湖北武汉市重点中学5G联合体2025-2026学年下学期期末考试高二数学试卷

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数在处可导，且，则（ ） A． B． C． D． 2．已知等比数列的各项均为正数，，，则（ ） A． B． C． D． 3．若（），则（ ） A．20 B．120 C．60 D．135 4．学校测试AI智能阅卷，启用了标注为甲，乙，丙的三款评卷系统．平台将随机调用甲，乙，丙的概率依次为0.4，0.4，0.2．若甲，乙，丙批改一道数学题的正确率分别为，，．现随机抽取一道题目，则该题目被正确批改的概率为（ ） A．0.81 B．0.82 C．0.83 D．0.84 5．将标有5，5，2，3，4，6的六张数字卡片分成甲，乙，丙三组，要求每组都有奇数数字卡片与偶数数字卡片，则不同的分法总数为（ ） A．12 B．36 C．24 D．18 6．若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A． B． C． D． 7．设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 8．已知定义在上的增函数满足对，有，设，若对，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（ ） A．已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1 B．残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好 C．线性回归直线必然过样本中心点 D．已知，根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据的独立性检验，变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05 10．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．函数有2个极值点 B．函数无最小值 C．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 D．函数有5个零点 11．杨辉为我国古代数学史上著述丰富的数学家，其传世著作包括《详解九章算法》，《日用算法》及《杨辉算法》．公元1261年，他于《详解九章算法》中刊载了图1所示数表，后世称之为杨辉三角，图2为该数表的数字呈现形式．杨辉三角的发现较欧洲相关研究成果早约五百年，充分体现了我国古代数学所取得的卓越成就，亦足以令中华民族引以为傲．据此材料，下列说法正确的是（ ） A．第8行所有数字的和等于256 B．第8行所有数字的平方和等于 C．记每一行的第（）个数组成的数列称为第斜列，该三角形数阵前2026行中第斜列各项之和为 D．若第行的第个数记为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式的常数项为_____________． 13．已知曲线在点处的切线与二次函数的图象只有一个公共点，则实数的值为_____________． 14．甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”的游戏．游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀．每一局游戏甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且相互独立．在一局游戏中某人赢1个人得2分，赢2个人得5分，其他情况得0分．设一局游戏后3人总得分为，则随机变量的数学期望的值为_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分） 在中，角，，的对边分别为，，，若． （1）求角； （2）若，的面积为，求，的值． 16．（本小题15分） 如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形， （1）若为的中点，求证：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 17．（本小题15分） 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和． 18．（本小题17分） 2026年马年春晚《武BOT》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为，少年武者获胜的概率为，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）． （1）当时，记结束比赛时的局数为，求的分布列和数学期望； （2）设在该赛制下机器人获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利； ②随着的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 19．（本小题17分） 已知函数， （1）求不等式的解集； （2）已知实数，求的零点个数； （3）若，且，求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $高二（下）期末考试参考答案 一。选择题 6 8 10 11 A C B D B C B BCD AD ABD 二.填空题 13 12.135 13.1 14.3 三.解答题 15.解：(1)由bcos A+-V3 bsin A-c-a=0及正弦定理得 sin B cos A+3sin Bsin A-sin C-sin 4=0 1分 sin C=sin(-4-B)=sin (+B)=sin Acos B+cos Asin B 所以V5 sin Bsin A-sin Acos B-sinA=0 3分 由于sinA≠0，V3sinB-cosB-1=0 4分 5分 Bsπ 又0<B<π，故3 6分 (2)由题得△ABC的面积 acsin B=93 4,故ac=9① 8分 而b2=a2+c2-2 accos B, 9分 且b=2,故a2+c2=18②， 11分 由①②得a=c=3 13分 16.(1)连接CA交BD于点M,连接MN. 因为ABCD为正方形，M为AC中点， 2分 又因为N为PC的中点， 所以MN为△CPA中位线，MNIIAP. 4分 又因为MNC平面BWD,APa平面BND, 所以AP/I平面BND 6分 (2)(方法一)因为PD⊥平面ABCD,AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC, 在正方形ABCD中，DA⊥DC, 所以以D1,DC,D 了为正交基底建立空间直角坐标系0-2,7分 因为PD=AD=3, 所以C(03,0),B(3,3,0).P(0,0,3) 所以PB=(3,3,-3),PC=(0,3-3) 8分 设平面PBC的一个法向量为m=(x,少2)】 m.PB=0, 3x+3y-3z=0, 所以m:PC=0,即{3y-3z=0, 9分 解得x=0,取y=1,得z=1,所以m=(0,1), 11分 又平面PAD的一个法向量为”=(01,0)， 13分 mn1√2 cos(m,n）= 所以 m22 √2 所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为2. 15分 (方法二)因为PD⊥平面ABCD,ADC平面ABCD,CDC平面ABCD, 所以PD⊥AD,PD⊥CD 8分 因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD 又因为DCc平面PCD,PCC平面PCD,DCOPC=C, 所以AD⊥平面PCD 10分 在平面PAD过P作I∥AD,有I⊥平面PCD, PDc平面PCD,PCC平面PCD,所以PD⊥I,PC⊥I,∠DPC为平面PAD与平面PBC夹角或 其补角， 12分 因为底面ABCD为正方形，所以AD=CD=3,又PD=3,PD⊥CD,故∠DPC即为所求 ∠DPC= 4 14分 √2 平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为2 15分 17.(1)设等差数列a}的首项为4，公差为d,则前n项和为° =na+ nn-山d 2 a+2d=7 2 所以 a1+2d=7 即(4a+6d=6a,+3d 3分 解得4=3，d=2, 4分 所以a,=3+(n-1)x2=2n+1 因此数列a,}的通项公式为0，=2n+1 6分 (2)Cm=abn=(2n+1）-2"1 7分 Tn=3×22+5×23+7×24+…+(2n+1)×21 2Tn=3×23+5×24+7×2+…+(2n+1)×2m*2 9分 所以7。-2T,=12+2×2°+2×24++2×21-(2n+1)×2” 11分 =12+2-2x22 1-2 -(2n+10x22=1-2n)22-4 13分 即T,=(1-2n)2+2-4 14分 所以T,=(2n-1)2*2+4 15分 18.(1)当k=1时，赛制为三局两胜制，故X的可能取值为2,3， 4 P(X=3)=C×3×号9， 124 2分 所以X的分布列为： X 2 3 5/9 4/9 E(x)=2x5+3x4 422 9 99 4分 2 p= (2)①因为每局比赛中，机器人获胜的概率为 3, 由题可知P(0)为3局2胜制时，机器人获胜的概幸，机器人获胜的情形有两种：2：0或2：1， 所以 0=p+cp0-p=p6-2p)-3-2)9 6分 P(2)为5局3胜制时，机器人获胜的概率，机器人获胜的情形有三种：3：0或31或3：2， P(2)=p3+Cp(1-p)+Cp3(1-p)=p(6p2-15p+10) +c子c)号 8分 所以P(2)>P() 所以k=2时，5局3胜制对机器人更有利 9分 ②随着k的增大，机器人获胜的可能性越来越大. 证明如下： P(k)= C(-p 由①可知， i=k+1 （用全场打满的方法算) 10分 下面讨论2k+3局与前2k+1局的递推关系：（用先打2k+1局，再打2局的方法） (i)若前2k+1局中机器人恰好赢了k局，则后两场机器人都要赢才能获胜， 其慨率为C5p(1-pp,即Cp“(1-p) 11分 (ⅱ)若前2k+1局中机器人恰好赢了k+1局，则后两场机器人至少要赢一场才能获胜， 其获胜率为CD广“-p[1--p门，即Cp-p旷2-p) 12分 ()若前2k+1局中机器人至少赢了k+2局，则后两场机器人无论输赢都获胜， Cp1-p)H 其获胜概率为k+2 13分 .P)=CpCi0-pY(2-p)C0-p =k+2 .P(k+1)-P(k)=C2+1D+20-p)++C4p+21-p)(2-p)）-C1p+(1-p) C4p(1-p)(2p-). 15分 号2x子1>0：c5p0-p产(2n->0,mPk+>P) .p= 3 3 17分 19.解1)已知f()=2x血x,对其求导可得f"()=2(血x+),令f()=0,解得-e. 当x变化时，'(：，f()的变化情况如下表： 1 f'(x) 0 f(x) 单调递减 极小值 单调递增 3分 与ge0x0=0,w=2 则不等式0≤f()s2e的解集为{x1≤x≤e 5分 （2)由愿意8()=2xmx-4r+20的定义域为(0，+o）,且8'()=2(nx-) 当x∈(0，e)时，g(,)<0,当x∈(e,+∞)时，g()>0 故8(~在区间(0，©)上单调递减，在(c,+切）上单调递增。 7分 a<0,g(x)mm=g(e)=-2e+2a<0 8分 当xe0,e]时，xhr-2r≤0，a<0,故s()<0, 当x>e2时，8(e2-）=22-a)e2-4e2+2a=-2a(e2-）>0 “g()在(e,+o)上单调递增，当a<0时，8()有且仅有一个零点. 10分 (其他方法请老师们酌情给分) f(s)-f(压）=f() 3n-x血五=lnx,+1 (3)由x- 得2一x Inxo nx1 则 X2-1 11分 25<xn25<n%n2<5n5-血5-1 要证水+x，可证+x，即证x+乃 x2-x t=支 n2<血t+nx）xn5-l 令方(t>1),即证t+1 (t-1)x In 2tstt-1 即证t+1t-1 13分 -h-n+1-1<0t>1),先i证hx<x-1(>1)· 下证 t+1 设()=-1-，x1,P=1-= xx, 当x>1,p()>0,p(在（L,+o)上单调递增， 则p()>p()=0,即x-1>lnx 15分 sF四三kx+只证明F<0,又hx- P-n告+-2-n 则 司股小 ∴.F(x)在(1，+0)上单调递减， we0-0加得11-10 )1分