第2讲 反比例函数的图象与性质 讲义 2026-2027学年苏科版数学九年级上册【暑假预习】

第2讲 反比例函数的图象与性质 知识点一：双曲线 1.定义：反比例函数的图像是由两条曲线组成，我们称之为双曲线.它的两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称. 2.利用描点法画图的步骤 （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写数值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交. 知识点二：反比例函数的图象与性质 1.图象：由两条曲线组成（双曲线） 2.性质： 函数 图象 所在象限 增减性 一、三象限 在同一象限内，随的增大而减小 二、四象限 在同一象限内，随的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 知识点三：反比例函数k的几何意义 1.如图，过双曲线上任意一点 P 作x轴，y 轴的垂线 PN，PM，垂足分别为 M，N，所得矩形 PMON 的面积S=PM·PN=Iyl·IxI=Ixyl， 又因为xy=k， 所以 S=IkI. 即过反比例函数图像上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|； 2.如图，过双曲线上任意一点 A 作x轴的垂线 AC，垂足分别为 C，连接 OA ，所得三角形 OAC 的面积 又因为xy=k， 所以 S=. 即过反比例函数图像上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点（含原点）构成的三角形面积 等于. 题型一：判断反比例函数的图象 【典例精讲】函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的图象性质：当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限，得出结果． 【解答】解：反比例函数中， ∵k=-3＜0， ∴双曲线位于二、四象限． 故选：A． 【变式训练1】反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的k=8＞0，可知反比例函数的图象是双曲线且在第一、三象限，根据各选项的图象和图象所在的象限判断即可． 【解答】解：反比例函数的大致图象是双曲线，且在第一、三象限， A、是正比例函数图象，故A选项不符合题意； B、是正比例函数图象，故B选项不符合题意； C、是双曲线，且在第一、三象限，故C选项符合题意； D、是双曲线，但是在第二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练2】（2025春•巴东县期中）某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定函数关系，则电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出函数解析式，根据函数解析式逐项分析判断即可． 【解答】解：根据题意得I=，U是定值， ∴电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）函数是反比例函数， 故选：A． 题型二：已知反比例函数的图象判断其解析式 【典例精讲】（2026•铜梁区模拟）如图所示，其函数解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据反比例函数的图象进行解答即可． 【解答】解：由条件可知k＞0， ∴可能是． 故选：B． 【变式训练1】（2025•铜梁区模拟）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的图象的形状和所处的位置选择即可． 【解答】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是 ． 故选：C． 【变式训练2】（2025秋•东莞市校级期末）反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据点A、B的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出6＜k＜9，再对照四个选项即可得出结论． 【解答】解：观察函数图象可知：（-2）×（-3）＜k＜3×3， 即6＜k＜9． 故选：C． 题型三：判断反比例函数所在象限 【典例精讲】（2026•永川区自主招生）反比例函数的图象位于（　　） A．第一，第三象限 B．第一，第四象限 C．第二，第三象限 D．第二，第四象限 【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系解答即可． 【解答】解：∵k＝﹣8＜0， ∴函数图象位于第二、第四象限． 故选：D． 【变式训练1】（2026•西湖区校级三模）关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，函数值y＜0 B．y随x的增大而增大 C．点（2，3）在该函数的图象上 D．图象在第一、三象限 【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可． 【解答】解：A、∵k＝﹣6＜0， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于二、四象限， ∴当x＞0时函数图象在第四象限， ∴函数值y＜0，正确，符合题意； B、∵k＝﹣6＜0， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； C、∵当x＝2时，y3， ∴点（2，﹣3）在此函数图象上，原说法错误，不符合题意； D、∵k＝﹣6＜0， ∴反比例函数图象的两个分支分别位于二、四象限，原说法错误，不符合题意． 故选：A． 【变式训练2】反比例函数①；②；③；④的图象中，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ． 【分析】根据反比例函数的性质对各小题进行逐一分析即可． 【解答】解：①∵k=2＞0，∴此函数的图象在一三象限； ②∵k=＞0，∴此函数的图象在一三象限； ③∵k=-10＜0，∴此函数的图象在二四象限； ④∵k=＞0，∴此函数的图象在一三象限． ∴在第一、三象限的是①②④；在第二、四象限的是③． 题型四：点在函数图象上 【典例精讲】（2026•渝中区校级模拟）在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点（2，3），那么此反比例函数的图象也一定经过点（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2） 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，依次对所给选项进行判断即可． 【解答】解：由条件可知k＝2×3＝6； A．﹣2×3＝﹣6≠6，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； B．﹣2×（﹣3）＝6，此反比例函数的图象也一定经过此点，故选项符合题意； C．3×（﹣2）＝﹣6≠6，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； D．﹣3×2＝﹣6≠6，此反比例函数的图象不经过此点，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式训练1】（2026•五华区校级模拟）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A．（3，6） B．（﹣3，6） C．（﹣2，﹣9） D．（﹣9，﹣2） 【分析】直接把各点代入反比例函数的解析式进行检验即可． 【解答】解：A、当x＝3时，y6≠6，此点不在反比例函数图象上，不符合题意； B、当x＝﹣3时，y6，此点在反比例函数图象上，符合题意； C、当x＝﹣2时，y9≠﹣9，此点不在反比例函数图象上，不符合题意； D、当x＝﹣9时，y2≠﹣2，此点不在反比例函数图象上，不符合题意． 故选：B． 【变式训练2】（2026•五华区校级模拟）反比例函数的图象经过点（2，m），则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 【分析】图象上的点一定满足函数解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出m的值． 【解答】解：将x＝2，y＝m代入函数解析式得， 故选：D． 题型五：反比例函数的增减性 【典例精讲】（2026•天津）若点A（x1，﹣2），B（x2，4），C（x3，8）都在反比例函数y的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1 【分析】根据反比例函数的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为y， 所以反比例函数的图象位于第一、三象限且在每个象限内y随x的增大而减小． 因为点A（x1，﹣2），B（x2，4），C（x3，8）都在该反比例函数的图象上且﹣2＜4＜8， 所以x1＜0＜x3＜x2， 即x1＜x3＜x2． 故选：C． 【变式训练1】（2026•山西）已知点A（1，a），点B（4，b），点C（7，c）都在反比例函数y的图象上，则a，b，c的关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【分析】根据反比例函数的性质即可解集问题． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为y， 所以反比例函数的图象位于第一、三象限且在每个象限内y随x的增大而减小． 因为点A（1，a），点B（4，b），点C（7，c）都在该反比例函数的图象上且0＜1＜4＜7， 所以a＞b＞c． 故选：D． 【变式训练2】（2026•九龙坡区校级模拟）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可． 【解答】解：∵反比例函数的k＝6＞0， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，y随x的增大而减小， ∵点A（x1，﹣1）在第三象限， ∴x1＜0， ∵1＜5， ∴x2＞x3＞0， ∴x1＜x3＜x2， 故选：B． 题型六：由增减性求参数 【典例精讲】（2026•襄州区模拟）在反比例函数y的图象的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据反比例函数的性质，可求k的取值范围． 【解答】解：∵反比例函数y图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小， ∴2﹣k＞0， ∴k＜2 故选：A． 【变式训练1】（2026•石峰区模拟）在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，则k的取值范围是（　　） A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4 【分析】根据当x1＜0＜x2时，y1＞y2得该反比例函数图象位于第二、四象限，进而得4﹣k＜0，由此即可得出k的取值范围． 【解答】解：∵当x1＜0＜x2时，有y1＞y2， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限，如图所示： ∴4﹣k＜0， 解得：k＞4． 故选：D． 【变式训练2】（2026春•普陀区期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≠1 C．k＜1 D．k＞1 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1． 故选：C． 题型七：由反比例函数的对称性求点坐标 【典例精讲】（2025•浦东新区校级模拟）已知正比例函数图象与反比例函数图象都经过点（-3，5），那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 . 【分析】根据反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称即可求解． 【解答】解：∵反比例函数的图象与正比例函数图象的两个交点一定关于原点对称， ∴另一个交点的坐标与点（-3，5）关于原点对称， 即该点的坐标为（3，-5）． 故答案为：（3，-5）． 【变式训练1】一个正比例函数和一个反比例函数的图象都经过点A，如果点A的纵坐标为a,那么这两个函数的比例系数的积等于 （用a表示）． 【分析】设出两函数的解析式和A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式，可分别表示出两函数的比例系数，可求得答案． 【解答】解：设正比例函数解析式为y=mx,反比例函数解析式为y=，A点坐标为（x,a）， ∵两函数图象都经过点A， ∴a=mx,a=， ∴mn=a2． 故答案为：a2． 【变式训练2】（2025秋•锦江区校级期中）如图，直线y=mx（m＜0）与双曲线交于A，B两点，AH⊥y轴于点H，若△AHB的面积为5，则k的值为 . 【分析】根据反比例函数的对称性、函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|解答． 【解答】解：根据反比例函数的对称性可知S△AOH=S△BOH， ∵△AHB是面积为5， ∴△AOH的面积是2.5， ∴|k|=2.5， ∵双曲线位于二、四象限， ∴k=-5． 故答案为：-5． 题型八：反比例函数与一次函数的图象 【典例精讲】（2026•三亚一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【解答】解：若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数y（ab≠0）位于一、三象限， 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数y（ab≠0）位于二、四象限， 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数y（ab≠0）位于二、四象限， 若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数y（ab≠0）位于一、三象限， 故选：A． 【变式训练1】（2026•南京三模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据k的取值范围，分别讨论k＞0和k＜0时的情况，然后根据一次函数和反比例函数图象的特点进行选择正确答案． 【解答】解：①当k＞0时， 一次函数y＝kx+k经过一、二、三象限， 反比例函数的的图象在一、三象限，故C选项的图象符合要求； ②当k＜0时， 一次函数y＝kx+k经过二、三、四象限， 反比例函数的的图象在二、四象限，没有符合条件的选项． 故选：C． 【变式训练2】（2026•端州区校级三模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+3与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数与反比例函数图象经过的象限判断即可． 【解答】解：∵y＝kx+3中，k＜0，3＞0， ∴y＝kx+3的函数图象过第一、二、四象限， ∵， ∴的函数图象过第二、四象限， 只有选项D同时满足y＝kx+3的函数图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象过第二、四象限， 故选：D． 题型九：k的几何意义 【典例精讲】（2026•开福区校级二模）如图，点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C，若AB＝1.5，AC＝4，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4.5 C．6 D．﹣6 【分析】根据反比例函数k的几何意义可得|k|＝AB•AC，再根据图象在二象限可确定k＜0，进而得到解析式． 【解答】解：∵S矩形ABOC＝AB•AC＝1.5×4＝6， ∴|k|＝6， ∵图象在二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣6， 故选：D． 【变式训练1】（2026•二道区校级模拟）如图，点P在反比例函数（k为常数，且k≠0，x＜0）的图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为OA的中点，连接PB、OP，若S△ABP＝2，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【分析】先设点P的坐标，利用点B是OA中点表示出AB的长度，再结合三角形面积公式求出PA•OA的值，最后根据反比例函数k的几何意义（结合x＜0的符号）确定k的值． 【解答】解：设点P的坐标为a＜0，b＞0， ∵PA⊥x轴于点A， ∴PA＝b，OA＝﹣a， ∵点B为OA的中点， ∴ABOAa， ∵S△ABP＝2， ∴a•b＝2， 即， ∵点P（a，b）在反比例函数上， ∴k＝ab， ∴k＝﹣8． 故选：D． 【变式训练2】（2026•城中区校级二模）如图，点A、B落在第二象限内双曲线y（k≠0）上，过A、B两点分别作x轴的垂线段，垂足为C，D，连接OA、OB，若S1+S2＝2且S阴影＝1，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 【分析】根据题意得出相关三角形面积之间的关系：S1+S阴影＝S△BOD，S2+S阴影＝S△AOC，再根据反比例函数中系数k的几何意义推出|k|＝S△BOD+S△AOC，从而推出|k|＝4，结合图象可得k＝﹣4． 【解答】解：由题意可知S1+S阴影＝S△BOD，S2+S阴影＝S△AOC， ∵S△BOD＝S△AOC， ∴|k|＝S△BOD+S△AOC＝S1+S阴影+S2+S阴影＝S1+S2+2S阴影＝2+2＝4， ∵函数图象经过第二象限， ∴k＜0， ∴k＝﹣4， 故选：B． 题型十：反比例函数中的找规律 【典例精讲】（2026春•黄浦区期末）如图，点A1，A2，A3，…，An在反比例函数的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2026的坐标是（　　） A． B． C． D． 【分析】过点A1作A1D⊥y轴于点D，先求出交点A1（1，1），进而得出，∠B1OA1＝45°，则△OA1B1是等腰直角三角形，得出B1（0，2），根据平行设直线B1A2的解析式为y＝x+m，求出m＝2，从而得出，利用坐标两点距离公式，得出，结合等腰直角三角形的性质，，同理可得，，B4（0，4），，……，则，即可得解． 【解答】解：如图，过点A1作A1D⊥y轴于点D， 联立两个函数解析式，解得：x＝1或x＝﹣1（舍）， ∴A1（1，1）， ∴OD＝A1D＝1， ∴，∠B1OA1＝45°， ∵B1A1⊥OA1， ∴△OA1B1是等腰直角三角形， ∴，， ∴B1（0，2）， 由条件可知OA1∥B1A2， ∴设直线B1A2的解析式为y＝x+m， ∵B1（0，2）在直线B1A2的图象上， ∴m＝2， ∴直线B1A2的解析式为y＝x+2， 联立，解得：或（舍）， ∴， ∴， ∵B2A2⊥B1A2， ∴△B1A2B2是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得，，B4（0，4），， ……， ∴， ∴． 故选：D． 【变式训练1】（2026•山东）如图，一组反比例函数y，y，y，…，y，其中x＞0，k1＝1，kn＞kn﹣1，n为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象相交，交点依次记为A1，A2，A3，…，An．若A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，则k6＝　36　 ． 【分析】根据题意，依次求出k2，k3，k4，…，发现规律即可解决问题． 【解答】解：由x得， x（舍负）， 所以点A1坐标为（）， 则， 同理可得，，…， 所以． 因为A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An， 则， 所以． 因为k1＝1， 所以． 当n＝6时，k6＝36． 故答案为：36． 【变式训练2】（2026•锦江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，点B（x0，y0）在第四象限，则x0＝　2　 ；过点A1（y0，x0）作直线AB的平行线在第四象限交L于点B1（x1，y1）；过点A2（y1，x1）作直线AB的平行线在第四象限交L于点B2（x2，y2）⋯按此规律，记Bn（xn，yn），过点An+1（yn，xn）作直线AB的平行线在第四象限交L于点Bn+1（xn+1，yn+1），则点A2026的坐标为　（，22026）　 ． 【分析】依据题意，联立方程组，则或，结合点B（x0，y0）在第四象限，从而x0＝2，A（﹣1，1），B（2，），故A1（，2），B1（x1，），由过点A1（y0，x0）作直线AB的平行线在第四象限交L于点B1（x1，y1），从而，可得x1＝4，进而B1（4，），则A2（，4），B2（x2，），从而，进而x2＝8，故B2（8，），从而A3（，8），再以此类推，可得An（，2n），最后计算可以得解． 【解答】解：由题意，联立方程组， ∴或． ∵点B（x0，y0）在第四象限， ∴x0＝2，A（﹣1，1），B（2，）． ∴A1（，2），B1（x1，）． ∵过点A1（y0，x0）作直线AB的平行线在第四象限交L于点B1（x1，y1）， ∴． ∴x1＝4． ∴B1（4，）． ∴A2（，4），B2（x2，）． ∴． ∴x2＝8． ∴B2（8，）． ∴A3（，8）． 以此类推，可得An（，2n）． ∴点A2026的坐标为（，22026）． 故答案为：2；（，22026）． 题型十一：反比例函数与不等式 【典例精讲】（2026春•郸城县期中）如图，直线y＝﹣x+m与反比例函数的图象交于点A（﹣2，3），B（3，﹣2），则不等式﹣x+m的解集是（　　） A．x＜﹣2或x＞3 B．x＜﹣2或0＜x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x＜0或x＞3 【分析】根据两函数图象的上下位置关系以及交点坐标确定不等式﹣x+m的解集即可． 【解答】解：由图象可知：不等式﹣x+m的解集是x＜﹣2或0＜x＜3． 故选：B． 【变式训练1】（2026•连南县模拟）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，3），B（6，1）两点，当y1＞y2时，x的取值范围为（　　） A．x＜2 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．x＜0或2＜x＜6 【分析】找到直线在双曲线上方时的自变量的取值范围即可． 【解答】解：当y1＞y2时，x的取值范围为x＜0或2＜x＜6． 故选：D． 【变式训练2】（2026•珠海三模）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式的解集是（　　） A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或x＞2 C．0＜x＜2 D．x＞2 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象下方的x的取值范围便是不等式的解集． 【解答】解：由函数图象可知不等式的解集是﹣1＜x＜0或x＞2． 故选：B． 题型十二：反比例函数与面积 【典例精讲】（2026•晋中二模）如图，反比例函数的图象经过点A（2，3），B（m，1），直线AB与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出m的值； （2）D为x轴正半轴上一点，连接BD，若四边形ODBC的面积为14，请直接写出点D的坐标． 解题技巧 平面直角坐标系中图形面积计算 （1）直接公式法（三角形一边在坐标轴上或平行于坐标轴） （2）转化法（三角形三边均不与坐标轴平行） ①分割法 ②补形法 【分析】（1）把A（2，3）代入可求出k＝6，把B（m，1）代入可求m的值； （2）运用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点C的坐标，连接OB，设点D的坐标为（n，0）（n＞0），根据S四边形ODBC＝S△OBC+S△ODB＝14列式求出n的值即可． 【解答】解：（1）由条件可知k＝2×3＝6， ∴反比例函数的表达式为； 将B（m，1）代入，得m＝6． （2）由（1）可知点B的坐标为（6，1）， 设直线AB的函数表达式为y＝ax+b（a≠0）， 由条件可得， 解得， ∴直线AB的函数表达式为， 令x＝0，得y＝4， ∴点C的坐标为（0，4）， ∴OC＝4， 如图，连接OB， 设点D的坐标为（n，0）（n＞0）， ∵S四边形ODBC＝S△OBC+S△ODB＝14， ∴， 解得n＝4， ∴点D的坐标为（4，0）． 【变式训练1】（2026•安徽模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于点A（a，4）和点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接AO并延长交反比例函数图象于点C，求△ABC的面积． 【分析】（1）待定系数法求出一次函数和反比例函数解析式； （2）连接OB，根据△AOB的面积＝△AOM的面积+△MOB的面积，进而根据双曲线的对称性和三角形中线的性质，即可求解． 【解答】解：（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得m＝8， ∴反比例函数表达式为； ∵点A（a，4）在反比例函数的图象上， ∴，a＝2， ∴A（2，4）； ∵点A（2，4）和点在一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象上， ∴， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）连接OB，设AB交x轴于点M，如图， ∵当y＝0时，，x＝﹣4， ∴M（﹣4，0）， ∴△AOB的面积＝△AOM的面积+△MOB的面积， 由双曲线的对称性知AO＝OC， ∴△AOB的面积＝△BOC的面积， ∴△ABC的面积 【变式训练2】（2026•蒙阴县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD、OD，求四边形ABDO的面积； （3）在的图象上有一点E满足OE＝OC，直线AB向下平移m个单位，恰好经过点E，请直接写出m的值． 【分析】（1）利用反比例函数上点的坐标代入求k；再通过待定系数法求直线AC解析式，进而得到与y轴交点B坐标； （2）先求出点D坐标，将四边形ABDO面积拆分为△ABO与△BOD的面积和，分别计算后相加； （3）先由OE＝OC求出点E坐标，再根据直线平移规律求出平移后解析式，代入点E坐标求m． 【解答】解：（1）由条件可得： ， 解得k＝6， ∴反比例函数的表达式为； 设直线AB解析式为y＝ax+b，由条件可得：， 解得， ∴直线AB解析式为y＝2x+4， 当x＝0时，y＝4， ∴点B的坐标为（0，4）． （2）∵点D在上，纵坐标为2， ∴， 解得x＝3，即D（3，2）， S四边形ABDO＝S△ABO+S△BOD， ， ， ∴S四边形ABDO＝4+6＝10． （3）， ∴， 设，则， 整理得t4﹣37t2+36＝0， 解得t2＝1或t2＝36， ∵t＞0， ∴t＝1或t＝6， t＝1时为点C，舍去， 故E（6，1）， 直线AB向下平移m个单位后解析式为y＝2x+4﹣m， 将E（6，1）代入得：1＝2×6+4﹣m， 解得m＝15． 题型十三：反比例函数与新定义 【典例精讲】（2026•靖江市校级三模）定义：若x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”． （1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝　﹣5　 ． （2）若双曲线存在“和谐点”，求k的取值范围． 【分析】（1）根据“和谐点”的定义即可解决问题； （2）根据“和谐点”的定义进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 因为P（3，m）是“和谐点”， 所以， 则9﹣m2＝2m﹣6， 解得m＝3或﹣5． 因为x≠y， 所以m＝﹣5． 故答案为：﹣5； （2）因为双曲线存在“和谐点”， 所以， 两式相减得， ， 所以， 因为x≠y， 所以x， 整理得，k＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1． 因为， 所以﹣3＜k≤1． 【变式训练1】（2026春•徐汇区校级期中）阅读理解并解决问题 【阅读材料】当a＞0且x＞0时，因为，所以，从而有（当时取等号）． 记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． （1）【知识理解】已知函数y1＝x（x＞0）与函数，则当x＝　　 时，y1+y2取得最小值为　　 ； （2）【解决问题】已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 【分析】（1）根据题干的结论求解即可； （2）设该汽车平均每千米的运输成本为y元，则可得出，然后根据题干的结论求解即可． 【解答】解：（1）由题意得：， 当时，取得最小值为； 故答案为：，； （2）设该汽车平均每千米的运输成本为y元，根据题意可得： ， 故千米时，该汽车平均每千米的运输成本y最低， 最低成本为（元）． 【变式训练2】（2026•湖里区校级模拟）阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如，，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况． 我们已知学习过反比例函数，当x＞0时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，y的值无限接近0．对于部分分式我们可以令，则函数，可以看作是由函数先向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度得到的新函数．那么当x＞a时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近0，此时的值无限接近b．例如，已知部分分式，我们令，当x＞1时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近0，所以的值无限接近2． … 任务： （1）将分式化为部分分式． （2）函数可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到？ （3）拓展：当x＞m时，分式的值随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近n，请你直接写出m的最小值以及n的值． 【分析】（1）仿照示例求解即可； （2）结合示例根据“左加右减、上加下减”的平移规律解答即可； （3）先将分式化为部分分式，再依照示例求解即可． 【解答】解：（1）； （2）函数可以由反比例函数先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到； （3）原式 ， ∴当x＞1时，分式的值随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近0， ∴当x＞1时，分式的值随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近2， ∴根据题意可得m的最小值为1，n的值为2． 1．（2026•福建）下列各点中，在函数y图象上的点是（　　） A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2） 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的解析式为y， 所以该函数图象上点的横纵坐标的乘积为1． 因为1×1＝1，1×2＝2≠1，2×1＝2≠1，2×2＝4≠1， 所以A选项符合题意． 故选：A． 2．（2026•铜梁区模拟）如果反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个函数的解析式为（　　） A．y＝6x B．y＝﹣6x C． D． 【分析】根据题意，用待定系数法进行计算即可． 【解答】解：由题知， 设这个函数的解析式为y， 将点（﹣2，3）代入y得， k＝﹣2×3＝﹣6， 所以这个函数的解析式为y． 故选：D． 3．（2026•沙坪坝区校级二模）点（﹣2，3）在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（　　） A．（﹣6，1） B．（6，1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣6，﹣1） 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为点（﹣2，3）在反比例函数的图象上， 所以k＝﹣2×3＝﹣6． 因为﹣6×1＝﹣6，6×1＝6≠﹣6，﹣3×（﹣2）＝6≠﹣6，﹣6×（﹣1）＝6≠﹣6， 所以A选项符合题意． 故选：A． 4．（2025•陵水县一模）如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1） 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【解答】解：∵点A与B关于原点对称， ∴B点的坐标为（2，﹣1）． 故选：A． 5．（2025春•新昌县期末）已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D．或 【分析】由于点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则该点坐标为（4，3），（﹣4，3），（﹣4，﹣3），（4，﹣3）．将各点分别代入y，即可求出反比例函数解析式． 【解答】解：设反比例函数的解析式为：y， 设P点为（a，b）， ∵点P是反比例函数图象上一点，点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为2， ∴A（4，3），（﹣4，3），（﹣4，﹣3），（4，﹣3）． 把a点代入函数解析式y， 得k＝±12， 故选：D． 6．（2026•河东区模拟）若点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（6，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y3＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y3＞y1 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标满足函数解析式的性质，将各点横坐标代入解析式计算出对应的y1，y2，y3，再比较大小即可得到结果． 【解答】解：将x＝﹣1代入得 ， 将x＝﹣2代入得 ， 将x＝6代入得 ， ∵6＞3＞﹣1， ∴y1＞y2＞y3． 故选：C． 7．（2026•孝感模拟）如图，反比例函数的图象经过点A（3，2），当y＞2时，x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＞3 C．0＜x＜2 D．0＜x＜3 【分析】反比例函数图象在点A上方部分对应的x的取值范围，即为y＞2时，x的取值范围． 【解答】解：由函数图象可得，当y＞2时，x的取值范围是0＜x＜3． 故选：D． 8．（2026•肥东县校级模拟）若双曲线与直线y＝5x没有交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】联立两个函数解析式，根据方程无实数解列出不等式，即可求解k的取值范围． 【解答】解：联立，可得， 整理得5x2＝2k﹣3． 由条件可知x2＞0， ∴5x2＞0， ∵双曲线与直线没有交点， ∴方程5x2＝2k﹣3无实数解， ∴2k﹣3≤0， ∴， 又∵2k﹣3≠0， ∴． 故选：D． 9．（2026春•扶绥县校级期中）已知反比例函数，直线y＝﹣2x+4交于P（a，b）、Q（m，n）两点，则代数式的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【分析】联立两个函数解析式，得到关于x的一元二次方程，从而得a+m＝2，把P（a，b）、Q（m，n）代入可得2a，2m，进而即可求解． 【解答】解：联立得：， ∴4x2﹣8x﹣3＝0， ∵反比例函数，直线y＝﹣2x+4交于P（a，b）、Q（m，n）两点， ∴4x2﹣8x﹣3＝0的两个根为：x＝a，x＝m， ∴a+m＝2， ∵，， ∴2a，2m， ∴（a+m）＝﹣2． 故选：B． 10．（2026春•南关区校级月考）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点横坐标，再由函数图象即可得出结论． 【解答】解：由条件可知A、B两点关于原点对称， ∵点A的横坐标为2， ∴点B的横坐标为﹣2， ∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1＝k1x的图象在的上方， ∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2． 故选：D． 11．（2026•长春校级模拟）如图，一次函数y＝x+b（b＞0）的图象交反比例函数的图象于A、B两点，交坐标轴于C、D两点．若AB＝2CD，则△OCD的面积为（　　） A．1 B． C． D．4 【分析】先分别表示出C（0，b），D（﹣b，0），故OC＝b，OD＝b，根据AB＝2CD得，再联立方程组得x2+bx﹣4＝0，运用根与系数的关系得x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣4，整理得，然后表示A（x1，x1+b），B（x2，x2+b），再运用勾股定理列式计算，得，建立方程，解得，最后把数值代入△OCD的面积公式计算，即可作答． 【解答】解：令x＝0，则y＝0+b＝b， 则C（0，b）， ∴OC＝b， 令y＝0，则0＝x+b，解得x＝﹣b， 则D（﹣b，0）； ∴OD＝b， ∴， 由条件可知， 联立， 整理得x2+bx﹣4＝0， 设A、B两点的横坐标分别是x1，x2（x1＞0＞x2）， ∴， ∴， 则， ∵点A、B在一次函数y＝x+b上， ∴y1＝x1+b，y2＝x2+b， 即A（x1，x1+b），B（x2，x2+b）， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得3b2＝16， ∴， △OCD的面积． 故选：C． 12．（2026•西湖区校级三模）已知反比例函数，P（x1，y1），Q（x2，y2）是其图象上两点，下列说法正确的是（　　） A．当x1+x2＜0时，y1+y2＜0 B．当x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＜0 C．当x1+x2＝0时，y1+y2＝0 D．当x1+x2＞0时，y1+y2＞0 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【解答】解：∵反比例函数y中，k＝1＞0， ∴反比例函数y图像在一、三象限， 当x1+x2＜0时，y1+y2＜0， 举反例：取x1＝﹣3，x2＝1，则x1+x2＝﹣2＜0，但y1+y210，因此A错误； 当x1﹣x2＜0时，y1•y2＜0， 举反例：取x1＝1，x2＝2，则x1﹣x2＝﹣1＜0，但y1•y2＝10，因此B错误； 当x1+x2＝0时，y1+y2＝0， 若x1+x2＝0，则x2＝﹣x1，此时y1+y20，因此C正确； 当x1+x2＞0时，y1+y2＞0， 举反例：取x1＝3，x2＝﹣1，则x1+x2＝2＞0，但y1+y2（﹣1）0，因此D错误， 故选：C． 13．（2026春•青浦区期末）如果反比例函数的图象位于第一、三象限，那么k＝　1（答案不唯一）　 ．（只需写一个数值） 【分析】根据反比例函数的性质解答即可． 【解答】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴k＞0， ∴k＝1符合题意． 故答案为：1（答案不唯一）． 14．（2026春•浦东新区期末）如图所示是三个反比例函数y，y，y的图象，由此观察k1、k2、k3的大小关系是 k1＜k3＜k2 ．（用“＜”连接） 【分析】反比例函数|k|越大，开口越小，根据反比例函数的图象性质可知． 【解答】解：根据图象可知|k|越大，开口越小， 则k1＜0，k2＞k3＞0， 所以k1，k2，k3的大小关系是k1＜k3＜k2． 故答案为：k1＜k3＜k2． 15．（2026•上海）点A（m，n）与点B（3，4）在同一条反比例函数y上，若0＜m＜3，则n的取值范围是n＞4　 ． 【分析】依据题意，点B（3，4）在反比例函数y图象上，从而求出k的值，然后根据反比例函数的性质即可判断得解． 【解答】解：由题意，∵点B（3，4）在反比例函数y图象上， ∴k＝3×4＝12． ∴反比例函数为y． ∴该函数的图象分布在第一、第三象限，并且在每一个象限内y随x的增大而减小． 又∵点A（m，n）在反比例函数y图象上，且0＜m＜3， ∴n＞4． 故答案为：n＞4． 16．（2026•攀枝花）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，若△ABC的面积为3，则k的值为　﹣4　 ． 【分析】依据题意，连接OA，OB、如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝3，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到2|k|＝3，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【解答】解：连接OA，OB，如图， ∵AB⊥y轴， ∴OC∥AB， ∴S△OAB＝S△ABC＝3， ∴2|k|＝3． ∴k＝±4． ∵k＜0， ∴k＝﹣4． 故答案为：﹣4． 17．（2026•景宁县三模）在平面直角坐标系中，若直线y＝x+b与双曲线（k为常数，k≠0）的图象交于点（b，k），则直线y＝x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是　　 ． 【分析】先将交点坐标代入直线和双曲线的解析式，求出b的值，再求出直线与两坐标轴的交点坐标，最后根据三角形面积公式计算结果． 【解答】解：将（b，k）代入y＝x+b得：k＝b+b＝2b， 将（b，k）代入得：， ∵k≠0，等式两边同时除以k得：， 解得b＝1， ∴直线解析式为y＝x+1， 令y＝0，得0＝x+1， 解得x＝﹣1，即直线与x轴交点为（﹣1，0）， 令x＝0，得y＝0+1＝1，即直线与y轴交点为（0，1）， 直线与两坐标轴围成的三角形为直角三角形，两条直角边长分别为|﹣1|＝1，|1|＝1， 三角形面积公式得：． 故答案为：． 18．（2026•碑林区校级模拟）已知反比例函数，，当1≤x≤4时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则a+b的值为　2　 ． 【分析】根据反比例函数的增减性，分别求出两个反比例函数在1≤x≤4范围内的最大值a和b，再计算a+b即可． 【解答】解：反比例函数中， ∵k＝3＞0， ∴当1≤x≤4时，y1随x的增大而减小， ∴当x＝1时，y1取得最大值； 反比例函数中， ∵k＝﹣4＜0， ∴当1≤x≤4时，y2随x的增大而增大， ∴当x＝4时，y2取得最大值； ∴a+b＝3+（﹣1）＝2． 故答案为：2． 19．（2026•锦江区校级模拟）直线y＝k1x+b与双曲线y在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b的解集为x＜﹣2或0＜x＜3　 ． 【分析】先根据图象得出两函数的交点的横坐标，根据交点的横坐标结合图象即可得出答案． 【解答】解：∵直线y＝k1x+b与双曲线y在同一平面直角坐标系中的图象的交点的横坐标是﹣2和3， ∴关于x的不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜3， 故答案为：x＜﹣2或0＜x＜3． 20．（2026•南山区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（m，n），则代数式的值为　　 ． 【分析】根据一次函数及反比例函数的性质，结合整体思想进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为反比例函数的图象与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（m，n）， 所以n，n＝m﹣2， 则mn＝8，n﹣m＝﹣2， 所以． 故答案为：． 21．（2025秋•苏仙区期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线，与双曲线相交于P1，P2，P3，P4，P5，得△OP1A1，△A1P2A2，△A3P4A4，△A4P5A5，设它们的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，S5按此规律，则S2025＝　　 ． 【分析】过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为，结合图形找到规律进行解答即可． 【解答】解：由反比例函数k值的几何意义可知， ∴S1＝S＝2，，， ∵OA1＝A1A2， ∴， ∵OA1＝A1A2＝A2A3， ∴， 同理可得 以此类推，． ∴， 故答案为：． 22．（2025•张店区一模）如图，双曲线与直线y＝2x相交于点A，B，在直线y＝2x上取点A1（2，a1），B1（﹣2，b1），A2（3，a2），B2（﹣3，b2），A3（4，a3），B3（﹣4，b3），⋯，依次以A1B1，A2B2，A3B3，⋯为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形M1，M2，M3，⋯．矩形M1的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C1，C2，C3，C4；矩形M2的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C5，C6，C7，C8；矩形M3的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C9，C10，C11，C12；⋯．按此规律，则点C2025的坐标为　　 ． 【分析】依据题意得出每个矩形上都有4个点，根据2025÷4＝506…1，得出点C2025在矩形M507上，且在第一象限内，先根据规律得出横坐标，然后将横坐标代入反比例函数解析式，求出结果即可判断得解． 【解答】解：由题意得，C1，C2，C3，C4在矩形M1上，C5，C6，C7，C8在矩形M2上，C9，C10，C11，C12在矩形M3上， ∴每个矩形上都有4个点． ∵2025÷4＝506…1， ∴点C2025在矩形M507上，且在第一象限内，横坐标为507+1＝508． ∵把x＝508代入得：， ∴． 故答案为：． 23．（2025秋•路南区期末）已知反比例函数y，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【分析】（1）把点A的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）根据反比例函数图象的性质得到：k﹣1＜0，由此求得k的取值范围； （3）把点B、C的坐标代入函数解析式进行一一验证． 【解答】解：（1）∵点A（1，2）在这个函数的图象上， ∴k﹣1＝1×2， 解得k＝3； （2）∵在函数y图象的每一支上，y随x的增大而增大， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1； （3）点C不在这个函数的图象上，理由如下： ∵k＝13，有k﹣1＝12， ∴反比例函数的解析式为y． 将点B的坐标代入y，可知点B的坐标满足函数关系式， ∴点B在函数y的图象上， 将点C的坐标代入y，由5，可知点C的坐标不满足函数关系式， ∴点C不在函数y的图象上． 24．（2026•亭湖区三模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣6，2），点B的坐标为（1，n）． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接AO、BO，求△AOB的面积； （3）观察图象，不等式的解集为　﹣6＜x＜0或x＞1　 ． 【分析】（1）先把点A的坐标代入反比例函数的表达式中求出m的值，从而得到反比例函数的表达式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数的表达式中求出k和b的值即可得到一次函数的表达式； （2）求出点C的坐标，再根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC列式求解即可； （3）根据函数图象找到反比例函数的图象在一次函数的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【解答】解：（1）由条件可得，解得m＝﹣12， ∴反比例函数的表达式为， 在中，当x＝1时，y＝﹣12， ∴点B的坐标为（1，﹣12）， 把点A和点B的坐标代入y＝kx+b（k≠0）得， ∴， ∴一次函数的表达式为y＝﹣2x﹣10； （2）如图所示，连接OA、OB， 由条件可知点C的坐标为（0，﹣10）， ∴OC＝10， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC ＝35； （3）由函数图象可知，不等式的解集为﹣6＜x＜0或x＞1． 故答案为：﹣6＜x＜0或x＞1． 25．（2026•泰州三模）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）． （1）求k与m的值； （2）点P是x轴正半轴上一点，若BP＝BC，求△PAB的面积． 【分析】（1）把点C的坐标代入一次函数的解析式求出k，再求出点A的坐标，把点A的坐标代入反比例函数的解析式中，可得结论； （2）由BP＝BC得出OP＝OC＝4，从而得出CP＝8，然后利用S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC求得即可． 【解答】解：（1）把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，得k， ∴yx+2， 把A（2，n）代入yx+2，得n＝3， ∴A（2，3）， 把A（2，3）代入y，得m＝6， ∴k，m＝6； （2）过点A作AH⊥x轴，垂足为H，则AH＝3． ∵一次函数的图象与y轴交于点B， ∴B（0，2）， ∴OB＝2， ∵BP＝BC，BO⊥CP，C（﹣4，0）， ∴OP＝OC＝4， ∴PC＝8， ∴S△PAB＝S△PAC﹣S△PBC4． 26．（2026•新北区二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2． （1）求反比例函数的解析式和点B的坐标； （2）点C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标． 【分析】（1）先求出点A的坐标，据此求出反比例函数的解析式，进一步求出点B的坐标即可； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）将x＝2代入得， y1＝6， 所以点A坐标为（2，6）． 将点A坐标代入反比例函数解析式得， m＝2×6＝12， 所以反比例函数的解析式为． 由得， x＝﹣4或x＝2， 将x＝﹣4代入得， ， 所以点B坐标为（﹣4，﹣3）； （2）令直线AB与x轴的交点为M， 由得， x＝﹣2， 所以点M坐标为（﹣2，0）． 因为△ABC的面积为18， 所以， 解得CM＝4， 则﹣2﹣4＝﹣6，﹣2+4＝2， 所以点C坐标为（﹣6，0）或（2，0）． 27．（2026春•徐汇区期末）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB∥x轴交反比例函数的图象于点B．点C是x轴上任意一点，连接AC、BC． （1）如果点A的横坐标为2，求△ABC的面积； （2）如果点A是反比例函数的图象上任意一点，那么△ABC的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由． 【分析】（1）先求出点A的坐标，据此进一步求出点B的坐标，最后求出△ABC的面积即可； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征及三角形的面积公式即可解决问题． 【解答】解：（1）因为点A的横坐标为2且点A在反比例函数的图象上， 所以点A坐标为（2，2）． 因为AB∥x轴， 则将y＝2代入得， x＝﹣6， 所以点B坐标为（﹣6，2）， 则AB＝2﹣（﹣6）＝8， 所以； （2）不会，理由如下： 令点A坐标为（m，）， 因为AB∥x轴， 所以点B坐标为（﹣3m，）， 所以AB＝m﹣（﹣3m）＝4m， 所以， 所以△ABC的面积不会发生改变． 28．（2026•内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（2，6）和点B（﹣4，m）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式k1x+b的解集； （3）已知点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为15，求点C的坐标． 【分析】（1）利用待定系数法进行计算即可； （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题； （3）根据三角形的面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）将点A坐标代入y得， k2＝2×6＝12， 所以反比例函数的表达式为y． 将点B坐标代入y得，m＝﹣3， 所以点B坐标为（﹣4，﹣3）． 将点A和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的表达式为y； （2）由函数图象可知， 当﹣4≤x＜0或x≥2时，一次函数的图象不在反比例函数图象的下方，即k1x+b， 所以不等式k1x+b的解集为﹣4≤x＜0或x≥2； （3）如图所示， 由0得，x＝﹣2， 所以点M坐标为（﹣2，0）． 因为△ABC的面积为15， 所以， 解得CM， 则﹣2，， 所以点C的坐标为（）或（）． 29．（2026•临泉县二模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3． （1）求k的值； （2）利用图象直接写出时x的取值范围； （3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移5个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）利用反比例函数的解析式求出点A的坐标，再将点A的坐标代入一次函数的解析式求出k的值； （2）联立一次函数与反比例函数求出点B的坐标，结合图象判断一次函数的图象不低于反比例函数的图象的部分，从而得出x的取值范围； （3）连接AD、CF，作CH⊥DE于点H，设直线DE交x轴于点G，由平移的性质可知，阴影部分的面积等于平行四边形ACFD的面积．由平移可知，直线DE的解析式为y＝x﹣4，从而求出点E（0，﹣4），G（4，0），C（0，1），容易判断△EOG和△CEH都是等腰直角三角形，进而计算出，利用勾股定理计算出，最后计算出平行四边形ACFD的面积即可． 【解答】解：（1）由条件可知点A的坐标为（2，3）， 将点A（2，3）代入y＝kx+1得： 3＝2k+1， 解得k＝1； （2）由（1）可知，一次函数的解析式为y＝x+1， 联立一次函数与反比例函数得： ， 解得或， ∴点B的坐标为（﹣3，﹣2）， 结合图象可知，在BC之间（包括点B）和点A以及点A的右侧部分，一次函数的图象不低于反比例函数的图象， ∴的解集为﹣3≤x＜0或x≥2； （3）如图，连接AD、CF，作CH⊥DE于点H，设直线DE交x轴于点G， 由条件可知四边形ACFD是平行四边形，且阴影部分的面积等于平行四边形ACFD的面积， ∴直线DE的解析式为y＝x+1﹣5＝x﹣4， 将x＝0代入y＝x﹣4，得y＝﹣4， ∴点E的坐标为（0，﹣4）， 将y＝0代入y＝x﹣4，得x＝4， ∴点G的坐标为（4，0）， ∴OG＝OE＝4， ∵∠EOG＝90°， ∴△EOG是等腰直角三角形， ∴∠OEG＝45°， ∵CH⊥DE， ∴△CEH也是等腰直角三角形， ∴CH＝EH， 将x＝0代入y＝x+1，得y＝1， ∴点C的坐标为（0，1）， ∴CE＝5， 由条件可知2CH2＝25，解得， 由勾股定理可得，， ∴， ∴阴影部分的面积为10． 30．（2026•兴庆区校级三模）综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数y的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知 函数的自变量取值范围是x≠﹣1　 ． （2）作出图象 ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 n 0 1 2 3 4 … y … 2 3 4 m 6 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … 填空：表中m＝　5　 ，n＝　　 ． ②描点，连线： 在平面直角坐标系xOy中，描出以表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象． （3）研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为（0，0），则函数的图象的对称中心为　（﹣1，1）　 ；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线y＝x和y＝﹣x，则函数的图象的对称轴为直线y＝﹣x，y＝x+2　 ． （4）拓展应用 若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为　5　 ． 【分析】（1）根据分母不能为0，即可解决问题； （2）①求出x的函数值，求得y＝﹣3时的x的值即可；②利用描点法画出函数图象即可； （3）根据平移的性质，可得结论； （4）联立方程组求出点A，B的坐标，运用分割法可求出△AOB的面积． 【解答】解：（1）∵x+1≠0， ∴x≠﹣1，故函数的自变量取值范围是x≠﹣1． 故答案为：x≠﹣1； （2）①时，， ∴m＝5． 当y＝﹣3时，则，解得， ∴． 故答案为：5，； ②函数图象如图所示： （3）该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数是中心对称图形，对称中心为（0，0）， ∴函数的对称中心为 （﹣1，1）； 函数的图象的对称轴为直线y＝﹣x，y＝x+2． 故答案为：（﹣1，1）；y＝﹣x，y＝x+2； （4）如图， 联立方程组， ∴，． ∴A（﹣2，3），B（3，）． ∴S△AOB（3）×52×335． 故答案为：5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 反比例函数的图象与性质 知识点一：双曲线 1.定义：反比例函数的图像是由两条曲线组成，我们称之为双曲线.它的两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称. 2.利用描点法画图的步骤 （1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写数值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数； （2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点； （3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交. 知识点二：反比例函数的图象与性质 1.图象：由两条曲线组成（双曲线） 2.性质： 函数 图象 所在象限 增减性 一、三象限 在同一象限内，随的增大而减小 二、四象限 在同一象限内，随的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 知识点三：反比例函数k的几何意义 1.如图，过双曲线上任意一点 P 作x轴，y 轴的垂线 PN，PM，垂足分别为 M，N，所得矩形 PMON 的面积S=PM·PN=Iyl·IxI=Ixyl， 又因为xy=k， 所以 S=IkI. 即过反比例函数图像上一点作两条坐标轴的垂线，垂线与坐标轴围成的矩形面积等于|k|； 2.如图，过双曲线上任意一点 A 作x轴的垂线 AC，垂足分别为 C，连接 OA ，所得三角形 OAC 的面积 又因为xy=k， 所以 S=. 即过反比例函数图像上一点作坐标轴的垂线，该点、垂足与坐标轴上一点（含原点）构成的三角形面积 等于. 题型一：判断反比例函数的图象 【典例精讲】函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】反比例函数的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025春•巴东县期中）某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，其电流与电阻之间存在一定函数关系，则电流I（单位：A）关于电阻R（单位：Ω）函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型二：已知反比例函数的图象判断其解析式 【典例精讲】（2026•铜梁区模拟）如图所示，其函数解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025•铜梁区模拟）如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025秋•东莞市校级期末）反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（　　） A． B． C． D． 题型三：判断反比例函数所在象限 【典例精讲】（2026•永川区自主招生）反比例函数的图象位于（　　） A．第一，第三象限 B．第一，第四象限 C．第二，第三象限 D．第二，第四象限 【变式训练1】（2026•西湖区校级三模）关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．当x＞0时，函数值y＜0 B．y随x的增大而增大 C．点（2，3）在该函数的图象上 D．图象在第一、三象限 【变式训练2】反比例函数①；②；③；④的图象中，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ． 题型四：点在函数图象上 【典例精讲】（2026•渝中区校级模拟）在平面直角坐标系中，如果反比例函数的图象经过点（2，3），那么此反比例函数的图象也一定经过点（　　） A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（3，﹣2） D．（﹣3，2） 【变式训练1】（2026•五华区校级模拟）反比例函数的图象一定经过的点是（　　） A．（3，6） B．（﹣3，6） C．（﹣2，﹣9） D．（﹣9，﹣2） 【变式训练2】（2026•五华区校级模拟）反比例函数的图象经过点（2，m），则m的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 题型五：反比例函数的增减性 【典例精讲】（2026•天津）若点A（x1，﹣2），B（x2，4），C（x3，8）都在反比例函数y的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x1＜x3＜x2 D．x2＜x3＜x1 【变式训练1】（2026•山西）已知点A（1，a），点B（4，b），点C（7，c）都在反比例函数y的图象上，则a，b，c的关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c 【变式训练2】（2026•九龙坡区校级模拟）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3 题型六：由增减性求参数 【典例精讲】（2026•襄州区模拟）在反比例函数y的图象的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】（2026•石峰区模拟）在反比例函数的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1＞y2，则k的取值范围是（　　） A．k＜0 B．k＞0 C．k＜4 D．k＞4 【变式训练2】（2026春•普陀区期末）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（　　） A．k≠0 B．k≠1 C．k＜1 D．k＞1 题型七：由反比例函数的对称性求点坐标 【典例精讲】（2025•浦东新区校级模拟）已知正比例函数图象与反比例函数图象都经过点（-3，5），那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 . 【变式训练1】一个正比例函数和一个反比例函数的图象都经过点A，如果点A的纵坐标为a,那么这两个函数的比例系数的积等于 （用a表示）． 【变式训练2】（2025秋•锦江区校级期中）如图，直线y=mx（m＜0）与双曲线交于A，B两点，AH⊥y轴于点H，若△AHB的面积为5，则k的值为 . 题型八：反比例函数与一次函数的图象 【典例精讲】（2026•三亚一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026•南京三模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+k与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（2026•端州区校级三模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+3与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 题型九：k的几何意义 【典例精讲】（2026•开福区校级二模）如图，点A在反比例函数y（x＜0）的图象上，过点A作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点B、C，若AB＝1.5，AC＝4，则k的值为（　　） A．﹣3 B．﹣4.5 C．6 D．﹣6 【变式训练1】（2026•二道区校级模拟）如图，点P在反比例函数（k为常数，且k≠0，x＜0）的图象上，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为OA的中点，连接PB、OP，若S△ABP＝2，则k的值为（　　） A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8 【变式训练2】（2026•城中区校级二模）如图，点A、B落在第二象限内双曲线y（k≠0）上，过A、B两点分别作x轴的垂线段，垂足为C，D，连接OA、OB，若S1+S2＝2且S阴影＝1，则k的值为（　　） A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2 题型十：反比例函数中的找规律 【典例精讲】（2026春•黄浦区期末）如图，点A1，A2，A3，…，An在反比例函数的图象上，点B1，B2，B3，…，Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线交于点A1，B1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3，…，则B2026的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2026•山东）如图，一组反比例函数y，y，y，…，y，其中x＞0，k1＝1，kn＞kn﹣1，n为大于1的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数y＝x的图象相交，交点依次记为A1，A2，A3，…，An．若A1A2＝A2A3＝…＝An﹣1An，则k6＝ ． 【变式训练2】（2026•锦江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，点B（x0，y0）在第四象限，则x0＝ ；过点A1（y0，x0）作直线AB的平行线在第四象限交L于点B1（x1，y1）；过点A2（y1，x1）作直线AB的平行线在第四象限交L于点B2（x2，y2）⋯按此规律，记Bn（xn，yn），过点An+1（yn，xn）作直线AB的平行线在第四象限交L于点Bn+1（xn+1，yn+1），则点A2026的坐标为 ． 题型十一：反比例函数与不等式 【典例精讲】（2026春•郸城县期中）如图，直线y＝﹣x+m与反比例函数的图象交于点A（﹣2，3），B（3，﹣2），则不等式﹣x+m的解集是（　　） A．x＜﹣2或x＞3 B．x＜﹣2或0＜x＜3 C．﹣2＜x＜3 D．﹣2＜x＜0或x＞3 【变式训练1】（2026•连南县模拟）如图，一次函数y1＝k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于点A（2，3），B（6，1）两点，当y1＞y2时，x的取值范围为（　　） A．x＜2 B．2＜x＜6 C．x＞6 D．x＜0或2＜x＜6 【变式训练2】（2026•珠海三模）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数（m为常数且m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式的解集是（　　） A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或x＞2 C．0＜x＜2 D．x＞2 题型十二：反比例函数与面积 【典例精讲】（2026•晋中二模）如图，反比例函数的图象经过点A（2，3），B（m，1），直线AB与y轴交于点C． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出m的值； （2）D为x轴正半轴上一点，连接BD，若四边形ODBC的面积为14，请直接写出点D的坐标． 解题技巧 平面直角坐标系中图形面积计算 （1）直接公式法（三角形一边在坐标轴上或平行于坐标轴） （2）转化法（三角形三边均不与坐标轴平行） ①分割法 ②补形法 【变式训练1】（2026•安徽模拟）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象交于点A（a，4）和点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）连接AO并延长交反比例函数图象于点C，求△ABC的面积． 【变式训练2】（2026•蒙阴县一模）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴、y轴交于点A、B，与反比例函数的图象交于点C．已知点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（1，6），点D在反比例函数的图象上，纵坐标为2． （1）求反比例函数的表达式，并直接写出点B的坐标； （2）连接BD、OD，求四边形ABDO的面积； （3）在的图象上有一点E满足OE＝OC，直线AB向下平移m个单位，恰好经过点E，请直接写出m的值． 题型十三：反比例函数与新定义 【典例精讲】（2026•靖江市校级三模）定义：若x，y满足x2＝2y+t，y2＝2x+t且x≠y（t为常数），则称点M（x，y）为“和谐点”． （1）若P（3，m）是“和谐点”，则m＝ ． （2）若双曲线存在“和谐点”，求k的取值范围． 【变式训练1】（2026春•徐汇区校级期中）阅读理解并解决问题 【阅读材料】当a＞0且x＞0时，因为，所以，从而有（当时取等号）． 记函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． （1）【知识理解】已知函数y1＝x（x＞0）与函数，则当x＝ 时，y1+y2取得最小值为 ； （2）【解决问题】已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用360元；二是燃油费，每千米为1.6元；三是折旧费，它与路程的平方成正比，比例系数为0.001．设该汽车运输的路程为x千米，求当x为多少时，该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？ 【变式训练2】（2026•湖里区校级模拟）阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 利用函数的变化趋势研究代数式值的变化情况 对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式；当分母的次数不高于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式，有时候，需要把一个假分式化为整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式，例如，，观察发现，当部分分式中的分母为一次式时，可以借助反比例函数来研究该分式值的变化情况． 我们已知学习过反比例函数，当x＞0时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，y的值无限接近0．对于部分分式我们可以令，则函数，可以看作是由函数先向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度得到的新函数．那么当x＞a时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近0，此时的值无限接近b．例如，已知部分分式，我们令，当x＞1时，y随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近0，所以的值无限接近2． … 任务： （1）将分式化为部分分式． （2）函数可以由哪个反比例函数经过怎样的平移得到？ （3）拓展：当x＞m时，分式的值随着x的增大而减小，且随着x的无限增大，的值无限接近n，请你直接写出m的最小值以及n的值． 1．（2026•福建）下列各点中，在函数y图象上的点是（　　） A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2） 2．（2026•铜梁区模拟）如果反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则这个函数的解析式为（　　） A．y＝6x B．y＝﹣6x C． D． 3．（2026•沙坪坝区校级二模）点（﹣2，3）在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（　　） A．（﹣6，1） B．（6，1） C．（﹣3，﹣2） D．（﹣6，﹣1） 4．（2025•陵水县一模）如图，直线与双曲线相交于A（﹣2，1）、B两点，则点B坐标为（　　） A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（1，） D．（，﹣1） 5．（2025春•新昌县期末）已知点A在反比例函数图象上，且点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则反比例函数的表达式为（　　） A． B． C． D．或 6．（2026•河东区模拟）若点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（6，y3）都在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＞y1＞y2 B．y1＞y3＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y3＞y1 7．（2026•孝感模拟）如图，反比例函数的图象经过点A（3，2），当y＞2时，x的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＞3 C．0＜x＜2 D．0＜x＜3 8．（2026•肥东县校级模拟）若双曲线与直线y＝5x没有交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．（2026春•扶绥县校级期中）已知反比例函数，直线y＝﹣2x+4交于P（a，b）、Q（m，n）两点，则代数式的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 10．（2026春•南关区校级月考）如图，正比例函数y1＝k1x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2．当y1＞y2时，x的取值范围是（　　） A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2 C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2 11．（2026•长春校级模拟）如图，一次函数y＝x+b（b＞0）的图象交反比例函数的图象于A、B两点，交坐标轴于C、D两点．若AB＝2CD，则△OCD的面积为（　　） A．1 B． C． D．4 12．（2026•西湖区校级三模）已知反比例函数，P（x1，y1），Q（x2，y2）是其图象上两点，下列说法正确的是（　　） A．当x1+x2＜0时，y1+y2＜0 B．当x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＜0 C．当x1+x2＝0时，y1+y2＝0 D．当x1+x2＞0时，y1+y2＞0 13．（2026春•青浦区期末）如果反比例函数的图象位于第一、三象限，那么k＝ ．（只需写一个数值） 14．（2026春•浦东新区期末）如图所示是三个反比例函数y，y，y的图象，由此观察k1、k2、k3的大小关系是 ．（用“＜”连接） 15．（2026•上海）点A（m，n）与点B（3，4）在同一条反比例函数y上，若0＜m＜3，则n的取值范围是 ． 16．（2026•攀枝花）如图，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，AB∥x轴，点C是x轴上一点，若△ABC的面积为3，则k的值为 ． 17．（2026•景宁县三模）在平面直角坐标系中，若直线y＝x+b与双曲线（k为常数，k≠0）的图象交于点（b，k），则直线y＝x+b与两坐标轴围成的三角形的面积是 ． 18．（2026•碑林区校级模拟）已知反比例函数，，当1≤x≤4时，函数y1的最大值是a，函数y2的最大值是b，则a+b的值为 ． 19．（2026•锦江区校级模拟）直线y＝k1x+b与双曲线y在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x+b的解集为 ． 20．（2026•南山区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y＝x﹣2的图象交于点P（m，n），则代数式的值为 ． 21．（2025秋•苏仙区期中）如图，在x轴的正半轴上依次截取OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4＝A4A5，过A1，A2，A3，A4，A5分别作x轴的垂线，与双曲线相交于P1，P2，P3，P4，P5，得△OP1A1，△A1P2A2，△A3P4A4，△A4P5A5，设它们的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4，S5按此规律，则S2025＝ ． 22．（2025•张店区一模）如图，双曲线与直线y＝2x相交于点A，B，在直线y＝2x上取点A1（2，a1），B1（﹣2，b1），A2（3，a2），B2（﹣3，b2），A3（4，a3），B3（﹣4，b3），⋯，依次以A1B1，A2B2，A3B3，⋯为对角线分别向外作左、右一组对边垂直于x轴的矩形M1，M2，M3，⋯．矩形M1的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C1，C2，C3，C4；矩形M2的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C5，C6，C7，C8；矩形M3的四条边与该双曲线的交点由第一象限逆时针依次记为：C9，C10，C11，C12；⋯．按此规律，则点C2025的坐标为 ． 23．（2025秋•路南区期末）已知反比例函数y，（k为常数，k≠1）． （1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围； （3）若k＝13，试判断点B（3，4），C（2，5）是否在这个函数的图象上，并说明理由． 24．（2026•亭湖区三模）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数的图象相交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣6，2），点B的坐标为（1，n）． （1）分别求出反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接AO、BO，求△AOB的面积； （3）观察图象，不等式的解集为 ． 25．（2026•泰州三模）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数y（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）． （1）求k与m的值； （2）点P是x轴正半轴上一点，若BP＝BC，求△PAB的面积． 26．（2026•新北区二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2． （1）求反比例函数的解析式和点B的坐标； （2）点C为x轴上一动点，连接AC，BC，若△ABC的面积为18，求点C的坐标． 27．（2026春•徐汇区期末）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作AB∥x轴交反比例函数的图象于点B．点C是x轴上任意一点，连接AC、BC． （1）如果点A的横坐标为2，求△ABC的面积； （2）如果点A是反比例函数的图象上任意一点，那么△ABC的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由． 28．（2026•内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（2，6）和点B（﹣4，m）． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于x的不等式k1x+b的解集； （3）已知点C是x轴上一点，连接AC、BC，若△ABC的面积为15，求点C的坐标． 29．（2026•临泉县二模）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+1（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A、B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3． （1）求k的值； （2）利用图象直接写出时x的取值范围； （3）如图2，将直线AB沿y轴向下平移5个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿AB平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 30．（2026•兴庆区校级三模）综合与实践： 《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数y的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程： （1）初步感知 函数的自变量取值范围是 ． （2）作出图象 ①列表： x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 n 0 1 2 3 4 … y … 2 3 4 m 6 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … 填空：表中m＝ ，n＝ ． ②描点，连线： 在平面直角坐标系xOy中，描出以表格中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象． （3）研究性质 小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为（0，0），则函数的图象的对称中心为 ；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线y＝x和y＝﹣x，则函数的图象的对称轴为直线 ． （4）拓展应用 若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $