江苏淮安市淮安区2025-2026学年高一下学期6月期末调研考试数学试题

**基本信息** 高一期末数学调研卷以立体几何与解三角形为核心，融合概率统计与向量应用，通过测量塔尖距离、基站观测等真实情境，考查空间观念、运算能力与数据意识，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|互斥事件、频率分布直方图、解三角形|基础巩固，如第1题概率互斥关系辨析| |多选题|3/18|正方体动态问题、向量基底与投影|能力提升，如第9题结合体积与外接球考查空间想象| |填空题|3/15|仰角测量、奔驰定理、长方体截面|创新应用，第13题以奔驰定理关联三角形内心| |解答题|5/77|三棱台体积、解三角形周长与面积、圆台二面角|综合探究，第19题结合轴截面与体积考查推理能力|

2025~2026学年度第二学期高一期末调研考试 高一数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 S 6 7 8 答案 C B A A B D C B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 题号 9 10 11 答案 ACD ABC AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 题号 12 13 14 3-V5 答案 100√7-40 2W14 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.解：(1)由题意， :D,E分别为AB,AC的中点， .DEI∥BC, 又DE平面BBC,C,BCC平面BB,CC, DE∥平面BB,CC, AB∥AB,D为AB的中点，AB=2AB, AB1=BD,AB∥BD, 高一数学参考答案与解析第1页（共17页） .四边形ABBD为平行四边形， AD∥BB, 又AD丈平面BB,CC,B,BC平面BB,CC, .AD∥平面BB,CC, 又AD∩AE=A, .平面ADE∥平面BB,CC ·BC1C平面BB,CC, BC1∥平面ADE. (2)由题意及(1)得， 设△ABC1的面积为S, 则由几何知识知△ABC的面积为4S,△ADE的面积为S, 1 设三棱台4BC-4BG的高为，则V4oE专Sh=l, 4-c=56+45÷5x4sh=子h=7 3 16.解：(1)由m=(a,c-2b),i=(c0sC,c0sA),且mLn, 可得i.i=a cosC+(c-2b)cosA=0, 利用正弦定理得：sin AcosC+sinCcosA-2 sin B cosA=0, 所以sin(A+C)-2 sin B cosA=0, 即sinB-2 sin Bcos A=0, 1 由于sinB≠0，故cosA=2 由于0<A<元，所以A= 3 (2)由于△ABC的面积为√3， 所以besinA=√3，可得bc=4, 高一数学参考答案与解析第2页（共17页） 利用余弦定理得d2=c2+b2-2 bc cos A=(b+c2-3bc=13,解得a=√13， 所以周长1=a+b+c=5+√3. 17.解：(I)因为2c+b-2 acos B=0,由正弦定理可知：2sinC+sinB-2 sin Acos B=0, 'sin C sin(A+B),.2sin(A+B)+sin B-2sin Acos B =0 .2 cos Asin B+simB=0(sinB≠0)，∴.cosA=- 2 又A为三角形内角，所以A=2元 3 ②由顾4c,得行 →bC=3,又a=2√3，在△ABC中由余弦定理得： 32 a2=b2+c2-2bc cosA=b2+c2=9 }西tc,Df6c小c月 所以AD=6 18.解：(I)由acos B=b(2-coSA),结合正弦定理可得sin AcosB=2sinB-sin B cosA, 所以sin Acos B+sin B cosA=2simB,所以sin(A+B)=2sinB, 所以inC=2inB,由正弦定理可得c=2b,所以&2 b 1 (②因为4D平分内角A,所以CD=4C=b1, DB AB c 2 又BC=3V5,所以CD=√5，BD=25, 在△ACD中，由余弦定理可得b2=CD2+AD-2CD·AD·cos∠ADC, 所以b2=5+8-2W5×2W2cos∠ADC, 在△ABD中，由余弦定理可得c2=BD+AD2-2BD·AD.coS∠ADB, 所以4b2=20+8-4V5×2√2cos∠ADB, 又cOS∠ADB+coS∠ADC=0, 所以2b2+4b2=30+24=54,所以b2=9,所以b=3,c=6, 又c2+b2=36+9=45=2, 所以△ABC是直角三角形，且A=90°， 高一数学参考答案与解析第3页（共17页） 所以SAac==9,又BD=2BC, 2 所以SABD 2.c=6 D B (3)设∠CAB=28(0°<0<90)， 因为SABD+SADc=SABC, 所g以54cA0a0加ADma4cBan20, 若AD=kAC,则kAC2sin0+kAC·AB sin0=AC,ABsin26, 又c=2b,即AB=2AC 所以b2sin6+2kb2sin6=4b2sin6cos6, 又si0≠0，所以3k=4cos0, 所以-ro0e0引 所以实数的取位范用为Q) 19.(①)证明：在圆台OO,中，平面ADE∥平面BFC, 因为平面BEDF平面ADE=DE,平面BEDF平面BFC=BF, 所以BF∥DE. (2)解：①将圆台OO的母线延长交于一点P,连接PE,延长PE交底面于点Q,连接BQ,CO, 在圆台OO,中，平面ADE∥平面BFC, 因为平面PCQ⌒平面ADE=DE,平面PCO∩平面BFC=CQ, 所以ED∥CQ, 又由I)可知BF∥ED,所以BF∥CQ, 又CF⊥BF,BOLCO,BF,CF,BQ,CQC平面BFC, 高一数学参考答案与解析第4页（共17页） 所以BQ∥CF,所以四边形BFCQ为平行四边形，所以BF=CQ, 在圆台OO1中，AD=2,BC=4, 所 DE AD 1 DE AD 1 CgBC2,所以 BF BC2' 所以SBDp=2SBDE, 所以.8心=eor-c8r=2, 连接AC,交BD于点T, 所以A?=AD、1 TC-BC-2 所以4，C到平面BED严的距离之比为 1 所以Ds-VA-BD:-V-DED ②在等腰梯形ABCD中，过点D作边BC的垂线DG,垂足为G, 在平面BFC内过点G作CF的平行线GH交BF于点H,连接DH, 易得DG∥OO, 因为OO⊥平面BFC,所以DG⊥平面BFC, D 所以∠DCG为母线与下底面所成角， 因为AD=2,BC=4,所以CG=1,所以tan∠DCG=DG, --- 要使∠DCG最小，只要DG最小即可. B 因为天=2，所以eae0G=2,所以G S.BFC 设∠CBF=6, 因为BC为圆O的直径，所以BF⊥FC 所以FC=4sin0,FB=4cos0, 所以S.e=7FC.FB=4sim20<4 当且仅当6= ,即CF=BF=2√5时取等号， 4 所以DG的最小值为2 因为CF⊥BF,CF∥GH,所以GH⊥BF, 因为DG⊥平面BCF,BFC平面BCF,所以DG⊥BF, 高一数学参考答案与解析第5页（共17页） 因为DG⌒HG=G,DG,HGC平面DGH, 所以BF⊥平面DGH 因为DHC平面DGH,所以BF⊥DH, 因此∠DHG为二面角C-BF-D的平面角， 在A8CW中，因为C-星所以0-3 HG BG 3 因为DG⊥平面BFC,HGC平面BFC,所以DG⊥HG, 在RtDGH中，由勾股定理得DH-3 2 所以sim∠DHG= 3 所以二面角C-BF-D的正弦值为 3 高一数学参考答案与解析第6页（共17页） 2025~2026学年度第二学期高一期末调研考试 高一数学详细解析 1.【分析】 本题考查了互斥事件和对立事件的定义的应用，是基础题. 先得到实验的必然事件，再根据互斥事件，对立事件的定义判断即可. 【解答】 解：必然事件为：都是白球，1个白球和1个红球，都是红球， A:至少有1个白球包含1个白球1个红球和都是白球，故A不对， B:至少有1个红球包含1个白球1个红球和都是红球，故B不对， C:摸出1个白球1个红球发生时，摸出2个白球不会发生，且在一次实验中不可能必有一个发生，故C对， D:摸出1个白球1个红球和摸出2个白球或摸出2个红球，是对立事件，故D不对， 故选：C 2,解：由频率分布直方图可知，众数为60+70=65， 2 由10×0.03+5×0.04=0.5，所以面积相等的分界线为65，即中位数为65， 平均数为55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67. 故选B. 3.【分析】 本题考查正弦定理及内角和的应用，属于一般题， 利用正弦定理，结合三角形内角和定理可得。 【解答】 解：因为c=4,a=4N2,A= 4 4V2 4 由正弦定理可得 sin交sinC，即 sinC=- 21, 4 422 因为C∈(0，)，所以C=T或C=5 6 6 当C=5江时，A+C6+>刀，不满是 64 高一数学参考答案与解析第7页（共17页） 所以C=乃 6 故选：A 4.【分析】 本题考查球的表面积的求法，求解球的半径是解题的关键，属于基础题. 画出图形，利用已知条件求出OO,然后求解球的半径，即可求解球的表面积. 【解答】 解：由题意可知图形如图：⊙O的面积为4π，可得⊙O的半径OA=2, 由题知△ABC是等边三角形，根据等边三角形性质， 得3A0=ABsin60,3 3 A0= AB, 2 2 .AB=BC=AC=OO,=2√3， 球0的半径为：R=√AO+O0=4, 球O的表面积：4×42×π=64π 20 0 B 故选：A 5.【分析】 本题考查解三角形，数形结合思想，考查学生的计算能力，属于中档题. 通过所给条件依次求出MC,NWC,再由余弦定理可求得N. 【解答】 解：由题得，在a4CM中，A=ACtm∠MCA=60x345,则MC=VMf+AC=75, 4 高一数学参考答案与解析第8页（共17页） 在aCBN中，NC= CB coS∠NCB 705=755 14 15 则在△MCN中，由余弦定理可得 MN-MC+NC:-2MC.NCc0 LMCN-75(5)-2x75x75x(3 )=39375, 则W=75√万. 故选：B. 6.【分析】 本题考查了正弦定理，余弦定理和二倍角公式的应用，在对三角形的边角关系进行变形时，务必要做等价 变形，否则会造成增解或漏解，属基础题， 法一：先用正弦定理将题中已知条件化为sin2 Acos Asin B=sin2 Bsin Acos B,又sin Asin B≠0，得到 sin2A=sin2B,在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，2A=2B或2A=π-2B据此可得到答案. 法二：利用正余弦定理进行化简可得答案。 【解答】 解：方法一：a2 cos Asin B=b'sin Acos B, .由正弦定理得sin2 Acos Asin B=sin2 Bsin Acos B, 又sinA·simB≠0，.sin AcosA=sin B cos B,.sin2A=sim2B. 在△ABC中，0<2A<2π，0<2B<2π，.2A=2B或2A=π-2B, A=B或A+B=子，aBC为等腰三角形或直角三角形，故选D 方法二：：a2c0 sAsin B=b2 sin Acos B, 由正弦定理、余弦定理得ab.+c2-d a2+c2-62 =b2a. 2bc 2ac .a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),.(a2-b2)(a2+b2-c2)=0, 高一数学参考答案与解析第9页（共17页） -b2=0或a2+b2-c2=0,即a=b或a2+b2=c2, .△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D. 7.【分析】 本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求 解能力，属于拔高题， 在这种假定下，B,C,D中恰有两人直接受A感染包含的情况有3种：①B,C两人直接由A感染，D由B 感染；②B,D两人直接由A感染，C由B感染；③B,C两人直接由A感染，D由C感染.由此能求出在 这种假定下，B,C,D中恰有两人直接受A感染的概率. 【解答】 解：某地有A,B,C,D四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A到过疫区，B确定是受A感染的. 对干C因为难以判定是受4还是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是】 同样也假定D受4，B和C感染的概率都是 在这种假定下，B,C,D中恰有两人直接受A感染包含的情况有3种： ①B,C两人直接由A感染，D由B感染： ②B,D两人直接由A感染，C由B感染： ③B,C两人直接由A感染，D由C感染， 在这种假定下，B,C,D中恰有两人直接受A感染的概率是： P=x1+1x+x是-1 2323232 故选：C 61, 8.解：因为V3snC+cosC=2,所以simc+ 而C是角形内角得：<C+不←，因此C生。，即C” 6 66 3 在aABC中，因为c=3,所以a=b=」 =2W5, sinA sin B sinC 因为M是AC中点，所以CM=b 2 因为N是边BC上一点，且满足BN=AC,所以CN=a-b, 在△CMN中，由余弦定理得： MIN2=CM2+CN2-2CM.CN cosC 高一数学参考答案与解析第10页（共17页） 车-a-6-a-0)-i+子6， 因为B=2-A,a=2V5mA,b=25simB, 3 所以a-5a4-引i管-a4m行 =12sin2 A+21sin2 号-A0m4m号- -sin 2A 4 4 =54.cos2A+195 9 -sin 2A+ 42 4 4 9W33 1 22 cos 24-sin 2+9 2a+9. 2 因为0A号，所以后24+若智 62 因此24+后，即A侣时4局司 6 取得最小值-1， 所以MNP的最小值为9-3=94-2 因此0w的最小值为V保4-2可-5-)-353 2 故选B. 9.解：对于A,当4=1时，点P在线段AC1上，因为A,C,/1面ABCD,所以点P到面BCD的距离为定值， 因为四=乃四}Sm4m为定值，放A正确： 对于B,当入+u=1时，根据三点共线的充要条件可知，点P在线段AC上， 当点P是线段AC1的中点时，可知△BPD周长为√5+√2<2+√2，故B错误； 对于C,当2元=L=1时，点P为线段AC1的中点，如图 高一数学参考答案与解析第11页（共17页) B M 因为△BCD是直角三角形，所以三棱锥P-BCD外接球球心在过△BCD的外心， 即斜边BD中点，与面BCD垂直的直线上， 3 设为点O,球的半径为R,则有R2= 3 2 +(1-R),解得R= 9 所以三棱锥P-BCD外接球体积为 π，故C正确： 16 对于D,因为AP=AC+A4,2∈[0,1]，4∈[0,1]，所以点P在面ACC1A内运动， 因为BD,⊥面ACC1A,且B,D关于面ACC1A对称 则B,P+PM的最小值为DP+PM的最小值， 2 所以当点D、P、M三点共线时DP+PM的最小值为 +1= 3 ,故D正确 故选：ACD. 10.【分析】 本题考查了线面垂直的判定定理及性质定理的应用，同时考查了线面角、异面直线所成的角及棱锥的体积 公式等，考查了转化思想应用及空间想象力，属于较难题。 对于A,取AD、AB的中点E、F,可证明PC⊥平面D,EFB,,得到动点M轨迹为线段BF,，从而判断A: 对于B,可知三角形AD,M在正方体内运动形成几何体是三棱锥F-ABD,从而判断B:对于C,直线 DM与BC所成的角即直线DM与AD所成的角，即∠ADM=C,解三角形从而判断C;对于D,易 知当点M与B重合时，直线BD,与平面A,DM所成的角最大，从而判断D. 【解答】解：对于A,如图，取AD、AB的中点E、F,连接PD、 D C DE、EF、AF、BF、BD、BD, 可得EF∥BD, 高一数学参考答案与解析 第12页 B 则DE⊥PD,DE⊥DC,又PDO DC=D,PD,CDC平面PCD, 可得DE⊥平面PCD,又PCc平面PCD, 则DE⊥PC,同理可证EF⊥PC, 因为EFDE=E,EF,D,EC平面DEFB, 则PC⊥平面DEFB, 因为DM⊥CP,则点ME平面DEFB, 又由点M∈平面AAB,B,可得点M∈B,F, 即动点M轨迹为线段B,F,其长度为√2+4=2√5，故A正确： 对于B,三角形AD,M在正方体内运动形成几何体是三棱锥F-ABD, 其体积为x×4×4x4 32 ,故B正确： 32 3 对于C,:BC∥AD, .直线DM与BC所成的角即直线DM与AD所成的角，即∠ADM=, :AD⊥平面A4B,B,∴.△ADM为直角三角形， 故ana=A4、 -AM, AD 4 当AM1BF时，4M最小，此时AM=4×4 2v5, 故tana的最小值是4M=x4x4_25 4 42V5 5,故C正确： 对于D,当点M与B,重合时，直线BD与平面A,DM所成的角最大， 设直线B0与平面40B所成的角为0，则sm0-5:2 3 2 故B<?,故D错误 4 故选：ABC 11.【分析】 高一数学参考答案与解析第13页（共17页） 本题考查了向量的数量积运算，向量的夹角，投影的数量，向量共线等知识，属于中档题 对于每个选项进行逐一判定，即可得出答案 【解答】 解：A.a=(1,2),b=(1,1),a与a+2仍的夹角为锐角， ∴.a:(a+b)=(1,2)(1+元，2+2)=1+2+4+2=3+5>0且2≠0（此时a与a+2b的夹角为0）， 故A错误； B.:向量e=(2,-3)=4,，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，B正确： C.若a/B,则a在五方向上的投影的数量为±d,故c错误： D.过O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为D、E、F,如图， A D B E :三个不共线的向量OA,OB,OC, AB 满足OA. 网同 0=0」 .OA. BA CA BA |OA|·coS∠DAO-|BA OA|cos∠FAO|CA 即 BA 网 即|DA=FA|,易得RIAOAD≌RIAOAF,则川OD曰OFI, 同理可得引OD=OE|,即点O到△ABC三边的距离相等， 则O是△ABC的内心，D正确. 故错误的选项为AC. 12.【分析】 高一数学参考答案与解析 第14页（共17页） 本题考查余弦定理、三角函数的定义在解三角形问题中的应用，属于中档题， 设BC=x,则AC=40+x,然后利用直角三角形ACD,直角三角形ACE,结合三角函数的定义表示出 CD,CE,最后在三角形CDE中，利用余弦定理列出关于x的方程求解即可. 【解答】 解：如图，设BC=x,则AC=40+x,又由已知得△ACD,△ACE为直角三角形，且∠ADC=30°， ∠AEC=45°， 所以由△ACD,△ACE为直角三角形得： 1C-+0=tm30- ,解得CD=√5(x+40) CD CD 3 AC x+40 =tanm45°=1，解得CE=x+40. CECE 在三角形CDE中，又∠DCE=150°，DE=700, 由余弦定理得：DE2=CD+CE2-2CD.CEc0S∠DCE, 即(x+40)2+3(x+40)2-2(x+40):V3(x+40)cos150°=7002， 解得x=1007-40. 故答案为：100√7-40. 13.【分析】 本题主要考查了平面向量的新定义问题，综合考查了向量的线性运 算、余弦定理以及利用基本不等式求最值，属于中档题 由己已知利用向量的线性运算，余弦定理及基本不等式进行求解 【解答】 解：设△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,C 因为△ABC的内心O到该三角形三边的距离相等，则SA:Sa:Sc=a:b:c, 由SA4·OA+S2·OB+S。OC=0可得a.OA+b.OB+c.OC=0, 所以40=bo5+0C, a a AO=mLAB+nAC=m(OB-OA)+n(OC-OA), 则40=，"O丽+，”00， 1-(+m 1-(+2 高一数学参考答案与解析 第15页（共17页) b 所以 1-(m+)a 1-(m+)a m+n b+c 1-m+0a，可得m+= b+c 所 a+b+c 又cos∠BAC= 3 由余弦定理可得ad2=B+c2-2 bc cos A=2+c2-2bc, 3 由整本不等式可得d=6+0c00-6+9_也 -3×4 3 所以心50+c),当且仅当b=c时等号成立， 3 所以M+n= b+c 1 s、1 =3-3-5 +6+e1+53+52 a+b+c 1+a 3 故答案为3V3 2 14.【分析】 本题考查空间几何体的截面面积，余弦定理解三角形，属于综合题 【解答】 解：如图，设线段DD上靠近D的四等分点为G,连接AE,AF,CE,CF,EF,BD,GE D ----4 B D: B .AE=CF=13,AF=CE=5, .四边形AECF是平行四边形，即过点C,E,F的平面截该正方体所得的截面为平行四边形A,CF 易证BD=GE,GE⊥DD,.EF=VGF2+GE2=VGF2+AB2+AD=2√3， 高一数学参考答案与解析 第16页（共17页) Cos∠AFE=Vi5 15 ·过点C,E,F的平面截该长方体所得的截面面积为AF.EFsm∠A,FE=2W14 15.本题需要掌握线面平行的判定，计算棱台与棱锥的体积，属于中等题， I)通过证明平面ADE/1平面BB,C,C,即可证明BC1∥平面ADE: (2)通过求出棱台上下底面面积和三棱锥A-ADE的体积表达式，即可求出三棱台ABC-AB,C1的体积 19.本题考查了面面平行的性质，棱锥的体积，二面角的求解，圆台的结构特征，属于较难题 )根据面面平行的性质进行证明即可： (2)①将圆台OO,的母线延长交于一点P,连接PE,延长PE交底面于点Q,连接BQ,CQ,根据面面平行 的性质可得ED∥CQ,推出四边形BFCQ为平行四边形，结合等体积法进行求解即可； ②过点D作边BC的垂线DG,垂足为G,在平面BFC内过点G作CF的平行线GH交BF于点H,连接DH, 则∠DCG为母线与下底面所成角，∠DHG为二面角C-BF-D的平面角，求得DG的最小值，以及此 时GH的值，解三角形即可. 高一数学参考答案与解析 第17页（共17页） 2025～2026学年度第二学期高一期末调研考试 数 学 2025. 6 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置． 2．选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁、不折叠、不破损． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在一个袋子中放个白球，个红球，摇匀后随机摸出个球，与“摸出个白球个红球”互斥而不对立的事件是(    ) A. 至少摸出个白球 B. 至少摸出个红球 C. 摸出个白球 D. 摸出个白球或摸出个红球 2.已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数分别为(    ) A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 3.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则(    ) A. B. 或 C. D. 或 4.已知，，为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为(    ) A. B. C. D. 5.为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为(    ) A. B. C. D. 6.已知在中，，则的形状为(    ) A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 7.某地有，，，四人先后感染了传染性肺炎，其中只有到过疫区，确定是受感染的．对于因为难以判定是受还是受感染的，于是假定他受和感染的概率都是同样也假定受，和感染的概率都是在这种假定下，，，中恰有两人直接受感染的概率是(    ) A. B. C. D. 8.在中，角，，所对的边分别为，，，，，是边上一点，且满足，是中点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在棱长为的正方体中，，，，下列结论正确的是(    ) A. 若时，三棱锥的体积为定值 B. 若时，周长的最小值为 C. 若时，三棱锥外接球体积为 D. 若为中点，则的最小值为 10.已知正方体的棱长为，点是的中点，点是侧面内的动点，且满足，下列选项正确的是(    ) A. 动点轨迹的长度是 B. 三角形在正方体内运动形成几何体的体积是 C. 直线与所成的角为，则的最小值是 D. 存在某个位置，使得直线与平面所成的角为 11.下列说法中错误的为     A. 已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量不能作为平面内所有向量的一组基底 C. 若，则在方向上投影的数量为 D. 三个不共线的向量，满足，则是的内心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.截止至目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座基站，已知基站高，该同学在公路、两点处测得基站顶部处的仰角分别为、，且该同学沿着公路的边缘从处走至处一共走了则山高为          该同学的身高忽略不计 13.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔驰定理与三角形的四心重心、内心、外心、垂心有着美丽的邂逅．它的具体内容是：如图，若是内一点，，，的面积分别为，，，则有． 已知为的内心，且，若，则的最大值为          ． 14.在长方体中，，，分别为棱，上一点，且，则过点，，的平面截该长方体所得的截面面积为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 如图，在三棱台中，，， 分别为，的中点． 求证：平面 若三棱锥的体积为，求三棱台的体积． 16.本小题分 在中，内角所对的边分别为，已知，，且． 求角的大小； 若，的面积为，求的周长． 17.本小题分 记的内角，，的对边分别为，，，满足． 求角 若，，是中线，求的长． 18.本小题分 在中，角，，的对边分别是，，，满足，点在上，平分内角． 求的值； 若，，求的面积； 若，求实数的取值范围． 19.本小题分 如图，等腰梯形为圆台的轴截面，，分别为上下底面圆周上的点，且，，，四点共面． 证明：； 已知，，四棱锥的体积为． 求三棱锥的体积； 当母线与下底面所成的角最小时，求二面角的正弦值． 高一数学试题 第 1 页 （共 5 页） 学科网（北京）股份有限公司 $报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 门4T 高一数学答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 可解回 (正面制上，切勿贴出盛线方框 正确填涂 缺考标记 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合要求的 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D 4[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共计18分.在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有 选错的得0分 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12 13 14. 囚囚■ 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证 明过程或演算步骤. 15.(13分) 囚囚■ ■ 16.(15分) ■ 17.(15分) 1 1 囚■囚 囚■囚 (LI)8I ▣ 19.(17分) ■2025~2026学年度第二学期高一期末调研考试 数学 2025.6 本卷满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、考号、座号填涂在相应位置： 2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑 色签字笔书写，绘图时，可用2B铅笔作答，字体工整、笔迹清楚 3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题 卷上答题无效，保持卡面清洁、不折叠、不破损， 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.在一个袋子中放2个白球，2个红球，摇匀后随机摸出2个球，与摸出1个白球1个红球” 互斥而不对立的事件是() A.至少摸出1个白球 B.至少摸出1个红球 C.摸出2个白球 D.摸出2个白球或摸出2个红球 2.已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则众数、中位数、平均数分别为() ◆频率/组距 0.040F 0.030 0.015 0.010 0.005 A 5060708090100数据 A.63、64、66 B.65、65、67 C.65、64、66D.64、65、64 3.在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c-4,-4W2,A=平，则C) A.6 B减 c胃 D或 高一数学试题 第1页（共6页) 4.已知A,B,C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆，若⊙O1的面积为4π， AB=BC=AC-OO1,则球O的表面积为() A.64π B.48元 C.36元 D.32元 5.为测量两塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如 图所示的几何模型.若MA⊥平面ABC,NB⊥平面ABC, AC60m,BC-70V5mtm∠CA7cws∠CB-号 ∠MCN=150°，则塔尖W之间的距离为(）) A.75v10m B.75√7m C.150m D.75v 2m 6.已知在△ABC中，a2 cosAsin B-=b2 sinAcosB,则△ABC的形状为() A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 7.某地有A,B,C,D四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A到过疫区，B确定是受A感染 的.对于C因为难以判定是受A还是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是同 样也假定D受A,B和C感染的概率都是在这种假定下，B,C,D中恰有两人直接受A感 染的概率是() A君 B.3 c时 D 8.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,=3,V3sinC+cosC=2,N是边BC上一 点，且满足BN=AC,M是AC中点，则N的最小值为() A号 B33-3 2 c D.22-1 3 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 高一数学试题 第2页（共6页） 9.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，AP-AC+44,1∈[0,1]，u∈[0,1]，下列 结论正确的是() A B M A.若=1时，三棱锥C-PBD的体积为定值 B.若+=1时，△BPD周长的最小值为2+√2 C.若2以71时，三棱锥P-BCD外接球体积为2x D.若M为BC中点，则B,P件PM的最小值为 10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点P是AA1的中点，点M是侧面AA1B1B内的动 点，且满足DM⊥CP,下列选项正确的是() A.动点M轨迹的长度是2v5 B B三角形A1D,M在正方体内运动形成几何体的体积是号 C直线D,M与Cc所成的角为a,则a的最小值是2 D.存在某个位置M使得直线BD,与平面A;DM所成的角为 B 11.下列说法中错误的为() A已知(1,2,1，l),且a与a的夹角为锐角，则实数的取值范围是(+m） B.向量(2,3).©（分，子不能作为平面内所有向量的一组基底 c.若a/b,则a在b方向上投影的数量为la 高一数学试题第3页（共6页） D.三个不共线的向量O,OEoC,满足04(45+C4)-0B(4+C3)0d(C4+BS)0, AB CA BAI CBI ICA BC 则O是△ABC的内心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.截止至目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能 见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测旁边山顶上的一座5G基站AB,已 知基站AB高40，该同学在公路D、E两点处测得基站顶部A处的仰角分别为30°、45°，且 ∠DCE-150°.该同学沿着公路的边缘从D处走至E处一共走了700m.则山高BC为.（该 同学的身高忽略不计) 13.奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志而来，是平面向量中一个非常优美的结论，奔 驰定理与三角形的四心（重心、内心、外心、垂心）有着美丽的邂逅.它的具体内容是：如图， 若P是△ABC内一点，△BPC,△APC,△APB的面积分别为SA,SB,Sc,则有 SAPA+SB PB+SC PC-0. 己知O为△ABC的内心，且cos∠BAC-3若AOAE+4C,则m+n的最大值为一， B 14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=4,E,F分别为棱BB1,DD1上一点，且 ,则过点C,,℉的平面截该长方体所得的截面面积为二 高一数学试题第4页（共6页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB=2A1B1,D,E分别为AB,AC的中点. B (1)求证：BC1∥平面A1DE, (2)若三棱锥A1-ADE的体积为1，求三棱台ABC-A1B1C1的体积. 16.(本小题15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知7-(a,c-2b),-(cosC,cosA),且元⊥i. (I)求角A的大小： (2)若b+=5,△ABC的面积为V3,求△ABC的周长. 17.(本小题15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a4,b,c,满足2c+b-2 acos B=O. (1)求角A; (②)若c23,AC-AD是△ABC中线，求AD的长. 高一数学试题 第5页（共6页） 18.(本小题17分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,满足acosB-=b(2-cosA),点D在BC上，AD 平分内角A. (①)求的值： (2)若BC-3V5,AD=2V2,求△ABD的面积： (3)若AD=AC,求实数k的取值范围. 19.(本小题17分) 如图，等腰梯形ABCD为圆台OO的轴截面，E,F分别为上下底面圆周上的点，且B,E,D, F四点共面. (1)证明：BF∥DE: (2)已知AD=2,BC=4,四棱锥C-BEDF的体积为3. ①求三棱锥B-ADE的体积； ②当母线与下底面所成的角最小时，求二面角C-BF-D的正弦值. 高一数学试题第6页（共6页）