精品解析：江苏省宿迁市宿城区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025-2026学年度第二学期期末调研测试 八年级 数学 试卷总分：150分 考试时长：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分．） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分式有意义时，分母不能为0，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 代数式是分式，分式有意义的条件为分母不为0， ∴ ， ∴ 解得． 2. 下列成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是（ ） A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 旭日东升 D. 绳锯木断 【答案】A 【解析】 【详解】解：水中捞月是不可能事件，不可能发生； 一箭双雕是随机事件，有可能发生也有可能不发生； 旭日东升是必然事件，一定发生； 绳锯木断是必然事件，一定发生； 所以在这四个成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是水中捞月． 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．此题考查最简二次根式问题，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，被开方数不能含有分母；（2）在二次根式的被开方数中不能含有开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意 B、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D、是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选D 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的乘方、加减、除法、乘法运算法则，依次计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A．， A错误； B．， B错误； C．， C错误； D．，计算结果正确， D正确． 5. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出结果，熟练掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； B、由，，不可得出四边形是平行四边形，故符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故不符合题意； D、由，，可得出四边形是平行四边形，故不符合题意； 故选：B． 6. 计算的结果为（ ） A. 2026 B. 20260 C. 202600 D. 2026000 【答案】C 【解析】 【分析】通过提取公因数2026，简化表达式后计算完全平方公式，最后相乘得到结果． 本题主要考查了用公式法分解因式，能够将原式进行正确变形是解决此题的关键． 【详解】解：原式 = + + 故选：C． 7. 若为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（ ） A. 有最大值是 B. 有最大值是 C. 有最小值是 D. 有最小值，没有最大值 【答案】A 【解析】 【分析】先对分式因式分解化简，再根据分式有意义的条件确定的取值范围，结合分式的增减性判断最值即可． 【详解】解：先对分式化简：， 分式要有意义，分母不能为， ， 且， 为正整数， 的最小取值为， 分子为固定正数，越大，的值越小， 当取最小整数时，原式取得最大值，最大值为，且原式没有最小值． 8. 如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边的中线的性质，连接，，，由矩形，得到，，，再根据斜边中点得到，即可得到，最后证明四边形是矩形，得到，当点在上时，最小，即最小． 【详解】解：连接，，， ∵在矩形中，， ∴，， ∴， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当点在上时，最小，即最小， 故选：D． 二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分．） 9. 为了调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，比较适合的调查方式是________调查（填“全面”或“抽样”）． 【答案】抽样 【解析】 【分析】根据调查的特点，判断调查是否具有破坏性，结合全面调查与抽样调查的适用范围选择合适的调查方式． 【详解】解：本次调查新能源汽车的抗撞击能力，调查过程具有破坏性，因此选择抽样调查． 10. 写出一个使代数式有意义的的值，则的值可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键，根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． ∴实数可以是任意大于或等于的数，例如． 11. 填空：若，则等式右边的分子为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据，得分母，故等式右边的分子为，即可作答． 【详解】解：∵， ∴分母， 即等式右边的分子为， 故答案为：． 12. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式，根据即可求解； 【详解】解：∵ 能用完全平方公式因式分解，且，， ∴ ； ∴比较系数得 ； 故答案为： 13. 若关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程有增根的问题，先确定分式方程的增根，再将分式方程去分母化为整式方程，把增根代入整式方程即可求出k的值． 【详解】解：原方程可变形为， 两边同乘最简公分母，得， 因为分式方程有增根，所以最简公分母，即增根为， 将代入整式方程，得， 即， 解得． 故答案为：2． 14. 如图，在菱形中，，点在边的延长线上，连接，交于点，连结，若，则__________（用含的式子表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，则有，然后根据三角形内角和及外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15. 如图，在等腰梯形中，，若，则底边的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作交于点E，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，，再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出，然后根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点A作交于点E， ∵在等腰梯形中，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴． 16. 如果，那么_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 由已知条件，可设，，求出和的值，再代入所求式子计算． 【详解】解：设，， 解得，． ，， ． 故答案为 ． 17. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 18. 如图，点C是线段上任意一点（不与点A、B重合），分别以、为边在线段的上方作等边、，连接．点P、Q分别为、的中点，连接．若，则线段长度的范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点，连接，取的中点，连接，易得为等边三角形，利用三角形的中位线定理，得到为等边三角形，证明，得到点为的中点，进而推出三点共线，得到当点与点（）重合时，最长，当时，最短，进行求解即可. 【详解】解：延长交于点，连接，取的中点，连接，如图， ∵等边、， ∴， ∴，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵点P、Q分别为、的中点， ∴，， ∴，为等边三角形， ∴，即为的中点， ∴， ∴三点共线，点在线段上运动， ∴当点与点（）重合时，最长， 当时，最短，此时，， 又∵点C不与点A、B重合，故点不能与点重合， ∴. 三、解答题（本题共10小题，共96分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）提出公因式即可； （2）先用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式因式分解． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式 ． 20. 先化简再求值：（），其中． 【答案】，1+． 【解析】 【分析】先计算括号内分式的减法、将除式分子、分母因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将x的值代入计算即可． 【详解】解：（） ＝（﹣）÷ ＝ ＝， 当x＝+2时， 原式＝ ＝ ＝1+． 【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 21. 某校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共4800本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A艺术类；B文学类；C科普类；D其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． （1）扇形统计图中的_________，_________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）请估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍？ 【答案】（1）40，36 （2）补充图形如下： （3）估计全校师生共捐赠了1440本文学类书籍 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图与条形统计图，用样本估计总体． （1）用艺术类的书籍数量除以其百分比可得抽取的书籍数量，求出C科普类书籍的百分比即可得到m 的值，用乘D其他类的书籍的百分比可得度数； （2）求出B文学类书籍的数量，补全统计图即可； （3）用全校总数4800乘样本中B文学类书籍的百分比即可． 【小问1详解】 解：随机抽取的书籍总数：（本）， C科普类书籍所占百分比：， ， D其他类书籍圆心角：； 【小问2详解】 解：B文学类书籍的数量：（本）， 图略； 【小问3详解】 解：（本）， 答：估计全校师生共捐赠了1440本文学类书籍． 22. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 【答案】（1）32 （2）9 【解析】 【分析】（1）先求出，，再将原式变形为，然后代入求值即可； （2）先将原式化简为，再代入，求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：由（1）得，， ． 23. 如图，在四边形中，，，点E为的中点． （1）尺规作图：作的平分线，与交于点F，连接． （2）求证：四边形是菱形 【答案】（1） 如图，即为所求作的角平分线． （2） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （2）利用角平分线和平行线得出，可得，利用直角三角形斜边中线的性质得出，可得，结合，证明四边形为平行四边形，再结合，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知． （1）比较大小：_____（填“>”或“<”）； （2）试比较与的大小，写出你的思考过程． 【答案】（1）> （2） 解：，理由如下： 由题意，作差：， 又， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）先计算并通分得到，根据，可知、，整体差值大于0，由此判断． （2）将与作差，整理因式分解得到，结合判断出与均为负数，两负数相乘结果为正，即差值大于0，进而推出． 【小问1详解】 解： ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 25. 如图，菱形的对角线，相交于点O，取中点F，连接并延长，使得，连接，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，．求菱形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ，，， ， 是的中点， 是的中位线，， ，， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）易得是的中位线，进而推出四边形是平行四边形，再根据，即可得出结果； （2）过点F作的垂线交于点G，连接，易得为含30度角的直角三角形，利用30度角的直角三角形的性质，勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据菱形的面积公式进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点F作的垂线交于点G，连接． ，，， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴菱形的面积． 26. 某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为2400台．公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的2倍．先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； （2）首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产40天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍，要使这40天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 【答案】（1）甲车间每天生产240台智能机器人，乙车间每天生产120台智能机器人 （2）要使这40天的生产总量最大，应安排甲车间生产30天，乙车间生产10天 【解析】 【分析】（1）设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人，结合先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务，再建立分式方程求解即可． （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这40天的生产总量为台，进一步利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人， 根据题意得，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（台）． 答：甲车间每天生产240台智能机器人，乙车间每天生产120台智能机器人． 【小问2详解】 解：设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这40天的生产总量为台， 根据题意，得，． ∵，∴随的增大而增大． ∵安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍， ∴，解得， 由于天数不能为负数， ∴．． ∴当时，取得最大值，此时（天）． 答：要使这40天的生产总量最大，应安排甲车间生产30天，乙车间生产10天． 27. 在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： （1） ； （2）化简：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）可证明（n为正整数），据此把所求式子中的每一项分母有理化，再计算即可得到答案； （3）分母有理化得到，则可证明，把所求式子变形为，进一步可变形为，据此可得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 设n为正整数， 则 ， ∴ ； 【小问3详解】 解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 28. 如图，M为正方形内一点，，连接，． （1）如图1，求的度数； （2）过点B作于点G，连接． ①如图2，试探究和的数量关系，并证明； ②如图3，连接交于点E，若，，请直接写出的长为________． 【答案】（1） （2）①，证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据四边形为正方形，得出，得出，设，在四边形中，根据四边形内角和即可解得，即可求解； （2）①过作， 且， 连接交于点， 连接．根据四边形为正方形，得出结合， 且，证出四边形为平行四边形，得出， 且，由（1）知，得出，证明，得出，即，在等腰中 ，根据勾股定理得出，即可证出； ②根据题意以及①可得，得出，根据勾股定理得出，根据，得出垂直平分线段，根据等面积法得出，根据直角三角形的性质得出，勾股定理算出，再算出，由①得，证明，根据勾股定理即可求解； 【小问1详解】 解：∵四边形为正方形， ， ， ， ∴可设， 在四边形中，， 解得：， 则：； 【小问2详解】 解：①过作， 且， 连接交于点， 连接． ∵四边形为正方形， ∴ ∵， 且， ∴四边形为平行四边形， ∴， 且， ，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， ， 即， 在等腰中 ，， ； ②根据题意以及①可得， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①得， ∴， 由①得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点并正确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期末调研测试 八年级 数学 试卷总分：150分 考试时长：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每题3分，共24分．） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是（ ） A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 旭日东升 D. 绳锯木断 3. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，仍无法判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果为（ ） A. 2026 B. 20260 C. 202600 D. 2026000 7. 若为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（ ） A. 有最大值是 B. 有最大值是 C. 有最小值是 D. 有最小值，没有最大值 8. 如图，在矩形中，分别为上的动点且为的中点，于点于点P，连接．若，则的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 二、填空题（本题共10小题，每题3分，共30分．） 9. 为了调查某品牌新能源汽车的抗撞击能力，比较适合的调查方式是________调查（填“全面”或“抽样”）． 10. 写出一个使代数式有意义的的值，则的值可以是________． 11. 填空：若，则等式右边的分子为_____． 12. 若能用完全平方公式因式分解，则的值为______． 13. 若关于x的分式方程有增根，则________． 14. 如图，在菱形中，，点在边的延长线上，连接，交于点，连结，若，则__________（用含的式子表示）． 15. 如图，在等腰梯形中，，若，则底边的长为__________． 16. 如果，那么_______． 17. 我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为_________________． 18. 如图，点C是线段上任意一点（不与点A、B重合），分别以、为边在线段的上方作等边、，连接．点P、Q分别为、的中点，连接．若，则线段长度的范围是_________． 三、解答题（本题共10小题，共96分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 分解因式： （1）； （2）． 20. 先化简再求值：（），其中． 21. 某校团委开展“关爱残疾儿童”爱心捐书活动，全校师生踊跃捐赠各类书籍共4800本．为了解各类书籍的分布情况，从中随机抽取了部分书籍分四类进行统计：A艺术类；B文学类；C科普类；D其他，并将统计结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． （1）扇形统计图中的_________，_________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）请估计全校师生共捐赠了多少本文学类书籍？ 22. 已知，求下列各式的值． （1）； （2）． 23. 如图，在四边形中，，，点E为的中点． （1）尺规作图：作的平分线，与交于点F，连接． （2）求证：四边形是菱形 24. 已知． （1）比较大小：_____（填“>”或“<”）； （2）试比较与的大小，写出你的思考过程． 25. 如图，菱形的对角线，相交于点O，取中点F，连接并延长，使得，连接，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，．求菱形的面积． 26. 某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为2400台．公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的2倍．先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务． （1）求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； （2）首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产40天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍，要使这40天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 27. 在数学课外学习活动中，小宇和他的同学遇到一道题： 已知，求的值，他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 请你根据小宇的解题过程，解决如下问题： （1） ； （2）化简：； （3）若，求的值． 28. 如图，M为正方形内一点，，连接，． （1）如图1，求的度数； （2）过点B作于点G，连接． ①如图2，试探究和的数量关系，并证明； ②如图3，连接交于点E，若，，请直接写出的长为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $