2025--2026学年北师大版数学七年级下册期末练习

**基本信息** 2025-2026北师大版数学七年级下册期末练习（120分/120分钟），以基础、中档、拔高三层设计覆盖整式运算、三角形全等、概率等核心知识点，梯度衔接自然，注重运算能力与推理意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|整式运算、概率初步、三角形基本性质|选择题1-3考查单一概念，解答题16-18强化基础运算与作图，培养数感与几何直观| |中档|完全平方公式、平行线性质应用、概率计算|选择4-5结合生活情境（榫卯结构），解答20用几何图形验证乘法公式，发展推理意识| |拔高|最短路径、几何探究（偏等积三角形）|选择10等腰直角三角形动态问题，解答23探究面积关系，提升创新意识与空间观念|

2025-2026北师大版数学七年级下册期末练习 满分120分 时间120分钟 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.有两个事件，事件：人中至少有两人生日相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为偶数．下列说法正确的是(    ) A. 事件，都是随机事件 B. 事件，都是必然事件 C. 事件是随机事件，事件是必然事件 D. 事件是必然事件，事件是随机事件 3.如图，，，则的大小为(    ) 3题图 5题图 6题图 A. B. C. D. 4.若是一个完全平方式，则的值是    ． A. B. C. 或 D. 或 5.榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式如图是某个构件的截面图，其中，，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，一只手握住了一个三角形的一部分，则这个三角形是(    ) A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形 D. 以上都有可能 7.下列说法正确的个数为(    ) 全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等全等三角形的周长相等周长相等的两个三角形全等全等三角形的面积相等能够完全重合的两个图形全等。 A. B. C. D. 8.如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于  (    ) 8题图 9题图 10题图 A. B. C. D. 9.如图，在边长为的正方形中剪去一个边长为的小正方形，将剩下的部分对折、剪裁，拼接成一个如图所示的梯形，则利用面积恒等能验证的公式是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在等腰直角三角形中，，平分，平分，，分别为射线，上的动点，若，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图，公园里有一座假山，要测量假山两端，的距离，先在平地上取一个可以直接到达，的点，分别延长，到，，使，，连接，这样就可以利用三角形全等，通过测量的长得到假山两端，的距离，则这两个三角形全等的依据是          ． 11题图 12题图 13题图 12.如图，在一个长为、宽为的长方形地面上，四个角各有一个边长为的正方形草坪，其中阴影部分为花坛，则花坛的面积为          。 13.如图，将长方形沿折叠，使得点落在边上的点处，点落在点处．若，则           14.火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度米与火车行驶时间秒之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：火车的长度为米；火车的速度为米秒；火车整体都在隧道内的时间为秒；隧道长度为米其中正确的结论          填序号． 14题图 15题图 15.如图，在中，，，，，垂直平分，为直线上一动点，则周长的最小值是          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 16.（10分）计算： ． ． 17.本小题分 尺规作图，如下图，已知线段、线段和，用直尺和圆规作，使，，要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写作法 18.本小题分 如图，在每个小正方形的边长均为个单位长度的网格中，的三个顶点都在格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． 在图中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形 在图中，请在直线上找一点，使得的周长最小． 19.本小题分 在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外其余完全相同为了估计黑球和白球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到下表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 请你估计，当很大时，摸到白球的频率将会接近          精确到 若先从袋子中取出个黑球，再从袋子中随机摸出个球，若“摸出白球”为必然事件，则           若先从袋子中取出个白球，再放入个一样的黑球并搅匀，随机摸出个白球的概率为，求的值． 20.本小题分 在学习了乘法公式后，善于思考的小聪同学想用几何方法将其表示出来，他利用三种不同的长方形纸片拼成如图所示的大正方形． 【观察发现】请用两种不同的方法表示出图中阴影部分的面积：方法          方法          用两种方法计算得到的乘法公式为           【问题解决】 已知，，则的值为           已知，求的值 【拓展应用】将正方形和正方形按如图所示摆放，边长分别为，若，，求图中阴影部分的面积． 21.本小题分 如图，已知，． 试说明：； 若平分，于点，，求的度数． 22.本小题分 综合与实践万花筒里的数学 【发现问题】如图，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到的影子数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律． 【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面镜成轴对称． 【数学探究】 探究一：如图，正方形放在“镜子门”中间，当“镜子门”张角为时，正方形关于镜子的轴对称图形是像． 请你画出正方形在镜子中的像不限作图工具 像，像会在镜子中再次轴对称成像，像关于的轴对称图形是像，像关于的轴对称图形是像，请分析像与像          填写“重合”或“不重合”． 探究二：如图，当“镜子门”张角大小是的因数时，观察到的完整像的数量是有规律的改变张角的大小，并记录观察到的完整像的个数，得到以下表格： 的度数度 观察到的完整像的个数个            补充上述表格 的度数度 观察到的完整像的个数个            【规律总结】当“镜子门”张角的大小为且是的因数时，在平面镜中能观察到的完整像的个数为          用含的式子表示 23.本小题分 数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． 如图，在中，，，为边上的一点，若与为偏等积三角形，则           ； 如图，在中，，，为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点作，交的延长线于点，如果线段的长度为正整数，那么           ． 探究如图，，，过点作于点，过点作于点我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型．探究图中线段之间的数量关系，可得          ． 【迁移应用】如图，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过作，垂足为点，的延长线与交于点，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.  11.  12.  13.  14.  15.  16.（1）解：原式． （2）原式．   17.解：如图，即为所求．   18.（1） 解：如图，即为所求． （2）如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点即为所求．   19.（1） （2） （3）解：由可知，白球数量为个，则，解得． 答：的值为．   20.（1） （2） 由，可得， 因为， 所以 （3）因为正方形和正方形的边长分别为，，， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以， 因为，，所以， 所以．   21.（1） 解：因为，所以， 因为，所以， 所以，所以； （2）因为平分， 所以， 由知，所以， 因为，，所以，所以， 所以．   22.【小题】 解：如图，像即为所求． 重合 【小题】   23.（1） （2） （3） （4）解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过作于点，过作交延长线于点． ， ， ， ； ， ， ， 又， ， ； 同理可证明， ， ， 又， ， ． ， 又与不全等， 与不全等， 与是偏等积三角形； 如图所示，过作于点，过作交延长线于点． ， ，， ． 又， ， 又， ， ． ， ， 又，， 与不全等， 与是偏等积三角形．   学科网（北京）股份有限公司 $