5.3　平面向量的数量积 练习-2027届高考数学一轮专题复习

**基本信息** 聚焦平面向量数量积的定义应用与几何转化，通过分层题型构建从基础计算到综合应用的逻辑训练链，培养数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|单选1-2、填空8|模长与夹角计算、坐标运算|以数量积定义为核心，关联模长公式与坐标表示，形成“定义-公式-运算”推导链| |几何应用|单选3-4、填空9|三角形/菱形/外接圆中的数量积|结合图形性质（中点、外接圆），体现“几何关系→向量表示→数量积转化”的应用逻辑| |综合应用|多选5-7、填空10、解答11-12|垂直判定、参数范围、综合解答|整合向量垂直条件、参数法与函数思想，构建“性质应用-动态问题-综合求解”的递进训练|

5.3　平面向量的数量积 一、 单选题 1 [2025合肥一模]已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝，则a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 2 [2025宜兴期中]已知a＝(3，4)，b＝(1，0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则实数t的值为(　　) A. －6 B. －5 C. 5 D. 6 3 [2026常州金坛一中调研]如图，圆M为△ABC的外接圆，AB＝4，AC＝6，N为边BC的中点，则·的值为(　　) A. 5 B. 10 C. 13 D. 26 4 已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝60°，动点P在边BC上(包括端点)，则·的取值范围是(　　) A. [0，1] B. [－1，2] C. [－2，2] D. [－1，1] 二、 多选题 5 设a，b，c是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法中正确的是(　　) A. 若|a＋b|＝|a－b|，则a⊥b B. 若|a|＝|b|，则(a＋b)⊥(a－b) C. 若a·c＝b·c，则a－b不与c垂直 D. (b·c)a－(a·c)b不与c垂直 6 已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则与向量a－b的夹角为锐角的向量有(　　) A. b B. a＋b C. a－2b D. b－2a 7 [2026南京学情调研]已知向量a＝(2，4)，b＝，c＝(3，3)，则下列说法中正确的是(　　) A. 若m＝1，则(a－c)⊥b B. 若a∥b，则m＝ C. a在c上的投影向量为c D. |b－c|的最小值为 三、 填空题 8 已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝，点P满足 ＝λ，λ∈R，若·＝－3，则λ＝________． 9 如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA＝3，OC＝5.若·＝－7，则·＝________． 10 [2025天一中学月考]设平面向量a，b，c满足|a|＝2，|b|＝|c|，|a－b|＝1，且b⊥c，则|b|的取值范围是________． 四、 解答题 11 已知|a|＝2，|b|＝1，(a－3b)·(a＋b)＝3.求： (1) |a＋b|的值； (2) a与a－2b的夹角． 12 [2026无锡一中月考]在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E，F分别为BC，CD的中点，点P在线段DE上运动． (1) 当P为DE的中点时，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值； (2) 若∠BAD＝60°，求·的取值范围． 5．3　平面向量的数量积 1. D　解析：由a＋b＋c＝0，得a＋b＝－c，则b2＋a2＋2a·b＝c2，即4＋1＋2a·b＝3，所以a·b＝－1.设a与b的夹角为θ，则cos θ＝＝－.因为θ∈[0，π]，所以θ＝，即a与b的夹角为. 2. C　解析：由题意，得c＝(3＋t，4).由a＝(3，4)，b＝(1，0)，cos 〈a，c〉＝cos 〈b，c〉，即＝，解得t＝5. 3. C　解析：如图，分别取线段AB，AC的中点E，F.因为M为圆心，所以AF⊥MF，AE⊥ME，所以·＝·＝||2＝18，·＝·＝||2＝8.又N为边BC的中点，所以＝(＋)，所以·＝(＋)·＝(·＋·)＝13. 4. C　解析：由题意，得∠BAD＝120°，所以·＝||||·cos ∠BAD＝2×2×＝－2.因为动点P在边BC上(包括端点)，所以设＝λ(0≤λ≤1)，所以＝＋＝＋λ＝＋λ，所以·＝·(＋λ)＝·＋λ||2＝4λ－2.因为0≤λ≤1，所以4λ－2∈[－2，2]，即·的取值范围是[－2，2]. 5. AB　解析：对于A，由|a＋b|＝|a－b|两边平方，得a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b，则a·b＝0，所以a⊥b，故A正确；对于B，若|a|＝|b|，则(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝0，所以(a＋b)⊥(a－b)，故B正确；对于C, 若a·c＝b·c，则(a－b)·c＝0，则a－b＝0(舍去)或(a－b)⊥c或c＝0(舍去)，故a－b与c垂直，故C错误；对于D，因为[(b·c)a－(a·c)b]·c＝(b·c)a·c－(a·c)b·c＝(b·c)(a·c)－(a·c)(b·c)＝0，所以(b·c)a－(a·c)b与c垂直，故D错误．故选AB. 6. BC　解析：由题意，得a·b＝2×1×cos 60°＝1，所以(a－b)·b＝a·b－b2＝1－1＝0，(a－b)·(a＋b)＝|a|2－|b|2＝4－1＝3>0，(a－b)·(a－2b)＝|a|2－3a·b＋2|b|2＝4－3×1＋2×1＝3>0，(a－b)·(b－2a)＝－2|a|2＋3a·b－|b|2＝－2×4＋3×1－1＝－6<0，易知只有B，C符合题意．故选BC. 7. ACD　解析：若m＝1，则b＝(1，1).由题意，得a－c＝(－1，1)，所以(a－c)·b＝－1×1＋1×1＝0，所以(a－c)⊥b，故A正确；若a∥b，则－4m＝0，解得m＝±，故B错误；易得a在c上的投影向量为·c＝·c＝c，故C正确；由题意，得b－c＝(m－3，－3)，所以|b－c|＝＝.令t＝m＋.当m>0时，t＝m＋≥2＝2，当且仅当m＝1时取等号；当m<0时，t＝m＋＝－(－m＋)≤－2＝－2，当且仅当m＝－1时取等号，所以|b－c|＝＝(t≥2或t≤－2)，所以当t＝3时，|b－c|有最小值，故D正确．故选ACD. 8. 　解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则点B(2，0)，C(1，)，D(－1，).设点P(x，0)，由·＝(－3，)·(x－1，－)＝－3x＋3－3＝－3x＝－3，解得x＝1.因为＝λ，所以λ＝. 9. 9　解析：因为·＝(－)·(－)＝(＋)·(－)＝||2－||2，同理·＝||2－||2＝－7，所以·＝||2－||2＝||2－||2－7＝9. 10. [1，3]　解析：设a＝(2cos θ，2sin θ)，b＝(t，0)，c＝(0，t)，t∈R，则a－b＝(2cos θ－t，2sin θ).由|a－b|＝1，得＝1，整理，得t2＋3＝4t cos θ，显然t≠0，故由t2＋3＝4t cos θ，可得cos θ＝.由|cos θ|＝≤1，得t2－4|t|＋3≤0，所以(|t|－1)(|t|－3)≤0，解得1≤|t|≤3，故|b|＝|t|∈[1，3]. 11. (1) 因为|a|＝2，|b|＝1，(a－3b)·(a＋b)＝3， 所以a2－2a·b－3b2＝3，即4－2a·b－3＝3， 解得a·b＝－1， 所以|a＋b|＝＝＝. (2) 由题意，得a·(a－2b)＝a2－2a·b＝4＋2＝6， |a－2b|＝＝＝2. 设a与a－2b的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝. 因为θ∈[0，π]， 所以θ＝， 故a与a－2b的夹角为. 12. (1) 当P为DE的中点时，＝＋. 又E为BC的中点， 所以＝＋＝＋＝＋， 所以＝＋(＋)＝＋. 又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝， 所以λ＋μ＝＋＝. (2) 因为F为CD的中点，所以＝＋＝＋. 设＝t，0≤t≤1，则－＝t(－)， 所以＝t＋(1－t)＝t(＋)＋(1－t) ＝t＋. 因为AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°， 所以·＝||·||cos 60°＝2×1×＝1， 所以·＝[t＋]· ＝t||2＋||2＋· ＝t·22＋1－t＋＋t＝t＋. 因为0≤t≤1，所以t＋∈. 故·的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $