精品解析：2025年湖南省长沙市立信中学中考三模数学试题

2024-2025年度第二学期初三第三次模拟考试试卷（数学） 满分：120分 时量：120分钟 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，为有理数的是（ ） A. B. C. D. 1 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，可以看作是中心对称但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 4. 在下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1、6、6 B. 2、3、5 C. 2，6，9 D. 5、3、10 5. 如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A=130°，则∠D的度数是（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 70° 6. 下列关于统计与概率的知识说法正确的是（ ） A. 赵心童在2025年斯诺克世界锦标赛上获得冠军是必然事件 B. 了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查的方式 C. 若一个游戏的中奖率是，则做100次这样的游戏一定会中奖 D. 甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差，，则甲组数据比乙组数据更稳定 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 8. 已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=15°，则∠C的度数是（ ） A. 45° B. 65° C. 60° D. 70° 10. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法．某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是___________． 13. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 14. 如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为______． 15. 若关于的一元二次方程的其中一个根是1，则另一个根是______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 16. 计算：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 钓鱼岛自古就是中国领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测，现有关部门想测量钓鱼岛东西两端的距离．制定测量方案如下表： 测量项目 测量钓鱼岛东西两端点之间的距离 测量过程 【步骤一】中国一艘海监船从点沿正北方向巡航，测得其航线距钓鱼岛（设，为该岛东西两端点）最近距离为12海里（即海里）： 【步骤二】在点测得岛屿的西端点在点的东北方向； 【步骤三】海监船航行4海里后到达点，测得岛屿的东端点在点的北偏东60°方向（其中，，在同一条直线上）． 根据以上内容，解决问题： （1）求出之间的距离； （2）求出钓鱼岛东西两端点之间的距离．（结果保留根号） 19. 每年4月15日是全民国家安全教育日，某校开展安全教育讲座后，学生参加了安全知识竞赛，现随机抽取了若干名学生的竞赛成绩（单位，分．满分100分）进行整理分析（数据分为4组；A组；，B组：，C组：，D组：．x表示成绩，成绩为整数）．并绘制了如下不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求抽取的学生人数、并补全成绩频数分布直方图： （2） ______、扇形统计图中“D”所占的圆心角度数为______°； （3）该校有1200名学生参加了本次安全知识竞赛，请估计竞赛成绩达到50分及以上人数． 20. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E． （1）求证：△CEB≌△ADC； （2）若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长． 21. 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么． （1）在校两名中学生的对话：甲同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次”，乙同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数才136次”．请你判断甲乙两名同学谁的说法是错误的?并说明理由． （2）若一个人年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12，用列方程的方法确定． 22. 如图，直线经过上的点，并且，． （1）求证：直线是的切线； （2）若和与分别交于点，，且的直径为4，，求的长及扇形的面积． 23. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于平面内点和点．将点绕点旋转后得到点，称是关于点的“优美点”． 对于函数，其图象上所有点关于点的“优美点”所构成的新函数，函数称为原函数关于点的“优美函数”． 例如：和是关于点的“优美点”，函数和是关于点的优美函数． （1）下面的函数关于原点的“优美函数”是它本身的有______． ①②③ （2）若二次函数的图象上始终存在两个不重合的关于原点的“优美点”，求的范围． （3）①二次函数的图象顶点为，关于原点的“优美函数”的图象顶点为，已知点关于点的“优美点”为点，当和共同组成的图象与线段有且只有一个公共点时，求的取值范围． ②在①的条件下，关于的二次函数总在正比例函数的上方，请直接写出的范围． 24. 已知：如图，在平行四边形中，，，，为上一动点，作，射线交射线于点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，当点在线段上时，射线交射线于点，求线段多长时，线段最长，最大值为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025年度第二学期初三第三次模拟考试试卷（数学） 满分：120分 时量：120分钟 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列实数中，为有理数的是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了实数．根据有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】解：，，是无理数，1是有理数． 故选：D． 2. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，可以看作是中心对称但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的乘除法、二次根式的加法、积的乘方逐项判断即可． 【详解】A、，此项错误 B、，此项错误 C、与不是同类二次根式，不可合并，此项错误 D、，此项正确 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的乘除法、二次根式的加法、积的乘方，熟记各运算法则是解题关键． 4. 在下列各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 1、6、6 B. 2、3、5 C. 2，6，9 D. 5、3、10 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查组成三角形的条件：较短两条线段的和大于较长线段，据此依次判断即可． 【详解】解：A.由，则三条线段能组成三角形，符合题意； B.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意； C.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意； D.由，则三条线段不能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 5. 如图，已知AB∥CD，DE⊥AC，垂足为E，∠A=130°，则∠D的度数是（ ） A. 20° B. 40° C. 50° D. 70° 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据平行线的性质求出∠C，求出∠DEC，根据三角形内角和定理求出即可． 解：∵AB∥CD， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠A=130°， ∴∠C=50°， ∵DE⊥AC， ∴∠DEC=90°， ∴∠D=180°﹣∠C﹣∠DEC=40°， 故选B． 考点：平行线的性质；直角三角形的性质． 6. 下列关于统计与概率的知识说法正确的是（ ） A. 赵心童在2025年斯诺克世界锦标赛上获得冠军是必然事件 B. 了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查的方式 C. 若一个游戏的中奖率是，则做100次这样的游戏一定会中奖 D. 甲、乙两组数据的样本容量与平均数分别相同，若方差，，则甲组数据比乙组数据更稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查统计与概率，根据事件的分类判断A选项；根据全面普查与抽样调查的区别判断B选项；根据概率的意义判断C选项；根据方差的意义判断D选项． 【详解】解：赵心童在2025年斯诺克世界锦标赛上不一定获得冠军，因此不是必然事件，故A选项说法错误，不符合题意； 了解长沙市人均月收入的大致情况，适宜采用抽样调查的方式，故B选项说法错误，不符合题意； 若一个游戏的中奖率是，做100次这样的游戏不一定会中奖，故C选项说法错误，不符合题意； 由可得甲组数据比乙组数据更稳定，故D选项说法正确，符合题意； 故选：D． 7. 不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集,再表示出数轴即可解题. 【详解】解： 解得：x＞1,x≥2, ∴用数轴表示是 故选D. 【点睛】本题考查了不等式组的求解,属于简单题,会在数轴上表示出不等式的解集是解题关键. 8. 已知长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积（单位：/人）随全市人口（单位：人）的变化而变化，则与的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确等量关系是解题关键，利用土地总面积除以总人数，进而表示出人均占有的土地面积． 【详解】解：∵长沙市的土地总面积约为，人均占有的土地面积S（单位：人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化， ∴S与n的函数关系式是：； 故选B． 9. 如图，⊙O中，CD是切线，切点是D，直线CO交⊙O于B、A，∠A=15°，则∠C的度数是（ ） A. 45° B. 65° C. 60° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】连接OD，根据切线的性质得到∠ODC=90°，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，计算即可． 详解】解：连接OD， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠ODC=90°， ∠COD=2∠A=30°， ∴∠C=90°-30°=60°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是切线的性质和圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 10. 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 二进制数转化为十进制数为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据二进制转化为十进制的方法，可以计算出二进制数对应的十进制数． 【详解】解： ， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减即可求解． 【详解】解：， 故答案为：2． 12. 中国有四大国粹：京剧、武术、中医和书法．某校开设这四门课程供学生任意选修一门，则小丽同学恰好选修了中医的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了简单事件的概率，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵某校开设京剧、武术、中医和书法共四门课程供学生任意选修一门， 小丽同学恰好选修了中医的概率是， 故答案为： 13. 若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键． 14. 如图，在中，点D，E分别是，的中点，以点A为圆心，为半径作圆弧交于点F．若，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线性质是解答的关键．利用三角形的中位线得到，进而求得即可求解． 【详解】解：∵在中，点D、E分别是、的中点，， ∴，即， ∵以A为圆心，为半径作圆弧交于点F，， ∴， ∴， 故答案为：3． 15. 若关于的一元二次方程的其中一个根是1，则另一个根是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一个根为则利用根与系数的关系得，然后解一次方程即可． 【详解】解：设方程的另一个根为 ∵关于的一元二次方程的其中一个根是1， ∴根据根与系数的关系得， 解得， 即方程的另一个根为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据乘法法则，特殊角的三角函数值，零指数幂的意义，绝对值的意义，二次根式的运算法则等计算即可． 【详解】解∶原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，9 【解析】 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 18. 钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测，现有关部门想测量钓鱼岛东西两端的距离．制定测量方案如下表： 测量项目 测量钓鱼岛东西两端点之间的距离 测量过程 【步骤一】中国一艘海监船从点沿正北方向巡航，测得其航线距钓鱼岛（设，为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即海里）： 【步骤二】在点测得岛屿的西端点在点的东北方向； 【步骤三】海监船航行4海里后到达点，测得岛屿的东端点在点的北偏东60°方向（其中，，在同一条直线上）． 根据以上内容，解决问题： （1）求出之间的距离； （2）求出钓鱼岛东西两端点之间的距离．（结果保留根号） 【答案】（1）8海里 （2）海里 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形解决问题， （1）在中得出海里，进而求得海里即可； （2）在 中，根据正切的定义求得，即可求解． 小问1详解】 解：在中，， 海里， 海里， 答：之间的距离8海里； 【小问2详解】 解：在中，海里． ∴ （海里） ∴（海里）． 答：钓鱼岛东西两端点之间的距离为海里． 19. 每年4月15日是全民国家安全教育日，某校开展安全教育讲座后，学生参加了安全知识竞赛，现随机抽取了若干名学生的竞赛成绩（单位，分．满分100分）进行整理分析（数据分为4组；A组；，B组：，C组：，D组：．x表示成绩，成绩为整数）．并绘制了如下不完整的统计图．请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）求抽取的学生人数、并补全成绩频数分布直方图： （2） ______、扇形统计图中“D”所占的圆心角度数为______°； （3）该校有1200名学生参加了本次安全知识竞赛，请估计竞赛成绩达到50分及以上的人数． 【答案】（1）抽取的学生人数为人，频数分布直方图补全见解析 （2）； （3）竞赛成绩达到50分及以上的人数为人 【解析】 【分析】此题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，理解题意，读懂统计图并从统计图中提取相关的解题信息是解答此题的关键． （1）观察频数分布直方图和扇形图，利用占比，可求出总人数，即可解答； （2）由Ｂ组人数，求出B组人数占小明所在学校参加竞赛学生人数的百分比，进而可求出D组所对应的圆心角的度数； （3）利用样本估计总体思想即可求解． 【小问1详解】 解：抽取人数：（人）， A组人数：（人）， 补全频数分布直方图如下： 【小问2详解】 解：， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：竞赛成绩达到50分及以上的人数为人． 20. 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别D，E． （1）求证：△CEB≌△ADC； （2）若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长． 【答案】（1）见解析；（2）0.8cm 【解析】 【分析】（1）由AD⊥CE，BE⊥CE，可以得到∠BEC＝∠CDA＝90°，再根据∠ACB＝90°，可以得到∠BCE＝∠CAD，然后即可证明结论成立； （2）根据（1）中的结论和AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，可以求得BE的长． 【详解】（1）证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠BCE+∠DCA＝90°，∠BEC＝∠CDA＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△CEB和△ADC中， ， ∴△CEB≌△ADC（AAS）； （2）解：∵△CEB≌△ADC， ∴BE＝CD，CE＝AD＝2.5cm． ∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm， ∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8cm， ∴BE＝0.8cm． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21. 人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关．如果用表示一个人的年龄，用表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么． （1）在校两名中学生的对话：甲同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数是164次”，乙同学：“我正常情况下在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数才136次”．请你判断甲乙两名同学谁的说法是错误的?并说明理由． （2）若一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12，用列方程的方法确定． 【答案】（1）甲同学说法是正确的；乙同学的说法是错误的；见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，一元一次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，分别算出甲同学和乙同学所说的对应年龄，再结合甲同学和乙同学都是初中生，进行分析，即可作答． （2）理解题意，由，且结合一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12，进行列方程，再计算，即可作答． 【小问1详解】 解：甲同学说法是正确的；乙同学的说法是错误的；理由如下： 依题意，甲同学： ∴ 解得； 乙同学： ∴ 解得； ∵甲同学和乙同学都是初中生 ∴甲同学说法是正确的；乙同学的说法是错误的； 【小问2详解】 解：∵一个人的年龄由变为（为正整数），发现正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数减少了12， ∴， 解得， 即的值为15． 22. 如图，直线经过上的点，并且，． （1）求证：直线是的切线； （2）若和与分别交于点，，且的直径为4，，求的长及扇形的面积． 【答案】（1）答案见解析； （2），． 【解析】 【分析】（1）连接，证明，可得； （2）连接，先得出的半径为2，则，由（1）得，运用勾股定理得则在中，，即，即，再代入扇形面积公式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：连接． ∵，， ∴ ∴， ∴． ∵为的半径， ∴直线是的切线； 【小问2详解】 解：∵的直径为4，， ∴，， 由（1）得， ∴， 则在中，， 即， 由（1）得， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查切线的判定及全等三角形的判定和性质，扇形面积，解直角三角形的相关运算，勾股定理，掌握切线的判定方法是解题的关键， 23. 在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：对于平面内点和点．将点绕点旋转后得到点，称是关于点的“优美点”． 对于函数，其图象上所有点关于点的“优美点”所构成的新函数，函数称为原函数关于点的“优美函数”． 例如：和是关于点的“优美点”，函数和是关于点的优美函数． （1）下面的函数关于原点的“优美函数”是它本身的有______． ①②③ （2）若二次函数的图象上始终存在两个不重合的关于原点的“优美点”，求的范围． （3）①二次函数的图象顶点为，关于原点的“优美函数”的图象顶点为，已知点关于点的“优美点”为点，当和共同组成的图象与线段有且只有一个公共点时，求的取值范围． ②在①的条件下，关于的二次函数总在正比例函数的上方，请直接写出的范围． 【答案】（1）①②； （2）； （3）①或；②． 【解析】 【分析】（1）根据“优美点”定义，关于原点的优美函数是本身，意味着原函数图象上任意点绕原点旋转后仍在原函数图象上，即函数图象关于原点对称，据此分析三个函数． （2）先设原二次函数上一点，其关于原点的优美点也在原函数图象上，代入函数得到新方程，因为有两个不重合优美点，所以新方程有两个不同实数解，利用判别式求解的范围． （3）①求得是关于点的“对称关联函数”，，分四种情况讨论，求解即可；②先根据“优美点”定义确定相关点坐标，得出直线特征，再结合“优美函数”表达式，通过分析函数与直线交点情况，结合已知条件列方程求，进而确定取值范围及后续函数位置关系． 【小问1详解】 解： 中，设点，则绕原点旋转后得， ∵， ∴点在上， ∴是本身的优美函数； 中，设点，则绕原点旋转后得， ∵， ∴点在上， ∴是本身的优美函数． 中，取点，绕原点旋转后得，将代入函数，， ∴该点不在原函数上，不是本身的优美函数． 故答案为①②； 【小问2详解】 解：设二次函数上一点，其关于原点的优美点为，且也在该函数上．则 ， ∴将两式相加消去得： ，即 ∵有两个不重合的优美点， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：①点关于点的“优美函点”为点， ∴轴， ∴与轴的交点为， ， 是关于点的“优美函数”，， 当经过点时，，解得； 当经过点时，，解得； 当经过点时，，解得； 当经过点时，，解得； 综上，当和共同组成的图象与线段有且只有一个公共点时，的取值范围是或； ②∵二次函数，正比例函数， ∴，整理得， ∴当时，二次函数与正比例函数相切， 解得或， 当时，化， 解得； 当时，化为， 解得； 当时，，则过， 当正比例函数过时，，解得， 当时，，则过， 当正比例函数过时，， 当时，，则过， 当正比例函数过时，，解得， 当时，，则过， 当正比例函数过时，，解得， ∴当时，关于的二次函数总在正比例函数的上方． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形旋转、函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程判别式等知识，熟练掌握“优美点” “优美函数”定义，灵活运用函数与方程思想、分类讨论思想是解题的关键． 24. 已知：如图，在平行四边形中，，，，为上一动点，作，射线交射线于点． （1）如图1，当时，求的长； （2）如图2，若，求证：； （3）如图3，当点在线段上时，射线交射线于点，求线段多长时，线段最长，最大值为多少？ 【答案】（1）2 （2）证明见解析 （3）当时，线段最长，且最大值为 【解析】 【分析】（1）解，结合勾股定理求出，，再由面积法得到，即可求解； （2）证明即可求解； （3）先证明，则，过点作于点，设，则，则，令，得到，再由一元二次方程根的判别式求最值即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴ 解得（舍负）， ∴ ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， 由（1）可得， ∴ 设，则， ∴， 令， 则， ∴， ∵该方程有实数根， ∴， ∴， 当时， 解得：或 对于二次函数，当或时，， 而， ∴， ∴的最小值为，那么此时取得最大值为：， ∴此时， 解得：， ∴当时，线段最长，且最大值为． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，利用二次函数的图象与性质解不等式，解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $