湖北省十堰市2024-2025学年高二下学期期末调研考试数学试卷

十堰市2024一2025学年度下学期期末调研考试 高二数学 本试题卷共4页，共19道题，满分150分，考试时间120分钟。 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡和试卷指定位置上，并将考号条形码贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3.非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。答在试 题卷、草稿纸上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， f(x。+2△x)-f(xo-△x) 1.已知函数f(x)在x一xa处可导，若im =12,则f'(xo)= △ A.4 B.6 C.-6 D.-4 2.(1一2x)0展开式中x3的系数为 A.-180 B.180 C.-960 D.960 3.已知N(9),若P(>11)-号，则P(7<≤9)- A号 R号 c 3 D. 4.等差数列{a.}的前n项和为S.,若S12=996,则a2十a11 A.356 B.166 C.246 D.156 5.若函数f(x)=xlnx十ax2一2x存在单调递增区间，则实数a的取值范围是 D.[-3,to∞) 6.9∞除以64的余数为 A.13 B.33 C.23 D.31 7.如图，有甲、乙两个工厂，甲厂位于笔直河岸的岸边A处，乙厂与 6 甲厂在河的同侧，位于离河岸60km的B处，BD垂直于河岸，垂 足为D,且D与A相距70km,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂铺设水管的费用分别为每千米3元和 6t元，设∠BCD=0,铺设水管的总费用为f(0),则当f(0)最小 时，tan0 A.② B.5 C.2 D.5 【高二数学第1页（共4页）】 8.某答题闯关活动规则如下：参与者闯关前积分为1分，每次闯关成功加1分，闯关失败扣 1分.积分为0结束闯关，或自愿放弃闯关，此时累积积分可兑换相应奖励.甲参与答题闯关 活动，且每次闯关成功的概率为2，每次闯关相互独立，在甲闯关5次结束闯关的条件下，甲 累积积分不低于3分的概率为 5 A.2 R君 25 C D.12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)的导函数f'(x)的大致图象如图所示.下列结论正确的是 A.f(x)在（一∞，一1）上单调递增 B.f(x)在（一1,3）上单调递增 C.f(x)既有极大值，也有极小值 D.曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率为3 10.已知(2.x一1)5=a。十a1x十a2x2十…十a6x5,则 A.a3=160 B.lao|+|a:|+|a2|+…+a6=729 cg贤…+ 26 =-1 D.a1十2a2+…+6a6=12 数列(a,》满足a多-42一(a,)(@,一D…(a-1D(nN A.a2-2 B.am+1=a2-3an十4 3 Ca,e[22) D当w≥2时名a， 1 1 am+1一2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2已知等比数列a,的公比为g,前n项和为S若-2则g 13.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'(x)是f(x)的导函数， f"(x)是f'(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x)处的曲率K= I"(x) 1+[f'(x)]) 曲线y子在点(1，)处的曲率为▲：设曲线y=nx的周率为K,则K产的 极大值为 14.来自国外的博主A,B,C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名 景点.他们约定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A在北京 故宫、西安兵马俑中至少选择1个，则不同的打卡方案种数为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 2025年4月13口，2025十堰马拉松在堰市奥体中心鸣枪起跑.马拉松比赛是一项高负 荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健 康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础.为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女 性中各随机抽取100人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下2×2列联表： 单位：人 马拉松 性别 合计 喜爱 不喜爱 男 60 100 女 60 合计 200 (1)完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为喜爱马拉松与性别有关 (2)依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取5人，再从这5人中随机抽 取3人，记其中女性人数为X,求X的分布列及期望. n(ad-bc)? 附：X2 (a+b)(c+d)(ate)(b4d(n=atb+c+d). a 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 元 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 16.(15分) 2 已知数列{an}的首项a1= ,且满足a1=a.干 )证明：数列-1为等比数列。 (2)设b.=(n十1)log[(2"+1)a],求数列 的前n项和. （③)常+十山十…+>100，求满起条件的最小整数， 17.(15分) 已知函数fx)=2-3x- (1)若曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y=(a十b)x一a,求a,b: (2)若f(x)有三个零点，求a的取值范围； (3)若f(x)只有一个极值，求a的取值范围. 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 近年来，中闲新能源汽车市场快速发展，续航里程和电池容量是消费者最关心的指标之一 某研究机构测试统计市场上10款主流新能源汽车的电池容量x(单位：kWh)和官方标称 续航里程y(单位：km),数据如下： 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 y 300 320 350 380 400 430 450 480 500 520 (1)已知x与y线性相关，求出y关于x的经验问归方程（石精确到整数），并预测电池容量 为100kWh时的续航里程； (2)出于各种因素的影响，新能源汽车的实际续航里程有6的概率比官方标称续航里程多 50km,有2的概率比官方标称续航里程少50km,有3的概率与官方标称续航里程相 等，现从以上10款新能源汽车中随机抽取一辆，求实际里程不低于450km的概率： (3)若根据个人驾驶习惯和环境因素统计得到某新能源汽车第一年实际续航里程与官方标 称续航里程相符的概率为手·从第二年起，若上一年实际续航里程与官方标称续航里程 相符，则这一年实际续航里程与官方标称续航里程仍相符的概率为了：若上一年实际续 航里程与官方标称续航里程不相符，则这一年实际续航里程与官方标称续航里程相符的 概率为3·记第”年实际续航甲程与官方标称续航里程相符的概率为P。求P。,并解不 等式P< 附：6= a-y-证，2x,-70y,-)=10325,2x,-7)=2062.5 19.(17分) 已知函数f(x)g(x)=arh一1 (1)判断f(x)的单调性： (2)若f(x)十g(x)≥0恒成立，求a的取值范围； (3)若方程f(x)十g(x)=0有两个不同的根x1,x2,证明：x1x2>c2. 【高二数学第4页（共4页）】十堰市2024一2025学年度下学期期末调研考试 高二数学参考答案 f(xa十2△x)-f(x-△x) 1.A 因为im -lim f(xo十2△x)-f(xo)十f(xo)-f(xo-△x) △r0 △x △T 2 lim f(xo+2△x)-fxo）+lim △rd 2△x △0 fx。-△x)-fxo）=3f(x)-12,所以f(xo)=4. -△x 2.C通项T,+1=C1o(-2x)'=Cio(-2)'x',令r=3,得T4=C(-2)3x3=-960x3 3D因为N(9),P(>1I)=写-P(<D,所以P(7<≤9)=1-2P=3 10 4.B因为S2 12(a1十a2)_12(a2十an2-996,所t以ae十an=166. 2 5.A因为f(x)存在单调递增区间，所以f'(x)=lnx十2a.x一1>0有解， 即关于x的不等式2a>1-ln工有解.令g红) 1h,女国所以g在 0.e)上单测递减：在(c,士)上单调递增，所以g)=8(e)=-己，所以2a>- c2* 即a> 1 2%2 6.B因为910=(8+1)10=C9m810+C1m8+Cm88+…+C9882+C88+C189=82(C988 十Cm8?十Cm86十…十C98)十801，且82(C9m88十Cm8”十Cm86十…十(C8)显然能被64 整除，所以所求余数即为801除以64的余数.因为801=64×12+33，所以90除以64的余 数为33. 7.BH题意可知1，CD= tan 0'BC=60 60 0则f0)=3(70-0g)+60 tan 0 sin 0 ·6t= 360L sin 0 180tcos 0 十210t. sin 0 360tcos0,1801 因为f'(0)= sin 0 sin20 1801-2os0”,0E(0,5）,所以f0)在(0,5)上单测 sin20 递减，在（行，2）上单调递增，所以当0-时.f0)取得最小值，此时an0一尽. &D5次侧关都成功积6分的概率为合)》广-过： 5次闯关成功4次积4分的概率为2×C(号)》'-g: 5次闾关成功3次积2分的概率为)》广c(2)》'+1-)×2C(分)'-品： 【高二数学·参考答案第1页（共7页）】 5次闾关成功2次积0分的概率为号×C×2×(1-)×()》'-后 枚甲闯关5次结束的概率为。，其中积分不低于3分的概率为2： 在甲闯关5次结束闯关的条件下，甲累积积分不低于3分的概率为 9.BCDh图可知，当x∈（一∞，一1）U(3,十∞)时，f'(x)<0;当x∈（一1,3）时，f'(x)>0. 故f(x)在（一∞，一1），(3，十∞)上单湖递减，在（一1,3）上单调递增，在x=一1处取得极小 值，在x=3处取得极大值.因为f(1)=3,所以曲线y=f(x)在x-1处的切线斜率为3. 10.BCD因为通项T,+1=C%(2x)'(-1)',所以a3=C%23(-1)3=一160，故A错误； 因为ao,a2,a4,a6>0,a1,a3,as<0,所以ao|+|a1|十|a2|十…十|a6|=ao-a1十a2-a3 十a4一as十a6=(-3)°=729，故B正确： 令1=0，得a,=1,令1=2得a十号+学+…+学-0.所以号+号+…叶学=-1，放C 正确： 令f(x)=(2x-1)5=a。十a1x十a2x8+…十a6x5,则f'(x)=12(2x-1)5=a1十 2a2x十…十6a6x5,令x=1,则f'(1)=12-a1十2a2十…十6a6,所以D正确. 1.ACD当n1时，a,2,所以A正确， 当n≥2时，am=2-(am1-1)(am2-1)…(a1-1),即(am1-1)(aw2-1)…(a1-1)= 2-am' 所以a1=2-a,-1D(2-a,)=:-30,十4.当W=1时a,-子+，放B错误 因为e1-(a.-2》+子2所以a,-1Da1-D…a-1D>0 因为a1=2-a.-1Da,1-1)…a,-1<2.所以a,∈[.2)，放C正确 因为aw+1=a2-3an十4(n≥2)，所以am+1-2=a-3an十2-(am-2)(an-1), 。。=二2（a。-1Da.-2a,-1'所以2，。1 所以1 1 a,-1 a.-2 a+-2' a2-24-23-24,-2千…十1/ 所以21。一1.1 a-2a1-2=2+2 a2-2 1 am+1一2 a1-2·放D正确 12.-3 显然g1则略哥-14g器得g=一司 216 13.227 令f)-3,则fx)=2,f产)=2x.因为f)=1f)=2,所以曲线y 【高二数学·参考答案第2页（共7页）】 -名+在点1，)处的曲率为 1f"(1) 2 ② 1+[f(1)]2)2ā+1) 2 1 令g)2nx,则g'()左，gx)= 272,所以K2 16.x2 (1十4x2)3 16x3 1十4x2),则h'(r) 32x(1-8x2) 25(停-停+) 令h(x)= 因为x>0, (1+4x2) (1十4x2) 所以A)在(0.)上单测递始，在（停，十）上单调递减所以极大值为A(停)-品 14.88当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且只去1个景点时，有C一2种选择，再 将其他4个景点分给B,C,有(CC+ 光)AN-11种选托，共有2x14-28种适择： 当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且去2个景点时，有CC=6种选择，再将其 他3个景点分给B,C,有CC号A=6种选择，共有6×6=36种选择： 当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且去3个景点时，有CC号=6种选择，再将其 他2个景点分给B,C,有A号=2种选择，共有6×2=12种选择： 当A选择北京故宫、西安兵马俑这2个且只去2个景点时，只需将其他3个景点分给B,C, 有CC号A号=6种选择： 当A选择北京故宫、西安兵马俑且去3个景点时，有C-3种选择，只需将其他2个景点分 给B,C,有A-2种选择，共有3×2=6种选择.故共有88种不同的打卡方案. 15.解：(1)2×2列联表如下. 单位：人 马拉松 性别 合计 喜爱 不喜爱 男 60 40 100 女 40 60 100 合计 100 100 200 因为x2 200×(60×60-40×40)2 100×100×100×100 =8<10.828, …3分 所以没有99.9%的把握认为喜爱马拉松与性别有关.…6分 (2)按照分层抽样，从男性中抽取3人，从女性中抽取2人，所以X的取值可能是0,1,2 ……8分 因为pX-o8品p0X=》容-号PX-g CC号3 Cg10' …11分 【高二数学·参考答案第3页（共7页）】 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 品 3 Ex)-0x+1x+2x是g 36 13分 16.(1)证明：因为am+1一 2a所以1.十11大 2a 2an 所以-1-(- 2分 因为a1号所以-1号 2 3分 所以数列日一1是以2为首项，2为公比的等比数列.… 4分 2解：由0蜘d-1=(兮广则a,2 2" 5分 因为bn=(n+1)log2[(2+1)a.]=n(n+1), 111 所以方。一n(m十nnT 7分 设数列公}的前n项和为S., 9分 (3)解：由(2)知-1 2, 10分 a -()门 -=n =n+1- 12分 a1a243 1 1一2 令fm)=n十1，易知fm)单调遥始。 因为f(99)=1000-20<100,f100)=1001-2>1000, 所以满足条件的最小整数为1000。… 15分 17.解：1因为fx)=2-3-兰，所以f)2x-3+是. 1分 因为f'(1)=a-1,f(1)=2-a,…2分 …4分 (2)若f(x)有三个零点，则直线y=a与曲线y=x3-3x2(x≠0)有三个交点.…5分 令h(x)=x3-3x2,则h'(x)=3x8-6.x=3x(x-2), 【高二数学·参考答案第4页（共7页）】 所以h(x)在（一©○，0），(2，十∞)上单调递增，在(0,2)上单调递减.…7分 因为h(0)=0,h(2)=一4，所以a∈(-4,0).…9分 (3)若f(x)只有一个极值，则f(x)=0只有一个变号根.…10分 因为/6)-2-3+号-2+4 T? 所以关于x的方程2x3一3x2十a-0只有一个变号根且这个根不为0， 即直线y=一a与曲线y=2x3一3x2(x≠0)只有一个变号交点.…13分 令g(x)=2x3-3x2,则g'(x)=6x2-6x=6x(x-1), 则g(x)在（一∞，0），(1，十∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减. 因为g(0)=0,g(1)=-1,所以-a≥0或-a≤-1，故a∈（-o∞，0]U[1,十∞). …15分 18.解：(1)因为2(x,-元)(y.-y)=10325,2(x,-T)2=2062.5, 所以6一正为 10325 ≈5.…1分 G) 2062.5 因为x= 40+45+50+55+60+65十70+75+80+8 10 2=62.5 300十320+350十380+400十430+450+480+500+520 10 =413,…2分 所以a=y-元=413-62.5X5=100.5,…3分 所以y关于x的经验回归方程为y=5x十100.5.…4分 当x=100时，y=600.5,所以预测电池容量为100kW时的续航里程为600.5km.… …5分 (2)H表中数据知官方标称续航里程为300km,320km,350km,380km的4款车实际续航 里程低于450km; 官方标称续航里程为500km,520km的2款车实际续航里程不低于450km;·6分 官方标称续航里程为400km,430km的2款车实际续航里程不低于450km的概率为G: …7分 官方标称续航里程为450km,480km的2款车实际续航里程不低于450km的概率为2 …8分 放从中随机取一辆车.其实际里程不低于50km的概率为品×1十×号+品×号 3 9分 (3)当n=1时，P1=5… 10分 当n≥2时，P=3P.1十3(1-P.)=3P.1十3， 【高二数学·参考答案第5页（共7页）】 12分 号品所以数列P。一}是首项为品公比为号的等比数列， 因为P,一2 所以卫.专（兮》所以卫.兮》'+ 15分 h()+号<号得（号）》'<号所以≥3，且n ，…17分 19.1)解：因为fc苦，所以fx)ac …1分 当a=0时，f'(x)<0,所以f(x)在（一∞，0）和(0，十∞)上单调递减；…2分 当u>0时，令f(x)>0,得>，令fx)<0,得0<<或r<0, 所以fx)在（日，十∞）上单调递增，在(-6∞，0)和(0，）上单调递减： …3分 当a<0时，令f')>0,得r<,令fu)<0,得<0或>0， 所以fx)在(-o,)上单调递增，在(.0)和(0，十o∞)上单调递减.…4分 综上所述，当a=0时，f(x)在（一oo,0)和(0，十o∞）上单调递减： 当a>0时，x)在（日，十∞）上单调递增，在(-∞，0)和(0，)上单调递减： 当a<0时，f(x)在(-oo,)上单调递增，在(2,0)和(0，十o∞)上单调递减.…5分 (2)解：（方法一）因为fx)十g(x)-二+ax-n工-1≥0恒成立，所以c“:十ar-n: 一10恒成立.…6分 令t=a.x-lnx,则c十t-1>≥0.令h(t)=c十t一l,则h(t)在R上单调递增.…7分 因为h(0)=0,所以h(u)≥0，即≥0.出1=ax-lnx≥0，得a≥h2 …8分 令g)则g)1n二. 所以p(x)在(0，c)上单调递增，在(c,十∞)上单调递减， 9分 所以gr)m-g(o=。,所以a∈[日，+o): 10分 (方法二令h)=f)十g)二+a一1n工一1，则hr)≥0恒成立. h'(x)=ac“r-cr +a-1_e+x)(ar-1D 6分 x ①当a≤0时，因为x>0,所以h'(x)<0,所以h(x)在(0，十o∞)上单调递增.…7分 因为h(1)=c十a一1<0，所以h(x)≥0不是恒成立. …8分 【高二数学·参考答案第6页（共7页）】 ②当a>0时，则h(x)在(0，)上单调递减，在(，十∞）上单调递增。 …9分 因为函数m(a)=ac十lna在(0，十oo)上单调递增，且m()=0, 所以当a∈[，十∞)时，h(x)≥0恒成立。…10分 (3)证明：设x1<x2,则H(2)知1<x1<c<x2. 因为a1一n"所以ah二n西 11分 ax2=In 2, T1一x2 因为a(x1十x2)=lnx1十lnxg, 1+1 所以lnx1十lnx _n-1n(x,十)=n …12分 x1一x2 1一1 令me0D.则n十h-当m 2 要证x1x2>c2,只要证lnc1十lnx2>2, 即证土 正mnm>2,即证(m十1)lhm-2(m-1)<0.…13分 令pm)=(m十1Dnm-2m-1D,m∈(0,1D,则p'm)=nm+m1-2.14分 令g(m)=lnm+m+1-2. 因为g（m）0,所以m)在0，D上单调递减，………15分 所以p'(m)>p'(1)=0,所以p(m)在(0,1)上单调递增. ……………………… 16分 因为p(m)<p(1)=0,所以(m十1)nm-2(m-1)<0成立，故x1x2>c2.…17分 (3)问中关于证明m+士 m1 nm>2,可用下面方法： 欲证n十 %71nn2,即证1n一m十10◆ …13分 令p(m)nm一m十1，则p(m)=4 (m-1)2 m(m十1)m(m+1)>0, …14分 所以p(m)在(0,1)上单调递增，所以p(m)<p(1).…15分 因为p=0,所以p0m）1hm-2mD<0,故>d.…17分 m十1 【高二数学·参考答案第7页（共7页）】