2.2第1课时 期末复习利用基本不等式求最值练习-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2　第1课时　利用基本不等式求最值 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.不等式a2+≥4中,等号成立的条件是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.a=4 B.a= C.a=- D.a=± 2.若x<0,则x+-2有 (　 ) A.最小值0 B.最小值-4 C.最大值0 D.最大值-4 3.下列选项正确的是 (　 ) A.a+≥2 B.a2+b2≥4ab C.≥ D.x2+≥2 4.若a>1,则a+的最小值是 (　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.[2023·安徽芜湖高一期中] 若正实数a,b满足a+b=1,则+ 的最小值是 (　 ) A.6 B.8 C.9 D.10 6.下列说法中正确的是 (　 ) A.x+的最小值是2 B.的最小值是2 C.的最小值是2 D.2-3x-的最小值是2 7.[2023·湖北恩施高一期末] 若a>2,b>3,则+的最小值是 (　 ) A.16 B.18 C.20 D.22 8.(多选题)下列结论正确的是 (　 ) A.x+≥2 B.≥2 C.≤x2+y2 D.若x<0,y<0,则+≤-2 9.(多选题)设正实数m,n满足m+n=2,则下列说法正确的是 (　 ) A.+的最小值为 B. 的最大值为 C.+的最小值为2 D.m2+n2的最小值为2 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.已知0<x<1,则x(3-3x)取最大值时x的值为　　　　.  11.当x>-2时,函数y=的最小值为　　　　.   12.已知a>0,b>0,a+b=2,给出下列不等式:①ab≤1;②a2+b2≥2;③+≤;④+≥2;⑤a3+b3≥3.其中恒成立的是　　　　.(填序号).  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)已知正数a,b满足a+b=1. (1)求ab的取值范围; (2)求+的最小值. 14.(10分)已知x+y=1,x,y>0. (1)求x2+y2+xy的最小值; (2)求+的最大值; (3)求x(1-3y)的最小值. 15.(5分) (多选题)[2023·浙江绿谷联盟高一月考] 已知正数x,y满足x2+xy-2=0,则4x+y的最小值是　　　　.  16.(15分)已知x,y>0,x2+y2=x+y. (1)求+的最小值. (2)是否存在x,y满足(x+1)(y+1)=5?请说明理由. 2.2　基本不等式 第1课时　利用基本不等式求最值 1.D　[解析] 该不等式等号成立的条件为a2=,即a=±,故选D. 2.D　[解析] 因为x<0,所以x+-2=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时等号成立,故x+-2有最大值-4.故选D. 3.D　[解析] 当a=-1时,a+=-3<2,∴A错误;当a=-1,b=-1时,a2+b2=2<4ab,∴B错误;当a=2,b=8时,=4<=5,∴C错误;∵x2+≥2,当且仅当x2=时取等号,∴D正确.故选D. 4.C　[解析] ∵a>1,∴a-1>0,则a+=(a-1)++1≥3,当且仅当a-1=,即a=2时取等号,故选C. 5.C　[解析] +=(a+b)=4+++1≥5+2 =9,当且仅当= ,即a=2b时,等号成立,所以+的最小值是9.故选C. 6.B　[解析] 对于A,不能保证x>0,故A错误;对于B,=+≥2,当且仅当x=0时取等号,故B正确;对于C,设y==+ ,令t=,则t≥2, y=t+,由基本不等式得y≥2=2,当且仅当t=1时等号成立,而t≥2,等号成立的条件不存在,故C错误;对于D,当x>0时,2-3x-=2-≤2-4,当且仅当x=时取等号,此时无最小值,当x<0时,2-3x-=2+(-3x)+≥2+4,当且仅当x=-时取等号,此时有最小值但不是2,故D错误.故选B. 7.C　[解析] 因为a>2,b>3,所以+=+=a-2++b-3++10≥2+2+10=20(当且仅当a=4,b=6时,等号成立),所以+的最小值是20.故选C. 8.BC　[解析] 对于A,当x>0时,x+≥2=2,当且仅当x=时取等号,同理当x<0时,x+≤-2,当且仅当x=-时取等号,所以选项A错误.对于B,=x2+≥2=2,当且仅当x=±1时取等号,所以选项B正确.对于C,因为-(x2+y2)=-(x-y)2≤0,所以≤x2+y2,所以选项C正确.对于D,当x<0,y<0时,>0,>0,所以+≥2,当且仅当x=y时等号成立,所以选项D错误.故选BC. 9.ABD　[解析] 对于A选项,∵正实数m,n满足m+n=2,∴+=(m+n)=≥=,当且仅当=时,等号成立,故A正确;对于B选项,由m+n=2且m>0,n>0,得