上海市晋元高级中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

上海市晋元高级中学2025学年第二学期期末考试 高一年级数学学科试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，1－6题每题4分，7－12题每题5分，满分54分） 1. 函数的最小正周期为___________. 2. 设向量与不共线，向量与共线，则______． 3. 设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是________． 4. 大圆面积为的球的体积是________． 5. 如图，是△ABC用斜二测画法得到的直观图，其中，则△ABC的面积为________． 6. 已知向量,与向量垂直的单位向量的坐标是__________． 7. 若复数满足，则________． 8. 如图，在长方体中，，，，则平面与平面的交线在长方体内线段的长度为________． 9. 已知正方体边长为2，点为底面ABCD所在平面内的任意一点，则异面直线与AP所成角的最小值为______. 10. 设函数，若对于任意，在区间[0，m]上总存在唯一确定的β，使得，则m的最小值为________． 11. 手工制作直角圆管弯头时，需先在图纸上绘出展开的截线以便裁剪．现用与底面成45°角的平面斜截底面直径为4.6cm，高为9.0cm的圆柱形纸筒，测得截线最高点距底面6.8cm．从某条母线l出发，沿圆周按规定的正方向量得弧长4.0cm处，恰好到达最高点所在的母线． 沿母线l将纸筒剪开摊平，以矩形下边缘与剪开的母线所在直线分别为x轴、y轴，圆周正方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：cm）．若摊平后的截线恰为函数（，，）在一个完整周期上的图像，则其解析式为________________（φ写精确式或保留三位小数均可）． 12. 若平面上的三个向量、、中至少存在一对向量互相垂直，则称这三个向量构成“正交系统”．对于一个“正交系统”，若其两两数量积之和的绝对值大于，则称其为“λ－强正交系统”．已知平面上的三个单位向量、、构成一个“1－强正交系统”，则的取值范围为________． 二、选择题（单选，13－14每题答对得4分，15－16答对每题得5分，满分18分） 13. 设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（ ）条件： A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 在正方体中，与直线异面的直线可以是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 15. 对于任意两个复数z，，如果满足“”或“”，那么就称z与伴随，如果z与伴随，则与伴随的充要条件是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，在棱长为的正方体中，是它的一条体对角线．将底面对角线BD绕直线旋转一周，则BD所扫过区域的面积为（ ） A. B. 2π C. D. 3π 三、解答题（本大题共5道小题，每一问均需写出必要步骤，满分共78分） 17. 已知复数z满足． （1）求复数z； （2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 18. 如图，PA、PB、PC为圆锥三条母线，． （1）证明：； （2）若圆锥侧面积为8π，BC为底面直径，，求二面角B－PA－C的大小． 19. 如图，在公园的平面地图上，取一个原点O，并设两个方向上的单位向量为、，且（单位向量的模长记为1个单位长度）．公园中有三个位置A、B、C，它们相对于原点O的位置向量分别为：，，．小明在B处休息，他的小狗在连接A、C的笔直小路上来回奔跑，其位置记为D，且（）． （1）用、表示、，并求； （2）λ取何值时小狗所在位置离小明最近？求出此时的最短距离． 20. 如图，在正四棱台中，，，M为AB边上一点，且，P为棱上的动点（含端点）． （1）求四棱台的体积； （2）求的最小值； （3）在BC边上求一点N，使得平面，并说明理由． 21. 对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”． （1）已知，，是否存在定义域为R的函数，使得是的“关联函数”？请说明理由； （2）已知，函数是的“关联函数”．若在上至少有32个解，求m的最小值； （3）已知函数的定义域为，当（n为正整数）时，．若是的“关联函数”，其中，求函数的零点． 上海市晋元高级中学2025学年第二学期期末考试 高一年级数学学科试卷 考试时间：120分钟满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，1－6题每题4分，7－12题每题5分，满分54分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】##0.5 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】或 【7题答案】 【答案】或 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】## 【11题答案】 【答案】． 【12题答案】 【答案】 二、选择题（单选，13－14每题答对得4分，15－16答对每题得5分，满分18分） 【13题答案】 【答案】D 【14题答案】 【答案】A 【15题答案】 【答案】D 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（本大题共5道小题，每一问均需写出必要步骤，满分共78分） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）取中点，连接， 因为，，所以，. 而，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2） 【19题答案】 【答案】（1），， （2）当 时小狗所在位置离小明最近，最短距离为 【20题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）在上取点，使得，则， 因为，则，且， 又且，所以，， 所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面. 【21题答案】 【答案】（1）不存在，理由如下： 假设存在定义域为R的函数， 使得是的“关联函数”， 则，取，则， 故，无解，不存在这样的函数； （2）； （3）或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $