精品解析：湖北十堰市普通高中2025-2026学年下学期期末评价高二数学试卷

2025-2026学年度下学期高二年级期末评价 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设等比数列的前n项和为，若，，则公比 q=（ ） A. 2 B. C. 1或  D. 2 或 −1 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有1名医生的选法共有（ ） A. 15 种 B. 18 种 C. 21 种 D. 25 种 4. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. −160 B. −60 C. 60 D. 160 5. 已知某地区人群中某种疾病的发病率为 0.02，现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为 0.98，未患病者检测呈阳性的概率为 0.03．若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概率约为（ ） A. 0.25 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 6. 为了调查高二学生的选科意向与性别是否有关，随机调查了 200 名学生，得到如下2×2列联表： 选物理 选历史 合计 男生 80 30 110 女生 40 50 90 合计 120 80 200 附表： 根据表中数据，得到的结论是（ ） A. 有 95% 的把握认为选科意向与性别无关 B. 有 95% 的把握认为选科意向与性别有关 C. 有 99% 的把握认为选科意向与性别无关 D. 有 99% 的把握认为选科意向与性别有关 7. 已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. B. 80 C. 81 D. 90 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为，公差为，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则  B. 若，则  C. 若，则  D. 若，则  10. 已知随机变量，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为．若函数的图像关于点对称，，令，则（ ） A. B. C. 的图像关于点对称 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量X的分布列为 1 2 3 且，则 ________. 13. 已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是_______. 14. 将编号为 1， 2， 3， 4， 5 的5个小球放入编号为 1， 2， 3， 4， 5 的 5 个盒子中，每个盒子放入 1 个小球，则恰好有 2 个小球的编号与盒子编号相同的放法共有 ____ 种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 某工厂生产一批零件，其质量指标服从正态分布.现从该批零件中随机抽取9件，测得它们的质量指标分别为：（单位：分）. （1）求样本均值和样本方差； （2）若以样本均值作为的估计值，以样本方差作为的估计值，估计该批零件质量指标在内的概率. （附：若，则，） 17. 某奶茶店为了研究日销售额（单位：百元）与平均气温（单位：℃）之间的关系，统计了连续天的数据，如下表： 12 14 16 18 20 25 29 32 34 40 （1）求关于的线性回归方程； （2）若某日的平均气温为，根据回归方程预测该日的销售额； （3）计算样本相关系数（精确到 0.01），并判断销售额与平均气温的相关程度. （附：） （参考公式：​，） 18. 甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：甲先投，每轮每人各投一次，先投中者获胜并结束比赛；若两人均未投中，则进入下一轮，直至有人投中.已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且每轮结果相互独立，，. （1）求甲在第一轮获胜的概率； （2）设比赛共进行了轮（即第轮有人投中，且前轮均无人投中），求的分布列和数学期望 ； （3）若 ，，求甲最终获胜的概率. 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高二年级期末评价 数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设等比数列的前n项和为，若，，则公比 q=（ ） A. 2 B. C. 1或  D. 2 或 −1 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，， 符合； 若，则，解得， ，代入， 得到，即得 即，因，则得， 解得. 综上可得，或. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得解. 【详解】由， 所以曲线在点处的切线的斜率为，而， 因此切线方程为. 3. 某医院有3名医生和5名护士，现从中随机选派2人参加一次社区义诊活动，则选出的2人中至少有1名医生的选法共有（ ） A. 15 种 B. 18 种 C. 21 种 D. 25 种 【答案】B 【解析】 【分析】采用直接法或间接法，结合组合知识求解即可. 【详解】方法一：总选法，全护士，故至少有1名医生的选法. 方法二：至少有1名医生的选法. 4. 在二项式的展开式中，常数项为（ ） A. −160 B. −60 C. 60 D. 160 【答案】C 【解析】 【详解】通项， 令 得，常数项. 5. 已知某地区人群中某种疾病的发病率为 0.02，现有一种检测方法：患病者检测呈阳性的概率为 0.98，未患病者检测呈阳性的概率为 0.03．若在该地区随机抽取一人进行检测，结果呈阳性，则此人实际患病的概率约为（ ） A. 0.25 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】用贝叶斯公式求解，先明确患病、未患病、阳性三类事件的基础概率与条件阳性概率，算出患病且阳性的分子、全体阳性人群的分母，两者相除得到阳性前提下真实患病的概率． 【详解】设事件为“实际患病”，事件为“检测结果呈阳性”， ，，，， 所以． 6. 为了调查高二学生的选科意向与性别是否有关，随机调查了 200 名学生，得到如下2×2列联表： 选物理 选历史 合计 男生 80 30 110 女生 40 50 90 合计 120 80 200 附表： 根据表中数据，得到的结论是（ ） A. 有 95% 的把握认为选科意向与性别无关 B. 有 95% 的把握认为选科意向与性别有关 C. 有 99% 的把握认为选科意向与性别无关 D. 有 99% 的把握认为选科意向与性别有关 【答案】D 【解析】 【分析】计算卡方，根据独立性检验即可求解. 【详解】零假设为选科意向与性别无关， ， 故有把握选科意向与性别有关. 7. 已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. B. 80 C. 81 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得数列的首项为，设其公差为，由，，成等比数列和数列（非常数列），求得，从而得，再将代入求解即可. 【详解】因为为等差数列，， 所以数列的首项为，设其公差为， 则， 所以， 所以，，， 又因为，，成等比数列， 所以， 即， 解得或， 当时，， 当时，， 所以，为常数数列，不满足题意，故舍去; 当时，， 当时，， 所以，不是常数数列，满足题意， 所以， 所以， 所以. 8. 设函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据与在相同区间的符号相同，可得的关系，再将写成关于的函数，利用导数分析函数的单调性，求其最小值. 【详解】由；由. 若，则恒成立，则在上不成立. 若，由；由. 由恒成立，可得：. 所以，. 设，. 则，. 由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为：. 即的最小值为. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等差数列的前项和为，公差为，则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则  B. 若，则  C. 若，则  D. 若，则  【答案】BD 【解析】 【详解】等差数列的前项和为，公差为， A选项：若，则，即，，不一定为负，可能且，故A错； B选项：，故B正确； C选项：，不能判断的正负，即无法判断正负，故C错； D选项：，则，故D正确. 10. 已知随机变量，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】由，，联立解得，，A，B正确； ，C错误； ， ，， 则，D错误. 11. 已知函数的定义域为．若函数的图像关于点对称，，令，则（ ） A. B. C. 的图像关于点对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令，代入即可判断选项；利用函数关于点对称，则的关系，进行赋值，结合周期函数的定义，即可判断选项，，. 【详解】解：由，令，则， 所以，正确； 由函数的图像关于点对称，令，当时，， 所以的图像关于对称，即的图像关于点对称，正确； 由，用替换得①， 又的图像关于点对称，则， 用替换得②， ①②得，所以，错误； 由，则， 由上可知， 所以，正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知离散型随机变量X的分布列为 1 2 3 且，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】首先利用分布列的性质和数学期望的公式列方程求，利用方差的公式求解． 【详解】由分布列的性质可知，， 由期望公式可得，即， 所以，， 故． 13. 已知函数的图象与直线有三个不同的交点，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】令，得， 可得极大值为，极小值为. 的大致图象如图所示，观察图象，得当时恰有三个不同的交点. 14. 将编号为 1， 2， 3， 4， 5 的5个小球放入编号为 1， 2， 3， 4， 5 的 5 个盒子中，每个盒子放入 1 个小球，则恰好有 2 个小球的编号与盒子编号相同的放法共有 ____ 种. 【答案】 【解析】 【详解】第一步，从5个盒子中选出2个盒子，使其小球编号与盒子编号相同：； 第二步，剩余3个盒子与3个小球，编号全错位（错排），有2种放法； 由分步乘法，总数为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据已知递推式得，再由等比数列的定义写出通项公式； （2）由（1）及已知得，再应用裂项相消法求和. 【小问1详解】 由，则，而， 所以是首项、公比均为2的等比数列，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）， 所以， 所以. 16. 某工厂生产一批零件，其质量指标服从正态分布.现从该批零件中随机抽取9件，测得它们的质量指标分别为：（单位：分）. （1）求样本均值和样本方差； （2）若以样本均值作为的估计值，以样本方差作为的估计值，估计该批零件质量指标在内的概率. （附：若，则，） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先代入9组样本数据求和除以样本容量算出样本均值,再计算每组数据与均值差值的平方和,除以样本容量9得到保留两位小数的样本方差； （2）方法一:观察区间距均值的距离近似为,直接套用附给的快速估算概率； 方法二:先保留精确分布参数.通过标准化变换将所求概率转化为标准正态分布区间概率,算出分界值略大于2,再结合附表近似得到结果. 【小问1详解】 , 计算得各偏差平方和为,故. 【小问2详解】 方法一: 由题意,估计,则. 因为区间即可近似看作, 方法二: 由题意，取，，则，即. 标准化变换.. 结合题干给出，可估计该批零件质量指标落在内的概率约为. 17. 某奶茶店为了研究日销售额（单位：百元）与平均气温（单位：℃）之间的关系，统计了连续天的数据，如下表： 12 14 16 18 20 25 29 32 34 40 （1）求关于的线性回归方程； （2）若某日的平均气温为，根据回归方程预测该日的销售额； （3）计算样本相关系数（精确到 0.01），并判断销售额与平均气温的相关程度. （附：） （参考公式：​，） 【答案】（1） （2）4250元 （3），正相关 【解析】 【分析】（1）先计算，进而计算，即可求解； （2）根据（1）当 时，计算即可求解； （3）根据相关系数的公式计算即可. 【小问1详解】 由题意得：，， 计算， ， 故， 所以回归方程为； 【小问2详解】 当 时，（百元）， 所以预测该日的销售额为元； 【小问3详解】 由题意得：， ， 表明销售额与平均气温高度正相关. 18. 甲、乙两人进行投篮比赛，规则如下：甲先投，每轮每人各投一次，先投中者获胜并结束比赛；若两人均未投中，则进入下一轮，直至有人投中.已知甲每轮投中的概率为，乙每轮投中的概率为，且每轮结果相互独立，，. （1）求甲在第一轮获胜的概率； （2）设比赛共进行了轮（即第轮有人投中，且前轮均无人投中），求的分布列和数学期望 ； （3）若 ，，求甲最终获胜的概率. 【答案】（1） （2）的分布列， （3） 【解析】 【分析】（1）甲首轮获胜只需首次投篮命中，独立事件直接得概率； （2）表示比赛轮数，前轮两人全未投中、第轮有人投中，符合几何分布，利用几何分布期望公式化简求出； （3） 甲获胜为无穷互斥事件，以每轮两人均未命中的概率为公比构造无穷等比级数求和，代入数值算出最终概率． 【小问1详解】 甲在第一轮获胜只需第一轮甲投中，所以概率为. 【小问2详解】 每轮两人均未投中的概率为 ，则 即服从参数为 的几何分布， 故. 【小问3详解】 甲最终获胜的事件可以在第轮甲投中，且前（）轮均无人投中： 甲获胜的概率， 代入，，得. 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）求证：当时，. 【答案】（1）当 时，在上单调递增；当时，在单调递增，在 单调递减 （2） （3）证明：由（2）知，当时，， 即对任意 恒成立，当且仅当取等号. 令，则，所以 ， 所以，累加得 ， 又，则， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系分类讨论即可. （2）通过参变分离得到，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系求解即可.. （3）由（2）得，，令，可得，结合累加法证明即可. 【小问1详解】 的定义域为，. 当 时，，在上单调递增； 当时，令 ，即，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 综上，当 时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 若对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，即即可. ，令，即，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以，所以. 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $