上海市晋元高级中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

上海市晋元高级中学2025学年第二学期期末考试 高一年级数学学科试卷日期：2026.6 考试时间：120分钟满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题6分，满分64分） 1.函数y=ta 的最小正周期为 2.设向量a与i不共线，向量a+i心eR)与a+2b共线，则x=」 3. 设向量a、6满足同=6，月=2，且a-6=-12,则向量a在向量方方向上的数最投影 是 4,大圆面积为9π的球的体积是 5.如图，△ABC是△ABC用斜二测画法得到的直观图，其中OA=OB=OC=1,则 △ABC的面积为 第5题图 第8题图 第9题图 6.已知向量a=么，2)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为 7,若复数z满足2-1=2-3=√2，则z= 8.如图，在长方体ABCD-AB,CD,中，AA1=3,AB=4,AD=5,则平面ABCD,与 平面B,BDD,的交线在长方体内线段的长度为 9.已知正方体ABCD-ABCD边长为2，点P为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面 直线BD,与AP所成角的最小值为 10.设函数f)=c0s(x-),若对于任意a 「元，见引 2'6 在区间[0，m]上总存在唯一确定 的B,使得f@)+f(B)=0,则m的最小值为 11.手工制作直角圆管弯头时，需先在图纸上绘出展开的截线以便裁剪。现用与底面成45°角 的平面斜截底面直径为4.6cm,高为9.0cm的圆柱形纸简，测得截线最高点距底面6.8cm. 从某条母线1出发，沿圆周按规定的正方向量得弧长4.0m处，恰好到达最高点所在的母线。 沿母线！将纸简剪开摊平，以矩形下边缘与剪开的母线所在直线分别为x轴、y轴，圆周 正方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：cm).若摊平后的截线恰为函数 y=Asi(wx+p)+k（A>0,w>0,0≤p<2m)在一个完整周期上的图像，则其解析式为 y= (P写精确式或保留三位小数均可)， 最高点 母线！ 最高点(4.0,6.8) y=Asin(wz+) 高9.0 铍剪钱 145 4.0 孤长4.0 矩形宽©底国周长 人 底面直轻4.6 图1纸简与45°截线 图2沿母线1剪开摊平后的示意图 12.若平面上的三个向量a、b、c中至少存在一对向量互相垂直，则称这三个向量构成“正 交系统”，对于一个“正交系统”，若其两两数量积之和的绝对值大于入（八∈），则称其为“入一 强正交系统”，已知平面上的三个单位向量氏、，、C构成一个“1-强正交系统”，则 官+马+网的取值范围为 二、选择题（单选，13-14每题答对得4分，15-16答对每题得5分，满分18分） 13.设1，m分别为空间中的两条不同的直线，mc平面0，则“1∥m”是“1∥0”的 （)条件 A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既非充分又非必要 14.在正方体ABCD-ABGD中，与直线AC,异面的直线可以是（ A.直线BD B.直线AC C.直线CA D.直线BD 15.对于任意两个复数z,w,如果满足“z+w∈R”或“z+wER”,那么就称z与w伴随， 如果z与w伴随，则w+i与z+i伴随的充要条件是() A.Rez+Rew=0 B.Rez-Rew=0 C.Imz+Imw=0 D.Imz-Imw=0 16.如图，在棱长为√3的正方体ABCD-AB,C,D中，AC,是它的一条体对角线.将底面 对角线BD绕直线AC,旋转一周，则BD所扫过区城的面积为 3π A. B.2元 C. D.3元 2 三、解答题（本大题共6道小题，每一问均需写出必要步骤，满分 共78分) 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知复数z满足(1+21)z=4+31, (1)求复数z: (2)若复数z是关于x的方程x2+x+g=0的一个根，求实数P,9的值。 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，AB=AC. (1)证明：PA⊥BC: (2)若圆锥侧面积为8阮，BC为底面直径，BC=4,求二面角 B-PA-C的大小. B 19.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 如图，在公园的平面地图上，取一个原点O,并设两个方向上的单位向量为、e2,且 低，)=60（单位向量的模长记为1个单位长度）.公园中 有三个位置A、B、C,它们相对于原点O的位置向量分别 为：OA=38+6,OB=28,0C=氏+2e,.小明在B处 休息，他的小狗在连接A、C的笔直小路上来回奔跑，其位置 记为D,且CD=λCA(入e[0,1]). (1)用、e表示CA、BC,并求CA.BC: (2)入取何值时小狗所在位置离小明最近？求出此时的最短距离 BD 20.(本题满分18分)本趣共有3个小题，第1小厘满分4分，第2小题潮分6分，第3小 题满分8分. 如图，在正四棱台ABCD-ABCD中，AB=3AB=6,A4=4,M为AB边上一点， 且AM=2MB,P为棱BB上的动点（含端点）. (1)求四棱合ABCD-ABCD的体积； (2)求AP+PC的最小值； (3)在BC边上求一点N,使得AM∥平面C,DN,并说明理由. 21.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分 对于函数y=f(x)和y=g(x),若存在函数y=h(),使得f(x)=g(x)h(x),则称 y=f(x)是y=g(x)的“h(x)关联函数”， (1)已知f()=cos2x,g()=sinx,是否存在定义域为R的函数y=h(),使得y=f(:) 是y=g(x)的“h(x)关联函数”？请说明理由； (2)已知8()=si血x,函数y=f(冈是y=g(的“cosx关联函数”，若f()=子在[0，则上 至少有32个解，求m的最小值； (3)已知函数y=f(x)的定义域为+o),当x∈h,n+1)(n为正整数)时， f)=21si血艺-1.若y=g(x是y=f)的“h)关联函数”，其中=x-3,求函 数y=g(x)的零点。