精品解析：安徽宿州市永安初级中学等校2025-2026学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 多项式与的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： ∵ ， ， ∴ 两个多项式的公因式是． 2. 如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，结合已知条件，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A选项，，，一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B选项，，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意； C选项，，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不符合题意； D选项，，，，，，四边形是平行四边形，故不符合题意． 3. 如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等边对等角结合三角形的内角和定理可得，由三线合一可得，结合角平分线可得，最后使用三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 4. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质进行判断即可． 【详解】解：由旋转的性质可得，，，，故①③正确， ∴， ∵， ∴不平分，故②错误， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为①③④． 5. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方差公式对所求代数式因式分解，再代入已知条件化简求值． 【详解】解：∵ ， ∴ 原式 ， 将 代入得 原式 ． 6. 一件工程，甲单独做需要a小时完成，乙单独做需要b小时完成．若甲、乙二人合作完成此项工作，需要的时间是（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得甲单独做每小时完成工程的，乙单独做每小时完成工程的，然后根据工作时间工作总量工作效率列式计算即可． 【详解】解：∵甲单独做每小时完成工程的，乙单独做每小时完成工程的， ∴甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（小时）； 故选：D． 【点睛】本题考查了列代数式，读懂题意，找到题目中隐含的数量关系是解本题的关键． 7. 如图，在中，点是上一点，，平分交于点，点是的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等角对等边得出，即可求出，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，可得是的中位线，根据中位线的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. ， B. 方程的解是 C. 不等式的解集是 D. 不等式和不等式的解集相同 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线的交点的坐标为，结合图象即可解答． 【详解】解：由图象可知，， ∵当时，， ∵与轴交点在轴负半轴，其在上方， ∴， ∵的图象在一、三、四象限， ∴，故选项A正确，不符合题意， ∵， ∴方程的解是，故B选项正确，不符合题意， ∵的图象在的图象下方时，， ∴不等式的解集是，故C选项错误，符合题意， ∵的解集为，的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故D选项正确，不符合题意． 9. 如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点，周长的最小值为（ ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由垂直平分线的性质可得，则周长为，因此当、、三点共线时，周长取得最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线， ∴， ∴周长为， ∴当、、三点共线时，周长取得最小值． 10. 某公司运来一箱梨，共有80个，计划每名员工分若干个，结果多出5个；若每名员工多分1个，则差9个，有多少名员工？假设有x名员工，以下方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，根据计划每名员工分若干个，结果多出5个可知每人分个，根据每名员工多分1个，则差9个可知每人分个，据此列出方程即可． 【详解】解：设有x名员工， 由题意得，， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图表示某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由数轴可得不等式的解集为再结合是该不等式的一个解，可得 再解不等式可得答案． 【详解】解：∵不等式的解集是 而是该不等式的一个解， ∴ 整理得： 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用数轴表示不等式的解集，一元一次不等式的解法，熟练的建立不等式解题是解本题的关键． 12. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为8，则的面积为_______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据基本作图，得平分，过点D作于点E，于点F，则，利用三角形面积公式计算即可．本题考查了角的平分线的基本作图，角的平分线的性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得平分， 过点D作于点E，于点F， 则， ∵， ∴， ∵，的面积为8， ∴， 解得， 故答案为：12． 13. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 【答案】 且 【解析】 【分析】先求出分式方程的解，结合为正数且，求出的取值范围． 【详解】解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， ∵为正数，且， ∴，且， ∴且． 14. 如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定运动时间为ts，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）当四边形为平行四边形时，则_________s； （2）从运动开始，经过_________s时，． 【答案】 ①. 5 ②. 4或6 【解析】 【分析】（1）判断出四边形为矩形，列出等式求解即可； （2）分为四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况，推出和，列式求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，，，， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形， ∴， 即， 解得． （2）①当四边形是平行四边形时， 则，， ∴， 解得， ②当四边形是等腰梯形时，则， 过点、分别作，，如图， 即，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，经过4或6s，． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 因式分解：． 【答案】 【解析】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键． 16. 如图，在中，，，将沿方向向右平移得到． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，再根据平移的性质求解即可； （2）由平移的性质得出，结合，即可解答； 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵将向右平移得到， ∴． 【小问2详解】 解：由平移可得， ∴， ∴， ∵， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，负整数指数幂，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先利用提取公因式和完全平方公式进行因式分解，再将除法写成乘法，然后约分，最后计算减法，最后将代入计算即可， 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕点O顺时针旋转一定角度后，点A的对应点落在格点处，则旋转角为 度，并画出旋转后的； （2）将先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，请画出平移后的； （3）仅用无刻度的直尺，作中边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）90， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证出，进而求得，即可判断为90度，再进行作图即可； （2）按要求作图即可； （3）先找到中点D，再连接即可． 【小问1详解】 解：连接、，过点、分别作轴于点N，轴于点M， 由图可知， ∴， ∴， 即如图所示． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：取中点，取格点，作直线交于点D，连接，如图所示，即为所求． 图略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，交于点A，交于点D． （1）在BC上求作一点Q，使线段最短；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值． 【答案】（1）如图所示，点Q即为所求． （2）4 【解析】 【分析】（1）先根据“垂线段最短”得出时，线段最短，再根据直线外一点作已知直线的垂线作法进行作图即可； （2）先推出，再根据角平分线的性质定理求解即可． 【小问1详解】 解：若线段最短，则，即以为圆心，长为半径，作弧交于点，分别以、为圆心，长为半径，作弧交于点，连接交于点，如图所示，点Q即为所求． 【小问2详解】 解：由（1）知，线段最短，即， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴． 20. 【阅读材料】 材料1：通过乘方的学习我们知道：任何数的平方都是非负数．利用平方结果的非负性可以确定一个代数式值的范围． 例如：∵， ∴． ∴当时，有最小值为2． 材料2：在数学的计算中，我们可以把相同的代数式看作一个整体，这种常见的思想方法称为“整体思想”． 例如：因式分解：． 解：∵， ∴将看成整体，令． 则原式． 将还原，则原式． 【数学理解】 （1）因式分解：； 【拓展探索】 （2）试说明：无论，取何值，代数式的值一定是正数． 【答案】（1） （2）证明：设， ∴ ， ∵， ∴， ∴代数式的值一定是正数． 【解析】 【分析】（1）先利用平方差公式因式分解，再利用完全平方公式因式分解即可； （2）设，利用完全平方公式原式可变形为，根据平方的非负数的性质即可证明代数式的值一定是正数． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：略 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，对角线，相交于点O，，平分，交于点E，连接． （1）当时，求证：是等边三角形； （2）若，求的周长． 【答案】（1）证明：在中，，，， ， 平分， ， ， ， ， ，即是等腰三角形， ， 是等边三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出，，再根据角平分线的定义和平行线的性质，证，最后根据等边三角形的判定，即可求证； （2）根据（1）可知，再根据题意，可得点是的中点，从而得是的中位线，最后根据中位线的性质，可得，，从而求出周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 根据（1）可知， ， ， 点是的中点， 的对角线，相交于点O， 是的中点， 是的中位线， ， ，， ， 的周长为． 七、（本题满分12分） 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提升学生的阅读理解能力，现决定购买《钢铁是怎样炼成的》和《经典常谈》两种书．已知购买1本《钢铁是怎样炼成的》比购买1本《经典常谈》多10元．若分别花费2100元购买两种书，则可购买《经典常谈》的本数比《钢铁是怎样炼成的》恰好多24本． （1）求每本《钢铁是怎样炼成的》和每本《经典常谈》各为多少元？ （2）若该校购进《钢铁是怎样炼成的》的本数比购进《经典常谈》的本数的2倍还多5本，且《经典常谈》的本数不少于17本，购进这两种书的总费用不超过1980元，则该校有几种购书方案？ 【答案】（1）每本《钢铁是怎样炼成的》35元，每本《经典常谈》25元 （2）该校共有3种购书方案 【解析】 【分析】（1）设每本《钢铁是怎样炼成的》为元，则每本《经典常谈》为元，根据题意列出分式方程，求解并检验即可； （2）设购进《经典常谈》本，则购进《钢铁是怎样炼成的》本，根据题意列出不等式组，求出其中的整数解即可． 【小问1详解】 解：设每本《钢铁是怎样炼成的》为元，则每本《经典常谈》为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）． 答：每本《钢铁是怎样炼成的》35元，每本《经典常谈》25元． 【小问2详解】 解：设购进《经典常谈》本，则购进《钢铁是怎样炼成的》本， 根据题意，可列不等式组：， 解得， ∵为整数， ∴或或， 答：该校共有3种购书方案． 八、（本题满分14分） 23. 如图，在中，，，在的同侧作等边，等边和等边，连接，． （1）求证：； （2）试说明四边形是平行四边形； （3）求四边形面积的最大值． 【答案】（1）证明：等边，等边， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解：等边， ，， ， ， ，， ， 等边， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质，可证，，，再利用 “”，证，即可求证； （2）根据等边三角形的性质，先说明，再根据全等三角形的性质和角之间的数量关系，得，从而，最后根据平行四边形的判定，即可说明； （3）延长交于点，设，，根据平行和等边三角形的性质，可得，，再根据“三线合一”，得，从而可得面积为，最后根据勾股定理得，利用，求出的最大值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交于点， 设，， 由（2）知，，， ， 等边， ，， ，即， ， 等边， ， 则面积为， 在中，， ， ，即， ，， ， 则四边形面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 多项式与的公因式是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，下列结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 5. 若，则的值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 6. 一件工程，甲单独做需要a小时完成，乙单独做需要b小时完成．若甲、乙二人合作完成此项工作，需要的时间是（ ） A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时 7. 如图，在中，点是上一点，，平分交于点，点是的中点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. ， B. 方程的解是 C. 不等式的解集是 D. 不等式和不等式的解集相同 9. 如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点，周长的最小值为（ ） A. 11 B. 13 C. 14 D. 16 10. 某公司运来一箱梨，共有80个，计划每名员工分若干个，结果多出5个；若每名员工多分1个，则差9个，有多少名员工？假设有x名员工，以下方程正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 如图表示某个关于的不等式的解集，若是该不等式的一个解，则的取值范围是______． 12. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点P；③作射线交于点D．若，的面积为8，则的面积为_______． 13. 若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围为________． 14. 如图，在四边形中，，，，，点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定运动时间为ts，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． （1）当四边形为平行四边形时，则_________s； （2）从运动开始，经过_________s时，． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 因式分解：． 16. 如图，在中，，，将沿方向向右平移得到． （1）求的度数； （2）若，求的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕点O顺时针旋转一定角度后，点A的对应点落在格点处，则旋转角为 度，并画出旋转后的； （2）将先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，请画出平移后的； （3）仅用无刻度的直尺，作中边上的中线．（不写作法，保留作图痕迹） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，，和分别平分和，过点P且与垂直，交于点A，交于点D． （1）在BC上求作一点Q，使线段最短；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，求的值． 20. 【阅读材料】 材料1：通过乘方的学习我们知道：任何数的平方都是非负数．利用平方结果的非负性可以确定一个代数式值的范围． 例如：∵， ∴． ∴当时，有最小值为2． 材料2：在数学的计算中，我们可以把相同的代数式看作一个整体，这种常见的思想方法称为“整体思想”． 例如：因式分解：． 解：∵， ∴将看成整体，令． 则原式． 将还原，则原式． 【数学理解】 （1）因式分解：； 【拓展探索】 （2）试说明：无论，取何值，代数式的值一定是正数． 六、（本题满分12分） 21. 如图，在中，对角线，相交于点O，，平分，交于点E，连接． （1）当时，求证：是等边三角形； （2）若，求的周长． 七、（本题满分12分） 22. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提升学生的阅读理解能力，现决定购买《钢铁是怎样炼成的》和《经典常谈》两种书．已知购买1本《钢铁是怎样炼成的》比购买1本《经典常谈》多10元．若分别花费2100元购买两种书，则可购买《经典常谈》的本数比《钢铁是怎样炼成的》恰好多24本． （1）求每本《钢铁是怎样炼成的》和每本《经典常谈》各为多少元？ （2）若该校购进《钢铁是怎样炼成的》的本数比购进《经典常谈》的本数的2倍还多5本，且《经典常谈》的本数不少于17本，购进这两种书的总费用不超过1980元，则该校有几种购书方案？ 八、（本题满分14分） 23. 如图，在中，，，在的同侧作等边，等边和等边，连接，． （1）求证：； （2）试说明四边形是平行四边形； （3）求四边形面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $