第6节空间向量与线面位置关系专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以空间向量运算为基础，系统构建线面位置关系判定的向量方法体系，通过坐标化转化实现几何问题代数化求解，培养数学眼光与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-5、填空10-11|向量平行/垂直/夹角/共面的坐标运算|从向量概念到线性运算、数量积，构建空间向量基本工具| |位置关系判定|单选6-7、多选8-9、填空12|线面平行/垂直的向量判定（方向向量与法向量关系）|向量运算→位置关系判定定理→几何性质应用| |综合应用|解答13-14|空间坐标系建立与向量法证明|坐标化转化→向量关系推理→几何结论证明，体现数学语言表达|

第6节　空间向量与线面位置关系 一、单选题 1.设x，y∈R，向量a＝(1，x，y)，b＝(2，－4，－2)，a∥b，则x＋y＝(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 2.若直线l的一个方向向量为a＝(1，－2，－1)，平面α的一个法向量为b＝(5，2，1)，则(　　) A.l⊥α B.l∥α C.l⊂α D.l∥α或l⊂α 3.已知a＝(1，0，1)，b＝(1，1，2)，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C.π D. 4.已知向量a＝(1，x，2)，b＝(0，1，2)，c＝(1，0，0)，若a，b，c共面，则x等于(　　) A.－1 B.1 C.1或－1 D.1或0 5.已知O是坐标原点，空间向量＝(1，1，2)，＝(－1，3，4)，＝(2，4，4)，若线段AB的中点为D，则||＝(　　) A.2 B.3 C.8 D.9 6.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM＝BB1，D1N＝D1D，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A. B. C. D. 7.在三棱锥P－ABC中，M是平面ABC内一点，且9＝8＋t＋5，则t＝(　　) A. B.1 C.2 D.3 二、多选题 8.关于空间向量，以下说法正确的是(　　) A.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 B.已知两个向量a＝(1，m，3)，b＝(5，－1，n)，且a∥b，则mn＝－3 C.若a⊥b，且a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 D.点M(3，2，1)关于平面yOz对称的点的坐标是(－3，2，1) 9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝2，D为B1C1的中点，则(　　) A.A1D⊥B1C B.B1C⊥平面A1BD C.AC1∥平面A1BD D.直线AC1与B1C所成角为 三、填空题 10.若空间中三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，则p＋q＝　　　　.  11.如图所示，已知空间四边形O－ABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos<>的值为　　 　.  12.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，以D为坐标原点，向量的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，已知P在平面A1B1C1D1上，若DP⊥平面ACD1，则点P的坐标是　　　　.  四、解答题 13.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证: (1)PB∥平面EFH; (2)PD⊥平面AHF. 14.如图所示，已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝θ，且θ∈. (1)求证:CC1⊥BD; (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明. 第6节　空间向量与线面位置关系 一、单选题 1.设x，y∈R，向量a＝(1，x，y)，b＝(2，－4，－2)，a∥b，则x＋y＝(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 答案　B 解析　∵a∥b，∴， ∴x＝－2，y＝－1，则x＋y＝－3. 2.若直线l的一个方向向量为a＝(1，－2，－1)，平面α的一个法向量为b＝(5，2，1)，则(　　) A.l⊥α B.l∥α C.l⊂α D.l∥α或l⊂α 答案　D 解析　由题意可知，a·b＝1×5－2×2－1＝0， 则a⊥b，故l∥α或l⊂α. 3.已知a＝(1，0，1)，b＝(1，1，2)，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C.π D. 答案　B 解析　设向量a与b的夹角为θ， 则cos θ＝＝， 因θ∈[0，π]，故θ＝，故选B. 4.已知向量a＝(1，x，2)，b＝(0，1，2)，c＝(1，0，0)，若a，b，c共面，则x等于(　　) A.－1 B.1 C.1或－1 D.1或0 答案　B 解析　因为a，b，c共面， 所以存在实数λ，μ，使a＝λb＋μc， 所以(1，x，2)＝λ(0，1，2)＋μ(1，0，0)， 所以解得x＝1. 5.已知O是坐标原点，空间向量＝(1，1，2)，＝(－1，3，4)，＝(2，4，4)，若线段AB的中点为D，则||＝(　　) A.2 B.3 C.8 D.9 答案　B 解析　向量＝(1，1，2)，＝(－1，3，4)，线段AB的中点为D， 则＝(0，2，3)， 而＝(2，4，4)， 于是＝(－2，－2，－1)， 所以||＝＝3. 6.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM＝BB1，D1N＝D1D，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　＝－＝－， 故x＝－1，y＝1，z＝，所以x＋y＋z＝. 7.在三棱锥P－ABC中，M是平面ABC内一点，且9＝8＋t＋5，则t＝(　　) A. B.1 C.2 D.3 答案　B 解析　因为9＝8＋t＋5＝8＋t＋5， 所以14＝8＋t＋5， 即， 又点M是平面ABC内一点， 所以＝1，解得t＝1. 二、多选题 8.关于空间向量，以下说法正确的是(　　) A.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 B.已知两个向量a＝(1，m，3)，b＝(5，－1，n)，且a∥b，则mn＝－3 C.若a⊥b，且a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 D.点M(3，2，1)关于平面yOz对称的点的坐标是(－3，2，1) 答案　BCD 解析　对于A，若P，A，B，C四点共面， 则存在λ，μ∈R，使得＝λ＋μ， 即＝λ()＋μ()， 所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ， 且(1－λ－μ)＋λ＋μ＝1， 因为对空间中任意一点O有， 且≠1， 故P，A，B，C四点不共面，A错; 对于B，已知两个向量a＝(1，m，3)， b＝(5，－1，n)，且a∥b， 设a＝kb，即(1，m，3)＝k(5，－1，n)， 则故mn＝－3，B对; 对于C，若a⊥b，且a＝(x1，y1，z1)， b＝(x2，y2，z2)， 则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2＝0，C对; 对于D，点M(3，2，1)关于平面yOz对称的点的坐标是(－3，2，1)，D对. 9.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝2，D为B1C1的中点，则(　　) A.A1D⊥B1C B.B1C⊥平面A1BD C.AC1∥平面A1BD D.直线AC1与B1C所成角为 答案　AC 解析　由题意， 以A为原点，以AB，AA1，AC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 可得A(0，0，0)，A1(0，2，0)，B(2，0，0)， B1(2，2，0)，C(0，0，2)， C1(0，2，2)，D(1，2，1)， 则＝(1，0，1)，＝(－2，－2，2)，＝(0，2，2)，＝(2，－2，0)， 对于A，由·＝1×(－2)＋0×(－2)＋1×2＝0，则A1D⊥B1C，故A正确; 对于B，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 取x＝2，得n＝(2，，－2)， 由于不存在实数λ，使得＝λn，则与n不平行，故B错误; 对于C，由·n＝0×2＋2×＋2×(－2)＝0，则⊥n， 因为AC1⊄平面A1BD， 所以AC1∥平面A1BD，故C正确; 对于D，由|cos<>|＝≠， 则直线AC1与B1C所成角不为，故D错误. 三、填空题 10.若空间中三点A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，则p＋q＝　　　　.  答案　7 解析　因为空间中三点A(1，5，－2)， B(2，4，1)，C(p，3，q)共线，所以∥， 所以＝(1，－1，3)，＝(p－1，－2，q＋2)， 所以，解得p＝3，q＝4， 所以p＋q＝7. 11.如图所示，已知空间四边形O－ABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos<>的值为　　 　.  答案　0 解析　设＝a，＝b，＝c， 由已知条件得<a，b>＝<a，c>＝，且|b|＝|c|， ·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝|a||c|－|a||b|＝0， 所以⊥，所以cos<>＝0. 12.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2BC＝2CC1＝2，以D为坐标原点，向量的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，已知P在平面A1B1C1D1上，若DP⊥平面ACD1，则点P的坐标是　　　　.  答案　 解析　由题意得，D(0，0，0)，A(1，0，0)， C(0，2，0)，D1(0，0，1)， 则＝(－1，2，0)，＝(0，2，－1)， 因为点P在平面A1B1C1D1上， 所以设点P(m，n，1)，则＝(m，n，1). 若DP⊥平面ACD1， 则 解得所以点P的坐标是. 四、解答题 13.如图，四棱锥P－ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点.求证: (1)PB∥平面EFH; (2)PD⊥平面AHF. 证明　(1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点， ∴PB∥EH. ∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH， ∴PB∥平面EFH. (2)建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，H(1，0，0)， ∴＝(0，2，－2)，＝(1，0，0)，＝(0，1，1)， ∴·＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， ·＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. ∴⊥⊥， ∴PD⊥AF，PD⊥AH. ∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF， ∴PD⊥平面AHF. 14.如图所示，已知斜四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝θ，且θ∈. (1)求证:CC1⊥BD; (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明. (1)证明　设＝a，＝b，＝c， 则＝a－b， 又底面ABCD是菱形，有|a|＝|b|， 则·＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c|·|a|cos θ－|c|·|b|cos θ＝0， ∴⊥，则CC1⊥BD. (2)解　要使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥C1D且A1C⊥C1B. 欲使A1C⊥C1D， 则可证明·＝0， 即()·()＝0， 也就是()·()＝0， 即||2－||2＋||·||cos∠BCD－||||cos∠C1CB＝0， 由于∠C1CB＝∠BCD，显然当||＝||时，上式成立. 同理可得，当||＝||时，A1C⊥C1B. 因此，当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD. 学科网（北京）股份有限公司 $