2026年湖南省益阳市沅江市两校联考九年级中考前模拟试题卷数学

**基本信息** 作为中考三模卷，以几何直观、运算能力和模型意识为核心，通过菱形与反比例函数综合（第9题）、运动距离图像（第17题）等题设计，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图形性质、运算、视图|结合智慧农业温控（第4题）考查应用意识| |填空题|8/24|因式分解、多边形、规律探究|以100³分裂奇数（第18题）培养创新意识| |解答题|8/66|统计、函数综合、几何证明|抛物线最值与取值范围（第26题）体现数学思维的逻辑性|

2025-2026学年下学期第三次中考模拟检测试卷 数 学 注意事项: 1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号; 2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效; 3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示: 4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁; 一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项) 1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算中，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图是由7个大小相同的小正方体组合而成的几何体，它的左视图是（     ） A． B． C． D． 4．智慧农业大棚采用自动温控系统．某日棚内温度变化规律为：每小时上升或下降．若初始温度为，经过小时后的温度可能表示为（     ） A． B． C．或 D． 5．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，把长方形沿折叠，点A，B分别落在点，处，与交于点G．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．在中，，，若将的三边都扩大3倍，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．某列车提速前行驶与提速后行驶所用时间相同，若列车平均提速，设提速后平均速度为，所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图，菱形的顶点A 在 x 轴正半轴上，反比例函数的图象过点C和菱形对角线的交点M，若菱形的边长为3，则k的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 10．如图，的直径，点 C 是的中点，的平分线交于点 D．过点 D 作的切线分别交的延长线于点 E，F，连接．下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分) 11．因式分解：______． 12．已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 13．若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 14．已知，且关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为______． 15．若一个正多边形的每一个外角都是 ，则这个正多边形的边数为__________． 16．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则为_______度． 17．A，B两地相距，甲、乙两人骑车同时分别从A，B两地相向而行．假设他们都保持匀速行驶，甲、乙两人各自到A地的距离与骑车时间的关系如图所示，则他们相遇时距离A地___________ ． 18．一个自然数的立方，可以分裂成若干个连续奇数的和，例如：23、33和43分别可以“分裂”成2个、3个和4个连续奇数的和，即23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若1003也按照此规律来进行“分裂”，则1003“分裂”出的奇数中，最小的奇数是_____． 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19．（6分）计算：． 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 21．（8分）如图，在中，，． (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的_________，射线是的_________；（填序号） ①高线  ②角平分线  ③垂直平分线  ④中线 (2)求的度数． 22．（8分）为落实国家“双减”政策，市区某中学在课后托管时间里开展了“音乐社团，体育社团，文学社团，美术社团”活动．该校从全校600名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题 (1)参加问卷调查的学生共有______人，扇形统计图中的度数为______； (2)根据调查结果，可估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有______人； (3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲，请用列表或画树状图的方法，求恰好选择了甲和乙两名同学的概率． 23．（9分）为落实“五育并举”，某中学积极开展“阳光体育运动”，引导学生走向操场、积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的顺利开展，学校计划购进篮球、排球及足球若干，已知篮球80元/个．调查发现购买1个篮球，2个足球和4个排球共需440元；购买4个足球和3个排球共需470元． (1)足球和排球的单价各是多少？ (2)该校根据需求打算购买篮球和排球共50个，且篮球数量不少于排球数量的3倍．请问学校如何购买才能使所需费用最少？最少费用为多少元？ 24．（9分）在我们的生活中，处处都蕴含着数学．小刚所在的数学社团开展了一项关于学校门锁的调查研究．他们发现，学校的门锁主要有两类：一类是常见的防盗门锁（如图），另一类是洗手间内的旋转门锁（如图）． 数学社团的同学们画出了两种类型门锁“工作”时的平面示意图． (1)图是图门锁工作时的平面结构图，锁身可以看作由，和矩形组成，且，圆心是倒锁按钮点，若的弓形高，，请求出此时图中圆心到的距离． (2)图是图门锁的工作简化图，锁芯固定在门边右侧，在自然状态下，把手竖直向下，底端到达处，把手绕锁芯旋转一定角度，使得把手底端正好卡在门边点处，此时．将绕点顺时针旋转得到，过点作于点．若所在圆的半径，请求出此时的长度（结果保留小数点后一位）．（参考数据：，，） 25．（10分）如图，已知，过A、B、C三点的与相交于点E，连接、、，若，过点C作，交于点F． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，则的面积为_______． 26．（10分）如图，已知抛物线与x轴的两个交点分别为，，与y轴交于点C，直线过点B和点C．点P是第一象限内抛物线上的点，设点P的横坐标为m，过点P作于点Q，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)求的最大值； (3)当时，y的取值范围是，且，求m的值． 答案第1页，共2页 数学（试题卷） 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学参考答案 一、选择题(本大题包括10个小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C C C D B A C D D 二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分) 11． 12．对应边相等的两个三角形全等 13． 14． 15． 16．38 17．/ 18．9901 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19．原式 20．解：原式 ， 将代入得：原式． 21．（1）解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线； 故答案为：③；②． （2）解：，， ， 由（1）得是线段的垂直平分线， ， ， ， 由（1）得是的角平分线， ． 22．（1）解：（人）， ， ∴参加问卷调查的学生共有60人，扇形统计图中的度数为， 故答案为：60；； （2）解：（人）， ∴估计该校600名学生中最喜欢“音乐社团”的约有100人， 故答案为：100； （3）解：设甲、乙、丙、丁四名同学分别用A，B，C，D表示，根据题意可画树状图或列表如下： 第2人第1人 A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 由上图或上表可知，共有12种等可能的结果，符合条件的结果有2种，故恰好选中甲、乙两名同学的概率为． 23．（1）解：设足球单价为 元，排球单价为元， 根据题意： ， 解得． 答：足球单价80元，排球单价50元． （2）解：设购买排球 个，则购买篮球个，总费用为元． 由篮球数量不少于排球数量的3倍，得， 解得， 为非负整数， 最大值为12． 总费用， ， 随 的增大而减小， 当取最大值12时，最小，此时， （元）． 答：购买篮球38个，排球12个时费用最少，最少费用为3640元． 24（1）解：如图，连接，延长交于点，设的半径为， 由题意可知，， ，， ， 弓形高，， ，， 在中，， ， 解得， ， 即圆心 到的距离为． （2）解：如图，延长，交于点， 由题意可知，，， 在中，， ， 将绕点顺时针旋转得到， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 四边形是矩形， ． 即的长度约为． 25（1）证明：连接，延长交于点H， ∵点O是的圆心， ∴点O一定在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）证明：延长到点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如（1）问图示，连接，延长交于点H， ∵点O是的圆心， ∴点O一定在线段的垂直平分线上， ∵，， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， 过点A作于点K， 则，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 26（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，过点P作于点D，交BC于点H， 将代入得，，解得， ∴直线BC的解析式为． ∵点P的横坐标为m， ，， ． ∴当时，PH有最大值为． ，，． ，，． ，， ，， ∵抛物线与y轴交于点C， 当时，，，， ，， ， ，即， ∴当PH有最大值时，PQ取到最大值， 的最大值为． （3）解：由得， ∴抛物线的顶点为，即当时，y有最大值4， ∵抛物线的对称轴为，∴当或时，y值相等， 即， ①当时，则在时，时，取最大值；时，取最小值， 即，， ， ， 解得（舍去），； ②当时，则在时， 时，取最大值，时，取最小值， 即，， ，不符合题意； ③当时，则在时，时，取最大值，时，取最小值， 即，， ， ，解得， ， 都不符合，舍去． 综上所述，． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $