专题三函数与基本初等函数08函数的单调性导学案-2027届高考数学一轮总复习

高考一轮总复习导学案 专题三 函数与基本初等函数08函数的单调性 1、 考情分析 本节内容是高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容；设题稳定，难度中等偏难，分值为5分. 2、 知识梳理 知识点一 单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有 ，那么就说函数在区间上是 当时，都有 ，那么就说函数在区间上是 图象描述 自左向右看，图象是 的 自左向右看，图象是 的 设，， 若有或则在闭区间上是 若有或，则在闭区间上是 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 3．函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的 函数； （2）复合函数的单调性： （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性 ，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性 ； （4）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 知识点二、函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最 值 为最 值 三、类型应用 类型一 函数单调性的判断 （一）利用解析式判断函数单调性 例1：下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 变式训练1-1：下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 变式训练1-2：下列函数中，对任意的、时，均有的是（   ） A． B． C． D． （二）利用图像判断函数单调性 例2：已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 变式训练2-1：若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式训练2-2：函数是定义在上的偶函数，在上的图象如图所示，则下面是函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 例3：已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 变式训练3-1：函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 变式训练3-2：函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 变式训练3-3：函数的单调递增区间是__________． （3） 利用复合函数单调性求单调区间 例4：函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 变式训练4-1：函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式训练4-2：设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 变式训练4-3：函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． （4） 利用导数求单调区间 例5：函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 变式训练5-1：函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 变式训练5-2：函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 类型三 利用单调性比较大小 例6：设函数，记，则（   ） A． B． C． D． 变式训练6：设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 类型四 利用单调性求参数范围 例7：已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B．[8，16] C． D． 变式训练7-1：函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练7-2：已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练7-3：已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式训练7-4：已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型五 利用单调性解不等式 例8：已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练8-1：若是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式训练8-2：已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式训练8-3：已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 例9：设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 变式训练9：已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 类型六 函数的最值 例1：函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 变式训练10-1：已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式训练10-2：已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 类型七 数学情境 1．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（，且）的反函数为（，且）．已知函数，，若对任意，有恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，则（    ） A． B．函数在其定义域上是增函数 C．函数的值域为 D．若实数满足不等式，则的取值范围是 四 素养提升 1．“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“”是“函数在内单调递增”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要 3．已知，若，使得成立，则实数的取值范围为__________. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 5.已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考一轮总复习导学案 专题三 函数与基本初等函数08函数的单调性 1、 考情分析 本节内容是高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容；设题稳定，难度中等偏难，分值为5分. 2、 知识梳理 知识点一 单调性 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[ 当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 2．单调区间的定义 若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 3．函数单调性的常用结论 （1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； （4）一些重要函数的单调性： ①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减； ②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减． 知识点二、函数的最值 前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足 条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. 三、类型应用 类型一 函数单调性的判断 （一）利用解析式判断函数单调性 例1：下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、根据图像判断函数单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由一次函数的性质判断选项A，根据二次函数图象性质判断选项B，根据正弦函数图象与性质判断选项C，利用函数导数与函数单调性判断选项D. 【详解】因为， 选项A：函数，在区间上单调递减，故A不正确； 选项B：由二次函数对称轴为，开口向上， 所以函数在上单调递减，在单调递增，故B不正确； 选项C：由正弦函数可知函数在上有增有减，故C不正确； 选项D：由，所以， 所以函数在区间上单调递增，故D正确； 故选：D. 变式训练1-1：下列函数在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】逐个判断函数的单调性，即可得到结果． 【详解】对于A，函数在区间上是增函数，故A不正确； 对于B，函数在区间上是减函数，故B正确； 对于C，函数在上是增函数，故C不正确； 对于D，函数在上是增函数，故D不正确. 故选：B． 变式训练1-2：下列函数中，对任意的、时，均有的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】先确定函数的单调性，再对所给函数进行判断即可. 【详解】因为，对任意的、时，均有，所以函数在上单调递增. 对A：因为，所以幂函数在上单调递减，不合题意； 对B：因为函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，不合题意； 对C：因为，所以指数函数在上单调递增，在上就是单调递增，符合题意； 对D：因为，所以对数函数在上单调递减，不合题意. 故选：C （二）利用图像判断函数单调性 例2：已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【知识点】根据图像判断函数单调性、函数图象的应用 【分析】利用函数的图象逐项判断即可. 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 变式训练2-1：若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据图像判断函数单调性、函数图象的应用、求函数的单调区间 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 变式训练2-2：函数是定义在上的偶函数，在上的图象如图所示，则下面是函数的增区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据图像判断函数单调性、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数图象，结合函数的奇偶性得到的单调增区间即可. 【详解】由图象，可知在上单调递增，在上单调递减. 因为函数是定义在上的偶函数， 所以函数的图象关于轴对称， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的增区间是和. 故选：B. 例3：已知函数，则函数的单调增区间是（    ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A 【知识点】求函数的单调区间 【分析】讨论x的取值范围，化简，结合二次函数的单调性，即可确定答案. 【详解】由于函数， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 当时，， 由于图象的对称轴为，则函数在上单调递增， 故函数的单调增区间是和. 故选：A 变式训练3-1：函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数的单调区间 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 变式训练3-2：函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【知识点】画出具体函数图象、求函数的单调区间 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 变式训练3-3：函数的单调递增区间是__________． 【答案】 【知识点】画出具体函数图象、求函数的单调区间 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. （3） 利用复合函数单调性求单调区间 例4：函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合函数的单调性、具体函数的定义域 【分析】首先考虑；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同增异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间. 【详解】由可得或， ∵在单调递增，而是增函数， 由复合函数的同增异减的法则可得， 函数的单调递增区间是. 故选：D. 变式训练4-1：函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】复合函数的单调性、解不含参数的一元二次不等式、求函数的单调区间、具体函数的定义域 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又因为为单调递增函数， 所以函数的单调递增区间是. 故选：D. 变式训练4-2：设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复合函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 变式训练4-3：函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性、复合函数的单调性 【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数单调性的“同增异减”原则即可求得其单调递减区间. 【详解】对于函数有意义，可得，即，解得. 设，则函数在上单调递增，在上单调递减， 又函数在定义域上单调递增，故函数的单调递减区间为. 故选：D. （4） 利用导数求单调区间 例5：函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、导数的运算法则、求函数的单调区间、具体函数的定义域 【分析】求出导函数，在定义域内解不等式可得单调递增区间. 【详解】因为，，所以对函数求导得：， 令，即，，， 解得， 因此函数的单调递增区间为． 故选：B. 变式训练5-1：函数的单调减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】对函数求导，令导函数为负，求解不等式即可确定函数的单调减区间. 【详解】因为函数，求导得， 令，因此，函数的单调减区间是，故A正确. 变式训练5-2：函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】函数的定义域为， 由， 所以该函数的单调递减区间是. 类型三 利用单调性比较大小 例6：设函数，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较函数值的大小关系、比较对数式的大小、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，比较自变量的范围和大小，利用函数单调性和奇偶性比较即得. 【详解】因为,所以函数是偶函数，所以. 当时,,此时有，所以函数在单调递增， 又因为 ,所以. 又因为,所以, 由函数的单调性可得即 变式训练6：设函数满足：对任意的都有，则与大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较函数值的大小关系、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】根据已知条件确定函数的单调性，进而比较函数值大小即可. 【详解】因为，当时；当时； 所以函数在实数上单调递增，又，所以. 故选：A 类型四 利用单调性求参数范围 例7：已知函数在［2，4］上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B．[8，16] C． D． 【答案】D 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据二次函数的性质列不等式求解. 【详解】函数的图象为开口向上的抛物线，对称轴为. 因为该函数在 上单调，因此，需满足：或， 解得：或 . 故选：D 变式训练7-1：函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据给定条件，按是否为0分类，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】当时，在上单调递增，符合题意，则； 当时，由函数在上是增函数，得且，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D 变式训练7-2：已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式 【详解】由题意得，在上是增函数， 所以在上单调递增，则①， 又时，， 时，，故②， 联立①②，解得． 变式训练7-3：已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】利用换元法和复合函数单调性的判断方法，换元后可知只要满足即可，从而可求出实数的取值范围. 【详解】令，则， 因为函数在区间上单调递减， 且在定义域内递增， 所以，解得， 故选：C 变式训练7-4：已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用函数单调性求最值或值域、根据函数的单调性求参数值 【分析】利用导数值恒大于或等于0，再利用分离参变量思想即可求解. 【详解】求导得， 要满足函数在区间上单调递增， 则，即， 因为，所以，即， 故选：B. 类型五 利用单调性解不等式 例8：已知函数，则满足的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、分段函数的性质及应用 【分析】借助导数可研究函数在上的单调性及其最小值，结合时，，可得，解出即可得. 【详解】当时，， 令，则恒成立， 故在上单调递增，则， 则在上单调递减，则， 又当时，， 则有，解得， 故满足的实数的取值范围是. 变式训练8-1：若是定义在上的增函数，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性解不等式、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据函数单调性定义和抽象函数定义域求法解不等式即可. 【详解】因为是上的增函数， 由，可得， 解得. 故选：B. 变式训练8-2：已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数对称性的应用 【分析】根据函数的图象关于点对称，得，再根据单调性求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以函数的图象关于点对称， 由，得， 即，又函数在上单调递减， 所以，即，解得或， 即. 变式训练8-3：已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断指数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【详解】因为函数在上均为增函数， 则在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为. 例9：设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，根据条件得出其单调性，再将问题转化为解不等式即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 故在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以，即， 故不等式的解集为. 变式训练9：已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】由构造函数，由其单调性求解不等式. 【详解】因为，即，构造函数，因为， 所以函数是减函数，又由可得，且， 所以原不等式即，解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 类型六 函数的最值 例1：函数，的最大值是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】先常数分离，再根据函数单调性得出最值. 【详解】函数，单调递减， 所以当时，函数的最大值是. 故选：B. 变式训练10-1：已知函数，则的最大值与最小值之差为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求已知指数型函数的最值 【分析】根据分段函数结合指数函数单调性计算得出最值即可求解. 【详解】函数， 因为单调递增，所以； 因为单调递减，所以； 所以当时，；当时，； 则的最大值与最小值之差为. 变式训练10-2：已知对数函数过点，则的解析式为___________，在的最大值是___________． 【答案】 【知识点】求对数函数的解析式、利用函数单调性求最值或值域 【分析】利用对数函数的定义结合过的点可求得解析式，再利用对数函数的单调性可求得最大值. 【详解】可设对数函数，由对数函数过点， 可得：， 所以对数函数， 由于 因为，根据对数函数是增函数，所以的最大值是 故答案为：；. 类型七 数学情境 1．1614年纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明对数；1637年笛卡尔开始使用指数运算；1770年，欧拉发现了指数与对数的互逆关系，指出：对数源于指数，对数的发明先于指数，称为数学史上的珍闻，对数函数与指数函数互为反函数，即对数函数（，且）的反函数为（，且）．已知函数，，若对任意，有恒成立，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性、求反函数 【分析】利用反函数的定义，求出函数，变形给定不等式并构造函数，利用导数及函数的单调性求出的范围. 【详解】依题意，，则， 当时，不等式 ，令， 于是对任意，恒成立，即函数在上单调递增， 则，， 而当，当且仅当时取等号，则， 所以实数k的取值范围为. 故选：D 2．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为.设函数，则（    ） A． B．函数在其定义域上是增函数 C．函数的值域为 D．若实数满足不等式，则的取值范围是 【答案】ABD 【知识点】求指数型复合函数的值域、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、根据函数的单调性解不等式 【分析】整理可得.对于A：直接代入运算即可；对于B：根据指数函数单调性结合单调性性质分析判断；对于C；根据指数函数值域结合不等式运算求解；对于D：分析可知函数为奇函数，结合单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】由题意可知：，且函数的定义域为， 对于选项A：，A正确； 对于选项B：因为函数在上单调递增，则函数在上单调递减， 所以函数在上单调递增，故B正确； 对于选项C：因为，则，可得， 所以函数的值域为，故C错误； 对于选项D：因为，可知函数为奇函数， 又因为，则， 由选项B可知：，解得， 所以的取值范围是，故D正确； 故选：ABD. 四 素养提升 1．“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断命题的充分不必要条件 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增. 所以“”可以得到“函数在区间上为减函数”， 但“函数在区间上为减函数”可得 “”. 故“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件. 2．“”是“函数在内单调递增”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断命题的充分不必要条件 【分析】先根据二次函数的单调性求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解. 【详解】函数的单调递增区间为， 由函数在内单调递增，得0，解得， 所以“”是“函数在内单调递增”的充分而不必要条件． 故选：A． 3．已知，若，使得成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、利用函数单调性求最值或值域、根据集合的包含关系求参数 【分析】根据对勾函数以及指数函数的单调性，可求得函数所在区间上的值域，由题意可得值域之间的包含关系，建立不等式组，可得答案. 【详解】由函数在上单调递减，则函数在上单调递减，即， 由函数在上单调递增，则函数在上单调递增，即， 由题意可得，则，解得. 故答案为：. 4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 5.已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是____． 【答案】 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、对数型复合函数的单调性、求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】问题可转化为，，利用单调性求出函数的最值，继而即可求解. 【详解】问题可转化为，， 的对称轴为， 所以在上单调递增， 所以， ，都为增函数，所以在上单调递增， 所以， 所以，解得，即实数的取值范围是. 故答案为：. 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $