精品解析：江苏常州市正行中学2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题

常州市正行中学2025—2026学年高一第二学期期末考试试卷 数学 2026年6月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 从含有500个个体的总体中，一次性地抽出25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么，总体中某个个体被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件为对立事件 C. 事件与事件为互斥事件 D. 事件与事件相互独立 7. 在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（实线为甲的折线图），则（ ） A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等 B. 甲的环数的中位数比乙的大 C. 甲的环数的众数比乙的小 D. 乙打靶的成绩比甲的更稳定 10. 中，角所对的边分别为，，，则（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. 面积的最大值为 D. 的内切圆半径的最大值为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则四面体的体积为 C. 若平面，则点的轨迹长度为 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 13. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，侧面积为，则圆台的高为______． 14. 受台风影响，路边一棵大树在树干某点处被台风折断且形成角，树尖着地处与树根相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．若，则折断前树身长度为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，且与的夹角为． （1）求与的夹角； （2）求． 16. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面． 17. 为选拔运动员参加大学生运动会，某高校对40名大学生选手进行专项成绩考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图如图所示．现从得分在［70，90）中，按分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人． （1）求； （2）从5人中随机抽取2人进行考核，求至少有1人分数低于80分的概率． 18. 记的内角的对边分别为，面积为，已知，． （1）求； （2）若边上的中线，求； （3）若，点分别在边上，线段将分成面积相等的两部分，求的最小值． 19. 如图，在平面四边形中，，，，，将沿着翻折得到（保留原平面四边形）形成四棱锥． （1）若二面角为直二面角． ①求直线与平面所成角的正弦值； ②过点且平行于平面的平面交于点，求三棱锥的体积； （2）点在同一个球面上，设该球面的球心为，半径为，二面角和的平面角大小分别为，求（结果用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市正行中学2025—2026学年高一第二学期期末考试试卷 数学 2026年6月 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】方法一： ，将等式两边同时除以，分子分母同乘进行化简得， ∴，∴ . 方法二： 利用复数模的运算性质：对任意复数，恒有， 对左右两边同时取模，得，即， ∵ ，，∴ . 2. 从含有500个个体的总体中，一次性地抽出25个个体，假定其中每个个体被抽到的概率相等，那么，总体中某个个体被抽到的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据简单随机抽样的性质，个体被抽到的概率等于样本容量除以总体容量，直接计算即可. 【详解】已知总体容量为500，抽取的样本容量为25，则总体中某个个体被抽到的概率. 3. 若，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式展开，即可求解. 【详解】由，可得：  ， 两边同乘去分母得：， 展开右侧得：， 解得. 4. 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】结合线面平行的定义、判定定理及性质定理逐一验证各选项，即可. 【详解】对选项A：若，，则或，因此A错误； 对选项B：该命题是线面平行的性质定理，即如果一条直线与一个平面平行， 如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行，因此B正确； 对选项C：若，，则或，因此C错误； 对选项D：若，，则与的位置关系为平行或异面，因此D错误. 5. 如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线BD上靠近点D的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】在平行四边形中，边，，点是对角线上靠近点D的三等分点， 所以. 6. 掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与事件为对立事件 C. 事件与事件为互斥事件 D. 事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】由各类事件的定义结合事件独立性的公式依次验证选项即可. 【详解】由题意得，故A错误， ，故B，C错误， ，，所以， 故事件与事件相互独立，故D正确. 7. 在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 8. 已知，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 化简得，所以. 又由于，所以​​， 又，， 所以，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 甲、乙两人在相同的条件下各打靶6次，每次打靶的情况如图所示（实线为甲的折线图），则（ ） A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等 B. 甲的环数的中位数比乙的大 C. 甲的环数的众数比乙的小 D. 乙打靶的成绩比甲的更稳定 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图中数据计算平均数、中位数、众数、方差，然后逐一判断即可. 【详解】由图可知，甲的环数由小到大排列：， 乙的环数由小到大排列：， 对A，甲的平均环数， 乙的平均环数，正确； 对B，甲的环数的中位数为，乙的环数的中位数为，错误； 对C，甲的环数的众数为，乙的环数的众数为，错误； 对D，甲的方差， 乙的方差， 因为，所以乙打靶的成绩比甲的更稳定，正确. 10. 中，角所对的边分别为，，，则（ ） A. B. 的外接圆半径为 C. 面积的最大值为 D. 的内切圆半径的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据余弦定理将等式中的角转化为边化简即可求出边的值，根据正弦定理即可判断B选项，利用已知角列出面积公式，根据基本不等式求解面积的最大值，根据等面积法利用内切圆半径列出面积公式，根据半径表达式计算最大值． 【详解】由余弦定理可得，整理得，解得，故A正确； 由正弦定理可得，则（为三角形外接圆的半径）； ， 由余弦定理可知， 因为，当且仅当时，等号成立； 故，故，则面积的最大值为； 设为的内切圆半径，则， 则，因为，当且仅当时，时，等号成立； 则， 令，则，则， 当时，即，取最大值，的内切圆半径的最大值为． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，动点在侧面内且满足，，，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则四面体的体积为 C. 若平面，则点的轨迹长度为 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用向量关系证明线线平行判断A，根据三棱锥体积公式计算判断B，应用线面平行及边长计算判断C，把平面翻折展开至平面，当三点共线时，取最小值，再结合余弦定理计算判断D. 【详解】对于A，当时，，取线段的中点， 则，即共线， 由于为的中点，在正方体中，所以，故A正确； 对于B，当时，则，所以是的中点，此时点到平面的距离为， 所以，故B正确； 对于C，取线段的中点，线段的中点， 当点位于线段上时，，平面，平面，所以平面， 又因为，平面，平面，所以平面， 由于交于点，平面，所以平面平面，平面，所以平面， 因此点的轨迹为线段，由于正方体的棱长为，，所以点的轨迹长度为，故C错误； 对于D，当时，点位于线段上，把平面翻折展开至平面，如图所示，当点三点共线时，取最小值， 在中，由于为的中点，正方体的棱长为， 由勾股定理可知，，， 由余弦定理得，所以， 又因为为等边三角形，所以在中，， 所以， 所以，代入数据，解得， 因此的最小值为. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据虚数单位的幂次运算规则，分别计算各项的值后求和即可得到结果； 【详解】， 13. 一个圆台的上、下底面的半径分别为和，侧面积为，则圆台的高为______． 【答案】 3 【解析】 【详解】设圆台的母线长为，高为，上底面半径，下底面半径. ∵ 圆台的侧面积公式为，且已知， ∴ 将已知条件代入得 ，解得. ∵ ， 代入，得. 14. 受台风影响，路边一棵大树在树干某点处被台风折断且形成角，树尖着地处与树根相距10米，树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设（三点所在平面与地面垂直，树干粗度忽略不计）．若，则折断前树身长度为______． 【答案】（或）米 【解析】 【分析】在中，利用三角形内角和定理求出，再利用正弦定理分别求出AB和BC的长度，最后求和即可． 【详解】在中，由题意可知，，． ∴． 由正弦定理，得， ∴． 故折断前树身长度为（米）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，，，且与的夹角为． （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积公式可得，即可得夹角为. （2）由向量的数量积公式对平方再开方即可求解. 【小问1详解】 ， ， 所以与的夹角为. 【小问2详解】 ， ， 则. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为中点． （1）求证：∥平面； （2）求证：平面． 【答案】（1）见解析； （2）见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)设与交于点，接，可得，即可证明∥平面； (2)证明AC⊥BD及AC⊥即可﹒ 【小问1详解】 设与交于点，接， 底面是菱形， 为中点， 又∵是的中点， ， 面，平面 ∥平面； 【小问2详解】 在直四棱柱中，面面， ∴． ∵底面为菱形，∴， ∴面面， ∴面﹒ 17. 为选拔运动员参加大学生运动会，某高校对40名大学生选手进行专项成绩考核（满分100分），考核成绩的频率分布直方图如图所示．现从得分在［70，90）中，按分2层，采用分层随机抽样的方法抽取5人． （1）求； （2）从5人中随机抽取2人进行考核，求至少有1人分数低于80分的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和等于1列式计算即可； （2）根据古典概型概率公式求解即可. 【小问1详解】 由图可知，解得. 【小问2详解】 考核成绩在内的频率分别为， 所以抽取的5人中，考核成绩在内的分别为人和人，分别记为， 从5人中随机抽取2人的样本点： ，共10个， 至少有1人分数低于80分的样本点有：，共7个， 所以至少有1人分数低于80分的概率. 18. 记的内角的对边分别为，面积为，已知，． （1）求； （2）若边上的中线，求； （3）若，点分别在边上，线段将分成面积相等的两部分，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理以及三角形的面积公式求解即可. （2）根据余弦定理求出，以及三角形面积公式求解即可. （3）根据三角形面积以及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 已知，则，解得. 因为，所以. 【小问2详解】 ，是边上的中线， 在中，. 根据余弦定理，，代入化简得. 已知，，所以，即. 由(1)知，因此. 所以. 【小问3详解】 由，，解得，. 由正弦定理，解得，， 则. 设，，由平分面积得 . 结合得. 由余弦定理， 由基本不等式，等号成立当且仅当， 因此最小值为. 19. 如图，在平面四边形中，，，，，将沿着翻折得到（保留原平面四边形）形成四棱锥． （1）若二面角为直二面角． ①求直线与平面所成角的正弦值； ②过点且平行于平面的平面交于点，求三棱锥的体积； （2）点在同一个球面上，设该球面的球心为，半径为，二面角和的平面角大小分别为，求（结果用表示）． 【答案】（1）①；②； （2）． 【解析】 【分析】（1）①根据翻折变换可得全等三角形，并且根据直二面角可作出在底面的投影，作出直线与平面所成角，根据直角三角形求解夹角的正弦值； ②根据面面平行的性质，两平面平行，则平面内直线与另一平面平行，根据线面平行确定点的位置，进而通过换底计算三棱锥的体积； （2）利用球心与切面圆心连线垂直于截面的性质，构造二面角的平面角，根据角所在的直角三角形得到正切值，代入计算结果即可． 【小问1详解】 过点作，连接； 因为二面角为直二面角，所以平面平面， 且平面平面， 因为，平面，所以平面， 故为直线与平面所成角； 因为，，，， 所以，； 因为沿着翻折得到，所以； 故，； 在中，，解得； 则； 故在直角三角形中，， 在直角三角形中，； 故； 故直线与平面所成角的正弦值为． ②连接，取靠近点的四等分点，连接，； 由①可知，，根据翻折可知； 又因为，故， 因为平面，平面，所以平面； 因为，故， 因为平面，平面，所以平面； 又，且平面，故平面平面； 故为靠近点的四等分点；则， 而， 到平面的距离为； 故； 【小问2详解】 取的中点，连接； 的外接圆圆心为，则平面，则 的外接圆圆心为，则平面，则； 因为为的中点，故，因为，故， 又因为，且平面，则平面， 故，故为二面角的平面角； 则； 因为为的中点，则，且， 故四边形为平行四边形，则，则； 又因为，且平面，则平面， 故，故为二面角的平面角； 可得； 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $