湖北宜昌市某重点高中2025-2026学年高二下学期升级考试数学试题

**基本信息** 涵盖函数、几何、统计等核心模块，融合科技下乡（分选机）、体育锻炼（传球模型）、文化传承（阳马）等情境，梯度设计合理，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|统计（百分位数）、立体几何（线线平行）、抛物线、导数应用|基础题（如第1题百分位数）与能力题（如第8题导数零点）结合，考查抽象能力与推理意识| |填空题|3题/15分|二项式定理、概率（分选机误差）、椭圆离心率|科技情境（第13题分选机）体现数据观念，椭圆题考查几何直观| |解答题|5题/77分|数列证明、导数单调性、立体几何（阳马）、统计概率（独立性检验与传球）、解析几何（轨迹与定直线）|综合性强，如第18题结合独立性检验与概率递推，第17题以古代阳马为载体，考查空间观念与应用意识，契合高考命题趋势|

高二年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．数据35，54，46，36,73，85,60，89的第75百分位数为( ) A．79 B．54 C．50 D．41 2．直线平行的一个充分条件是( ) A．都垂直于同一个平面 B．与同一个平面所成的角相等 C．都平行于同一个平面 D．都垂直于同一条直线 3. 过抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 4．设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 5.已知事件,,，，则（  ） A． B． C． D． 6．为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校米接力赛，其中甲只能跑第1棒或第2棒，乙只能跑第2棒或第4棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为（  ） A．48 B．36 C．24 D．12 7.设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．已知函数的导函数满足：，且.若函数有且只有一个零点，则实数的值为（  ） A． B． C． D． 二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9．下列说法正确的是( ) A．若成对样本数据都落在一条直线上，则变量和变量的样本相关系数满足 B．若，则事件相互独立与A，B互斥不能同时成立 C．用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性，如果把2×2的列联表中所有的数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响 D．数据的平均数和方差分别为和，数据的平均数和方差分别为和， 且所有数据混合后总的平均数和方差分别为和，若＝(＋)，则必有≥(＋) 10.人 yuoqe :uId: yuoqe ．已知f(x)＝(x－a)(x－2)2，则下列正确的是 A．直线y＝0为f(x)的切线 B．若f(a2)＜f(a)，则a∈(－1，1) C．若f(x)在(－∞，2)上单调递增，则a∈[2，＋∞) D．设l1，l2为曲线f(x)在(x1，f(x1))，(x2，f(x2))处的两条切线，若l1//l2，则x1＋x2＝(4＋a) 11. 如图，正方体的棱长为2，点E为棱的中点，点F在正方体表面及其内部运动，则（ ） A. 存在点，使得平面 B. 当时，直线与直线所成角的余弦值为 C. 当时，三棱锥的体积最小值为 D. 当点F与点D重合时，三棱锥的外接球表面积为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12． (2x－)4的展开式中，常数项为 __. 13. 在科技下乡的大趋势下，某果园使用一种智能水果分选机筛选某种水果，将该种水果分为大果和小果两类，该分选机把大果错误筛选为小果以及把小果错误筛选为大果的概率均为0.1，经过分选机筛选分类之后大果所占比例为0.58，则可推测该果园中这种水果里的大果所占的真实比例为________ 14．已知椭圆C：＝1，点F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A，B是椭圆上位于第一象限内的两点，满足，则椭圆C离心率的取值范围是 ____. 四、解答题(本大题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．（本小题满分13分） 已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 16．（本小题满分15分）已知函数． （1）若为单调函数，求的取值范围； （2）若仅有一个零点，求的取值范围． 17．（本小题满分15分）“阳马”是我国古代数学名著《九章算术》中《商功》章节研究的一种几何体，其底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是边长为3的正方形，SA⊥AB，SC⊥BC，SA=SC=3. (1)证明：四棱锥S-ABCD是一个“阳马”； (2)已知点E在线段AC上，且=λ，若平面SAE与平面SDE夹角的余弦值为，求直线SE与底面ABCD所成角的正切值. 18. （本小题满分17分）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据： 性别 锻炼 不经常 经常 女生 40 60 男生 20 80 (1)依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； (2)为了提高学生体育锻炼的积极性，该中学设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动.在该活动的某次排球训练课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，甲传给乙和丙的概率分别为和，乙传给甲和丙的概率分别为和，丙传给甲和乙的概率分别为和.求第次传球后球在乙手中的概率； (3)记第次传球时，乙接到球的次数为，则服从两点分布，且，设前次传球后，乙接到球的总次数为，且总成立，求实数的最小值. 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 19. （本小题满分17分）已知直线过原点且倾斜角分别为和，平面内动点到距离之积为． (1)求点的轨迹的方程； (2)若曲线与轴的交点分别为（在左侧），过点的直线交曲线于两点（点位于第一象限，位于第二象限），直线与相交于点． （i）求证：点在定直线上； （ii）求证：射线平分． 高二数学考试 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学试卷参考答案 一、二、选择题 AACD CBAD ABD ACD BCD 三、填空题 四、解答题 15.【解析】（1）由，得， 即，得，所以数列为等差数列． ┄┄┄┄5分 （2） 设数列的公差为， 则，得，故，┄┄┄┄8分 故， 则， 故 ┄┄┄┄13分 16． 【解析】（1）， 因为为单调函数，故或’ 恒成立，┄┄┄┄2分 因为，故只需或对于恒成立， 令，则 ‘对于恒成立， 所以为增函数，所以， 由于时，，故不成立，即不可能为单调递减函数， 当恒成立时，，此时为单调递增函数， 所以当为单调函数时，的取值范围为，；┄┄┄┄7分 （2）因为（1），所以1是的一个零点， 由（1）可知，当时，为上的增函数，所以仅有一个零点，满足题意，┄┄┄┄9分 当时，令’ 得， 由（1）可知，在上为单调递增，且，， 故存在唯一的，使得成立，即，(12分) 当，时，，为减函数，当时，，为增函数， 所以在处取得最小值， 因为只有一个零点，所以，又（1），所以，所以， 综上所以的取值范围为，或．┄┄┄┄15分 17． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB⊥AD， ∵SA⊥AB，SA∩AD=A，SA，AD⊂平面SAD，∴AB⊥平面SAD， ∵SD⊂平面SAD，∴SD⊥AB， ∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥CD， ∵SC⊥BC，CD∩SC=C，CD，SC⊂平面SCD.∴BC⊥平面SCD，∵SD⊂平面SCD，∴SD⊥BC， ∵BC∩AB=B，BC，AB⊂平面ABCD，∴SD⊥平面ABCD， ∴四棱锥S-ABCD是一个“阳马”.┄┄┄┄6分 (2)由(1)得SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AD， ∵SA=3，AD=3，∴SD=3， 以点D为原点，DA，DC，DS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，S(0，0，3)， ∴=(-3，3，0)，=(3，0，-3)，=(0，0，-3)， 设E(x，y，0)，∴=(x-3，y，0)，=(-x，3-y，0)， ∵=λ，∴(x-3，y，0)=λ(-x，3-y，0)，λ>0， ∴E，=， 设平面SAE的法向量是m=(x1，y1，z1)，则∴ 令z1=1，则∴m=(1，1，1)，┄┄┄┄10分 设平面SDE的法向量是n=(x2，y2，z2)，则∴ 令y2=-1，则∴n=(λ，-1，0)，∴|cos〈m，n〉|===，┄┄┄┄12分 ∴λ=或λ=3.∴E或E，∴DE==，∵SD⊥平面ABCD， ∴直线SE与底面ABCD所成角的正切值为=.┄┄┄┄15分 18. 【解析】（1）零假设：学生性别与体育锻炼的经常性无关，则 ， 故依据的独立性检验，可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；┄┄┄┄4分 （2）设次传球后球在乙手中的概率为， 则第次传球后球不在乙手中的概率为， 所以，┄┄┄┄6分 所以，其中， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 故， 故第次传球后球在乙手中的概率为；┄┄┄┄10分 （3）由（2）知， 故，┄┄┄┄12分 所以， 又总成立，设，只需要， 当最大时，必定为奇数，而随奇数的增大而减小， 故当时，最大值， 所以，故实数的最小值为.┄┄┄┄17分 19. 【解析】（1）由题意得，直线的方程为的方程为． 设点，到的距离分别为. 由题意，代入距离公式得，.所以， 所以轨迹的方程为；┄┄┄┄4分 （2）（i）令，代入，得，故，，显然与轴无交点， 所以曲线的方程为， 设过的直线方程为，，如下图： 与轨迹联立得，整理得， 此时， 由韦达定理得，所以，即，┄┄┄┄7分 因为直线的方程为，直线的方程为， 联立， 解得可得， 所以点在定直线上．┄┄┄┄10分 （ii）证明：由（i）知， ， 则， 即，又，所以． 可知射线平分．┄┄┄┄17分 高二年级数学试卷 学科网（北京）股份有限公司 $