精品解析：上海市晋元高级中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

上海市晋元高级中学2025学年第二学期期末考试 高一年级数学学科试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，1－6题每题4分，7－12题每题5分，满分54分） 1. 函数的最小正周期为___________. 【答案】 【解析】 【分析】 直接由正切函数的周期公式可得答案. 【详解】. 故答案为：. 2. 设向量与不共线，向量与共线，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【详解】向量与不共线，由向量与共线， 得，所以. 3. 设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解. 【详解】向量、满足，，且， 则向量在向量方向上的数量投影是 4. 大圆面积为的球的体积是________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用球的大圆面积求出球的半径，再代入球的体积公式计算即可得到结果. 【详解】设球的半径为，球的大圆为过球心的截面圆，其半径等于球的半径. 由题意知，解得，所以. 5. 如图，是△ABC用斜二测画法得到的直观图，其中，则△ABC的面积为________． 【答案】 【解析】 【详解】由直观图可得如下平面图形，其中，， 所以△ABC的面积为. 6. 已知向量,与向量垂直的单位向量的坐标是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】设向量为与向量垂直的单位向量，依题意可得且，得到方程组，解得即可. 【详解】设向量为与向量垂直的单位向量， 则且，所以，解得或， 即或. 故答案为：或 7. 若复数满足，则________． 【答案】或 【解析】 【分析】设复数的代数形式为，利用复数模的定义列方程组求解的值即可 【详解】设，其中， 根据复数模的定义可知： ， ， 由题意得：，即，解得或， 所以或. 8. 如图，在长方体中，，，，则平面与平面的交线在长方体内线段的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先求平面和平面的交线，再求线段长. 【详解】平面平面， 9. 已知正方体边长为2，点为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线与AP所成角的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意线线角的最小值为相关的线面角，从而求出答案. 【详解】异面直线与AP所成角的最小值为直线与平面所成的角， 由平面，故斜线在平面上的投影为， 故即为斜线与平面所成的角，， 故异面直线与AP所成角的最小值为. 10. 设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得，则m的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】将问题转化为，即有唯一解，使用整体角求解. 【详解】由得， 当时，，， 则， 令，，则， 则在区间上总存在唯一确定的β，使得， 等价于在上存在唯一解， 则，解得， 所以m的最小值为. 11. 手工制作直角圆管弯头时，需先在图纸上绘出展开的截线以便裁剪．现用与底面成45°角的平面斜截底面直径为4.6cm，高为9.0cm的圆柱形纸筒，测得截线最高点距底面6.8cm．从某条母线l出发，沿圆周按规定的正方向量得弧长4.0cm处，恰好到达最高点所在的母线． 沿母线l将纸筒剪开摊平，以矩形下边缘与剪开的母线所在直线分别为x轴、y轴，圆周正方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：cm）．若摊平后的截线恰为函数（，，）在一个完整周期上的图像，则其解析式为________________（φ写精确式或保留三位小数均可）． 【答案】． 【解析】 【分析】圆柱侧面展开后，斜截线的高度随圆周方向变化呈正弦型．由圆柱底面直径确定周期，由截平面与底面所成角确定振幅，由最高点高度确定中线，再由最高点所在横坐标确定初相． 【详解】圆柱底面直径为 ，所以侧面展开后一个完整周期的长度为底面周长 ，故 ，得 ． 圆柱半径为 ，截平面与底面成 角，所以截线最高点与最低点的高度差为 ，故振幅 ． 截线最高点距底面 ，所以 ，得 ． 最高点所在母线对应的横坐标为 ，因此 在 处取得最大值，即 ． 又 ，所以 ． 因此摊平后的截线解析式为 ． 12. 若平面上的三个向量、、中至少存在一对向量互相垂直，则称这三个向量构成“正交系统”．对于一个“正交系统”，若其两两数量积之和的绝对值大于，则称其为“λ－强正交系统”．已知平面上的三个单位向量、、构成一个“1－强正交系统”，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合新定义，将转化为两两数量积的关系，结合新定义的约束条件推导范围. 【详解】 因为、、是单位向量，所以 又因为、、构成一个“1－强正交系统”，所以、、至少存在一对向量互相垂直. 1）当、、只有一对互相垂直时，设，即. 则 又因为， 所以， 所以. 由题意可知，，则， 当时， ， 则； 当时，， 则. 所以. 2）当、、中有两对互相垂直时，设， 则，不合题意； 3）平面内不存在三个两两垂直的非零向量. 综上： 二、选择题（单选，13－14每题答对得4分，15－16答对每题得5分，满分18分） 13. 设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（ ）条件： A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】D 【解析】 【分析】结合线面平行的判定定理验证充分性，结合线面平行的性质验证必要性. 【详解】已知，：如果本身也在平面内（是不同直线）， 此时，不满足，因此充分性不成立； 若，则和平面无公共点，与内的直线可以平行，也可以异面， 不一定满足，因此必要性不成立， 综上，“”是“”的既非充分又非必要条件. 14. 在正方体中，与直线异面的直线可以是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，在正方体中，平面，平面，平面， 点直线，点直线，因此直线与直线互为异面直线，A是； 对于B，，直线与直线是相交直线，B不是； 对于C，连接，由，得四边形是平行四边形，直线与直线是相交直线，C不是； 对于D，由选项C，同理得直线与直线是相交直线，D不是. 15. 对于任意两个复数z，，如果满足“”或“”，那么就称z与伴随，如果z与伴随，则与伴随的充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设，，，， 则，， 当和伴随，有或， 又，， 若与伴随，则或， 而，则不成立，故成立， 所以与伴随的充要条件是，即，即. 16. 如图，在棱长为的正方体中，是它的一条体对角线．将底面对角线BD绕直线旋转一周，则BD所扫过区域的面积为（ ） A. B. 2π C. D. 3π 【答案】A 【解析】 【分析】通过证明平面，将空间线段绕轴旋转问题转化为计算平面内等边三角形外接圆与内切圆所构成的圆环面积问题即可求解. 【详解】因为平面，且平面，所以， 又，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面，且平面，所以， 又，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 平面，所以平面， 因为平面且平面垂直于旋转轴， 所以绕旋转一周时，它始终在一个固定的垂直平面内运动， 因此，线段扫过的区域是一个平面圆环， 设旋转轴穿过平面的交点为， 易得三棱锥为正三棱锥，所以顶点到底面的垂线， 其垂足是底面正三角形的中心，因为平面且交点为， 所以是这个等边三角形的中心， 即求线段绕中心旋转所形成的圆环面积， 易得等边的边长， 外圆是由线段距离中心最远的端点或扫过的轨迹， 所以外圆半径是点到端点的距离， 在等边三角形中，既是中心也是外接圆的圆心，即是三角形的外接圆半径， 设的中点分别是，因为边长为，则， 则，则， 所以，即， 内圆是由线段上距离中心最近的点扫过的轨迹， 在等边三角形中最短线段为中心到边的垂线的长度，即， 易得为等边三角形内切圆与三角形的切点，即内圆半径， 在直角三角形中，，所以， 所以扫过区域的面积. 三、解答题（本大题共5道小题，每一问均需写出必要步骤，满分共78分） 17. 已知复数z满足． （1）求复数z； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的除法运算法则求解即可； （2）将复数z代入方程，利用复数相等的条件即可求解. 【小问1详解】 由，得； 【小问2详解】 因为复数z是关于x的方程的一个根， 所以，所以， 所以， 所以，解得. 18. 如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，． （1）证明：； （2）若圆锥侧面积为8π，BC为底面直径，，求二面角B－PA－C的大小． 【答案】（1）取中点，连接， 因为，，所以，，， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【解析】 【分析】（1）使用线面垂直判定定理证明； （2）使用二面角的定义找出二面角的平面角，再用余弦定理求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为底面直径，所以底面半径为2，设圆锥的母线长为，则，解得，即， 因为，，，所以， 过点作，交于点，连接，由对称性可知，，， 所以即为二面角的平面角， ， ，解得，所以， 在中，由余弦定理得， 所以二面角B－PA－C的大小为. 19. 如图，在公园的平面地图上，取一个原点O，并设两个方向上的单位向量为、，且（单位向量的模长记为1个单位长度）．公园中有三个位置A、B、C，它们相对于原点O的位置向量分别为：，，．小明在B处休息，他的小狗在连接A、C的笔直小路上来回奔跑，其位置记为D，且（）． （1）用、表示、，并求； （2）λ取何值时小狗所在位置离小明最近？求出此时的最短距离． 【答案】（1），， （2）当 时小狗所在位置离小明最近，最短距离为 【解析】 【分析】（1）根据向量的加减运算以及数量积运算，即可求得答案； （2）用、表示，平方后求出关于的表达式，结合二次函数性质即可求解. 【小问1详解】 由题意知， ， . . 【小问2详解】 由题意知， 故， 则 ， 则当时，取最小值， 即当时小狗所在位置离小明最近，最短距离为. 20. 如图，在正四棱台中，，，M为AB边上一点，且，P为棱上的动点（含端点）． （1）求四棱台的体积； （2）求的最小值； （3）在BC边上求一点N，使得平面，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）在上取点，使得，则， 因为，则，且， 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面. 【解析】 【分析】（1）求出台体的高，根据台体体积公式进行求解； （2）将两梯形折到同一平面内，结合余弦定理进行求解； （3）在上取点，使得，证出四边形为平行四边形，即可得出平面. 【小问1详解】 ，故，正方形的面积为， 正方形的面积为， 连接，则， 过点作⊥平面于点，则点在上， 且， 由勾股定理得， 所以四棱台的体积为； 【小问2详解】 将梯形与梯形沿着折到同一平面内，如图所示， 在上取点，使得，又，故， 连接，则， 其中，所以，同理可得，， 连接，交于点，此时取得最小值，最小值为， 由余弦定理得， 所以，的最小值为； 【小问3详解】 略 21. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． （1）已知，，是否存在定义域为R的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； （2）已知，函数是的“关联函数”．若在上至少有32个解，求m的最小值； （3）已知函数的定义域为，当（n为正整数）时，．若是的“关联函数”，其中，求函数的零点． 【答案】（1）不存在，理由如下： 假设存在定义域为R的函数， 使得是的“关联函数”， 则，取，则， 故，无解，不存在这样的函数； （2）； （3）或3． 【解析】 【分析】（1）举出反例，得到方程无解，故不存在这样的函数； （2）变形得到在上至少有32个解，求出第32个解，得到答案； （3），先考虑时，，再考虑的情况，得到答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得， 因为在上至少有32个解， 所以，即在上至少有32个解， ，故或， 解得或， 因为，故从小到大，满足要求的解依次为，，，，，，，……， 第32个解为， 所以m的最小值为； 【小问3详解】 由题意得，即， 先考虑时，， 再考虑的情况， 当时，，，令，则， 显然内，只有满足要求， 当时，，于是， 因为，显然， 因为，所以，从而， 故在时无解， 综上，函数的零点分别为或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市晋元高级中学2025学年第二学期期末考试 高一年级数学学科试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，1－6题每题4分，7－12题每题5分，满分54分） 1. 函数的最小正周期为___________. 2. 设向量与不共线，向量与共线，则______． 3. 设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是________． 4. 大圆面积为的球的体积是________． 5. 如图，是△ABC用斜二测画法得到的直观图，其中，则△ABC的面积为________． 6. 已知向量,与向量垂直的单位向量的坐标是__________． 7. 若复数满足，则________． 8. 如图，在长方体中，，，，则平面与平面的交线在长方体内线段的长度为________． 9. 已知正方体边长为2，点为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线与AP所成角的最小值为______. 10. 设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得，则m的最小值为________． 11. 手工制作直角圆管弯头时，需先在图纸上绘出展开的截线以便裁剪．现用与底面成45°角的平面斜截底面直径为4.6cm，高为9.0cm的圆柱形纸筒，测得截线最高点距底面6.8cm．从某条母线l出发，沿圆周按规定的正方向量得弧长4.0cm处，恰好到达最高点所在的母线． 沿母线l将纸筒剪开摊平，以矩形下边缘与剪开的母线所在直线分别为x轴、y轴，圆周正方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：cm）．若摊平后的截线恰为函数（，，）在一个完整周期上的图像，则其解析式为________________（φ写精确式或保留三位小数均可）． 12. 若平面上的三个向量、、中至少存在一对向量互相垂直，则称这三个向量构成“正交系统”．对于一个“正交系统”，若其两两数量积之和的绝对值大于，则称其为“λ－强正交系统”．已知平面上的三个单位向量、、构成一个“1－强正交系统”，则的取值范围为________． 二、选择题（单选，13－14每题答对得4分，15－16答对每题得5分，满分18分） 13. 设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（ ）条件： A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 在正方体中，与直线异面的直线可以是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 15. 对于任意两个复数z，，如果满足“”或“”，那么就称z与伴随，如果z与伴随，则与伴随的充要条件是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在棱长为的正方体中，是它的一条体对角线．将底面对角线BD绕直线旋转一周，则BD所扫过区域的面积为（ ） A. B. 2π C. D. 3π 三、解答题（本大题共5道小题，每一问均需写出必要步骤，满分共78分） 17. 已知复数z满足． （1）求复数z； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 18. 如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，． （1）证明：； （2）若圆锥侧面积为8π，BC为底面直径，，求二面角B－PA－C的大小． 19. 如图，在公园的平面地图上，取一个原点O，并设两个方向上的单位向量为、，且（单位向量的模长记为1个单位长度）．公园中有三个位置A、B、C，它们相对于原点O的位置向量分别为：，，．小明在B处休息，他的小狗在连接A、C的笔直小路上来回奔跑，其位置记为D，且（）． （1）用、表示、，并求； （2）λ取何值时小狗所在位置离小明最近？求出此时的最短距离． 20. 如图，在正四棱台中，，，M为AB边上一点，且，P为棱上的动点（含端点）． （1）求四棱台的体积； （2）求的最小值； （3）在BC边上求一点N，使得平面，并说明理由． 21. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． （1）已知，，是否存在定义域为R的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； （2）已知，函数是的“关联函数”．若在上至少有32个解，求m的最小值； （3）已知函数的定义域为，当（n为正整数）时，．若是的“关联函数”，其中，求函数的零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $