解决： （1）结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中______，该方案______（填“可行”或“不可行”）． （2）结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 25. 已知内接于圆，作外角的角平分线交圆于点A，连结，． （1）如图1，求证：为等腰三角形． （2）如图2，若过圆心，、交于点F，，，求． （3）如图3，作直径交于点G，若，且，，求圆的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中附属学校2025—2026学年（下）九年级期末模拟练习 数学 一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分．每小题有四个选项，其中有且只有一个选项正确） 1. 在实数，，，中，最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题的关键是掌握实数大小比较的方法． 比较四个实数的大小，先区分正负，再比较负数的大小． 【详解】解：根据正数大于0,0大于负数，两负数比较，绝对值大的反而小得， ， 所以，最小的是， 故选：D． 2. 2025年4月，我国浸没式光刻机成功问世．已知，将数字0.0000028用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查绝对值小于1的数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，其中，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：是绝对值小于1的数，原数第一个非零数字前共有6个零，且满足 ． 3. 若某不等式的解集为，则该解集在数轴上的表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：不等式的解集为在数轴上表示为． 4. 下列运算中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂运算法则与合并同类项法则，逐一判断选项即可． 【详解】选项：，计算正确； 选项：，计算错误； 选项：与不是同类项，不能合并，计算错误； 选项：，计算错误． 5. 如图，，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．根据切线的性质得出，进而得出的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出的度数即可． 【详解】解：与相切于点， ， ， ， ， ． 故选：B． 6. 如图是某地区5月1日至5日天气预报的部分截图，下列说法错误的是（ ） A. 这五天中，温差最大的是5月1号 B. 这五天中，每日最低气温的众数是 C. 这五天中，每日最高气温的中位数是 D. 这五天中，每日最高气温的平均数为 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图可知，5月1日至5日的最高气温依次为，最低气温依次为． 对于A，5月1日至5日温差分别为，，，，，最大， 温差最大的是5月1号，故A说法正确； 对于B，最低气温数据中出现了3次，次数最多， 众数为，故B说法正确； 对于C，将最高气温从小到大排列为，处于中间位置的数是， 中位数为，故C说法错误； 对于D，最高气温的平均数为，故D说法正确． 7. 如图，在中，的垂直平分线l交于点D．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键．根据线段垂直平分线的性质得出，结合等边对等角即可得出． 【详解】解：∵的垂直平分线l交于点D， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选A． 8. 已知反比例函数，点，为该函数图象上两点，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的增减性比较函数值的大小即可． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数图象位于第一、三象限，且在每一象限内，函数y随x的增大而减小， ∵点，为该函数图象上两点，， ∴， 故选：A． 9. 在中国古代建筑中，常通过榫构件和卯构件的精密连接，使得建筑物牢固且难以松动．如图，工匠们设计了一种特定的榫卯结合构件，在使用相同口径的圆木材料制作时，每个榫构件所需的圆木要比每个卯构件所需的圆木短．已知用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同．设制作个榫构件需要的圆木为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确理解题意，列出方程是解题的关键．根据用总长为的圆木制作的榫构件数量与用总长为的圆木制作的卯构件数量相同，列方程即可得到结论． 【详解】解：设制作个榫构件需要的圆木为， 根据题意得，， 故选：． 10. 抛物线过点，且对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足，则抛物线顶点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能够理解题意，明确抛物线经过点和是解题的关键．抛物线经过点和，则该抛物线的对称轴为直线．根据题意可知，，．抛物线经过点和，不妨设该抛物线的函数表达式为，代入求得a，进一步即可求得顶点的纵坐标． 【详解】解：在二次函数中，令，得， 二次函数与轴交于， 该抛物线经过点和， 该抛物线的对称轴为直线． 点关于该对称轴对称的点的坐标是． 对于符合，的任意实数，，其对应的函数值，始终满足， ，，． 该抛物线经过点和． 不妨设该抛物线的函数表达式为． 代入，得， 解得， 当时， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 在钟表校准中，若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键．用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可得出答案． 【详解】解：若把比标准时间快分钟记作，则比标准时间慢分钟记作， 故答案为：． 12. ________，________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】解：，． 13. 如图，在中，，是边上的中线，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线且， ∴． 故答案为： 14. 一个不透明的盒子里装有6个红球，3个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从盒子里随机摸出一个小球是红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出袋子中总的球数，再用红球的个数除以总的球数即可． 【详解】解：∵袋子中装有6个红球，3个白球，共有9个球， ∴从袋子中随机摸出一个球是红球的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 15. 勾股定理是我国古代数学发展的重要起源，数学传统文化中的精髓：开方术、方程术等都与勾股定理密切相关，勾股定理在生活中有着极其广泛的应用．如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端C距离地面（即），将其展开至点B距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端B离地面的垂直高度是________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，，证明四边形是矩形，得到；利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴四边形是矩形， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，即此时棚骨外端B离地面的垂直高度是． 16. 已知实数k、m、n，满足，．若m，n异号，则k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，等式的性质，分解因式的应用，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．根据，，得出，整理得出，根据，得出，根据，异号，得出，，求出，根据，求出结果即可． 由此即可求解． 【详解】证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，异号， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，取最小值，当或时，取最大值， ∵当时，，， ∴无法取最小值， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 由①得，； 由②得， ∴原不等式组的解集为． 18. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，ABCD ∴∠BAC=∠DCA ∵BEAC于E，DFAC于F ∴∠AEB=∠DFC=90° 在ABE和CDF中 ， ∴ABECDF（AAS） ∴AE=CF 【解析】 【分析】可证明ABECDF，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，二次根式分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键． 先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 为了从甲、乙两位同学中选出一人担任班长，全班同学都对甲、乙两人进行了无记名等级制投票．为了方便统计，大家约定：A表示95分，B表示90分，C表示85分，D表示80分；综合平均得分高的同学当选为班长．投票结果统计如下： 甲同学得票情况统计表 等级 A B C D 人数 15 20 m n 根据以上信息，解决下列问题： （1）________，________； （2）乙同学说自己D等级的票数比甲同学少，一定能当选为班长．你认为乙同学的说法是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请举例说明． 【答案】（1）， （2）说法不正确． 假设乙D等级的票数为4票，则乙A等级的票数为票． ． ∴甲当选班长． ∴乙同学的说法不正确． 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，平均数． （1）根据A等级的票数和占比求得样本容量，能过计算得到，； （2）设乙D等级的票数为4票，则乙A等级的票数为11票，通过计算各自的平均数，比较即可得解． 【小问1详解】 解：样本容量：， 甲同学D等级的票数：人， 则C等级的票数：人， ∴，； 【小问2详解】 略 21. 如图，抛物线与y轴交于点，顶点为D，对称轴为直线，点P在抛物线上，点P的纵坐标为2，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M，交y轴于点E．若的面积是的面积的3倍，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】先利用点C坐标与对称轴为求出，再求出点D的坐标，进而分别求出点C、D到的距离，利用列出方程，求出、的值，从而求出抛物线的解析式． 【详解】解：如图，令直线与交于点F， 将点代入抛物线得：， 抛物线对称轴为， ， ， 抛物线解析式为， 将代入得：， ， 轴，点P的纵坐标为2， 、， 、， 抛物线的图象开口向下， ， ， ， ， ， 解得：， ， 抛物线的解析式为． 22. 如图，在矩形中，点是线段上的一点，且，连接，设． （1）将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，连接．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）试判断与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1） （2）， 证明：过点作的垂线，如图， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， ， 平分， 又∵， ， ， 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）作即可； （2）根据，求得，根据平行线的性质得到，过点作的垂线，求得，利用证明即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点，． （1）求的值； （2）已知该二次函数的最小值为若为该二次函数图象上不同的两点，且，求证： 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，关于对称轴对称，得到，即可得到答案； （2）化简，求出，根据韦达定理得到，对左边式子进行化简即可证明结论． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，， ，关于对称轴对称， ， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， 由于二次函数有最小值， ，且， 解得或（舍去）， ， 为该二次函数图象上不同的两点， 是方程的两个根， ， ， 且， ， 化简得原式， ， ∴ ． 24. 综合与实践 如图1，综合与实践小组的同学发现，某小区单元门口设有台阶，且没有无障碍通道，对日常依靠轮椅和拐杖出门的老人存在安全隐患．综合与实践小组查阅资料，整理该小区无障碍通道设计方案如下． 信息采集： ①国家《无障碍设计规范》强制要求（保障老人通行安全）： 轮椅坡道起点、终点、中间休息平台的水平长度不应小于（满足轮椅转身、停留需求）； 无障碍出入口的轮椅坡道净宽度不应小于． ②某单元门口数据采集： 入户台阶总高度为； 入户门单侧可做延伸通道，最大可用长度为． ③计划修建的轮椅通行坡道的坡度为． 方案设计： 方案 方案一：单段直坡道 方案二：两段式折返坡道 示意图 数据分析 如图2，入户台阶高度，坡道起点和终点休息平台的水平长度，CD为单段直坡道： 如图3，入户台阶高度，坡道起点和中间休息平台的水平长度（终点为单元门前人行道，无需另外设计平台），和为两段式折返坡道． 问题解决： （1）结合国家《无障碍设计规范》强制要求，计算方案一中______，该方案______（填“可行”或“不可行”）． （2）结合题意判断方案二是否可行，并说明理由． 【答案】（1）；不可行 （2） 方案二可行．理由如下： 如答图，过点C作的垂线，交的延长线于点G．记的延长线交于点P． ∴四边形和四边形是矩形． ∴，，，． 设，则． ∵轮椅通行坡道的坡度为， ∴． 由题知， ∴， ∴． ∴，． ∵， ∴． 解得． ∴． ∴． ∵， ∴方案二可行． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，求出，继而求出，即可解答； （2）过点C作的垂线，交的延长线于点G．记的延长线交于点P，推导出，，，，设，则，得到，继而求出，，由，得到，则，即可解答． 【小问1详解】 解：，不可行，理由如下： 过点作于点，如图， ，， 轮椅通行坡道的坡度为， ， ， ， 该方案不可行； 【小问2详解】 略 25. 已知内接于圆，作外角的角平分线交圆于点A，连结，． （1）如图1，求证：为等腰三角形． （2）如图2，若过圆心，、交于点F，，，求． （3）如图3，作直径交于点G，若，且，，求圆的半径． 【答案】（1）为等腰三角形 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图，根据圆内接四边形的性质与角平分线定义证明，即可得出结论； （2）连结．由垂径定理的推论与圆周角定理的推论证明，从而得到，得到即，求得，从而求得，最后由勾股定理求解即可； （3）连结，在射线上取点K，使得，证明，得到，即，解得，再证明，则，求解得，则，再由勾股定理，求得，在RT中，根据勾股定理得，即 ，求解即可． 【小问1详解】 解：如图， ， ，即为等腰三角形 【小问2详解】 解：连结． ∵为圆直径 ∴ ∴ ∴ ∴ 由勾股定理得： 【小问3详解】 解：连结，在射线上取点K，使得 ∵ ∴设 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵四边形内接于圆O， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由勾股定理，得 在RT中， ． 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论，垂径定理的推论，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，此题是圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $