第十章 概率 章末综合提升-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教A版）

该高中数学概率单元复习课件系统梳理了概率的核心知识，包括样本空间、事件分类、古典概型、条件概率等，通过体系构建列表呈现知识点及公式，帮助学生建立知识间的内在逻辑联系。 其亮点在于采用分层探究设计，如频率与概率例题结合电影数据培养数据意识，古典概型通过列举法发展推理能力，考效衔接结合高考真题溯源教材，分层练习和单元检测卷满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升学生知识应用能力。

章末综合提升 　 第十章　概率 体系构建 1 分层探究 2 考教衔接 3 内容索引 单元检测卷 4 体系构建 返回 返回 分层探究 返回 探究点一　频率与概率 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是第四类电影且获得好评的概率； 解：由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝ 2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50， 故所求概率为＝0.025. 典例 1 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率； 解：由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372. 故估计所求概率为1－＝0.814. 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 (3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)？ 解：第五类电影的好评率增加0.1，第二类电影的好评率减少0.1. 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 规律方法 　　频率是概率的试验值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多次试验中频率的稳定值，是一个常数. 1.对于只有一组试验数据的，我们通常用事件A发生的频率作为相应概率的估计值. 2.对于有多组试验数据的，通常将各组中事件A发生的频率按试验次数从小到大的顺序，观察频率的稳定性，得到概率的估计值. 对点练1.某人发现人们在邮箱名称里喜欢用数字，于是他做了调查，结果如下表： (1)填写上表中的频率(结果保留到小数点后两位)； 解：由频率公式可算出表格中的频率从左向右依次为0.60，0.60，0.62，0.61，0.59，0.61，0.60，0.60. 邮箱数 60 130 265 306 1 233 2 130 4 700 6 897 名称里有数字的邮箱数 36 78 165 187 728 1 300 2 820 4 131 频率                 (2)人们在邮箱名称里使用数字的概率约是多少？ 解：由(1)知，虽然计算出的频率不全相同，但都在常数0.60左右摆动， 因此，人们在邮箱名称里使用数字的概率约为0.60. 邮箱数 60 130 265 306 1 233 2 130 4 700 6 897 名称里有数字的邮箱数 36 78 165 187 728 1 300 2 820 4 131 频率                 探究点二　古典概型的概率 某市职业院校举行学生厨艺技能展示大赛，甲校派出2男1女共3名学生参赛，乙校派出1男2女共3名学生参赛. (1)若从甲校和乙校报名的学生中各任选1名学生进行比赛，求选出的2名学生性别不同的概率； 解：记甲校派出的2名男学生分别为A1，A2，1名女学生为a；乙校派出的1名男学生为B，2名女学生分别为b1，b2. 从甲校和乙校报名的学生中各任选1人，该试验的样本空间Ω1＝{(A1，B)，(A1，b1).(A1，b2)，(A2，B)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B)，(a，b1)，(a，b2)}，共有9个样本点，这9个样本点发生的可能性是相等的，其中事件“选出的2名学生性别不同”包含的样本点有(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B)，共5个，所以选出的2名学生性别不同的概率为. 典例 2 (2)若从甲校和乙校报名的这6名学生中任选2名进行比赛，求选出的这2名学生来自同一学校的概率. 解：记甲校派出的2名男学生分别为A1，A2，1名女学生为a；乙校派出的1名男学生为B，2名女学生分别为b1，b2. 从这6名学生中任选2名，该试验的样本空间Ω2＝{(A1，A2)，(A1，a)，(A1，B)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a)，(A2，B)，(A2，b1)，(A2，b2)，(a，B)，(a，b1)，(a，b2)，(B，b1)，(B，b2)，(b1，b2)}，共有15个样本点，这15个样本点发生的可能性是相等的，其中事件“选出的2名学生来自同一学校”包含的样本点有(A1，A2)，(A1，a)，(A2，a)，(B，b1)，(B，b2)，(b1，b2)，共6个，所以选出的2名学生来自同一学校的概率为＝. 规律方法 1.在运用公式P(A)＝时，关键在于求出m，n.在求n时，应注意这n种结果必须是等可能的. 2.对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要将事件一一列举出来，只要将解题需要的事件列举出来进行分析即可. 3.处理较复杂事件的概率时，往往结合互斥事件的概率加法公式和对立事件的概率公式求解. 对点练2.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江下游地区的良渚文化玉器上，盛行于商代和西周初期.将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点P经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B的概率为 A. B. C. D. √ 点P从点A出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，则样本空间Ω＝{(右，右，右)，(右，右，下)，(右，下，右)，(下，右，右)，(右，下，下)，(下，右，下)，(下，下，右)，(下，下，下)}，共有8个样本点.记“点P经过3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件C，则C＝{(下，下，右)}，由古典概型的概率公式可知P(C)＝.故选B. 对点练3.从甲、乙两人中任选一人参加“书画艺术节”的志愿者活动.选人规则：一袋内装有3个红球，2个白球(球除了颜色不同之外，其他完全相同)，从该袋内随机取两次球，一次取出1个.若出现同色球，则甲去做志愿者，否则乙去做志愿者.方案一：放回式抽样法.方案二：不放回式抽样法.从公平的角度分析(甲、乙做志愿者的概率越接近越公平)，采用哪个方案选择志愿者较合理，并说明理由. 解：设“甲去做志愿者”为事件C，则“乙去做志愿者”为事件.记3个红球分别为a，b，c，2个白球分别为A，B. 方案一： 第一次取球 第二次取球 a b c A B a aa ab ac aA aB b ba bb bc bA bB c ca cb cc cA cB A Aa Ab Ac AA AB B Ba Bb Bc BA BB 基本事件总数为25，事件C包含的基本事件个数为13， 所以P(C)＝ 所以P()＝1－＝， 概率差d1＝＝. 方案二： 第一次取球 第二次取球 a b c A B a   ab ac aA aB b ba   bc bA bB c ca cb   cA cB A Aa Ab Ac   AB B Ba Bb Bc BA   基本事件总数为20，事件C包含的基本事件个数为8， 所以P(C)＝＝，所以P()＝1－＝，概率差d2＝＝. 因为d2＞d1，所以从公平的角度分析，采用方案一选择志愿者较合理. 探究点三　互斥事件与相互独立事件的概率 在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是，甲、乙两人都回答错误的概率是；乙、丙两人都回答正确的概率是，设每人回答问题正确与否相互独立. (1)求乙答对这道题的概率； 解：记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A，B，C.设乙答对这道题的概率P(B)＝x， 由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A，B，C是相互独立事件， 典例 3 由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得P＝PP＝×＝， 解得x＝， 所以乙答对这道题的概率为P＝. (2)求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率. 解：设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M，丙答对这道题的概率P(C)＝y. 由(1)，并根据相互独立事件的概率公式， 得P＝PP＝×y＝，解得y＝. 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为 P＝PPP ＝××＝. 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”是对立事件， 所以所求事件概率P＝1－＝. 规律方法 1.若事件A1，A2，…，An彼此互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P＋P＋…＋P. 若事件A的对立事件是，则P＝1－P. 2.若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B). 对点练4.计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书.甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. (1)假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ 解：设A＝“甲获得合格证书”，B＝“乙获得合格证书”，C＝“丙获得合格证书”，则 P＝×＝， P＝×＝， P＝×＝. 因为P(C)＞P(B)＞P(A)， 所以丙获得合格证书的可能性最大. (2)这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的 概率. 解：设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则 P＝P＋P＋P ＝××＋××＋××＝. 探究点四　概率与统计的综合应用 某学校兴趣小组为了了解移动支付在大众中的熟知度，对15～65岁的人群进行了随机抽样调查，调查的问题是“你会使用移动支付吗？”其中，会使用移动支付的共有n个人，把这n个人按照年龄分成5组：第1组为[15，25)，第2组为[25，35)，第3组为[35，45)，第4组为[45，55)，第5组为[55，65]，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，其中，第1组的频数为20. 典例 4 (1)求n和x的值； 解：由题意可知，n＝＝100，10×(0.020＋0.036＋x＋0.010＋0.004)＝1，解得x＝0.030. (2)从第1，3，4组中用分层随机抽样的方法抽取6人，求分别从第1，3，4组中抽取的人数； 解：第1，3，4组的频率之比为0.2∶0.3∶0.1＝2∶3∶1，则从第1组中抽取的人数为6×＝2，从第3组中抽取的人数为6×＝3，从第4组中抽取的人数为6×＝1. (3)在(2)中抽取的6人中再随机抽取2人，求所 抽取的2人来自同一个组的概率. 解：设从第1组中抽取的2人为A1，A2，从第 3组中抽取的3人为B1，B2，B3，从第4组中抽 取的1人为C，则试验“从这6人中随机抽取 2人”的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)， (A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)}，共有15个样本点. 事件“抽取的2人来自同一个组”包含的样本点有(A1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共4个.故抽取的2人来自同一个组的概率P＝. 规律方法 解决概率与统计图表综合问题的三个步骤 第一步：读图，读懂统计图表中隐含的关系，并从中提取信息； 第二步：转化，对文字语言较多的题目，耐心阅读题目信息，逐步实现文字语言与符号语言间的转化；第三步：运算，对统计图表所反馈的信息进行提取后，结合古典概型的概率计算公式进行计算. 对点练5.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100]. (1)求频率分布直方图中a的值； 解：因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋ 0.028)×10＝1， 所以a＝0.006. (2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； 解：由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4， 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4. (3)从评分在的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在的概率. 解：受访职工评分在[50，60)的有：50× 0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3； 受访职工评分在[40，50)的有：50×0.004 ×10＝2(人)，记为B1，B2. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是 ，，， ，，，，{A3，B2}， 又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即， 故所求的概率为P＝. 返回 考教衔接 返回 (1)(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为 A. B. C. D. √ 真题 1 依题意设高一年级的学生编号为1和2，高二年级的学生编号为3和4，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6种情况，符合的有(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)这4种情况，故这2名学生来自不同年级的概率为＝.故选D. (2)(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概 率为 A. B. C. D. √ 将这6个主题分别编号为1～6号，建立如下表格： 项目 甲 1 2 3 4 5 6 乙 1 ×           2   ×         3     ×       4       ×     5         ×   6           × 其中一共有36种情况，表格画“×”表示甲、乙两位参赛同学抽到相同主题的情况，有6种，那么甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的情况就有36－6＝30(种)，所以甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为＝.故选A. 溯源：(人教A版必修第二册P246T8)从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率. 点评：2023年全国卷两道高考试题和教材习题都是考查古典概型，有很高的相似性.教材习题是通过列举法罗列出所有基本事件，再求出满足要求的基本事件个数，由古典概型求解.而高考真题的考点和考查方向与此题一致，所以在平时的学习中要重视教材、研究教材中的例题和习题. (2022·新高考Ⅱ卷，节选)在某地区 进行流行病学调查，随机调查了100位某 种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据 的频率分布直方图： (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄 (同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表)； 解：平均年龄为(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁). 真题 2 (2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率. 解：设事件A＝“该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)”，则P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89. 溯源：(人教A版必修第二册P267复习题10T4)某中学有教职工130人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下： 从这130名教职工中随机地抽取一人，求下列事件的概率： (1)学历为“本科”； (2)35岁及以上； (3)35岁以下且学历为“研究生”. 年龄状况 本科 研究生 合计 35岁以下 50 35 85 35～50岁 20 13 33 50岁以上 10 2 12 点评：两道题目都属于概率与统计综合问题，高考试题考查频率分布直方图中的概率计算，课后习题考查频数分布表，相似度较高，因此在平时的学习过程中，要注意挖掘教材，充分发挥教材作为试题的根本来源的功能. 年龄状况 本科 研究生 合计 35岁以下 50 35 85 35～50岁 20 13 33 50岁以上 10 2 12 (2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则 A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 √ 真题 3 P(甲)＝，P(乙)＝，P(丙)＝，P(丁)＝＝，P(甲丙)＝0≠P(甲)P(丙)，P(甲丁)＝＝P(甲)P(丁)，P(乙丙)＝≠P(乙)P(丙)，P(丙丁)＝0≠P(丁)P(丙)，故选B. 溯源：(人教A版必修第二册P251例1)一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件A＝“第一次摸出球的标号小于3”，事件B＝“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？ 点评：该高考题考查相互独立事件的应用，判断是否为独立事件的方法是检验P(AB)＝P(A)P(B)是否成立，与教材例题命题角度类似. 返回 单元检测卷 返回 1.甲乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是 A.两人都做对的概率是0.72 B.恰好有一人做对的概率是0.26 C.两人都做错的概率是0.15 D.至少有一人做对的概率是0.98 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，故两人都做对的概率是0.8×0.9＝0.72，故A正确；恰好有一人做对的概率是0.8×(1－0.9)＋(1－0.8)×0.9＝0.26，故B正确；两人都做错的概率是(1－0.8)×(1－0.9)＝0.02，故C错误；至少有一人做对的概率是1－(1－0.8)×(1－0.9)＝0.98，故D正确.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2.某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有100名志愿者服用此药.结果：体重减轻的人数为59人，体重不变的21人，体重增加的20人.如果另外有一人服用此药，请你估计这个人体重减轻的概率为 A. B. C. D. √ 由题意可知：体重减轻的频率为，用频率估计概率可知：体重减轻的概率为.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率.用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 343　432　341　134　234　132　243　331　112 342　241　244　342　142　431　233　214　344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18组随机数中，满足条件的有132，112，241，142，共4组数据，所以估计恰好抽取三次就停止的概率P＝＝.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.箱子里有3双颜色不同的手套(红蓝黄各1双)，有放回地拿出2只，记事件A表示“拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对”，则事件A的概率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 分别设3双手套为：a1a2，b1b2，c1c2，a1，b1，c1分别代表左手手套，a2，b2，c2分别代表右手手套；从箱子里的3双不同的手套中，随机拿出2只，所有的基本事件是：n＝6×6＝36，共有36个基本事件；事件A包含(a1，b2)，(b2，a1)，(a1，c2)，(c2，a1)，(a2，b1)，(b1，a2)，(a2，c1)，(c1，a2)，(b1，c2)，(c2，b1)，(b2，c1)，(c1，b2)一共12个基本事件，故事件A的概率为P(A)＝＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为 A. B. C. D. √ 恰有一人获得一等奖，即甲获得乙没获得或甲没获得乙获得，则所求事件的概率P＝×＋×＝.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6.学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，若这一天下雨，则推迟至后一天，若这三天都下雨，则推迟至下一周.已知这三天每天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设这周能进行决赛为事件A，恰好在周三、周四、周五进行决赛分别为事件A3，A4，A5，则A＝A3∪A4∪A5，又事件A3，A4，A5两两互斥，故P＝P＋P＋P＝(1－)＋×＋××(1－)＝.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7.如图所示，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.8，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为 A.0.504 B.0.964 C.0.994 D.0.996 √ A，B，C表示3个开关，若在某段时间内，它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.8，则该系统的可靠性(3个开关只要一个开关正常工作即可靠)为P＝1－(1－0.9)(1－0.8)(1－0.8)＝0.996.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.从1，2，3，4这四个数字中依次取(不放回)两个数字a，b，使得lg(3a)≥lg(4b)成立的概率是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为lg(3a)≥lg(4b)，所以3a≥4b.从1，2，3，4这四个数字中依次取两个数字的样本空间Ω＝{(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)，(2，4)，(4，2)，(3，4)，(4，3)}，共12个样本点，符合条件3a≥4b的样本点有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(3，2)，(4，2)，(4，3)，共6个，所以所求概率为.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球(标号为1和2)，2个绿色球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球，设事件S＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，则 A.S⊆R B.R∩G＝M C.R∪G＝M D.M＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，因为S＝“第一次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，则R⊆S，故A不正确；对于B，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，两个事件没有公共的基本事件，R∩G＝⌀，故B不正确；对于C，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两球颜色相同”，R或G表示摸的两个球的颜色相同，即R∪G＝M，故C正确；对于D，M＝“两球颜色相同”，N＝“两球颜色不同”，由对立事件的定义知M＝，故D正确.故选CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是 A.取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件 B.至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件 C.事件A＝“两个球同色”，则P(A)＝ D.事件B＝“至少有一个红球”，则P(B)＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A，两球同为红球和同为黑球不可能同时发生，并且除了这两个事件，试验还会发生一个事件，即两球一黑一红，所以两球同为红球和同为黑球的事件为互斥而不对立事件，故A正确；对于B，至多有一个黑球包括一黑一红和两个红球，其对立事件为两个黑球，故B错误；对于C，记3个红球为a，b，c，2个黑球为d，e，则任取2个球的结果有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个，事件A发生的结果有ab，ac，bc，de，共4个，所以P(A)＝＝，故C正确；对于D，事件B的对立事件的结果有de，共1个，所以P()＝，所以P(B)＝，故D正确.故选ACD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.随机地排列数字1，5，6得到一个三位数，则下列结论正确的是 A.可以排成9个不同的三位数 B.所得的三位数是奇数的概率为 C.所得的三位数是偶数的概率为 D.所得的三位数大于400的概率为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 使用1，5，6三个数字可以排成156，165，516，561，615，651，共6个不同的三位数.三位数为偶数的有156，516，共2个，相应的概率P＝＝；三位数为奇数的有165，561，615，651，共4个，相应的概率P＝＝；大于400的三位数的个数为4，所以相应的概率P＝＝.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12.一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1，2，3， 4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是____. 组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点共有24个，而满足三位数是“凹数”的有214，213，312，314，324，412，413，423，共8个，所以这个三位数为“凹数”的概率为＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13.某中学的“信息”“足球”“摄影”三个社团考核挑选新社员，已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“信息”“足球”“摄影”三个社团考核的概率依次为，m，n，且他是否通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都通过的概率为，至少通过一个社团考核的概率为，则m＋n＝_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为至少通过一个社团考核的概率为，则三个社团都没有通过的概率为，依题意， 得 即 解得m＋n＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 14.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，若甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______. 0.79 甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，a，若甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则可得1－(1－0.5)×(1－0.4)×(1－0.3)≥a，解得a≤0.79.所以a的最大值是0.79. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15.(13分)中学阶段是学生身体发育最重要的阶段，长时间熬夜学习严重影响学生的身体健康.某校为了解甲、乙两班学生每周熬夜学习的总时间(单位：小时)，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，得到他们最近一周熬夜学习的总时间的样本数据： 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 如果学生平均每周熬夜学习的总时间超过26小时，则称为“过度熬夜”. (1)请根据样本数据，分别估计甲、乙两班的学生平均每周熬夜学习时间的平均值； 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 解：甲班样本数据的平均值为(8＋13＋28＋32＋39)＝24，由此估计甲班学生每周平均熬夜时间为24小时； 乙班样本数据的平均值为(12＋25＋26＋28＋31)＝24.4，由此估计乙班学生每周平均熬夜时间为24.4小时. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)从样本甲、乙两班所有“过度熬夜”的学生中任取2人，求这2人都来自甲班的概率. 解：由题意知，甲班“过度熬夜”的有3人，记为a，b，c，乙班“过度熬夜”的有2人，记为d，e，从中任取2人，有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种可能，其中都来自甲班的有ab，ac，bc，共3种可能，所以所求概率为. 甲班 8 13 28 32 39 乙班 12 25 26 28 31 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16.(15分)某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩； 解：成绩落在[70，80)的频率为1－(0.15＋0.30＋0.10＋0.05)＝0.40，补全的频率分布直方图如图： 这800名学生的平均成绩约为：55×0.15＋65×0.30＋75×0.40＋85×0.10＋95×0.05＝71(分). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽 取容量为40的样本，再从该样本中成绩不低于80 分的学生中随机抽取2名进行问卷调查，求至少有 1名学生成绩不低于90分的概率. 解：抽取的40名学生中，成绩在[80，90)内的有 800×0.1×＝4(人)，分别记为a1，a2，a3，a4，成绩在[90，100]内的有800×0.05×＝2(人)，分别记为b1，b2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 从这6人中随机抽取2人的基本事件有(a1，a2)， (a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)， (a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)， (a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共有15种. 记事件A＝“至少有1名学生成绩不低于90分”， 则事件A包含的基本事件有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，共9种， 所以所求概率为P(A)＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17.(15分)甲、乙两人组成“九章队”参加某中学数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； 解：设甲两轮至少猜对一个数学名词为事件F， P＝2××＋＝＋＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率. 解：设事件A＝“甲第一轮猜对”，B＝“乙第一轮猜对”，C＝“甲第二轮猜对”，D＝“乙第二轮猜对”，E＝“九章队”猜对三个数学名词”， 所以P＝P＝，P＝P＝，P＝P＝，P＝P＝，则E＝BCD∪A CD∪AB D∪ABC . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由事件的独立性与互斥性，得P(E)＝P(BCD)＋P(A CD)＋P(AB D)＋P(ABC )＝P()P(B)P(C)P(D)＋P(A)P()P(C)P(D)＋P(A)P(B)P()P(D)＋P(A)P(B)P(C)P()＝×××＋×××＋×××＋×××＝， 故“九章队”在两轮活动中猜对三个数学名词的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.(17分)在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响. (1)分别求甲队总得分为1分和2分的概率； 解：依题意记甲队总得分为1分为事件A，甲队总得分为2分为事件B， 则P＝××＋××＋××＝， P＝××＋××＋××＝，所以甲队总得分为1分的概率为，2分的概率为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率. 解：依题意甲队总得分为0分的概率为××＝，得1分的概率为，得2分的概率为，得3分的概率为××＝；乙队总得分为0分的概率为＝，得1分的概率为××3＝，得2分的概率为××3＝，得3分的概率为＝； 则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率P＝×＋×＋×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.(17分)国务院正式公布的《第一批全国重点文物保护单位名单》中把全国重点文物保护单位(下述简称为“第一批文保单位”)分为六大类.其中“A：革命遗址及革命纪念建筑物”、“B：石窟寺”、“C：古建筑及历史纪念建筑物”、“D：石刻及其他”、“E：古遗址”、“F：古墓葬”，某旅行机构统计到北京部分区的17个“第一批文保单位”所在区分布如下表： 行政区 门类 个数 东城区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 3 C：古建筑及历史纪念建筑物 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 行政区 门类 个数 西城区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2 丰台区 A：革命遗址及革命纪念建筑物 1 海淀区 C：古建筑及历史纪念建筑物 2 房山区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1 E：古遗址 1 昌平区 C：古建筑及历史纪念建筑物 1 F：古墓葬 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (1)某个研学小组随机选择该旅行社统计的北京市17个“第一批文保单位”中的一个进行参观，求选中的参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”的概率； 解：设选中参观单位恰好为“C：古建筑及历史纪念建筑物”为事件C，由题意知总共有17个，“C：古建筑及历史纪念建筑物”有11个，所以P(C)＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)小王同学随机选择该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“A：革命遗址及革命纪念建筑物”中的一个进行参观；小张同学随机选择统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中的一个进行参观，两人选择参观单位互不影响，求两人选择的参观单位恰好在同一个区的概率； 解：设两人选择的参观单位恰好在同一个区为事件B，由题意可知小王参观A：革命遗址及革命纪念建筑物与小张参观C：古建筑及历史纪念建筑物在同一个区的只有东城区， 所以小王参观东城区景区的概率为，小张参观东城区景区的概率为，所以P(B)＝×＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (3)现在拟从该机构统计到的北京市“第一批文保单位”中的“C：古建筑及历史纪念建筑物”中随机抽取2个单位进行常规检查.记抽到海淀区的概率为p1，抽不到海淀区的概率为p2，试判断p1和p2的大小(直接写出结论). 解：当抽到的2个都是海淀区的概率为×＝，当抽到的2个中有1个是海淀区的概率为××2＝， 所以p1＝＋＝，p2＝1－＝，所以p1＜p2. 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 谢 谢 观 看 ！ 第 十 章 　 概 率 返回 $