专题22 概率中的重点问题（压轴题7大类型专项训练）高一数学人教A版必修二

专题22 概率中的重点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、事件的关系与运算性质 1 类型二、古典概型 3 类型三、有无放回的事件概率 4 类型四、古典概型与统计知识交汇 5 类型五、概率的基本性质 8 类型六、区分相互独立事件与互斥事件 9 类型七、相互独立事件的概率计算与推广 11 压轴专练 13 类型一、事件的关系与运算性质 1、事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系 2、(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. (2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理. 3、互斥事件和对立事件的判定方法 (1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响. (2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B. ①若事件A与B互斥,则集合A∩B=; ②若事件A与B对立,则集合A∩B=且A∪B=Ω. 1．某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 3．（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 4．（25-26高一下·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 5．（24-25高一下·广西柳州·期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生 B．至少有1名男生与全是女生 C．恰有1名男生与恰有2名男生 D．至少有1名男生与至少有1名女生 6．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）（25-26高一下·全国·课后作业）在一次试验中，事件，，发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D．事件，，的关系不确定 类型二、古典概型 计算古典概型事件的概率三步骤 步骤一,算出样本点的总个数n; 步骤二,求出事件A所包含的样本点个数k; 步骤三,代入公式求出概率P(A). 1．（2025高一·全国·专题练习）一同学忘记电脑开机密码的后两位，只记得最后一位是中的一个字母，倒数第二位是2，3，4，5，6中的一个数字，则该同学输入一次密码能够成功开机的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 4．（24-25高一下·云南玉溪·期末）某三胎家庭，若每次生男孩还是生女孩是随机的，则3个孩子都是男孩的概率为（    ） A． B． C． D． 5．将2本不同的书随机放入上、中、下三层书架中，这2本书放在同一层书架的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·贵州遵义·期末）购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 8．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·福建三明·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（    ） A． B． C． D． 类型三、有无放回的事件概率 解决有序和无序问题应注意两点 ①关于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误. ②关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a,b),(b,a)不是同一个样本点. 1．（25-26高一下·浙江宁波·自主招生）不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 2．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 类型四、古典概型与统计知识交汇 考查分层随机抽样以及古典概型概率求解的综合运用,在求解古典概型问题时,要认真分析条件,确保隐含条件挖掘到位. 1．（24-25高一下·河北保定·期末）为预估某棋手三次对弈的胜局情况，进行随机模拟实验：在一局比赛中，设定随机数1、2、3、4表示对弈获胜，5、6、7、8、9、0表示对弈失败.计算机模拟生成12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，每组随机数代表三次对弈结果.据此估计，该棋手三次对弈恰有两次获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河北邯郸·月考）已知一组数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为（   ） A． B． C． D． 3．某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为，这20名学生中此次物理测验成绩不低于分的学生有人，现从这人中随机抽取2人，则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西柳州·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 5．（24-25高一下·甘肃武威·期末）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A.书画类、B.文艺类、C.社会实践类、D.体育类”.现随机抽取了高二年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题： (1)本次被抽查的学生共有多少名？扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数？ (2)请你将条形统计图补全； (3)本次调查中抽中了高二（1）班小王和小李两名学生，请用列表法或画树状图法求他们选择同一个项目的概率. 6．（24-25高一下·河北邢台·期末）某地为了解当她学生每天的运动时长，随机地调查了若干名学生一天的运动时长（单位：分钟），将所得数据按分组，按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图.已知运动时长在的频率之比为，且运动时长在的频数为7.    (1)求被调查的学生总人数； (2)求被调查的学生运动时长的平均数与中位数（结果保留小数点后两位，同一组中的数据用这组数据所在区间的中点值作代表）； (3)按比例用分层随机抽样的方式从运动时长在内的学生中抽取6人，再从这6人中任选3人，求运动时长在内的各有1人被选中的概率. 类型五、概率的基本性质 (1)应用互斥事件的概率加法公式的方法 ①将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件,分别求出各个事件的概率,然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果. ②运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏. ③常用步骤:a.确定各事件彼此互斥;b.求各个事件分别发生的概率,再求其和. (2)对于比较复杂事件的概率也可以先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率,这也就是我们常说的“正难则反”.一般地,若求解的问题中含有“至多”,“至少”“最少”等关键词时,常转化为对立事件的概率求解. 1．（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·福建莆田·期末）若，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 4．已知事件、互斥，、至少一个发生的概率，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·辽宁锦州·期末）某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（   ） 办理业务所需要的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A．0.04 B．0.08 C．0.12 D．0.16 6．（25-26高一下·江西新余·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·北京·期末）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为“高性能服务器芯片鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“全自动驾驶芯片”、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择的成果属于芯片领域的概率为（   ） A． B． C． D． 类型六、区分相互独立事件与互斥事件 判断事件是否相互独立的方法 1、直接法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的，这是从定性的角度进行判断。 2、公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立. 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： （1）用恰当的字母表示题中有关事件； （2）根据题设条件，分析事件间的关系； （3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)； （4）利用乘法公式计算概率． 1．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 2．假设，，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为（    ） ①        ②    ③        ④        ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 4．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 5．（23-24高一下·天津和平·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为9”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A不互斥且相互独立 B．B与C互斥且不相互独立 C．C与A互斥且不相互独立 D．D与A不互斥且相互独立 6．（24-25高一下·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 类型七、相互独立事件的概率计算与推广 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 概念理解：（1）事件A与B相互独立式事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率； （2）由连个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立，这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样不可能事件总不会发生，也不会受任何事件是否发生的影响，当然他们也不影响其他事件是否发生。 2、性质：如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立。 3、两个相互独立事件同时发生的概率乘法：事件与事件相互独立，则 4、推广：两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率 1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·北京·期末）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（   ）    A． B． C． D． 4．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 5．如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高一下·福建三明·期末）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·全国·单元测试）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 9．（25-26高一下·贵州遵义·期末）某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立． (1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率； (2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率； (3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率． 1．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 2．集合，集合，从，中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 3．袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）某种开关在电路中闭合的概率为，现将4只这种开关并联在某电路中，如图，若该电路为通路的概率为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025高一·全国·专题练习）河图的排列结构如图，“一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中”，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广东肇庆·期末）“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 8．（25-26高一下·湖南邵阳·期末）已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·黑龙江·期末）某班准备从全班50人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第一，现决定抽签的方式在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均匀的骰子，每个点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个小球的盒子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 11．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 12．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（   ） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 13．（2025高一·全国·专题练习）现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙两人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽，抽完为止，最后每人将各自抽到卡片的点数相加，点数大的一方获胜，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）已知，均为正整数，这七个数的平均数为3，方差为，若从这7个数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 15．学校举办运动会，高三班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 16．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为、、，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则（    ） A．与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，最大 17．（多选题）（24-25高一下·河北·期末）已知事件两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 18．（多选题）（24-25高一下·贵州遵义·月考）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 19．（多选题）（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 20．（多选题）（23-24高一下·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 21．（23-24高一下·浙江台州·期中）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人. (1)再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率； (2)若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差. 22．（24-25高一下·天津·期末）读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图． 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 (1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数； (2)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； (3)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人． ①用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； ②设事件为“恰好抽到一男生一女生”，写出事件的集合表示形式，并求事件的概率． （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 23．（25-26高一下·全国·课堂例题）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 24．（25-26高一下·山西忻州·期末）甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束.根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立. (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率. 25．（25-26高一下·贵州遵义·月考）为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 26．（2025高一·全国·专题练习）某电子竞技比赛中，两支队伍进行（三局两胜制）比赛.每局比赛，强队对阵弱队时：若采取保守策略，获胜概率为，若A采取激进策略，获胜概率为，但若失败，下一局获胜概率降为，比赛开始时，可以自由选择策略.之后，每局开始前，可以根据当前比分选择策略. (1)若在第一局采取保守策略，求最终获胜的概率； (2)若在第一局采取激进策略，求最终获胜的概率； (3)应该在第一局选择哪种策略？为什么？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 概率中的重点问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 典例详解 1 类型一、事件的关系与运算性质 1 类型二、古典概型 5 类型三、有无放回的事件概率 9 类型四、古典概型与统计知识交汇 12 类型五、概率的基本性质 18 类型六、区分相互独立事件与互斥事件 22 类型七、相互独立事件的概率计算与推广 25 压轴专练 32 类型一、事件的关系与运算性质 1、事件的包含与相等可以从集合的角度理解,事件的包含关系就是集合间的子集与真子集的关系 2、(1)进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析. (2)在一些比较简单的题目中,需要判断事件之间的关系时,可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目,就得严格按照事件之间关系的定义来推理. 3、互斥事件和对立事件的判定方法 (1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响. (2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B. ①若事件A与B互斥,则集合A∩B=; ②若事件A与B对立,则集合A∩B=且A∪B=Ω. 1．某同学参加跳远测试，共有3次机会．用事件（）表示随机事件“第i（）次跳远成绩及格”，那么事件“前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意依次判断各项事件运算对应的含义，即可得. 【详解】表示前两次测试成绩均及格，故A错误； 表示后两次测试都没有及格，故B错误； 表示前两次测试成绩均及格，第三次测试成绩不及格，故C正确； 表示三次测试成绩均不及格，故D错误， 故选：C 2．打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 【答案】D 【分析】先明确各事件具体含义，再理解并集运算逻辑，接着合并事件情况推导结论即可. 【详解】由题意可得，事件是彼此互斥的事件， 且为必然事件， 所以表示的是打靶三次至少击中一次， 故选：D. 3．（24-25高一下·广西百色·期末）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐一判断各个选项即可求解． 【详解】样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 故选：C． 4．（25-26高一下·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续抛掷一枚硬币4次，共有5种结果：4正0反，3正1反，2正2反，1正3反，0正4反， 事件“至少2次出现正面”包含了4正0反，3正1反，2正2反， 则其对立事件包含1正3反，0正4反，即有3次或4次出现反面. 故选：A 5．（24-25高一下·广西柳州·期末）某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生 B．至少有1名男生与全是女生 C．恰有1名男生与恰有2名男生 D．至少有1名男生与至少有1名女生 【答案】C 【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，即可得出答案. 【详解】对于A，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，A错误； 对于B，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，B错误； 对于C，事件恰有1名男生指有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，C正确； 对于D，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况， 事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，D错误. 故选：C 6．（多选题）对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意，由事件之间的基本关系，逐一判断，即可得到结果. 【详解】“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没中或第一枚没中、第二枚击中， “至少有一弹击中飞机”包含两种情况，一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中， 故，，，. 故选：BC 7．（多选题）（25-26高一下·全国·课后作业）在一次试验中，事件，，发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是（    ） A．与是互斥事件，也是对立事件 B．是必然事件 C． D．事件，，的关系不确定 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合互斥事件、对立事件、必然事件的意义举反例说明ABC错误. 【详解】选项ABC错误，反例如下： 在一个箱子中有白球、黄球和红球若干，从中任取一球，取到红球的事件的概率为0.2， 取到黄球的事件的概率为0.3，取到黄球或红球的事件的概率为0.5， 显然与既不是互斥事件，也不是对立事件，A错误； 是“取到黄球或红球”，不是必然事件，B错误； ，C错误， 由条件无法确定事件的关系，D正确. 故选：ABC 类型二、古典概型 计算古典概型事件的概率三步骤 步骤一,算出样本点的总个数n; 步骤二,求出事件A所包含的样本点个数k; 步骤三,代入公式求出概率P(A). 1．（2025高一·全国·专题练习）一同学忘记电脑开机密码的后两位，只记得最后一位是中的一个字母，倒数第二位是2，3，4，5，6中的一个数字，则该同学输入一次密码能够成功开机的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】． 故选：C． 2．（24-25高一下·江苏无锡·月考）抛掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数相等的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用古典概型计算求解. 【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子有种情况， 则两个点数相等的情况有6种， 所以两个点数相等的概率为. 故选：A. 3．（24-25高一下·山西·期末）一个口袋中装有20个红球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黑球的个数，小张采用了如下的方法：每次从口袋中摸出1个球，记下球的颜色后再把球放回口袋中摇匀.不断重复上述过程900次，共摸出红球400次，根据上述数值，估计口袋中黑球的个数为（    ） A．25 B．30 C．35 D．40 【答案】A 【分析】设黑球的个数为n，根据古典概型概率公式列式求解即可. 【详解】设黑球的个数为n，由古典概型的概率公式可得，解得. 故选：A. 4．（24-25高一下·云南玉溪·期末）某三胎家庭，若每次生男孩还是生女孩是随机的，则3个孩子都是男孩的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据古典概型的概率公式即可求解. 【详解】设孩子是男孩记为，孩子为女孩记为，则样本点为，，，，，，，，其中都是男孩为，故3个孩子都是男孩的概率， 故选：A． 5．将2本不同的书随机放入上、中、下三层书架中，这2本书放在同一层书架的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用古典概型计算求解. 【详解】若书放在上层用“上”表示，放在中层用“中”表示，放在下层用“下”表示， 则样本空间上上，上中，上下，中上，中中，中下，下上，下中，下下，共9种情况. 放在同一层书架的情况为上上，中中，下下，共3种情况， 故所求概率为. 故选：B. 6．（24-25高一下·福建福州·期末）某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为．按学生所在年级进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取5名学生去敬老院献爱心．从这5人中随机抽取2人作为负责人，则2名负责人至少有一名来自高二年级的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据分层抽样的定义求出各年级所抽取的人数，然后利用列举法求概率即可. 【详解】由题意可知从高一学生中抽取人，记为， 从高二学生中抽取人，记为， 从高三学生中抽取人，记为， 则从这5人中抽取2人有：，10种情况， 其中至少有一名来自高二年级有，7种情况， 所以所求概率为. 故选：D. 7．（25-26高一下·贵州遵义·期末）购买手办盲盒是当下青年人的潮流之一，国产动漫手办越来越受欢迎.若某种手办盲盒产品共有三种玩偶，任意一种玩偶出现的概率相等，则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的条件，求出买3个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可，根据古典概型求概率. 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，个盲盒的总情况数为，即27种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在3个盲盒中包含所有3种玩偶， 共有种情况， 则购买3个盲盒能集齐3种玩偶的概率为. 故选：D 8．甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由列举法求解古典概型概率问题即可. 【详解】画出树状图：    甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为． 故选：B. 9．（23-24高一下·福建三明·期末）某地区的公共卫生部门为了调查本地区中学生吸烟情况，对随机抽出的500名学生进行了调查，调查中使用了两个问题，问题1：你的生日公历月份是不是偶数？问题2：你是否经常吸烟？调查者设计了一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，每个被调查者随机从袋子中摸取1个球，再放回摸出白球就如实回答问题1，摸出红球就如实回答问题2. 回答“是”的学生往盒子里放一个石头，回答“否”的学生什么也不做. 经统计，盒子中有140个石头，由此估计这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知摸到白球和红球的概率都为，12个月其中月份为偶数的概率为，由此可估计出回答问题1为是的人数，从而可求出回答问题2为是的人数，从而可求出答案. 【详解】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子，从随机从袋子中摸取1个球， 所以摸到白球和红球的概率都为， 所以这500个人中回答问题1的人数约为，回答问题2的人数约为， 因为12个月其中月份为偶数的有6个，所以月份为偶数的概率为， 所以问题1回答为是的人数约为人， 所以问题2回答为是的人数约为人， 所以这个地区经常吸烟的中学生所占百分比为. 故选：A 类型三、有无放回的事件概率 解决有序和无序问题应注意两点 ①关于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看作是有顺序的,也可以看作是无顺序的,其最后结果是一致的.但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误. ②关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a,b),(b,a)不是同一个样本点. 1．（25-26高一下·浙江宁波·自主招生）不透明的盒子里装有3个完全相同的小球，上面分别标有数字1，2，3.随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球.第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先确定共有多少种情况，再确定第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有几种，即可求得答案. 【详解】由题意知随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出另一个小球， 共有等6种可能的情况； 其中第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的情况有， 故第一次摸出小球上的数字大于第二次摸出小球上的数字的概率是， 故选：A 2．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据古典概型概率公式，求出事件概率，计算结果. 【详解】由题意知， 不放回地选取共有20个样本点，标签上的数字之和为6有4个样本点，分别为，所以， 有放回地选取共有25个样本点，标签上的数字之和为6有5个样本点，分别为，所以， 则． 故选：B. 3．（24-25高一下·安徽合肥·期末）从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 4．（23-24高一下·河南郑州·期末）现有6个相同的盒子，里面均装有6张除图案外其它无区别的卡片，第个盒子中有k张龙形图案的卡片，张兔形图案的卡片．现将这些盒子混合后，任选其中一个盒子，并且从中连续取出两张卡片，每次取后不放回，若第二次取出的卡片为兔形图案的概率为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片和第一次和第二次都取到兔形图案的卡片两种情况，然后求概率即可. 【详解】第个盒子中第一次取到龙形图案的卡片，第二次取到兔形图案的卡片的概率为； 第一次和第二次都取到兔形图案的卡片的概率为， 所以第二次取到的卡片为兔形图案的概率， 解得. 故选：A. 5．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：C 类型四、古典概型与统计知识交汇 考查分层随机抽样以及古典概型概率求解的综合运用,在求解古典概型问题时,要认真分析条件,确保隐含条件挖掘到位. 1．（24-25高一下·河北保定·期末）为预估某棋手三次对弈的胜局情况，进行随机模拟实验：在一局比赛中，设定随机数1、2、3、4表示对弈获胜，5、6、7、8、9、0表示对弈失败.计算机模拟生成12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，每组随机数代表三次对弈结果.据此估计，该棋手三次对弈恰有两次获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出12组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的数据，由此计算所求的概率值． 【详解】用1、2、3、4表示命中，5、6、7、8、9、0表示不命中， 模拟产生了的12组随机数为：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257， 表示运动员三次投篮恰有两次命中的是：137，271，436， 故所求的概率值为． 故选：A． 2．（24-25高一下·河北邯郸·月考）已知一组数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个数，则这2个数字之积小于5的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意首先求得实数x的值，然后列出所有可能的结果，从中挑选满足题意的结果结合古典概型计算公式即可求得最终结果. 【详解】由数据1，2，3，4，的平均数， 可得，所以，从这5个数中任取2个，结果有： 共10种， 这2个数字之积小于5的结果有：，共4种， 所以所求概率为. 故选：B 3．某班20名学生的某次物理测验成绩（单位：分）分别为.记这20名学生此次物理测验成绩的第70百分位数为，这20名学生中此次物理测验成绩不低于分的学生有人，现从这人中随机抽取2人，则这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义求，再确定6人中的成绩分布，应用列举法求古典概率即可. 【详解】因为，所以分， 所以这20名学生中物理测验成绩不低于分的学生有6人， 其中有3人此次物理测验的成绩不高于90分，记为， 有3人此次物理测验的成绩高于90分，记为， 现从这6人中随机抽取2人的情况有，共15种， 其中这2人中恰有1人此次物理测验成绩高于90分的情况有，共9种， 故所求概率. 故选：D 4．（24-25高一下·广西柳州·期末）某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试，已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机后去了200名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求图中的值； (2)若样本数据在的平均成绩，方差，在的平均成绩，方差，求在的平均成绩和方差； (3)现学校准备利用按比例的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成两会知识宣讲团.从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，设事件为“至少有1人测试成绩位于区间”，求事件发生的概率. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的小长方体的面积和为1求解； （2）利用分层随机抽样的平均数公式与方差公式求解； （3）由按比例分配的分层随机抽样，确认在中抽5人，在中抽2人，列出样本空间和满足事件的总情况，利用求解. 【详解】（1）根据题意可得，解得. （2）因为的人数为， 的人数为， 所以在平均成绩为， 在的成绩的方差为. （3）因为和这两组的频率之比为， 所以在中抽5人，在中抽2人， 设从学生中抽取的5人为，从学生中抽取的2人为1，2， 则这个试验的样本空间为， 故， 又因为，则， 所以事件的概率为. 5．（24-25高一下·甘肃武威·期末）为了丰富学生们的课余生活，学校准备开展第二课堂，有四类课程可供选择，分别是“A.书画类、B.文艺类、C.社会实践类、D.体育类”.现随机抽取了高二年级部分学生对报名意向进行调查，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题： (1)本次被抽查的学生共有多少名？扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数？ (2)请你将条形统计图补全； (3)本次调查中抽中了高二（1）班小王和小李两名学生，请用列表法或画树状图法求他们选择同一个项目的概率. 【答案】(1)50； (2)条形统计图见详解 (3) 【分析】（1）两个统计图数据分析得到本次被抽查的学生总数，进而得到“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数； （2）计算出B类人数，补全条形统计图； （3）利用表格列举出小王和小李两名学生的选择情况，从而求出他们选择同一个项目的概率. 【详解】（1）由扇形统计图中可知：D体育类占比为，条形统计图中可知，D体育类有20人， 故本次被抽查的学生共有：名， 扇形统计图中“A.书画类”所占扇形的圆心角的度数为； （2）B类人数是：名，补全条形统计图如图所示： （3）所有可能的情况如下表所示： 由表格可得：共有16种等可能的结果，其中小王和小李两名学生选择同一个项目的结果有4种， 所以小王和小李两名学生选择同一个项目的概率. 6．（24-25高一下·河北邢台·期末）某地为了解当她学生每天的运动时长，随机地调查了若干名学生一天的运动时长（单位：分钟），将所得数据按分组，按上述分组方法得到如图所示的频率分布直方图.已知运动时长在的频率之比为，且运动时长在的频数为7.    (1)求被调查的学生总人数； (2)求被调查的学生运动时长的平均数与中位数（结果保留小数点后两位，同一组中的数据用这组数据所在区间的中点值作代表）； (3)按比例用分层随机抽样的方式从运动时长在内的学生中抽取6人，再从这6人中任选3人，求运动时长在内的各有1人被选中的概率. 【答案】(1)60； (2)平均数约为35.67，中位数约为； (3)0.3。 【分析】（1）求出运动时长在的频率和频数即可. （2）利用频率分布直方图估计平均数和中位数的方法列式计算. （3）求出指定的3个区间内抽取的人数，再利用列举法求出古典概率. 【详解】（1）由运动时长在的频率之比为，运动时长在的频数为7， 得运动时长在的频数分别为， 由频率分布直方图，得运动时长在的频率和为， 所以被调查的学生总人数为. （2）由（1），得数据在内的频率依次为， 所以被调查的学生运动时长的平均数； 中位数，，解得， 所以被调查的学生运动时长的中位数约为. （3）抽取的6人中，运动时长在内的人数分别为，分别记为，，， 任取3人的样本空间 ，共20个， 运动时长在内的各有1人被选中的事件，共6个， 所以. 类型五、概率的基本性质 (1)应用互斥事件的概率加法公式的方法 ①将一个事件的概率问题分拆为若干个互斥事件,分别求出各个事件的概率,然后利用互斥事件的概率加法公式求出结果. ②运用互斥事件的概率加法公式解题时,首先要分清事件之间是否互斥,同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件,做到不重不漏. ③常用步骤:a.确定各事件彼此互斥;b.求各个事件分别发生的概率,再求其和. (2)对于比较复杂事件的概率也可以先求对立事件的概率,进而再求所求事件的概率,这也就是我们常说的“正难则反”.一般地,若求解的问题中含有“至多”,“至少”“最少”等关键词时,常转化为对立事件的概率求解. 1．（24-25高一下·福建福州·期末）已知随机事件和互斥，和对立，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对立事件与互斥事件的概率公式及概率的性质求解即可. 【详解】由和对立，可得，则. 又随机事件和互斥， 所以. 故选：A. 2．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知两个随机事件和，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ． 3．（24-25高一下·福建莆田·期末）若，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】B 【分析】首先求得，然后结合即可求解. 【详解】由题意， 所以. 故选：B. 4．已知事件、互斥，、至少一个发生的概率，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用互斥事件、对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由题意可得，， 则有，又，即， 解得，故. 故选：C. 5．（25-26高一下·辽宁锦州·期末）某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（   ） 办理业务所需要的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A．0.04 B．0.08 C．0.12 D．0.16 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率性质可求等待4分钟才开始办理业务的概率. 【详解】若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 故第三位居民办理业务等待4分钟的概率为. 故选：C. 6．（25-26高一下·江西新余·期末）已知一个古典概型的样本空间和事件A，B，其中，，，，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合交并集元素计算公式，结合古典概型概率公式计算即可. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，所以，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：D 7．某电子图书平台通过大数据观测发现，读者选择类图书的概率为，选择类图书的概率为两类图书都不选的概率为，则两类图书都选的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对立事件和概率加法公式即可求解. 【详解】设事件“读者选择类图书”， 事件“读者选择类图书”， 则， 可得， 又， 所以. 故选：. 8．（24-25高一下·北京·期末）2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为“高性能服务器芯片鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“全自动驾驶芯片”、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择的成果属于芯片领域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】基本事件总数，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，由此能求出至少有1名学生选择“芯片领域”的概率. 【详解】第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响,基本事件总数， 至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”， 则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率. 故选：D. 类型六、区分相互独立事件与互斥事件 判断事件是否相互独立的方法 1、直接法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的，这是从定性的角度进行判断。 2、公式法：若对两事件A，B有P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立. 用相互独立事件的乘法公式解题的步骤： （1）用恰当的字母表示题中有关事件； （2）根据题设条件，分析事件间的关系； （3）将需要计算概率的事件表示为所设事件的乘积或若干个事件的乘积之和(相互乘积的事件之间必须满足相互独立)； （4）利用乘法公式计算概率． 1．（24-25高一下·河北沧州·期末）投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（    ） A．A与B 是互斥事件 B．A 与B 是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C 是独立事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件，独立事件概率公式和定义，即可判断选项. 【详解】和有公共事件：点数为3，所以不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件表示点数为4或6，，，，所以，所以与是独立事件，故C正确； 事件表示点数为2，则，，，所以，所以与不是独立事件，故D错误 故选：C 2．假设，，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为（    ） ①        ②    ③        ④        ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的概念和乘法公式，以及互斥事件的概念，逐个判定，即可求解. 【详解】由，，且事件与相互独立，则与相互独立，与相互独立，则，所以①不正确，③正确； 又由，所以④正确； 由，所以⑤不正确； 又由事件与不一定时互斥事件，所以与不一定相等， 所以②不正确. 故选：B. 3．已知事件，如果与互斥，那么；如果与相互独立，且，那么，则分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的定义可求，根据独立事件的概率公式求，由此可判断结论. 【详解】如果事件与互斥，则，所以. 如果事件与相互独立，则事件与也相互独立， 所以， ，即. 故选：C. 4．一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（   ） A．事件两两独立，事件相互独立 B．事件两两独立，事件不相互独立 C．事件不两两独立，事件相互独立 D．事件不两两独立，事件不相互独立 【答案】B 【分析】根据独立事件的定义，结合题意即可判断各选项的正误. 【详解】由题知：，，， ，，，. 因为，， 所以事件两两独立； 但，所以事件不相互独立. 故选：B. 5．（23-24高一下·天津和平·期末）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为9”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是（    ） A．B与A不互斥且相互独立 B．B与C互斥且不相互独立 C．C与A互斥且不相互独立 D．D与A不互斥且相互独立 【答案】B 【分析】根据互斥事件及相互独立事件的定义一一判断即可. 【详解】如第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A,B均发生，所以A与B不是互斥事件， 依题意，，， 又，即A与B相互独立，故A正确； 第一次出现5点，第二次出现4点，此时事件C,B均发生，所以C与B不是互斥事件,，即B与不相互独立，故B错误; ，即与不相互独立，C与A互斥故C正确； ，即A与相互独立，第一次出现2点，第二次出现1点，此时事件A、均发生，所以A与不是互斥事件，故D正确； 故选：B. 6．（24-25高一下·河南焦作·期末）某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目．若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是（   ） A．参与甲项目与参与乙项目不互斥 B．参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立 C．参与丙项目与参与丁项目不相互独立 D．参与甲项目与参与丙项目相互独立 【答案】D 【分析】A选项，根据甲乙项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与乙项目互斥；B选项，根据甲丁项目的参加情况得到，即可得到参与甲项目与参与丁项目互斥且对立；C选项，根据参与甲项目与参与丁项目对立和得到，然后得到，，，最后利用乘法公式判断；D选项，利用乘法公式判断即可. 【详解】设总人数为，记参与甲，乙，丙，丁项目分别为事件， 由题意可得，故， 故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误； 由题意可得，，故， 故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误； 由题意得， 故，， 故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误； ， 故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确． 故选：D． 类型七、相互独立事件的概率计算与推广 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 概念理解：（1）事件A与B相互独立式事件A的发生不影响事件B发生的概率，事件B的发生不影响事件A发生的概率； （2）由连个事件相互独立的定义，容易验证必然事件、不可能事件都与任意事件相互独立，这是因为必然事件总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样不可能事件总不会发生，也不会受任何事件是否发生的影响，当然他们也不影响其他事件是否发生。 2、性质：如果事件A与事件B相互独立，则与，与，与也都相互独立。 3、两个相互独立事件同时发生的概率乘法：事件与事件相互独立，则 4、推广：两个事件的相互独立可以推广到个事件的相互独立性，即若事件相互独立，则这个事件同时发生的概率 1．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）甲、乙两人进行三局两胜制的乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率均为，每局比赛彼此独立且没有平局，则乙获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，乙比赛两局直接获胜的概率为， 乙比赛完三局才获胜的概率为. 所以乙获胜的概率为. 2．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为X.已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，，，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件的加法公式、独立事件的乘法公式即可求解. 【详解】设甲、乙、丙三人各投篮一次，甲、乙、丙投篮命中分别为事件， ，则为事件， 所以 . 故选：C. 3．（25-26高一下·北京·期末）将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入袋或袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是，则小球落入袋中的概率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对立事件的概率求解，由于小球落入B袋情况简单易求，记小球落入B袋中的概率，利用求出. 【详解】记小球落入袋中的概率， 记小球落入袋中的概率， 则， 小球每次遇到黑色障碍物时一直向左或者一直向右下落，小球将落入袋， ，. 故选：C. 4．已知5张奖券中只有2张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张，设甲、乙、丙中奖的概率分别为，则（   ） A．最大 B．最大 C．最大 D． 【答案】D 【分析】计算甲中奖的概率，直接利用古典概型，乙中奖的情况，全概率公式，丙中奖的情况用全概率公式分多种情况计算. 【详解】计算甲中奖概率：甲第一个抽取，5张奖券共2张有奖，因此； 计算乙中奖概率，乙中奖分两种情况： 甲中奖后乙中奖：概率为； 甲未中奖后乙中奖：概率为； ； 计算丙中奖概率，分情况计算丙中奖情况： 甲中、乙中、丙中：； 甲中、乙不中、丙中：； 甲不中、乙中、丙中：； 甲不中、乙不中、丙中：； ； 因此. 5．如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件，计算出、，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为. 【详解】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件， 因为每个部件的可靠度均为 所以，， 当且仅当事件或事件发生时，系统正常工作， 当且仅当事件和事件都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为 6．（24-25高一下·福建三明·期末）甲、乙两人组成的“龙队”参加数学解题比赛，比赛中每个队均有一张通行卡且仅限使用一次.每轮比赛由甲、乙各自独立解答同一道题，若两人都答对则直接进入下一轮；若两人都答错则直接被淘汰；若两人中恰有一人答对则可使用通行卡进入下一轮.已知在每轮比赛中甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲、乙答对与否互不影响，则“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知，还原情境，由互斥加法、独立乘法以及对立事件概率公式求解即可. 【详解】由题意“龙队”恰在参加三轮比赛后被淘汰， ①前两轮没有用通行卡，且第三轮都答错了， 概率为； ②前两轮有一轮使用通行卡，第三轮两人均答错或只有一人答对， 概率为； 故所求概率为. 故选：C. 7．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分甲赢3局，乙赢3局、甲赢4局，乙赢2局、甲赢5局，乙赢1局、甲赢6局，乙赢0局，结合要求计算出每种情况的排列数，再独立事件的乘法和概率加法公式求解． 【详解】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分， 符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、 甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率； 情况二：甲赢4局，乙赢2局， 从6局中选4局甲赢，有种， 其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、 乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种， 则符合题意的获胜情况有9种，此时概率； 情况三：甲赢5局，乙赢1局， 符合题意的情况有种，此时概率； 情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率； 综上，概率． 8．（25-26高一下·全国·单元测试）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【详解】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． （2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 9．（25-26高一下·贵州遵义·期末）某连锁超市在店庆期间，针对线上、线下两种消费渠道推出抽奖活动．已知顾客线上抽奖中奖的概率为，线下抽奖中奖的概率为，且两种渠道抽奖结果相互独立． (1)若某顾客在两种渠道各抽奖1次，求该顾客恰好有1次中奖的概率； (2)若某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，求该顾客恰好有2天中奖的概率； (3)商场设置“终极幸运奖”，规则为先参与2次线下抽奖，再参与2次线上抽奖，若这4次抽奖中至少有3次中奖，则可获得该奖项，求顾客获得“终极幸运奖”的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）恰好有1次中奖，拆成2个互斥事件的和，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可； （2）恰好有2天中奖拆成3个互斥事件的和，即第天不中且其余两天中，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可； （3）4次抽奖中至少有3次中奖，拆成3个互斥事件的和，由独立事件、互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】（1）设顾客在线上抽奖中奖为事件A, 线下抽奖中奖为事件B, 设某顾客在两种渠道各抽奖1次，恰好有1次中奖为事件C, 则. （2）设第次线上抽奖中奖为事件， 设某顾客连续3天只参与线上抽奖，每天抽奖1次，恰好中奖两次为事件D， 则. （3）设顾客获得终极幸运奖为事件E，则线上恰好中一次且线下两次全中，或线上两次全中且线下恰好中一次，或者线上线下均两次全中， 则. 1．（24-25高一下·贵州贵阳·期末）一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，若从中任取2支.记事件A=“恰有1支一等品”，事件B=“2支都是二等品”，事件C=“没有三等品”，下列说法正确的是（    ） A．事件A与事件B互斥 B．事件B与事件C互斥 C．事件A与事件C对立 D．事件B 与事件C对立 【答案】A 【分析】利用互斥事件与对立事件的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，事件A与事件B不会同时发生，所以事件A与事件B互斥，故A正确； 对于B，若取到的两支笔都是二等品，则事件B与事件C同时发生， 所以事件B与事件C不是互斥事件，故B错误； 对于C，若取到的两支笔是一支二等品，一支三等品，则事件A与事件C都没有发生， 所以事件A与事件C不是对立事件，故C错误； 对于D，若取到的两支笔是一支一等品，一支三等品，则事件B与事件C都没有发生， 所以事件B与事件C不是对立事件，故D错误； 故选：A. 2．集合，集合，从，中各任意取一个数，构成一个两位数，则这个两位数是奇数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用列举法写出样本空间，再由概率公式计算． 【详解】组成两位数的样本空间，有11个； 样本点这个两位数是奇数的两位数为，有5个. 故所求概率为. 故选：C 3．袋中有写有数字1，2，3的卡片各2张，从中不放回地取出2张卡片，则取出的卡片上的数字之和为3的倍数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3，结合古典概型运算求解. 【详解】由题意知：取出的2张卡片上的数字分别为1，2或2张卡片上的数字都是3， 所求概率. 故选：A. 4．（2025高一·全国·专题练习）某种开关在电路中闭合的概率为，现将4只这种开关并联在某电路中，如图，若该电路为通路的概率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据独立事件、对立事件的概率公式计算. 【详解】因为该电路为通路的概率为，所以该电路为不通路的概率为， 只有当并联的4只开关同时不闭合时该电路不通路，所以，解得或（舍去）. 故选：B． 5．（2025高一·全国·专题练习）河图的排列结构如图，“一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中”，其中白圈数为阳数，黑点数为阴数．若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于5的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定河图确定阳数、阴数，再利用古典概率公式求解即得. 【详解】由题图知，阳数为，阴数为， 因此从阳数和阴数中各取一数的所有情况共有（种）， 满足差的绝对值大于5的有，共4个， 所以所求概率. 故选：A 6．（24-25高一下·广东肇庆·期末）“投壶”游戏源于周代的射礼，是中国古代宴饮时的一种投掷游戏，要求游戏者站在一定距离外，把箭投入壶中．甲、乙两人开始投壶游戏，约定规则如下：如果投一次，箭入壶中，原投掷入继续投，如果箭没有入壶，那么换另一个人投掷．若甲、乙两人投箭入壶成功的概率分别为，，甲先开始投掷，则第4次仍然由甲投掷的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意确定基本事件，再应用独立乘法公式及互斥事件加法求概率即可. 【详解】第4次仍然由甲投掷分为四类： 第一类，前三次均为甲中，概率为； 第二类，第一次甲中，第二次甲不中，第三次乙不中，概率为； 第三类，第一次甲不中，第二次乙中，第三次乙不中，概率为； 第四类，第一次甲不中，第二次乙不中，第三次甲中，概率为． 所以第4次仍然由甲投掷的概率为． 故选：D 7．（25-26高一下·江西景德镇·期末）已知为两个随机事件，，则下列结论错误的是（    ） A．若，则 B．若独立，则 C．若独立，则 D．若互斥，则 【答案】B 【分析】分别根据相互独立事件的概率，互斥事件的概率，包含事件的概率的定义及公式计算可得. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为独立，所以与也相互独立， 所以，故B错误； 对于C：若独立，根据并事件的概率公式得 ，故C正确； 对于D：互斥，由概率的加法公式可得，故D正确. 故选：B 8．（25-26高一下·湖南邵阳·期末）已知甲、乙两名运动员进行射击比赛，各射击一次，是否中靶相互独立.若恰好一人中靶的概率为0.26，至少一人中靶的概率为0.98，则甲、乙两人都中靶的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲射击一次中靶的概率为，乙射击一次中靶的概率为，根据题意建立方程组，整体法可求得，即甲、乙两人都中靶的概率. 【详解】设甲射击一次中靶的概率为，乙射击一次中靶的概率为， 因为甲、乙是否中靶相互独立，且恰好一人中靶的概率为， 所以， 展开得.① 又至少有一人中靶的概率为，即，所以， 展开得.② 由①+②得，解得，即甲、乙两人都中靶的概率是. 故选：C 9．（24-25高一下·黑龙江·期末）某班准备从全班50人中选一人参加学校活动，投票结果甲乙丙三人票数并列第一，现决定抽签的方式在甲乙丙中确定最终人选，抽签规则如下，班主任掷骰子确定三人抽签顺序，抛掷一枚均匀的骰子，每个点数对应一种抽签顺序，然后甲乙丙按照相应顺序依次从装有大小形状完全相同的两白一红三个小球的盒子里不放回的各自取一球，取到红球即胜出，则甲胜出的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知分析得到不同抽签顺序下甲胜出的概率，法一：应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；法二：利用二项分布，利用二项分布期望求法求甲胜出的概率均值，即可得. 【详解】由题意，抽签顺序有6种可能，分别为甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲，各情况出现概率为， 对于甲乙丙、甲丙乙两种情况，此时甲胜出的概率为， 对于乙甲丙、丙甲乙两种情况，此时甲胜出的概率为， 对于乙丙甲、丙乙甲两种情况，此时甲胜出的概率为， 法一：甲胜出的概率为； 法二：无论哪种情况甲胜出的概率为，故甲胜出服从，则甲胜出的概率均值为. 故选：A 10．（24-25高一下·河北沧州·期末）已知事件A，B，C两两互斥，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合互斥事件概率加法公式可得，进而可得结果. 【详解】因为事件A，B，C两两互斥， 则． 又因为， 可得，解得， 所以． 故选：B. 11．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列说法正确的是（ ） A．取出的3个球颜色相同的概率为 B．取出的3个球颜色全不相同的概率为 C．取出的3个球颜色不全相同的概率为 D．取出的3个球无红球的概率为 【答案】C 【分析】应用古典概型计算各个选项即可. 【详解】设取得黄、红、白球分别为， 有放回地取球3次， 共 27种等可能结果， 其中颜色相同的结果有3种，其概率为，故A错误； 颜色全不相同的结果有6种，其概率为，故B错误； 颜色不全相同的结果有 24种,其概率为，故C正确； 无红球的结果有8种，其概率为，故D错误． 故选：C 12．某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设事件：该家庭中有男孩、又有女孩，事件：该家庭中最多有一个女孩．有以下两个命题：①若该家庭中有两个小孩，则与互斥；②若该家庭中有三个小孩，则与相互独立．则：（   ） A．①②均为真命题 B．①为真命题，②为假命题 C．①为假命题，②为真命题 D．①②均为假命题 【答案】C 【分析】分别写出对应的样本空间，结合互斥事件与独立事件的概念即可判断命题的真假. 【详解】若该家庭中有两个小孩， 样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)， (男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)， 则M与N不互斥，故命题①错误； 若该家庭中有三个小孩， 样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)， (男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)， (男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)， 则，于是， 所以M与N相互独立，故命题②正确． 故选：C． 13．（2025高一·全国·专题练习）现有4张卡片，正面分别标有1，2，3，4，背面完全相同，将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙两人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽，抽完为止，最后每人将各自抽到卡片的点数相加，点数大的一方获胜，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由列举法解决古典概型概率问题即可. 【详解】本题的样本空间如图． 由图知，样本点的个数为，要使甲获胜，那么甲拿到卡片的点数只能是，，和四类情况， 所以甲获胜的样本点数为8，所求概率为， 故选：B. 14．（24-25高一下·安徽芜湖·期末）已知，均为正整数，这七个数的平均数为3，方差为，若从这7个数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的公式列出关于这七个数的方程，再结合正整数的条件确定这七个数，最后根据古典概型的概率公式计算抽取到奇数的概率. 【详解】根据题意，七个数的平均数为， 所以， 且方差为，所以， 因为均为正整数，所以为自然数， 分析的可能取值为， 若有2个或2个以上9，则不满足； 若有1个9，则有3个1，3个0，结合， 则的可能组合为， 若有2个4，则有4个1，1个0，结合， 则的可能组合为或或， 不管是哪种组合，7个数中都有3个奇数， 所以从这7个数中随机抽取一个数，则该数为奇数的概率为. 故选：B. 15．学校举办运动会，高三班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.若从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈，则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据14人参加游泳比赛，同时参加游泳和田径的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，可以求得只参加游泳比赛的人数；再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数以及只参加田径一项比赛的人数，结合古典概型的概率求法即可求解． 【详解】设同时参加田径比赛和球类比赛的人数为x，只参加田径比赛的人数为y， 只参加球类比赛的人数为z， 只参加游泳比赛的有人， 作出韦恩图， 由韦恩图得，解得，， 只参加田径一项比赛的人数为 所以从该班参加比赛的同学中随机抽取1人进行访谈， 则抽取到的同学只参加田径一项比赛的概率为 故选：A 16．某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛的结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为、、，且.记该棋手连胜两盘的概率为，则（    ） A．与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，最大 【答案】B 【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决 【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则此时连胜两盘的概率为 ； 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为， 则； 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为 则； 因为， 则 即， 则该棋手在第二盘与甲比赛，最大，故B判断正确；ACD判断错误. 故选：B. 17．（多选题）（24-25高一下·河北·期末）已知事件两两互斥，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用互斥事件满足的关系式，对选项一一分析求解，求出答案. 【详解】A选项，因为事件两两互斥， 所以， 则，所以，故A错误； B选项，，则，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D错误. 故选：BC. 18．（多选题）（24-25高一下·贵州遵义·月考）先后抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A表示“第1枚正面向上”，事件B表示“第2枚反面向上”，事件C表示“恰有1枚正面向上”，事件D表示“两枚都正面向上”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与D相互独立 D．B与D互斥 【答案】ABD 【分析】根据相互独立事件、互斥事件的定义一一分析结合列举法判定选项即可. 【详解】先后抛掷两枚硬币出现的结果有：正正，正反，反正，反反四种情况， 则事件A包含正正，正反两种情况；事件B包含正反，反反两种情况； 事件C包含正反，反正两种情况；事件D包含正正一种情况； 所以， 显然，， ，，即ABD正确. 故选：ABD 19．（多选题）（24-25高一下·贵州遵义·期末）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 20．（多选题）（23-24高一下·四川达州·期末）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【分析】分析各事件的含义，结合事件的互斥性和对立性判断选项A，B；分析的关联，判断选项C；分析的关联判断选项D． 【详解】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 21．（23-24高一下·浙江台州·期中）国务院于2023年开展第五次全国经济普查，为更好地推动第五次全国经济普查工作，某地充分利用信息网络开展普查宣传，向基层普查人员、广大普查对象及社会公众宣传经济普查知识.为了解宣传进展情况，现从参与调查的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄（单位：岁）分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人. (1)再从第二组和第五组中抽取的人中任选3人进行问卷调查，求从中至少抽到2人进行问卷调查的概率； (2)若第2组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为30和6，第3组中参与调查的人的年龄的平均数和方差分别为40和6，据此估计这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差. 【答案】(1) (2)27 【分析】（1）先根据频率分布直方图求出a，然后计算出第二组和第五组中的人数，最后穷举出个数，利用概率公式计算. （2）由平均数、方差的计算公式计算出第2组和第3组所有人的年龄的方差. 【详解】（1）由频率分布直方图得，，解得， 所以第2组和第5组的频率分别为，故第2组和第5组所抽取的人数分别为， 即第2组3人，记为，，， 第5组2人，记为甲，乙， 对应的样本空间为：，甲，乙， 甲，乙，甲乙，甲，乙， 甲乙，甲乙，共10个样本点， 设事件为“中至2人被选上”， 则有，甲，乙， 甲，乙，甲，乙，共有7个样本点， ； （2）设第2组参与调查的人的年龄的平均数为，方差为， 设第3组参与调查的人的年龄的平均数为，方差为， 第2组和第3组所有参与调查的人的年龄的平均数为，方差为， 则， ． 即这次参与调查的人中第2组和第3组所有人的年龄的方差为27． 22．（24-25高一下·天津·期末）读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图． 男生一周阅读时间频数分布表 小时 频数 9 25 3 3 (1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和分位数； (2)由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数； (3)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人． ①用适当的符号表示试验的可能结果，写出试验的样本空间； ②设事件为“恰好抽到一男生一女生”，写出事件的集合表示形式，并求事件的概率． （注：以各组的区间中点值代表该组的各个值） 【答案】(1)众数是3；75%分位数为 (2) (3) 【分析】(1)根据频率分布直方图，结合众数、百分位数的求法计算即可； (2)根据频数分布表直接求出男生一周课外阅读时间平均数，根据频率分布直方图，结合平均数的求法求出女生一周课外阅读时间的平均数，即可求出总样本的平均数； (3)根据频数分布表与频率分布直方图求出一周课外阅读时间为的男生与女生人数，结合古典概型的概率公式计算即可. 【详解】（1）由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3， 由可知，75%分位数位于4到6之间， 设女生一周阅读时间的75%分位数为，， 解得； （2）由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数 由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数 所以估计总样本的平均数 （3）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人， 女生有（人） 若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为， 女生有5人，记为，，，，， 则样本空间， 共有15个样本点. 记事件 “恰好一男一女”，则 故所求概率. 23．（25-26高一下·全国·课堂例题）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 【答案】(1)， (2)出现恰有一人合格的概率最大． 【分析】（1）先设事件并明确已知概率，由事件独立性计算三人都合格和三人都不合格的概率； （2）分别计算恰有一人和恰有两人合格的概率，比较概率大小确定最大概率的情况. 【详解】（1）设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，显然相互独立， 表示三人都合格，表示三人都不合格， 则，，， ，，， 设恰有人合格的概率为． 三人都合格的概率为， 三人都不合格的概率为， 所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率均为． （2），，两两互斥， ∴恰有两人合格的概率为 ， 恰有一人合格的概率为：， 结合（1）可知中最大，所以出现恰有一人合格的概率最大. 24．（25-26高一下·山西忻州·期末）甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束.根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立. (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）打完两场比赛结束有两种情况，即甲连胜两场或乙连胜两场，分别计算这两种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解。 （2）比赛结束时甲获胜的次数大于乙，2场结束即甲连胜两场结束比赛、3场结束即前两场为 “乙胜、甲胜”，第三场甲胜，4 场结束即前 3场为 “甲胜、乙胜、甲胜”，第四场甲胜，分别计算这些情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解. 【详解】（1）设第i场比赛甲获胜为事件（i=1，2，3，4），乙获胜为事件（Ai​的对立事件）， 由题意，各场比赛相互独立，且 打完两场比赛结束则甲连胜两场或乙连胜两场，概率为 . （2）设 “比赛结束时甲获胜的次数大于乙” 为事件C， 分2 场结束、3 场结束、4 场结束三种符合条件的情况，对应子事件为 2场结束且甲胜次数>乙胜次数，， 3场结束且甲胜次数>乙胜次数，即前两场为 “乙胜、甲胜”，第三场甲胜 ； 4 场结束且甲胜次数 > 乙胜次数，即前 3 场为 “甲胜、乙胜、甲胜”，第四场甲胜， . 比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率为. 25．（25-26高一下·贵州遵义·月考）为了治疗某种疾病，某药物中心研发了，两种药物．现对，两种药物进行动物试验，现有4只患有疾病的小白鼠，，两种药物各对2只小白鼠进行试验，设药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为（），药物对每只小白鼠实施药物后能治愈的概率为，且每种药物对每只小白鼠实施药物后能否治愈相互独立． (1)若药物恰好治愈1只小白鼠的概率为，药物治愈2只小白鼠的概率为： ①求，的值； ②求，两种药物一共治愈2只小白鼠的概率； (2)若，求药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①根据独立事件的乘法公式计算求解；②根据独立事件的乘法公式和概率加法公式计算求解； （2）根据独立事件的乘法公式结合基本不等式计算可解. 【详解】（1）①由题意可得，解得或， 因为，所以，，解得； ②一共治愈好2只小白鼠的情况有如下三种情况： 第一种，药物恰好治愈2只小白鼠，药物治愈0只小白鼠，其概率为； 第二种，药物恰好治愈0只小白鼠，药物治愈2只小白鼠，其概率为； 第三种，药物恰好治愈1只小白鼠，药物治愈1只小白鼠，其概率为； 所以，两种药物一共治愈好2只小白鼠的概率为； （2）设药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率为， 则， 因为，所以， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 所以药物治愈1只小白鼠且药物治愈1只小白鼠的概率的最大值为. 26．（2025高一·全国·专题练习）某电子竞技比赛中，两支队伍进行（三局两胜制）比赛.每局比赛，强队对阵弱队时：若采取保守策略，获胜概率为，若A采取激进策略，获胜概率为，但若失败，下一局获胜概率降为，比赛开始时，可以自由选择策略.之后，每局开始前，可以根据当前比分选择策略. (1)若在第一局采取保守策略，求最终获胜的概率； (2)若在第一局采取激进策略，求最终获胜的概率； (3)应该在第一局选择哪种策略？为什么？ 【答案】(1) (2) (3)应在第一局选择保守策略，理由见解析 【分析】（1）分为第一局胜和第一局负两种情况分别讨论，求出第二局选保守和选激进两种策略获胜的概率，选择最优策略，根据独立事件的概率计算公式即可求出答案； （2）分为第一局胜和第一局负两种情况分别讨论，求出第二局选保守和选激进两种策略获胜的概率，选择最优策略，根据独立事件的概率计算公式即可求出答案； （3）比较（1）（2）问两个概率的大小即可得到答案. 【详解】（1）第一局采取保守策略： 情况1：第一局胜（概率），此时比分， 若第二局选保守：胜率；败率，进入第三局选择激进策略（胜率） 若第二局选激进：胜率；败率，则进入第三局（胜率）， 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选保守策略，胜率为， 情况2：A第一局败（概率），此时比分 若第二局选保守：胜率；进入第三局选择激进策略（胜率）， 若第二局选激进：胜率；第三局选择激进策略（胜率）， 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选激进策略，胜率为， 综上，第一局保守策略的总胜率. （2）第一局采取激进策略： 情况1：第一局胜（概率），此时比分， 第二局选保守：胜率；败率，则进入第三局选择激进策略（胜率）， 第二局选激进：胜率；败率，则进入第三局（胜率）， 比较第二局策略：保守策略总胜率：，激进策略总胜率：， 由于，第二局应选保守策略，胜率为， 情况2：第一局败（概率），此时比分， 因第一局使用激进策略失败，第二局胜率降为 若第三局选保守：胜率，若第三局选激进：胜率，所以第三局选择激进策略， 综上，第一局激进策略的总胜率： （3）因为，即第一局选择保守策略最终获胜的概率大于第一局选择激进策略最终获胜的概率，所以应在第一局选择保守策略. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $