7.8 空间向量的运算及应用(位置关系的证明) 练习-2027届高三数学一轮专题复习

**基本信息** 以空间向量运算为核心，通过坐标法系统解决空间位置关系证明，构建“概念-运算-应用”逻辑链条，体现数学思维的推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1、填空8|向量坐标运算、模与数量积|从向量线性运算到数量积，奠定位置关系判定基础| |位置关系判定|单选2-4、多选5-7、填空9|线面/面面平行垂直、共面问题|结合几何体（正方体/三棱柱），用向量法转化几何关系| |综合应用|解答题11-12、填空10|翻折/存在性问题、截面分析|从简单几何体到复杂情境，培养空间观念与模型意识|

7.8　空间向量的运算及应用(位置关系的证明) 一、 单选题 1 已知空间向量a＝(6，2，1)，b＝(2，x，－3).若(a－2b)⊥a，则x的值为(　　) A. 4 B. 6 C. D. 2 已知m，n是两条不同直线，方向向量分别是m，n；α，β，γ是三个不同平面，法向量分别是α，β，γ，则下列命题中正确的是(　　) A. 若α·γ＝0，β·γ＝0，则α⊥β B. 若m∥α，m·n＝0，则n∥α C. 若m·α＝0，n·α＝0，则m∥n D. 若m∥α，m∥β，则α∥β 3 [2025武汉调研]在三棱柱ABC-A1B1C1中，设＝a，＝b，＝c，M，N分别为AB，CC1的中点，则等于(　　) A. a＋b＋c B. a－b＋c C. a－b＋c D. a＋b＋c 4 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　) A. 相交 B. 平行 C. 垂直 D. MN在平面BB1C1C内 二、 多选题 5 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，若一点P在底面ABCD内(包括边界)移动，且满足B1P⊥D1E，则下列结论中正确的是(　　) A. D1E与平面CC1D1D夹角的正弦值为 B. 点A1到D1E的距离为 C. 线段B1P长度的最大值为2 D. 与的数量积的取值范围是 6 下列说法中，正确的是(　　) A. 若直线l的方向向量为a＝(0，－1，1)，平面β的一个法向量为b＝(0，1，1)，则l⊥β B. 若O是空间任意的一点，＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 C. 已知A(2，1，3)，B(1，3，1)，C(4，y，z)，若 ∥，则y－2z＝－17 D. 若e1和e2是相互垂直的两个单位向量，a＝3e1－2e2，b＝e1－e2，则|a＋b|＝5 7 [2025南通一模]已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是棱AB，A1D1的中点，则下列结论中正确的是(　　) A. C1F⊥平面DD1E B. 向量，，不共面 C. 平面CEF与平面ABCD的夹角的正切值为 D. 平面CEF截该正方体所得的截面面积为 三、 填空题 8 已知平面α的法向量为 u＝(x，1，－2)，平面β的法向量为v＝(－1，y，2).若α∥β，则x＋y＝________． 9 已知四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，侧棱PB，PC，PD上分别有一点E，F，G，且满足＝，＝，＝λ.若A，E，F，G四点共面，则实数λ＝________． 10 已知梯形ABCD和矩形CDEF，在平面图形中，AB＝AD＝DE＝CD＝1，CD⊥AE.现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足平面ABCD垂直于平面CDEF.设＝2，＝μ，若AP∥平面DBN，则实数μ的值为________． 四、 解答题 11 如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.求证： (1) EF∥平面PAB； (2) 平面PAD⊥平面PDC. 12 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AD，平面ADEF⊥平面ABCD，且BC＝2EF，AE＝AF，G是EF的中点． (1) 求证：AG⊥平面ABCD； (2) 线段AC上是否存在一点M，使MG∥平面ABF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 7．8　空间向量的运算及应用(位置关系的证明) 1. C　解析：因为a－2b＝(6，2，1)－2(2，x，－3)＝(2，2－2x，7)，(a－2b)⊥a，所以12＋4－4x＋7＝0，解得x＝. 2. D　解析：若α·γ＝0，β·γ＝0，则平面α，β同时垂直于平面γ，但无法确定平面α与β的位置关系，故A错误；若m∥α，m·n＝0，则m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；若m·α＝0，n·α＝0，则m∥α或m⊂α，n∥α或n⊂α，但无法确定直线m，n的位置关系，故C错误；若m∥α，m∥β，则m⊥α，m⊥β，垂直于同一条直线的两平面平行，故D正确． 3. B　解析：如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，＝＋＋＝－＋＋＝a－b＋c. 4. B　解析：以C1为坐标原点，C1B1，C1D1，C1C所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝，所以M，N，所以＝.因为C1D1⊥平面BB1C1C，所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量．因为·＝－×0＋0×a＋×0＝0，所以⊥.又MN⊄平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C. 5. ABD　解析：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，E(1，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，D1(0，0，2).设P(x，y，0)，x，y∈[0，2]，则＝(x－2，y－2，－2)，＝(1，2，－2)，若B1P⊥D1E，则·＝x－2＋2(y－2)＋4＝0，整理，得x＝2－2y，则解得0≤y≤1，即P(2－2y，y，0)，y∈[0，1].对于A，易知平面CC1D1D的一个法向量为n＝(1，0，0)，则cos 〈n，〉＝＝＝，所以D1E与平面CC1D1D夹角的正弦值为，故A正确；对于B，因为＝(2，0，0)，所以点A1到D1E的距离为＝＝，故B正确；对于C，因为＝(－2y，y－2，－2)，所以||＝＝，且y∈[0，1]，则当且仅当y＝1时，||取到最大值3，所以线段B1P长度的最大值为3，故C错误；对于D，因为＝(2y，－y，0)，＝(2y－1，2－y，0)，所以·＝2y(2y－1)－y(2－y)＝5－，且y∈[0，1]，则当y＝时，·取到最小值－；当y＝1时，·取到最大值1，即与的数量积的取值范围是，故D正确．故选ABD. 6. BCD　解析：对于A，因为直线l的方向向量为a＝(0，－1，1)，平面β的一个法向量为b＝(0，1，1)，则a·b＝0×0＋(－1)×1＋1×1＝0，所以a⊥b，所以l∥β或l⊂β，故A错误；对于B，因为＝＋＋，且＋＋＝1，所以P，A，B，C四点共面，故B 正确；对于C，因为＝(－1，2，－2)，＝(3，y－3，z－1)，设＝λ，所以解得所以y－2z＝－17，故C正确；对于D，因为a＋b＝4e1－3e2，所以|a＋b|＝|4e1－3e2|＝＝＝＝5，故D正确．故选BCD. 7. AC　解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C1(0，2，2)，F(1，0，2)，D(0，0，0)，D1(0，0，2)，E(2，1，0)，所以＝(1，－2，0)，＝(0，0，2)，＝(2，1，0).因为·＝·＝0，所以C1F⊥DD1，C1F⊥DE.因为DD1，DE为平面DD1E上相交的两条直线，所以C1F⊥平面DD1E，故A正确；因为A1(2，0，2)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，所以＝(0，1，－2)，＝(－1，－2，2)，＝(－2，－2，0)，所以＝2＋2，所以，，共面，故B错误；因为点C(0，2，0)，所以＝(2，－1，0)，＝(1，－2，2).设平面CEF的法向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝1，得故n＝(1，2，).因为DD1⊥平面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为＝(0，0，2).设平面CEF与平面ABCD的夹角为α，则cos α＝|cos 〈n，〉|＝＝＝，所以sin α＝＝，则tanα＝＝，故C正确；连接CE并延长与DA的延长线交于点G，连接GF与AA1交于点H，与DD1的延长线交于点K，连接KC与C1D1交于点M，则截面为五边形FMCEH.因为CG＝2GE＝2，＝＝＝，所以AH＝，HG＝，HE＝.在△HGE中，由余弦定理，得cos ∠HGE＝＝＝，则sin ∠HGE＝＝，所以S△HGE＝HG×GE sin∠HGE＝×××＝.因为HE是△GKC的中位线，所以S△GKC＝4S△HGE＝，所以S四边形HECK＝，所以截面面积小于，故D错误．故选AC. 8. 0　解析：因为α∥β，所以u∥v，设u＝λv，则解得所以x＋y＝0. 9. 　解析：因为A，E，F，G四点共面，所以存在m，n∈R使得＝m＋n，所以－＝m(－)＋n(－)，所以＝m＋n＋(1－m－n)＝(1－m－n)＋m＋n.因为＝，即－＝－，所以＝－＋＋.因为＝λ，即(1－m－n)＋m＋n＝－λ＋λ＋λ，所以则1－λ＝－λ，解得λ＝. 10. 3　解析：易得CD⊥DE，CD⊥DA，又平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF＝CD，AD⊂平面ABCD，所以AD⊥平面CDEF.因为DE⊂平面CDEF，所以AD⊥DE，故以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(1，1，0)，A(1，0，0)，E(0，0，1)，C(0，2，0)，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝，同理可得＝＋＝＋＝＋＝.设平面DBN的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，则n＝(－1，1，－4).又＝＋＝，AP∥平面DBN，所以·n＝＋－＝0，解得μ＝3. 11. 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)， 所以E，F，＝，＝(0，0，1)，＝(0，2，0)，＝(1，0，0)，＝(1，0，0). (1) 因为＝－， 所以∥，即EF∥AB. 又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB， 所以EF∥平面PAB. (2) 因为·＝(0，0，1)·(1，0，0)＝0，·＝(0，2，0)·(1，0，0)＝0， 所以⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC， 又AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以DC⊥平面PAD. 因为DC⊂平面PDC， 所以平面PAD⊥平面PDC. 12. (1) 因为AE＝AF，G是EF的中点，所以AG⊥EF. 又因为EF∥AD，所以AG⊥AD. 因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AG⊂平面ADEF， 所以AG⊥平面ABCD. (2) 由(1)，得AG⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD， 所以AG⊥AD，AG⊥AB. 又因为四边形ABCD是边长为4的正方形， 所以AG，AD，AB两两垂直， 故以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz, 则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，4，0). 假设线段AC上存在一点M，使MG∥平面ABF， 设＝λ，则＝λ， 因为＝(4，4，0)，所以＝(4λ，4λ，0). 设AG＝t(t>0)，则＝(0，0，t)，F(0，－1，t)， 所以＝－＝(－4λ，－4λ，t)，＝(0，－1，t)，＝(4，0，0). 设平面ABF的法向量为m＝(x，y，z)， 则则平面ABF的一个法向量为m＝(0，t，1). 因为MG∥平面ABF， 所以·m＝0，即－4λt＋t＝0，解得λ＝， 所以＝，此时＝， 即当＝时，MG∥平面ABF. 学科网（北京）股份有限公司 $