微专题3 反比例函数与图形变换、阅读理解 2026-2027学年苏科版数学九年级上册【暑假预习】

微专题3 反比例函数与图形变换、阅读理解 题型一：反比例函数与平移 【典例精讲】（2026•深圳校级模拟）参照学习函数的过程与方法，探究函数y（x≠0）的图象与性质，因为y，即y1，所以我们对比函数y来探究． 列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 … y … 2 3 5 ﹣3 ﹣1 0 … 描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示； （1）请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当x＜0时，y随x的增大而 　增大　 ；（填“增大”或“减小”） ②y的图象可看作是由y的图象向 　上　 平移 　1　 个单位而得到的； ③y图象的两个分支关于点 　（0，1）　 中心对称；（填点的坐标） （3）试说明函数y与直线y＝1的交点情况． 【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可； （2）利用图象法即可解决问题； （3）联立方程求出点A、B的坐标，由此即可解决问题； 【解答】解：（1）函数图象如图所示： （2）①当x＜0时，y随x的增大而增大； ②y的图象是由y的图象向上平移1个单位而得到； ③图象关于点（0，1）中心对称． 故答案为：增大，上，1，（0，1）； （3）根据题意得：1， x﹣2＝x， 无解， ∴没交点． 【变式训练1】（2026•兴庆区校级三模）综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数y的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知 函数的自变量取值范围是x≠﹣1　 ． （2）作出图象 ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 n 0 1 2 3 4 … y … 2 3 4 m 6 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … 填空：表中m＝　5　 ，n＝　　 ． ②描点，连线： 在平面直角坐标系xOy中，描出以表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象． （3）研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为（0，0），则函数的图象的对称中心为　（﹣1，1）　 ；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线y＝x和y＝﹣x，则函数的图象的对称轴为直线y＝﹣x，y＝x+2　 ． （4）拓展应用 若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为　5　 ． 【分析】（1）根据分母不能为0，即可解决问题； （2）①求出x的函数值，求得y＝﹣3时的x的值即可；②利用描点法画出函数图象即可； （3）根据平移的性质，可得结论； （4）联立方程组求出点A，B的坐标，运用分割法可求出△AOB的面积． 【解答】解：（1）∵x+1≠0， ∴x≠﹣1，故函数的自变量取值范围是x≠﹣1． 故答案为：x≠﹣1； （2）①时，， ∴m＝5． 当y＝﹣3时，则，解得， ∴． 故答案为：5，； ②函数图象如图所示： （3）该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为（0，0）， ∴函数的对称中心为 （﹣1，1）； 函数的图象的对称轴为直线y＝﹣x，y＝x+2． 故答案为：（﹣1，1）；y＝﹣x，y＝x+2； （4）如图， 联立方程组， ∴，． ∴A（﹣2，3），B（3，）． ∴S△AOB（3）×52×335． 故答案为：5． 【变式训练2】（2025•平定县二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 … … ﹣1 1 … 2．描点． 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，所以当x＝6时，y有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求x﹣1的最大值→求x的最大值 通过推理可得：当3≤x≤6时，x的最大值为6，所以当x＝6时，y有最小值． 任务：（1）填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：　数形结合思想　 ．（写出一个即可） （2）请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值． （3）直接写出的最小值． 【分析】（1）数形结合思想；函数思想：类比思想；（写一个即可）； （2）小红的方法：画出图象观察即可；小明的方法：求出1﹣x的最小值为1，可得的最大值为1，从而求出2的最大值为3； （3）y1，先求出x﹣1的最大值为﹣3，则的最小值为，即可求出y＝1的最小值为． 【解答】解：（1）数形结合思想；函数思想：类比思想；（写一个即可）； 故答案为：数形结合思想； （2）小红的方法：通过观察图象可知：当﹣8≤x≤0时，y随着x的增大而增大， ∴当x＝0时，y有最大值3； 小明的方法：∵﹣8≤x≤0， ∴1≤1﹣x≤9， ∴1﹣x的最小值为1， ∴的最大值为1， ∴2的最大值为3； （3）y1， ∵﹣6≤x≤﹣2， ∴﹣7≤x﹣1≤﹣3， ∴x﹣1的最大值为﹣3， ∴的最小值为， ∴y＝1的最小值为． 【变式训练3】（2025秋•信阳期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）绘制函数： ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … ②根据如表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象． （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①　图象是中心对称图形　 ，②　当x＞﹣1时，y随着x的增大减小　 ． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 　左　 平移 　1　 个单位． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 　﹣1＜x＜3　 时，y3＞3． 【分析】（1）描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象可从函数的增减性及对称性解答两条不同的性质； （3）理解运用：结合图象即可得出结论 （4）灵活应用：结合图象可准确填空． 【解答】解：（1）如图： ； （2）观察图象， ①图象是中心对称图形； ②当x＞﹣1时，y随着x的增大减小． 故答案为：图象是中心对称图形；当x＞﹣1时，y随着x的增大减小； （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位． 故答案为：左；1． （4）灵活应用：函数的图象在理解运用的基础上向上平移2个单位，当x满足﹣1＜x＜3时，y3＞3， 故答案为：﹣1＜x＜3． 【变式训练4】（2025秋•渠县校级期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数y（x≠0）的图象与性质，因为y1，即y1．所以我们对比函数y来探究． 列表 x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 … y … 2 3 5 ﹣3 ﹣1 0 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y相应的函数值为纵坐标，描出了相应的点．（如图所示） （1）连线：画出函数y的图象． （2）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当x＜0时，y随x的增大而 　增大　 ．（填“增大”或“减小”） ②y的图象是由y的图象向 　上　 平移 　1　 个单位而得到． ③y图象关于点 　（0，1）　 中心对称．（填点的坐标） 【分析】（1）根据坐标系中描出的点，画出函数图象即可． （2）①由（1）中所画图形即可解决问题． ②根据“上加下减”的平移法则即可解决问题． ③根据（1）中所画图形即可解决问题． 【解答】解：（1）函数图象，如图所示， ． （2）①由函数图象可知， 当x＜0时，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． ②因为y， 所以函数y的图象可由函数y的图象向上平移1个单位而得到． 故答案为：上，1． ③由函数图象可知， 函数y的图象关于点（0，1）中心对称． 故答案为：（0，1）． 【变式训练5】（2025秋•中宁县期末）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b2．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： （1）图2是反比例函数y的图象， 请在同一个平面直角坐标系xOy中，用描点法画出y2的图象，并完成如下问题： ①函数y2的图象可由函数y的图象向左平移　3　 个单位，再向下平移　2　 个单位得到，其对称中心坐标为　（﹣3，﹣2）　 ； ②上述探究方法应用的数学思想是B ； A．整体思想 B．类比思想 C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？ （2）将反比例函数y的图象先　向上平移1个单位　 ，再　右平移2个单位　 得到函数y1的图象，函数y1图象的对称中心坐标为　（2，1）　 ． 【分析】（1）先用描点法画出图象，①②根据函数图象的平移规律即可解答；③先求出y＝﹣1时x的取值，然后结合函数图象即可解答． （2）根据发现的规律填空即可． 【解答】解：（1）列表： x ⋯ ﹣9 ﹣6 ﹣5 ﹣2 ﹣1 0 1 3 9 ⋯ ⋯ ﹣4 ﹣6 ﹣8 10 4 2 1 0 ﹣1 ⋯ 描点、连线画出的图象如图所示： ①将函数向下平移2个单位，再向左平移3个单位，可得， 的对称中心为（0，0），向下平移2个单位，再向左平移3个单位，可得对称中心为（﹣3，﹣2），， 故答案为：3，2，（﹣3，﹣2） ②上述研究方法用到的数学思想是类比思想， 故答案为：B． ③当y＝﹣1时，有，即x＝9； 由图象知，当﹣3＜x≤9时，y≥﹣1． 故答案为：﹣3＜x≤9． （2）函数是由向上平移1个单位，再向右平移2个单位，其对称中心是（2，1）， 故答案为：向上平移1个单位；右平移2个单位；（2，1）． 【变式训练6】（2024春•尧都区校级期中）阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道，利用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？下面是小明同学对该函数的图象画法的探究过程． 利用描点法画图象： 列表： x … ﹣6 ﹣2 0 1 1.5 2.5 3 4 6 10 … y … 0.5 0 ﹣1 ﹣3 ﹣7 9 5 3 2 1.5 … 描点、连线： 任务： （1）函数的自变量x的取值范围为 x≠2　 ． （2）由图可知，该函数图象的对称中心是 　（2，1）　 ． （3）由图象可知，该函数的图象是由函数的图象平移得到的，请写出平移方式． 【分析】（1）利用函数解析式求自变量的取值范围即可； （2）根据图象解答问题即可； （3）根据平移的性质解决问题即可． 【解答】解：（1）∵函数有意义， ∴x﹣2≠0， 解得：x≠2， 故答案为：x≠2； （2）∵x≠2，y≠1， ∴的对称中心为（2，1）， 故答案为：（2，1）； （3）函数的图象是由函数的图象向右平移2个单位，向上平移1个单位得到 题型二：阅读理解型问题 【典例精讲】（2026春•徐汇区校级期中）阅读理解并解决问题 【阅读材料】当a＞0且x＞0时，因为，所以，从而有（当时取等号）． 记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． （1）【知识理解】已知函数y1＝x（x＞0）与函数，则当x＝　　 时，y1+y2取得最小值为　　 ； （2）【解决问题】已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 【分析】（1）根据题干的结论求解即可； （2）设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则可得出，然后根据题干的结论求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 当时，取得最小值为； 故答案为：，； （2）设该汽车平均每千米的运输成本为y元，根据题意可得： ， 故千米时，该汽车平均每千米的运输成本y最低， 最低成本为（元）． 【变式训练1】（2026•山西一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如，，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况． 我们已知学习过反比例函数，当x＞0时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，y的值无限接近0．对于部分分式我们可以令，则函数，可以看作是由函数先向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度得到的新函数．那么当x＞a时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近0，此时的值无限接近b．例如，已知部分分式，我们令，当x＞1时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近0，所以的值无限接近2． … 任务： （1）将分式化为部分分式． （2）函数可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到？ （3）拓展：当x＞m时，分式的值随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近n，请你直接写出m的最小值以及n的值． 【分析】（1）仿照示例求解即可； （2）结合示例根据“左加右减、上加下减”的平移规律解答即可； （3）先将分式化为部分分式，再依照示例求解即可． 【解答】解：（1）； （2）函数可以由反比例函数先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到； （3）原式 ， ∴当x＞1时，分式的值随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近0， ∴当x＞1时，分式的值随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近2， ∴根据题意可得m的最小值为1，n的值为2． 【变式训练2】（2025•通川区二模）知识背景 当a＞0且x＞0时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数y1＝x（x＞0）与函数，则当时，有最小值为．解决问题 （1）已知函数y1＝x+3（x＞﹣3）与函数，当x取何值时，y1+y2有最小值？最小值是多少？ （2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 【分析】（1）根据题意，，当时，y1+y2有最小值，即可求解； （2）设设备平均每天的租赁使用成本为w元，依题意得，根据，即可求解． 【解答】解：（1）已知函数y1＝x+3（x＞﹣3）与函数， ， ∴当时，y1+y2有最小值， ∴x＝0时，有最小值，最小值为6； （2）设设备平均每天的租赁使用成本为w元， ， ∵， ∴w≥201.4， ∴当时，w有最小值， 【变式训练3】【阅读理解】求证：对于任意正实数a、b，a+b≥2． 证明：∵（）2≥0， ∴a﹣2b≥0， ∴a+b≥2，（只有当a＝b时，a+b＝2）． 推论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2；当a＝b时，a+b有最小值2． 根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若m＞0，当m＝　4　 时，m有最小值为 　8　 ． 问题2：已知x＞2，试求出函数y＝x的最小值． 问题3：如图，已知点A（﹣2，0）、B（0，﹣3），点P为双曲线y在第一象限内的点．过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．试求出四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状． 【分析】问题1：根据【阅读理解】可知，当m时m有最小值8，即可求出答案； 问题2：根据【阅读理解】右知，当x﹣2时，（x﹣2）有最小值6，可求出答案； 问题3：设点P（n，），得出S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC（n）+6，得出当n＝2时，四边形的面积有最小值，再求出点C，D坐标，即可判断出四边形ABCD的形状． 【解答】解：问题1：由【阅读理解】知，当m，即m＝﹣4（舍去）或m＝4时，m有最小值28， 故答案为：4；8； 问题2： ； 由【阅读理解】知，当x﹣2，即x＝﹣1（舍去）或x＝5时，（x﹣2）有最小值26， ∴当x＝5时，函数y＝x有最小值6+2＝8； 问题3：设点 ，其中n＞0， ∵PC⊥x轴，PD⊥y轴， ∴C（n，0），， ， ∵A（﹣2，0）， ∴AC＝n+2， ∵B（0，﹣3）， ∴OB＝3， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC ， 只有当，即n＝2时，S四边形ABCD有最小值12， 此时C（2，0），D（0，3）， ∵A（﹣2，0），B（0，﹣3）， ∴OA＝OC＝2，OB＝OD＝3， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD是菱形． 【变式训练4】（2024•渠县校级三模）小莉在学习完反比例函数之后遇到一个新函数：，她按照探究反比例函数的过程对其进行探究： 绘制图象：列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣4 0 m n … （1）m＝　4　 ，n＝　　 ； （2）①在平面直角坐标系中描点并连线，补全该函数的图象； ②小莉通过图象得到了以下性质，其中不正确的是 A ； A．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 B．此函数的图象关于原点中心对称 C．函数图象经过原点且位于第一、三象限 D．此函数有最小值，是当x＝﹣1时，最小值为﹣4 性质应用： （3）若正比例函数y＝kx与函数的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（x1+x2+2）（y1+y2﹣3）的值为 　﹣6　 ． 【分析】（1）把x＝1，x＝2分别代入，即可求得m、n的值； （2）①描点、连线画出函数的图象即可； ②根据函数的图象即可求得； （3）正比例函数y＝kx与函数的两交点坐标关于原点对称，依此可得x1＝﹣x2，y1＝﹣y2，依此关系即可求解． 【解答】解：（1）把x＝1代入，得y4， ∴m＝4， 把x＝2代入，得y， ∴n， 故答案为：4，； （2）①描点、连线画出函数的图象如图： ； ②观察图象： A．当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大，故错误； B．此函数的图象关于原点中心对称，正确； C．函数图象经过原点且位于第一、三象限，正确； D．此函数有最小值，是当x＝﹣1时，最小值为﹣4，正确 故答案为：A； （3）∵正比例函数y＝kx与函数的图象的交点A（x1，y1），B（x2，y2）关于原点对称，依此可得x1＝﹣x2，y1＝﹣y2， ∴（x1+x2+2）（y1+y2﹣3）＝2×（﹣3）＝﹣6． 故答案为：﹣6． 【变式训练5】（2025春•东山县期中）我们已经学习了正比例函数y＝kx和反比例函数y的图象和性质，下面，我们研究函数y＝kx的图象和性质，我们不妨特殊化，设k＝1，m＝1，即y＝x． （1）函数y＝x的自变量x的取值范围是x≠0　 ；图象在第　一、三　 象限； （2）阅读材料：当x＞0时，y＝x2≥2． 当时，即x＝1，y有最小值是2． 请仿照上述过程，求出当x＜0时，y的最大值； （3）某隧道长185m，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长4m，相邻两车的距离d（m）与车速v（m/s）的关系式为d，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值． 【分析】（1）依据题意，借助分式分母不能为零求解，然后根据横纵坐标符号，可判断象限； （2）依据题意，将x代入表达式仿照x＞0时即可得解； （3）依据题意，车队行驶的路程为（185+4×10+9×d）m，速度是v，时间，列出解析式求最值． 【解答】解：（1）函数y＝x，根据分式分母不能为零得，x≠0；当x＞0时，y＞0，点在第一象限；当x＜0时，y＜0．点在第三象限， 故答案为：x≠0；一、三． （2）由题意，当x＜0时，， ∴ ， ∴当，即x＝﹣1时，y有最大值﹣2． （3）由题意，每辆车长4m，相邻两车的距离d（m），从第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道车队走过路程为（185+4×10+9d）m， ∴， ∵， ∴， 由题意知，当时，t有最小值，此时解得v＝15， ∴t的最小值为t＝15+15＝30（s）． 题型三：反比例函数与旋转变换 【典例精讲】（2026•朝阳区校级二模）如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形 【分析】根据反比例函数的对称性，可得OA与OC，OB与OD的关系，可得答案． 【解答】解：由反比例函数的对称性，得 OA＝OC，OB＝OD， ABCD是平行四边形， 故选：A． 【变式训练1】（2026•九龙坡区校级三模）如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接OA．将线段OA绕点A逆时针旋转，当点O的对应点O′落在x轴上时，△OAO′的面积是（　　） A．2.5 B．5 C．10 D．12 【分析】作AB⊥OO′于点B，根据反比例函数系数k的几何意义可得△AOB的面积是2.5，再根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得出答案． 【解答】解：作AB⊥OO′于点B， 则S△AOB2.5， ∵AO＝AO′， ∴OB＝BO′， ∴S△OAO′＝2S△AOB＝5． 故选：B． 【变式训练2】（2025秋•温岭市期末）如图，点，点都在反比例函数的图象上．将的图象绕点O逆时针旋转45°，点A，点B的对应点的纵坐标分别为a，b，则下列判断正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b大小无法比较 【分析】作直线l：y＝x，过点A，B作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，分别过点A'，B'作A'E⊥y轴于点E，B'F⊥y轴于点F，设C（x，x），D（n，n），证明△A'OE≌△AOC（AAS），△B'OF≌△BOD（AAS），得到OE＝OC＝a，OF＝OD＝b，由勾股定理得到，，解得，，得到，，即可比较大小． 【解答】解：作直线l：y＝x，分别过点A，B作AC⊥l于点C，BD⊥l于点D，分别过点A'，B'作A'E⊥y轴于点E，B'F⊥y轴于点F，则∠ACO＝∠A'EO＝90°，∠BDO＝∠B'FO＝90°， 由旋转知，OA'＝OA，∠A'OA＝45°， ∵∠COE＝45°， ∴∠A'OE+∠AOE＝∠AOC+∠AOE＝45°， ∴∠A'OE＝∠AOC， ∴△A'OE≌△AOC（AAS）， ∴OE＝OC＝a， ∵， 设C（x，x）， 则OC2＝x2+x2＝2x2，，， ∵OC2+AC2＝OA2， ∴， 解得，x＝0（舍去）或， ∴， ∵OB'＝OB，∠B'OB＝45°，∠DOF＝45°， ∴∠B'OF+∠B'OD＝∠BOD+∠B'OD＝45°， ∴∠B'OF＝∠BOD， ∴△B'OF≌△BOD（AAS）， ∴OF＝OD＝b， ∵， 设D（n，n）， 则OD2＝n2+n2＝2n2，，， ∵OD2+BD2＝OB2， ∴， 解得，n＝0（舍去）或， ∴， ∵， ∴a＜b， 故选：A． 【变式训练3】（2026•福田区校级三模）如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数交于点B，将点B绕点A按逆时针方向旋转90°，其对应点C恰好在y轴上，则k的值为　48　 ． 【分析】如图，作BF⊥x轴，垂足为F，直线AB交y轴于点E，易得OA＝4，OE＝2，证明△AOC∽△EOA求出OC，再证明△AOC≌△BFA（AAS），求出AF＝OC＝8，BF＝OA＝4，继而得到点B的坐标，计算出k值即可． 【解答】解：如图，作BF⊥x轴，垂足为F，直线AB交y轴于点E， 在直线中，当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝﹣2， ∴A（4，0），E（0，﹣2）， ∴OA＝4，OE＝2 ∵∠OAE＝∠ACO，∠AOC＝∠EOA， ∴△AOC∽△EOA， ∴，即， ∴OC＝8， 在△AOC和△BFA中， ， ∴△AOC≌△BFA（AAS）， ∴AF＝OC＝8，BF＝OA＝4， ∴B（12，4）， ∴k＝48． 故答案为：48． 【变式训练4】（2026春•南靖县期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，1），B（﹣2，0），线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，点D、E都在双曲线上，则k的值为　6　 ． 【分析】过点E作EF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，证明三角形全等，得出相等的边，假设E（x，3），根据反比例函数解析式列出方程求解． 【解答】解：过点E作EF⊥x轴于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，如图， ∴∠EFC＝∠CGD＝90°， 由条件可知∠CEF＝∠DCG＝90°﹣∠FCE， 又∵CD＝CE， ∴△EFC≌△CGD（AAS）， ∴CF＝DG，EF＝CG， ∵A（1，1），B（﹣2，0），且四边形ABCD为平行四边形， ∴CG＝1+2＝3，DG＝1， ∴CF＝1，EF＝3， ∴CG＝3， 设E（x，3），则D（x+1+3，1），即D（x+4，1）， ∴3x＝x+4， 解得x＝2， ∴E（2，3）， ∴k＝2×3＝6． 故答案为：6． 【变式训练5】（2026•东莞市二模）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）若BD＝3，求点B的坐标； （3）反比例函数的图象关于x轴对称的图象为y′，直接写出射线OA绕点O顺时针旋转90°后与y′的交点坐标． 【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）设点B（m，3m），那么点D（m+3，3m），利用反比例函数图象上点的坐标特征解出点B的坐标即可； （3）根据轴对称的性质可得，设射线OA绕点O顺时针旋转90°后与y′的交点为A′，过A作AK⊥x轴于K，过A′作A′L⊥x轴于L，通过证明△OAK≌△A′OL，得到点A′的坐标． 【解答】解：（1）由条件可得a＝3×2＝6， ∴A（2，6）， 将A（2，6）代入解得k＝12， ∴反比例函数表达式为； （2）设点B（m，3m），则点D（m+3，3m）， ∴3m（m+3）＝12， 解得m1＝1，m2＝﹣4（舍）， ∴B（1，3）． （3）由条件可知， 设射线OA绕点O顺时针旋转90°后与y′的交点为A′， 过A（2，6）作AK⊥x轴于K，过A′作A′L⊥x轴于L，如图： 则∠AKO＝∠OLA′＝90°，OK＝2，AK＝6， ∴∠AOK+∠OAK＝90°， 由旋转的性质得，∠AOA′＝90°，OA＝OA′ ∴∠AOK+∠A′OL＝90°， ∴∠OAK＝∠A′OL， ∴△OAK≌△A′OL， ∴OL＝AK＝6，LA′＝OK＝2， ∴点A′的坐标为（6，﹣2）． 【变式训练6】（2026•威远县校级二模）如图，反比例函数y（m≠0）与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接OA，OB，求△OAB的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【分析】（1）将A（1，3）代入反比例函数的解析式求得m的值，再将B（n，1）代入，即可求解； （2）利用△OAB的面积＝S△COD﹣S△COA﹣S△CBD，即可求解； （3）设点，，又A（1，3），利用等腰直角三角形的性质列方程组，解方程组即可求解． 【解答】解：（1）由条件可知m＝1×3＝3， ∴， 将B（n，1）代入， 得n＝3， 将A（1，3），点B（3，1）代入y＝kx+b， ，解得， ∴y＝﹣x+4； （2）设一次函数图象与x轴交于点D， 令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝4， ∴△OAB的面积＝S△COD﹣S△COA﹣S△CBD； （3）设点，，A（1，3）， 由旋转知：△AEF为等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题3 反比例函数与图形变换、阅读理解 题型一：反比例函数与平移 【典例精讲】（2026•深圳校级模拟）参照学习函数的过程与方法，探究函数y（x≠0）的图象与性质，因为y，即y1，所以我们对比函数y来探究． 列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 … y … 2 3 5 ﹣3 ﹣1 0 … 描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示； （1）请把y轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来； （2）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当x＜0时，y随x的增大而 　 　 ；（填“增大”或“减小”） ②y的图象可看作是由y的图象向 　 　 平移 　 　 个单位而得到的； ③y图象的两个分支关于点 　 　 中心对称；（填点的坐标） （3）试说明函数y与直线y＝1的交点情况． 【变式训练1】（2026•兴庆区校级三模）综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数y的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知 函数的自变量取值范围是　 　 ． （2）作出图象 ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 n 0 1 2 3 4 … y … 2 3 4 m 6 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … 填空：表中m＝　 　 ，n＝　 　 ． ②描点，连线： 在平面直角坐标系xOy中，描出以表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象． （3）研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为（0，0），则函数的图象的对称中心为　 　 ；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线y＝x和y＝﹣x，则函数的图象的对称轴为直线　 　 ． （4）拓展应用 若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为　 　． 【变式训练2】（2025•平定县二模）阅读与思考：老师在讲完反比例函数的性质后留下了一道题目让大家思考交流将其解决，下面是小红和小明解题过程，请仔细阅读并完成相应任务． 题目：请求出的最小值． 小红的过程： 1．列表． x … ﹣2 ﹣1 0 2 3 4 … … ﹣1 1 … 2．描点． 3．用平滑的曲线连接． 通过观察图象可知：当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小，所以当x＝6时，y有最小值． 小明的过程：小明将其问题进行了逆推． 求的最小值→求x﹣1的最大值→求x的最大值 通过推理可得：当3≤x≤6时，x的最大值为6，所以当x＝6时，y有最小值． 任务：（1）填空：小红的解题过程中体现的数学思想有：　 　 ．（写出一个即可） （2）请用小红或者小明或者自己的方法求出的最大值． （3）直接写出的最小值． 【变式训练3】（2025秋•信阳期末）问题呈现：我们知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数的图象有怎样的关系呢？让我们一起开启探索之旅… 探索思考：我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数的图象． （1）绘制函数： ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 … y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 … ②根据如表数据，在如图的平面直角坐标系中描点，连线画出的图象． （2）观察图象：写出该函数图象的两条不同的性质：①　 　 ，②　 　 ． （3）理解运用：函数的图象是由函数的图象向 　 　 平移 　 　 个单位． （4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数的图象大致位置，并根据图象指出，当x满足 　 　 时，y3＞3． 【变式训练4】（2025秋•渠县校级期末）参照学习函数的过程与方法，探究函数y（x≠0）的图象与性质，因为y1，即y1．所以我们对比函数y来探究． 列表 x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 4 … y … 1 2 4 ﹣4 ﹣2 ﹣1 … y … 2 3 5 ﹣3 ﹣1 0 … 描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y相应的函数值为纵坐标，描出了相应的点．（如图所示） （1）连线：画出函数y的图象． （2）观察图象并分析表格，回答下列问题： ①当x＜0时，y随x的增大而 　 　．（填“增大”或“减小”） ②y的图象是由y的图象向 　 　 平移 　 　 个单位而得到． ③y图象关于点 　 　 中心对称．（填点的坐标） 【变式训练5】（2025秋•中宁县期末）盐城市纺织染整产业园为国家级绿色纺织生产基地，现有一块矩形布料的两边长分别是2米与3米，若把这个矩形布料按照如图1的方式扩大到面积为原来的2倍，设原矩形布料的一边加长a米，另一边长加长b米，可得a与b之间的函数关系式b2．某校“数学兴趣小组”对此函数进一步推广，得到更一般的函数y2，现对这个函数的图象和性质进行了探究，研究过程如下： （1）图2是反比例函数y的图象， 请在同一个平面直角坐标系xOy中，用描点法画出y2的图象，并完成如下问题： ①函数y2的图象可由函数y的图象向左平移　 　 个单位，再向下平移　 　 个单位得到，其对称中心坐标为　 　 ； ②上述探究方法应用的数学思想是B ； A．整体思想 B．类比思想 C．分类思想 ③根据该函数图象直接写出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？ （2）将反比例函数y的图象先　 　 ，再　　 　　 得到函数y1的图象，函数y1图象的对称中心坐标为　　 　　 ． 【变式训练6】（2024春•尧都区校级期中）阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道，利用描点法可以画出反比例函数的图象，其图象是双曲线，那么如何画出函数的图象呢？下面是小明同学对该函数的图象画法的探究过程． 利用描点法画图象： 列表： x … ﹣6 ﹣2 0 1 1.5 2.5 3 4 6 10 … y … 0.5 0 ﹣1 ﹣3 ﹣7 9 5 3 2 1.5 … 描点、连线： 任务： （1）函数的自变量x的取值范围为　 　 ． （2）由图可知，该函数图象的对称中心是 　 　 ． （3）由图象可知，该函数的图象是由函数的图象平移得到的，请写出平移方式． 题型二：阅读理解型问题 【典例精讲】（2026春•徐汇区校级期中）阅读理解并解决问题 【阅读材料】当a＞0且x＞0时，因为，所以，从而有（当时取等号）． 记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． （1）【知识理解】已知函数y1＝x（x＞0）与函数，则当x＝　 　 时，y1+y2取得最小值为　 　 ； （2）【解决问题】已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 【变式训练1】（2026•山西一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如，，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况． 我们已知学习过反比例函数，当x＞0时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，y的值无限接近0．对于部分分式我们可以令，则函数，可以看作是由函数先向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度得到的新函数．那么当x＞a时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近0，此时的值无限接近b．例如，已知部分分式，我们令，当x＞1时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近0，所以的值无限接近2． … 任务： （1）将分式化为部分分式． （2）函数可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到？ （3）拓展：当x＞m时，分式的值随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近n，请你直接写出m的最小值以及n的值． 【变式训练2】（2025•通川区二模）知识背景 当a＞0且x＞0时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数y1＝x（x＞0）与函数，则当时，有最小值为．解决问题 （1）已知函数y1＝x+3（x＞﹣3）与函数，当x取何值时，y1+y2有最小值？最小值是多少？ （2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 【变式训练3】【阅读理解】求证：对于任意正实数a、b，a+b≥2． 证明：∵（）2≥0， ∴a﹣2b≥0， ∴a+b≥2，（只有当a＝b时，a+b＝2）． 推论：在a+b≥2（a、b均为正实数）中，若ab为定值p，则a+b≥2；当a＝b时，a+b有最小值2． 根据上述内容，回答下列问题： 问题1：若m＞0，当m＝　 　 时，m有最小值为 　 　 ． 问题2：已知x＞2，试求出函数y＝x的最小值． 问题3：如图，已知点A（﹣2，0）、B（0，﹣3），点P为双曲线y在第一象限内的点．过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D．试求出四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状． 【变式训练4】（2024•渠县校级三模）小莉在学习完反比例函数之后遇到一个新函数：，她按照探究反比例函数的过程对其进行探究： 绘制图象：列表： x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣4 0 m n … （1）m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）①在平面直角坐标系中描点并连线，补全该函数的图象； ②小莉通过图象得到了以下性质，其中不正确的是 A ； A．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大 B．此函数的图象关于原点中心对称 C．函数图象经过原点且位于第一、三象限 D．此函数有最小值，是当x＝﹣1时，最小值为﹣4 性质应用： （3）若正比例函数y＝kx与函数的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则（x1+x2+2）（y1+y2﹣3）的值为 　 　 ． 【变式训练5】（2025春•东山县期中）我们已经学习了正比例函数y＝kx和反比例函数y的图象和性质，下面，我们研究函数y＝kx的图象和性质，我们不妨特殊化，设k＝1，m＝1，即y＝x． （1）函数y＝x的自变量x的取值范围是　 　 ；图象在第　 　 象限； （2）阅读材料：当x＞0时，y＝x2≥2． 当时，即x＝1，y有最小值是2． 请仿照上述过程，求出当x＜0时，y的最大值； （3）某隧道长185m，一个匀速前进的车队有10辆车，每辆车长4m，相邻两车的距离d（m）与车速v（m/s）的关系式为d，求自第1辆车车头进隧道至第10辆车车尾出隧道所用时间的最小值． 题型三：反比例函数与旋转变换 【典例精讲】（2026•朝阳区校级二模）如图，直线L与双曲线交于A、C两点，将直线L绕点O顺时针旋转α度角（0°＜α≤45°），与双曲线交于B、D两点，则四边形ABCD形状一定是（　　） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．任意四边形 【变式训练1】（2026•九龙坡区校级三模）如图，已知反比例函数的图象经过点A，连接OA．将线段OA绕点A逆时针旋转，当点O的对应点O′落在x轴上时，△OAO′的面积是（　　） A．2.5 B．5 C．10 D．12 【变式训练2】（2025秋•温岭市期末）如图，点，点都在反比例函数的图象上．将的图象绕点O逆时针旋转45°，点A，点B的对应点的纵坐标分别为a，b，则下列判断正确的是（　　） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．a，b大小无法比较 【变式训练3】（2026•福田区校级三模）如图，直线与x轴交于点A，与反比例函数交于点B，将点B绕点A按逆时针方向旋转90°，其对应点C恰好在y轴上，则k的值为　　 ． 【变式训练4】（2026春•南靖县期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，1），B（﹣2，0），线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，点D、E都在双曲线上，则k的值为　　 ． 【变式训练5】（2026•东莞市二模）如图，已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上异于端点的一点，过点B作y轴的垂线，交反比例函数的图象于点D． （1）求反比例函数的表达式； （2）若BD＝3，求点B的坐标； （3）反比例函数的图象关于x轴对称的图象为y′，直接写出射线OA绕点O顺时针旋转90°后与y′的交点坐标． 【变式训练6】（2026•威远县校级二模）如图，反比例函数y（m≠0）与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，3），点B（n，1），一次函数y＝kx+b与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）连接OA，OB，求△OAB的面积； （3）如图2，点E是反比例函数图象上A点右侧一点，连接AE，把线段AE绕点A顺时针旋转90°，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $