第6节　用空间向量研究线、面位置关系及距离 练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以空间向量坐标法为核心，系统覆盖方向向量、法向量应用及距离计算，构建“概念-判定-计算”递进逻辑，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |方向向量与法向量基础|3题（1,2,7）|坐标法求向量，向量共线/垂直判定|从向量概念到线面方向表征，建立空间量化基础| |线面位置关系判定|4题（5,6,9,12）|法向量垂直证线面垂直，向量共线证面面平行|以向量运算为工具，实现线面关系代数化判定| |距离计算|5题（3,8,11,13,15）|点面距离公式，异面直线公垂线投影法|结合几何性质，将距离转化为向量投影长度| |综合应用|3题（10,14）|动态问题参数化，轨迹方程构建|融合空间想象与代数推理，提升复杂问题解决能力|

第6节　用空间向量研究线、面位置关系及距离 （时间：60分钟，满分：95分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一个方向向量是（　　） A.（2，2，6） B.（1，2，3） C.（3，1，1） D.（－3，0，1） 2.已知A（3，2，0），B（0，4，0），C（3，0，2），则平面ABC的一个法向量是（　　） A.（1，1，1） B.（2，2，3） C.（2，3，3） D.（，－，） 3.已知经过点M（2，－1，1）的平面α的一个法向量为n＝（－1，－2，3），则点N（0，－2，2）到平面α的距离为（　　） A. B. C. D. 4.已知点A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），则△ABC的面积为（　　） A. B.2 C.5 D.1 5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2AB＝2，E为AB的中点，F为线段BB1上一点，且A1C⊥EF，则＝（　　） A.10 B.12 C.15 D.20 6.〔多选〕如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则下列选项正确的为（　　） A.EF∥BD1 B.EF⊥A1D C.EF＝ D.点F到平面ABD1的距离为 7.在空间直角坐标系中，a＝（1，2，1）为直线l的一个方向向量，n＝（2，t，4）为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝　　　　. 8.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面A1C1D间的距离是　　　　. 9.（13分）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点E在线段BB1上，且EB1＝1，D，F，G分别为CC1，C1B1，C1A1的中点. 证明：（1）B1D⊥平面ABD； （2）平面EGF∥平面ABD. 10.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，以CD，CB，CE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，若AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为（　　） A.（1，1，1） B. C. D. 11.生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也具有稳定性.已知某凉亭的顶部可视为如图所示的正四棱锥S-ABCD，其所有棱长都为6，AC，BD交于点O，点E在线段SC上，且CE＝SC，则△SAD的重心G到直线OE的距离为（　　） A. B. C. D. 12.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝3，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点）.若D1M⊥MN，则下列结论正确的是（　　） A.MN⊥A1M B.MN⊥平面D1MC C.线段BN长度的最大值为 D.三棱锥C1-A1D1M体积为定值 13.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）.若AM⊥MP，则点P在圆锥底面上形成的轨迹的长度为　　　　. 14.（15分）（2026·海南海口模拟）如图，△ABC和△DBC所在平面垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠CBA＝∠CBD＝120°，点M，N分别在直线AB和CD上移动. （1）证明：AD⊥BC； （2）当MN的长最小时，求点M到直线CD的距离. 15.〔创新定义〕定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，MN是异面直线AC与C1D的公垂线段，则MN的长为（　　） A.　　　　　　　　　　B.　　　　　　　　　　C.　　　　　　　　　　D. 第6节　用空间向量研究线、面位置关系及距离 1.A　2.C　3.B　4.A　5.C　6.ABD　 7.－3　8.　 9.证明：（1）以B为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则B（0，0，0），D（0，2，2），B1（0，0，4），设BA＝a，则A（a，0，0）， 所以＝（a，0，0），＝（0，2，2），＝（0，2，－2）， ·＝0，·＝0＋4－4＝0，即B1D⊥BA，B1D⊥BD. 又BA∩BD＝B，BA，BD⊂平面ABD，因此B1D⊥平面ABD. （2）由（1）知，E（0，0，3），G（，1，4），F（0，1，4）， 则＝（，1，1），＝（0，1，1），·＝0＋2－2＝0，·＝0＋2－2＝0， 即B1D⊥EG，B1D⊥EF.又EG∩EF＝E，EG，EF⊂平面EGF，因此B1D⊥平面EGF. 结合（1）可知平面EGF∥平面ABD. 10.C　由已知得A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1）.设M（x，x，1），则＝（x－，x－，1），＝（，－，0），＝（0，－，1）.设平面BDE的法向量为n＝（a，b，c），则即解得取b＝1，则n＝（1，1，）.又AM∥平面BDE，所以n·＝0，即2（x－）＋＝0，得x＝，所以M点的坐标为.故选C. 11.B　以O为原点，OA，OB，OS分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为所有棱长都为6，所以OA＝3，SO＝＝3，所以O（0，0，0），A（3，0，0），D（0，－3，0），S（0，0，3），C（－3，0，0），因为G为△SAD的重心，所以G（，－，）.设E（x，y，z），则＝（x＋3，y，z），因为＝，＝（3，0，3），所以⇒即E（－2，0，）.因为＝（－2，0，），＝（，－，），则G到直线OE的距离d＝＝＝.故选B. 12.ACD　在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以点D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则A1（3，0，3），D1（0，0，3），C（0，3，0），B（3，3，0），设M（3，y，0），N（3，3，z），y，z∈（0，3），故＝（3，y，－3），＝（0，3－y，z），又D1M⊥MN，则·＝y（3－y）－3z＝0，即z＝y（3－y）.对于A选项，＝（0，y，－3），则·＝y（3－y）－3z＝0，故⊥，即MN⊥A1M，A正确；对于B选项，＝（3，y－3，0），·＝（y－3）（3－y）＝－（3－y）2＜0，即CM与MN不垂直， 从而MN与平面D1MC不垂直，B不正确；对于C选项，＝（0，0，z），则线段BN的长度｜｜＝z＝［－（y－）2＋］≤，当且仅当y＝时等号成立，C正确；对于D选项，不论点M如何移动，点M到平面A1D1C1的距离均为3，而＝＝·3·＝，所以三棱锥C1-A1D1M体积为定值，D正确.故选A、C、D. 13.　解析：如图，以O为原点，OB，OS所在直线为y，z轴，圆锥底面垂直于OB的直线为x轴，建立空间直角坐标系，则A（0，－1，0），S（0，0，），M（0，0，），设P（x，y，0），－1≤x≤1，－1≤y≤1，则＝（0，1，），＝（x，y，－）.由于AM⊥MP，所以（0，1，）·（x，y，－）＝0，即y＝，此为点P的轨迹方程，其在底面圆内的长度为2＝. 14.解：（1）证明：依题意，由平面ABC⊥平面BCD，得以B点为坐标原点，以BC所在直线为y轴， 分别在平面BCD、平面ABC内过点B作垂直于BC的直线为x，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， ∵AB＝BC＝BD＝2，∠CBA＝∠CBD＝120°， ∴B（0，0，0），A（0，－1，），C（0，2，0），D（，－1，0）， ＝（，0，－），＝（0，2，0）， 则·＝0，∴⊥，故AD⊥BC. （2）设＝λ，＝μ，则＝＋＝＋μ， 则M（0，－λ，λ），N（μ，2－3μ，0）， ∴｜｜2＝（μ－0）2＋（2－3μ＋λ）2＋（0－λ）2 ＝（2λ－μ＋1）2＋（μ－）2＋， 当即时，MN的长最小值为， 此时＝（，，），＝（，－3，0）， ∴·＝0，即⊥， 故MN⊥CD，又点N在直线CD上， 因此当MN的长最小时，点M到直线CD的距离为. 15.C　如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.由题意得A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），C1（1，1，1），则＝（1，1，0），＝（1，0，1），＝（0，1，0）.设异面直线AC与DC1的公垂线的方向向量n＝（x，y，z），则即令x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝（1，－1，－1）， ∴异面直线AC与DC1之间的距离MN＝＝＝.故选C. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $