第十章 章末总结2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册课件

这是一份高中数学期末复习课件，共40页，聚焦概率模块，通过网络构建梳理知识体系，知识辨析巩固概念，分题型（互斥事件与对立事件、古典概型等）归纳解题方法，配套规律总结与跟踪训练，形成完整学习支架。 资料特色鲜明，融合核心素养，以高考真题（如2023全国乙卷古典概型题）为例，通过知识辨析（如随机事件判断）培养数学思维，跟踪训练结合实际情境（如摸球试验）提升应用能力，帮助学生系统巩固知识，为教师教学提供清晰框架与实用素材。

章末总结 网络构建·归纳整合 网络建构 知识辨析 判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”) 1.“一个三角形的内角和为280°”是随机事件.(　　) 2.“投掷一枚硬币,正面向上或反面向上”是必然事件.(　　) 3.一批灯泡的合格率是99%,从这批灯泡中任取一个,则是合格品的可能性为99%.(　　) 4.若P(A)=0.001,则A为不可能事件.(　　) 5.在同一试验中的两个事件A与B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B).(　　) 6.若一次试验的结果所包含的样本点的个数为有限个,则该试验符合古典概型.(　　) × √ √ × × × 题型归纳·素养提升 题型一　互斥事件与对立事件的概率 (1)求产品需要进行第2个过程的概率; (2)求产品不可以出厂的概率. (1)互斥事件与对立事件的概率计算 ①若事件A1,A2,…,An彼此互斥, 则 P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). (2)求复杂事件的概率常用的两种方法 ①直接法:将所求事件转化成彼此互斥的事件的和. 跟踪训练1:袋中装有 6个形状、大小完全相同的球,其中黑球2个、白球 2个、红球 2个,规定取出一个黑球记0分,取出一个白球记 1分,取出一个红球记2分,抽取这些球的时候,谁也无法看到球的颜色,首先由甲取出 3个球,并不再将它们放回原袋中,然后由乙取出剩余的3个球,规定取出球的总积分多者获胜. (1)求甲、乙成平局的概率; (2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性. 题型二　古典概型 [例2] (2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛,共6个主题,每位参赛同学从中 随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为 (　　) A 跟踪训练2:有四张背面相同的纸牌A,B,C,D,其正面分别画有四个不同的几何图形,小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张,放回洗匀后再摸出一张. (1)用画树状图法(或列表法)表示试验的样本空间(纸牌用A,B,C,D表示); 解:(1)树状图如图所示. 列表如表所示: A B C D A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) (2)求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率. 题型三　独立事件的概率 [例3] (多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时,收到1的概率为α(0<α<1),收到0的概率为1-α;发送1时,收到0的概率为β(0<β<1),收到1的概率为1-β.考虑两种传输方案:单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次,三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码,译码规则如下:单次传输时,收到的信号即为译码;三次传输时,收到的信号中出现次数多的即为译码(例如,若依次收到1,0,1,则译码为1),则下列选项正确的是(　 　) A.采用单次传输方案,若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为(1-α)(1-β)2 B.采用三次传输方案,若发送1,则依次收到1,0,1的概率为β(1-β)2 C.采用三次传输方案,若发送1,则译码为1的概率为β(1-β)2+(1-β)3 D.当0<α<0.5时,若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 ABD 解析:对于A,依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积, 它们相互独立,所以所求概率为(1-β)(1-α)·(1-β)=(1-α)(1-β)2,A正确; 对于B,三次传输,发送1,相当于依次发送1,1,1,则依次收到1,0,1的事件, 是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的 3个事件的积, 它们相互独立,所以所求概率为(1-β)·β·(1-β)=β(1-β)2,B正确; 探究点三　函数零点个数问题 应用相互独立事件同时发生的概率的乘法公式求概率的解题步骤 (1)确定各事件是相互独立的. (2)确定各事件会同时发生. (3)先求每个事件发生的概率,再求其积. C 题型四　用频率估计概率 [例4] 某射击运动员为某运动会做准备,在相同条件下进行射击训练,结果如下: 射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91 (1)该射击运动员射击一次,击中靶心的概率大约是多少? 解:(1)由题意,击中靶心的频率与0.9接近,故概率约为0.9. (2)假设该射击运动员射击了300次,则击中靶心的次数大约是多少? 解:(2)击中靶心的次数大约为300×0.9=270(次). (3)假如该射击运动员射击了300次,前270次都击中靶心,那么后30次一定都击不中靶心吗? 解:(3)由概率的意义,可知概率是个常数,不因试验次数的变化而变化.后30次中,每次击中靶心的概率仍是0.9,所以不一定不击中靶心. (4)假如该射击运动员射击了10次,前 9次中有 8次击中靶心,那么第10次一定击中靶心吗? 解:(4)不一定. 概率是一个理论值,频率是概率的近似值,当做大量的重复试验时,试验次数越多,频率越接近概率. 跟踪训练4:某活动小组为了估计装有5个白球和若干个红球(每个球除颜色外都相同)的袋子中红球接近多少个,在不将袋子中的球倒出来的情况下,分小组进行摸球试验,两人一组,共20组进行摸球试验.其中一名学生摸球,另一名学生记录所摸球的颜色,并将球放回袋子中摇匀,每一组做400次试验,汇总起来后,摸到红球次数为6 000次. (1)估计从袋子中任意摸出1个球,恰好是红球的概率; (2)请你估计袋子中红球的个数. 题型五　概率与统计的综合应用 [例5] (2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图: 利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c); 解:(1)依题可知,在患病者的频率分布直方图中,第一个小矩形的面积为5×0.002>0.5%, 所以95<c<100, 所以(c-95)×0.002=0.5%, 解得c=97.5, q(c)=0.01×(100-97.5)+5×0.002=0.035=3.5%. (2)设函数f(c)=p(c)+q(c),当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值. 概率与统计的综合应用的关注点 概率与统计相结合,所涉及的统计知识是基础知识,所涉及的概率往往是古典概型,虽然是综合题,但是难度不大.在解决问题时,要求对图表进行观察、分析、提炼,挖掘出图表所给予的有用信息,排除有关数据的干扰,进而抓住问题的实质,达到求解的目的. 跟踪训练5: 从某学校的800名男生中随机抽取 50名 测量身高,被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组[155,160),第二组[160,165),…,第八组[190,195],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第六组的人数为4人. (1)求第七组的频率; (2)估计该校的800名男生身高的80%分位数;(保留小数点后一位有效数字) 解:(2)设80%分位数为x, 则0.52+(x-175)×0.06=0.8, 解得x≈179.7, 即该校的800名男生身高的80%分位数的估计值为179.7. (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生,记他们的身高分别为x,y,事件E={|x-y|≤5},求样本空间Ω及事件E的概率P(E). 感谢观看 [例1] 某产品在出厂前需要经过质检,质检分为2个过程.第1个过程,将产品交给3名质检员分别进行检验,若3名质检员检验结果均为合格,则产品不需要进行第2个过程,可以出厂;若3名质检员检验结果均为不合格,则产品视为不合格产品,不可以出厂;若只有1名或2名质检员检验结果为合格,则需要进行第2个过程.第2个过程,将产品交给第4名和第5名质检员检验,若这2名质检员检验结果均为合格,则可以出厂,否则视为不合格产品,不可以出厂.设每名质检员检验结果为合格的概率均为,且每名质检员的检验结果相互独立. 解:(1)记事件A为“产品需要进行第2个过程”. 法一　在第1个过程中,1名质检员检验结果为合格的概率为 P1=××+××+××=, 在第1个过程中,2名质检员检验结果为合格的概率为 P2=××+××+××=, 故P(A)=P1+P2=,即产品需要进行第2个过程的概率为. 法二　在第1个过程中,三名质检员检验结果均合格的概率为××=, 在第1个过程中,三名质检员检验结果都不合格的概率为××=, 故P(A)=1--=,即产品需要进行第 2个过程的概率为. 解:(2)记事件B为“产品不可以出厂”. 在第1个过程中,3名质检员检验结果均为不合格的概率P3=××=, 产品需要进行第2个过程,在第2个过程中,产品不可以出厂的概率P4=P(A)×(1-×)=×=,故P(B)=P3+P4=, 即产品不可以出厂的概率为. ②设事件A的对立事件是,则P(A)=1-P(). ②间接法:先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(A)=1-P()求解. 解:(1)记黑球为1,2号,白球为3,4号,红球为5,6号,则甲的可能取球共有以下 20种情况:123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246, 256,345,346,356,456,甲、乙平局时都得3分,所以甲取出的三个小球是一黑一白一红,共8种情况,故平局的概率P1==. 解:(2)甲获胜时,得分只能是4分或5分,即取出的是2红1白,1红2白,2红1黑,共6种情况, 故先取者(甲)获胜的概率P2==, 后取者(乙)获胜的概率P3=1--=, 所以P2=P3,故先后取球的顺序不影响比赛的公平性. A. B. C. D. 解析:甲有6种选择,乙也有6种选择,故总数共有6×6=36(种),若甲、乙抽到的主题不同,则共有=30(种),则其概率为=.故选A. 在应用古典概型的概率公式P(A)=时,关键是分清事件A和样本空间Ω包含的样本点个数n(A)和n(Ω),有时需用列举法把样本点一一列举出来,但列举时必须按某一顺序做到不重复、不遗漏. 解:(2)在A,B,C,D四张纸牌中,牌面图形是中心对称图形的是B,C,所以摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌包含4个样本点, 即(B,B),(B,C),(C,B),(C,C),故所求概率是=. 对于C,三次传输,发送1,则译码为1的事件是依次收到1,1,0;1,0,1;0,1,1和1,1,1的事件和, 它们互斥,由选项B知,所求的概率为β(1-β)2+(1-β)3=(1-β)2(1+2β),C错误; 对于D,由选项C知,三次传输,发送0,则译码为0的概率P=(1-α)2(1+2α), 单次传输发送0,则译码为0的概率P′=1-α,而0<α<0.5, 因此P-P′=(1-α)2(1+2α)-(1-α)=α(1-α)(1-2α)>0,即P>P′,D正确. 故选ABD. 跟踪训练3: 已知甲、乙、丙三名同学同时竞选班干部,3人能被选上的概率分别为,,,这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为(　　) A. B. C. D. 解析:甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为,,,所以这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为P=1-(1-)×(1-)×(1-)=.故选C. 解:(1)因为20×400=8 000,所以摸到红球的频率为=0.75,因为试验次数很多,大量试验时,频率接近于概率,所以估计从袋子中任意摸出1个球,恰好是红球的概率约是0.75. 解:(2)设袋中红球有x个,由题意得=0.75,解得x=15,经检验x=15是原方程的解,所以估计袋子中红球有15个. 解:(2)当c∈[95,100]时, f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02; 当c∈(100,105]时, f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02, 故f(c)= 所以f(c)在区间[95,105]的最小值为0.02. 解:(1)第六组的频率为=0.08, 所以第七组的频率为1-0.08-5×(0.008×2+0.016+0.04×2+0.06)=0.06. 解:(3)第六组[180,185)的人数为4人,设这4人为a,b,c,d, 第八组[190,195]的人数为2人,设这2人为A,B, 则从中随机抽取2名男生有ab,ac,ad,bc,bd,cd,aA,bA,cA,dA,aB,bB,cB,dB,AB,共15种情况, 因为事件E={|x-y|≤5}发生当且仅当随机抽取的2名男生在同一组, 所以事件E包含的基本事件为ab,ac,ad,bc,bd,cd,AB,共7种情况, 故P(E)=. $